! 22 Vilken är sannolikheten att få klave i både första och i andra försöket?

Transkript

1 V "7 Slumpförsök flera steg Produktregeln Vi arldr atr s an'.irql ngen tl ö-. på ett sådant sätt att krona och k ave är de enda möjliga utfallen. Ftr a.nat exerpel på Lvå : oberoende händelser, är att : l<asta två tärninqar. När man singlar slant kan man få utfallet krona eller klave. Om myntet to symmetriskt, så är sannolikheten för att få krona 0,5 och sannolikheten fu att få klave är 0,5. Men vad är sannolikheten för att utfallet ska bli klave nfl kast i rad? Om vi kastar m1'ntet två gånger, så är det rimligt att anta att utfallet av drl törsta kastet inte påverkar utfallet av det andra kastet. De två kasten kan för betraktas sorr' oberoende händelser. Vi kan alltså förutsätta att sannolikheten att få klave är densamma i både det första och det andra kastet. Obenoemde fuöndeåser" O- utfallet av en händelse inte påverkar utfallet av de händelser som i, foljer säger man att det är en oberoende höndelse. Om vi låter händelsen Avara "klave i första kastet" och händelsen B vara "klave i andra kastet" så gäller: p(a) =1 o.h p(bt =! 22 Vilken är sannolikheten att få klave i både första och i andra försöket? Ett sätt att beräkna sannolikheten är att först ställa upp de möjliga utfallen: l<lave l<lave l<lave krona l<rona klave l<rona l<rona Dessa utfall är alla lika sannolika. Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen är P(Aoch B) = 1.ft..ro- vi endast har ett ggrnsamt utfall 4 bland totalt fi'ra möjliga utfall. Detta är detsamma som p(ä).p(b) :1.1= Här gäller att P(A och B) = P(A)' P(B) och vi antar att det bör gälla allmiinr Fnordu&tregelra, Sannolikheten för att två oberoende händelsera och B ska inträffa är produkten av de enskilda händelsernas sannolikheter: P(A och B) = P(A).P(B) Produktregeln gäller även för fler händelser än två: P(AochBoch Coch...) =P(A).P(B).P(C) O sanno!r(hetslära o 7.2 slu[4pförsöt< FTERA srec

2 rr(:'r ' Exernpel: Lösning: Bestäm sannolikheten för att slå tre femmor i rad med en tärning. Sannolikheten att slå en femma a, l. Entlgt produktregeln är då 6 "' P(tre femmor i rad) = P(femma).P(femma).P(femma) = l 1 /l\3 =,.,.:=l_l=0,00a6 b b 6 \6/ Svar: Sannolikheten för att slå tre stycken femmor i rad är 0,0046. Exempel: Sannolikheten att det ska snöa en januaridag i östersund bedöms vara 0,25. Om det snöar en dag, så ökar sannolikheten att det också ska snöa nästa dag till 0,38. a) Vad är sannolikheten att det snöar två på varandra foljande dagar i januariz. b) Vad är sannolikheten att det inte snöar två på varandra foljande dagar ijanuarr? Lösning: a) Sannolikheten att det snöar en dag är 0,25 och sannolikheten att det även snöar nastföljande dag är 0,38. Sannolikheten att det snöar två dagar i rad blir P(snö två dagar i rad) = 0,25 '0,38 = 0,095 Enliqt produktregeln Händelserna är inte ober0ende av varandra. Sannolil(heten att det snöar den ena daqen påverl<ar sannolikheten att det sl<a snöa den följande daqen. : b) Sannolikheten att det inte snöar en dag är - 0,25 = 0,75. Sannoiikheten att det inte snöar under två på varandra foljande dagar blir P(inte snö två dagar i rad) = 0,75 ' 0,75 = 0,56 Enligt produktregeln xrvå 7E!ll1 Leo kastar en tärning. a) Vilken är sannolikheten att han slår en fna? b) Vilken är sannolikheten att han slår en f.ra om han redan slagit tre stycken fyror irad? TX\Z Du kastar ett mlrrt tre gånger efter varandra. Vad är sannolikheten att du får a) krona tre gånger b) klave, krona, klave Ett lyckohjul är numrerat från till 21. Vinster utdelas på 1, 1 1 och 21. Hur stor är sannolikheten att man vinner tre gånger i rad? Avrunda till tiondels procent. Sannolikheten för att basketspelaren Attila sätter sina straffkast är 0,7. Hans lag ligger under med ett poäng i slutet av en viktig match när laget fär tvä straffkast. Hur stor är sannolikheten att han missar båda och att laget därmed förlorar matchen? SANNOLil<HETSLÄRA O 7.2 sluä/pförsök FLERA SrEG 241

3 72OS Svenska spels Stryktipset kan man tippa resultatet i 13 stycken fotbollsmatcher. Man spelar på tre olika alternativ i varje match: vinst för hemmalaget, oavgjort resultat eller vinst för bortalaget. Om vi antar att sannolikheten för de olika alternativen är lika stora, vilken är då sannolikheten att få 13 rätt på stryktipset? 72OE Ett rouletthjul består av en fast skål med en roterande skiva med 37 facknumrerade från 0 till 36. Nollan är grön medan de följande facken är målade i växelvis svarta och röda färger. En kula snurras sedan i motsatt riktning till den roterande skivan och spelarna har en rad olika spelmöjligheter. Vinst delas ut om kulan stannar på ett alternativ som stämmer överens med det som spelaren satsat på. Täbellen visar antalet lodda i Stockholm stad ar 2008 fordelat på månad. Anta att det finns 25 elever i en framtida skolklass med barn fodda år Hur stor är då sannolikheten att inget barn i ldassen har fodelsedag i december? J an qali Februa ri Mars April Maj l,ni Augusti September 0l<to be r November December Hela året Antal levande födda r s0 1,177 1,20 11,57 1,1, s0 71,779 Du spelar poker och får fem kort i given. a) Beriikna sannolikheten att du far fem hj:irter. b) Beräkna sannolikheten att du får fem kort av samma farg (klover, spader, hjärter el1er ruter). ruevå ffi a) Vilken är sannolikheten att vinna om man satsat på endast ett nummer? b) Vilken är sannolikheten att vinna på samma nummer tre gånger i rad? c) Vilken är sannolikheten att vinna 4 gånger i rad, om man satsar på att kulan ska hamna i ett rött fack alla gångerna? 72O7 Om man får barn, så är sannolikheten för att få en pojke något större än sannolikheten för att få en flicka. Från statistiken över födslar i Sverige år 2009 så kan man se att 5 1,5 o/o av de fodda är pojkar. Vilken är sannolikheten att, om man fär fyrabarn, alla är flickor? Att slå Yatzy innebär afi fä samma resultat på alla tärningar. a) b) rdxvå s Hur stor är sannolikheten att du färyatzy på ett kast med fem tärningar? Har det någon betydelse om du kastar alla tärningar på en gång eller en i taget? Motivera tärningsspelet Craps kastas wå tärningar i tur och ordning av spelarna. Spelarna kan satsa på olika alternativa resultat under en omgång. a) Bestäm sannolikheten att alla spelare får tärningssumman sju om det är f,ra spelare som deltar i spelet? b) Bestäm sannolikheten att alla spelare får minst tärningssumman 9 om det är tre spelare? 242 sannol t(hetslära o 7.2 slumpförsöt< FLERA ste6

4 !- Beroende hcindelser.":::,iit' ri.;fi:,.:..+t;i: :rr'il.!?!-::.i r:. ajr : :.drir:/ L:rj{\t:jrY 'rl t! Träddiagram om vi har en påse med 2 vita och 3 svarta kulor och slumpmässigt drar två kulor i rad från påsen, så kommer sannolikheten för ett visst utfall vid den andra dragningen att bero på resultatet av den första dragningen. Man säger att dragningen av den andra kulan ar en beroende höndelse. Utfallet av det första forsöket påverkar alltså utfallet av det andra forsöket. ',.@_ ffit- ^@ ". vilken är sannolikheten att dra två vita kulor från en påse som innehåller 2 vita kulor och 3 svarta kulor? Trciddiagram För att bestämma sannolikheten för de möjliga utfallen, ritar vi ett träddiagram över de två dragningarna. träddiagrammet representerar de f,rra grenarna längst ned de möjliga utfallen, det vill säga "svart först, svart sedan", "svart först, vit sedan'l "vit först, svart sedan" samt "vit först, vit sedan'l Multiplikationsprincipen ger att sannolikheten att dra två vita kulor är: P(vit forst, vit sedan) = Sanno i <heten att dra en vit kula i 'o s a oraqn npen;- 7 efre som 5 v har 2 vita l<!lor av tota t 5 (u or Sanno i<heten att dra en vit (u a andra draqninqen 1 dt er e-ror vi då ha'l ri_ l.u a av Loldlt 4 (u o-. På samma sätt blir sannolikheterna för de andra utfallen: P(vit lörst, svart sedan) =:.t. - -j^ = P(svart först,vitsedan) =: '.-9= -' P(svartförst,svartsedan) :1?=: =?- '54 20 i0 Vill vi i stället ta reda på sannolikheten för händelsen "en vit och en svart kula" vid dragning av två kulor, så framgår det tydligt av träddiagrammet att grenarna med utfallen "vit först, svart sedan" och "svart först, vit sedan" ger en vit och en svart kula. Sannolikheten att få en vit och en svart kula bör alltså bli: P(en vit och en svart kula) = = P(vit först, svart sedan) + P(svart först, vit sedan) JJ _r l0 10 Vi adderar alltså sannolikheterna för de olika grenarna (utfallen) som tillsammans utgör den händelse som vi söker sannolikheten för SANNOLT<HETSLÄRA O 7.2 SLUtvtpFöRSö < FLERA STE6 243

5 M ed o ch utan ätertdggning Att dra en kula och sedan behålla den för att fortsätta och dra nya kulor u: burken kallas dragning utan återlöggning. De följande dragningarna blir i c.: här fallet beroende händelser. Att i stället dra en kula och sedan stoppa tillbaka kuian inför varje ny dragning kallas dragning med återläggning.denna situation är oftast enklare a:: behandla eftersom de olika dragningarna är oberoende händelser. Exrserp:e{r Vilken är sannolikheten att ur en kortlek dra två spader efter varandra om a) korten dras med återläggning b) korten dras utan återläggning Lösning: Låt händelsen A vara "spader vid forsta dragningen" och händelsen B vara "spader vid andra dragningen". Sannoiikheten för att dra spader vid bagge dragningarna ges av P(A och B) = P(A) ' P(B) a) Dragningen sker utan återläggning. Därför gäller att: P(A)- P(gr=-!-i båda fallen finns det 13 gynnsamma utfall av totalt 52 möjliga. Sannolikheten för spader två gånger i rad blir: P(Aoch B)=PtA) 'P{B)-l l=.' Svar: Vid dragning med återläggning, är sannolikheten att dra 1 två soader i rad : ' 16 b) Eftersom dragningen sker utan återläggning, så gäller att: ptat=! 4 1) P(B) = = 5 o-er,ssomia] Vr har nu 12 gynnsamma utfall (de återstående spaderkorten) av totalt 51 möjliga utfall (de återstående korten i leken) \VA i T2L2 ] t P(Ä och B\ - PtA).P{B) =t, *-,L Svar: Vid dragning utan återläggning är sannolikheten att dra l två spader i rad ' / 72]-3 a b c K la dr a b 244 sannolr<hetslära o 7.2 stul\lpforso< FLERA srec

6 "sja*m:p*å: Gör ett träddiagram och beräkna sannolikheten i procent för att barnen i en trebarnsfamilj består av två flickor och en pojke. vi antar att det är lika stor sannolikhet att man får en pojke som att man får en flicka. Lösning: De farglagda grenarna i träddiagrammet ger det efterfrågade resurtatet. Tre grenar med samma sannolikhet. P(2 flickor+ 1 pojkar) = 0,5. 0,5. 0,5 + 0,5. 0,5. 0,5 * 0,5. 0,5. 0,5 = = 3. 0,5. 0,5. 0,5 = 0,375 = 37,5 o/o Svar: Sannoiikheten att barnen i en trebarnsfa'rilj består av två flickor och en pojke är 37,5 o/o.,vå å "212 Tiäddiagrammet visar sannolikheten ör träff respektive miss för en skytt vid lerduveskytte. Hur stor är sannolikheten for Miss 0,3 i\4iss 0,3 Miss 0,3 a) 3 traffar b) 3 missar c) 2 träffar och en miss 7213 en påse finns 5 svarta och 3 röda kulor. Kulorna dras slumpmässigt ur påsen, utan att läggas tillbaka. Hur stor är sannolikheten att dra 2 svarta i rad om dragningen sker a) med återläggning b) utan årerläggning Träff O, en påse finns 3 gröna och 5 blå kulor. Man tar en kuia ur påsen slumpmässigt. När man har kor-rtrollerat färgen, läggs kulan tillbaka i påsen. En ny kula tas upp osv. Beräkna sannoiikheten for foljande händelser med hjälp av ett träddiagram: rue3få ä a) 3 blå kulor b) 3 gröna kulor c) 2 biå och 1 grön kula 7215 Eva passerar ett järnvägsspår på väg till och från arbetet varje dag. Järnvägen är ganska tralikerad och sannolikheten för att bommen ar nedfalld är 0,2. Beräkna sannolikheten att a) bommen är nedfälld både på väg till och från arbetet b) bommen är uppfälld båda gångerna c) bommen är uppfälld ena vägen och nedfälld den andra sannolt<hetslära o 7 2 srul\tpförsö< r FLERA srec 24S

7 7217 spelet Lotto gäller det att pricka in 7 olika nummer mellan och 35. Dragningen av numren sker utan återläggning. a) Hur stor är sannolikheten att få 7 rätt? b) Vilken skulle sannolikheten vara om dragningen i stället skedde med återläggning? Bilden visar en skiss av ett vägnät. Tie vägval görs slumpmässigt och man får inte köra tillbaka när ett val har gjorts. Beräkna sannolikheten för att man kör rakt igenom vägnätet på första försöket skidorientering finns det flera olika vägval till varje kontroll. Vid starten väljer en del fel väg och det gör även siqt några vid den stora (,,) stenen och vid sjön. På kartan ser du hur stor del av skidorienterarna som väljer de olika vägarna. a) Hur många av de 175 startande hittar kontrollen direkt? b) Hur många åker fel vid sjön? 7218 Grobarheten for en blommas frön är 75 o/o. Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten för att åtminstone två blommor ska gro om du har satt 3 frön. 72L9 byrålådan finns 9 svarta strumpor och 7 vita. Vad är sannolikheten att du får ett par med samma fdrg om du slumpvis väljer två strumpor? 722O Du spelar poker och har fått tre hjärter, en spader och en ldöver. Hur stor är sannolikheten att du tår färg, om du blter bort klövern och spadern mot två nya kort? 7221 en äggförpackning finns 5 okokta och 3 kokta ägg. Beräkna sannolikheten for att du, utan att kontrollera äggen, råkar ta a) 2 kokta ägg b) 3 okokta agg c) 2 okokta och ett kokt ägg 7222 Hur stor är sannolikheten att få varannan klave och varannan krona när man singlar slant 4 gånger? cssvå B 7224 Pä en konferens finns 320 engelsmän, amerikaner och 14 svenskar. Anta att du är en av svenskarna på konferensen och pratar med 3 personer. Hur stor är då sannolikheten att en av dem är svensk? 7225 larnal drar 3 kort ur en vanlig kortlek. Beräkna sannolikheten för att han får a) 3 ess b) 2 ess c) minst 1 ess 2{6 sarrrruorr<herslära o 7.2 slulrpförsö< r FLERA sreg

8 ::' ':.:1-/:f irr1] ::: :::i:r.rli:tri:.ir i t ^@ Atm nstone en vit Komplementhändelse En påse innehåller 4 vita kulor och 8 svarta kulor. Hur stor är sannolikheten att fä åtminstone en vit kula på f'ra försök, om man utan återläggning drar 4 kulor ur påsen? Vi beräknar sannolikheten genom att först titta på de möjliga utfallen av dragningarna: f OOCO Fyravita oooo ccoc COOC OCCC rrevita J oooo oooo OOOC OCCO OOOO OOCO rvåvita t cooo oooo OOOO OOOC Envit OOOO Fvra svarta Det är nte möjljgt att d re <t använda den klass s <a sannol <hetsdelinit onen, eftersom de ol l<a utfal en (fyra v ta tre vita osv.) nte har satrma sanno i <het De f'ra översta raderna bildar tillsammans händelsen "åtminstone en vit kula'i Händelsen "f,ra svarta kulor" är det enda ytterligare fallet. Tillsammans utgör dessa händelser hela utfallsrummet. Därför måste det gälla att: P(åtminstone en vit kula) + P(fyra svarta kulor) = 1. Man säger att händelserna kompletterar varandra eftersom de tillsammans utgör hela utfallsrummet. Händelsen "fyra svarta kulor" kalias därför komplementhändelse till handelsen "åtminstone en vit kula". Vi kan beräkna sannolikheten för händelsen "åtminstone en vit kula" genom att använda oss av att sannolikheten för komplementhändelsen "fl'ra svarta kulor" är mycket lättare att beräkna. P( g,ra svarta kulor ) - i. + * ^i = o, 'o P(åtminstone en vit kula) : - P(f.ra svarta kulor)) = - 0,14 = 0,86 Sannolikheten för att få åtminstone en vit kula är 0,86. Att använda sig av en händelses komplementhändelse är oftast lampligt vid fiågeställningar som innehåller formuleringen "åtminstone" eller "minst en av". K*avapåearaere*fu ff mdedss Om Ac är komplementhändelse till A gäller: P(A)+P(A9-1 Denna sats kan bevisas genom att man använder sig av regel 2 och 3 på sidan 221. Försök gärna att genomföra beviset på egen hand. sannolr<hetslära o 7.2 stun,rpförsö< FLERA sre[ 247

9 Fxempel; Beräkna sannolikheten för att summan blir minst 5 vid kast med två tärningar. Lösning: För att slippa beräkna sannolikheterna för att få summor från 5 till 12 och sedan addera dem, så använder vi komplementhändelsen "högst 4". P( minst5)= - P( högst4) Antaletqvrnsamma utfall för "högst 4" är 6: (1,1) (1,2) P(minst5) = - 9= r-1= 3=o,s:' ffl'(i"], i"j.?:ijlil 3666 Svar: Sannolikheten för att få minst 5 vid kast med två tärningar är 0,83. Exempel: Sannolikheten för att ett häftstift som kastas upp i luften landar med spetsen ned är 0,42 och sannolikheten för att det landar med spetsen upp är 0,58. Om man kastar häftstiftet 5 gånger i rad, vilken är då sannolikheten att häftstiftet hamnar med spetsen ned i åtminstone ett av kasten? P Om vi kallar handelsen "spetsen ned i åtminstone ett av fallen" för Ä så är komplementhändelsen, Äc, att häftstiftet hamnar med spetsen upp i samtliga fall. P(Äc) = 6,53s Eftersom summan av sannolikheterna för en händelse och dess komplementhändelse alltid är 1 så är P(A)+P(Äc)=1 Och alltså P(A) = - P(A1 =1-0,58s = 0,93 Svar: Sannolikheten för att häftstiftet hamnar med spetsen ned i åtminstone ett av fem kast är 0,93. TEts iltya 7U NTVÅ T 7226 Anja slår ett slag med en tärning. a) Vad är sannolikheten att hon får en 4:a? b) Vad dr sannolikheten att hon inte får en 4:a? 7227 Knut har köpt en påse med godisbilar. Det linns rosa, gröna och vita bilar. Han tar en godisbil utan att titta i påsen. Vad är komplementhändelsen till att han varken tar en rosa eller grön? 7228 Yllka är komplementhändelserna till följande händelser? a) Att tärningen ska visa högst fem prickar vid ett kast med en tärning. b) Att tärningen ska visa ett udda antal prickar vid ett kast med en tärning. c) Att få åtminstone en klave vid tjugo slantsinglingar i rad. d) Att inte få någon vinstlott om man köper fem lotter. Ova Or OFö OFö O Vir 2{8 sanrrrorr<herslärao7 2 slumpförsök TFLERA srec

10 '229 lannike är medlem i en konstförening. När månadens konstverk ska lottas ut ligger namnen på alla242 medlemmarna skrivna på papperslappar i en skå. Ordföranden drar en vinnare. Vad är sannolikheten att det inte är Jannike som vinner konstverket? Svara i decimalform med tre decimaler ett kylskåp finns det 24 burkar med läsk. Av dem är 10 stycken Cuba Co1a, 8 stycken Loranga, 4 stycken Portello och 2 stycken Trocadero. Hur stor är sannolikheten att tå åtminstone en Cuba Cola om man slumpmässigt plockar ut tre burkar med läsk från kylskåpet? 7230 Ammar gör två kast med en tärning. a) Beräkna sannolikheten för att han inte får någon 6:a. b) Beräkna sannolikheten för att han får åtminstone en 6:a Beråikna sannolikheten för att få åtminstone en krona, när man singlar slant frra gånger En tärning kastas tio gånger. Händelsen Ä är "ingen sexa på tio kast" och händelsen B är "åtminstone en sexa på tio kast'l Bestäm P(A) + P(B) Beräkna sannolikheten för att åtminstone ett av barnen i en trebarnsfamilj är en flicka. r''rsvå # 7234 Frän en påse med fyra vita kulor och två svarta kulor drar du slumpmässigt tre kulor. Vilken är sannolikheten att du drar åtminstone en svart kula a) om kulorna dras med återläggning 7236 Tvä tärningar kastas. Beräkna sannolikheten för att de visar olika antal prickar Ett bilmärke har i bilprovningens statistik visat sig ha vissa brister. 10 % har haft problem med bromsarna, 20 o/ohar haft problem med ljuset ä4ävå # och 25 % har haft problem med elsystemet. Beräkna sannolikheten för att en bil med det märket har åtminstone ett av felen en skogsdunge linns det 15 fågelbon med ungar och fågelmammor. Fågelmammorna tillbringar i genomsnitt i2 minuter vid boet för matning varje timme. Beräkna sannolikheten för att det finns åtminstone en mamma vid boet vid en slumpvis vald tidpunkt Ett mynt är preparerat så att det är dubbelt så sannolikt att det på två kast blir krona i bägge kasten, som att det blir något annat resultat. Beräkna sannolikheten att det blir krona efter ett kast. t b) om kulorna dras utan återläggning n å Vad innebär produktregeln? # vitka sanno[ikhetsproblem kan det underlätta att rita ett träddiagram? # Förklara med exempe begreppen beroende och oberoende händelse. f,j Förklara begreppen dragning med återläggning och dragning utan återläggning. # Vjd vilka sannoljkhetsberäkningar blir det enklare att använda komplementhändelse? SANNOL t<hetslära o 7.2 SLUMpFÖR5Öi< r rrraa SrrC 2{l