MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra
|
|
- Viktoria Samuelsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 1 MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för linjära avbildningar, speciellt kommer vi att gå genom teorin med material från olika kapitel av boken Jag skriver ner därför den här (icke finslippade) texten om bland annat, matrisalgebra, linjäravbildning, volymer och determinant 1 Linjär avbildning och matrisalgebra (Kap 2, Kap 31-33, [SL LinAlg]) Matrisalgebra och linjära avbildingar är egentligen samma sak Huvudmålet av kursen kan tolkas som tillämpningar av matrixalgebra på ekvationsystem Att studera matrisalgebra genom linjära avbildningar, dvs betrakta algebraiska beräkningar som geometriska operationer, är ett centralt tema i matematik; kort sagt, vill man omformulera diversa matematiska eller praktiska problem som ett geometriska problem Vi får därifrån intuition och hittar rätta verktyg! Några konkreta exempel har vi minsta-kvadrat-läsning (se Överbestämda system, Kap 56) och diagonalisering av symmetriska matris (se Kap 8) 11 Matrisalgebra (Kap 2) 1 Motivering Vektorekv Ax = b versus skalär ekvation ax = b Vi börjar med en omskrivning av ett system av två ekvationer med två variabler som en matrix ekvation Ax = b Säg (t ex i kursen Diskret Matte) att barnen lillebror A och storbror B har fått 18 kr resp 28 kr att köpa appelsiner (ap) och äpplen (äp) De ska köpa samma antal, säg x st, appelsiner och samma antal y st äpplen, lillebror A får köpa små äpplen/appelsiner och storbror B stora Pristabeln, per st, på en marknad ser ut så här, ap äp små 5 2 stora 8 3 Antalen x, y uppfyller då ett ekvationssystem { 5x + 2y = 18 8x + 3y = 28 För att kunna jämföra systemet med en skalär ekvation ax = b betecknar vi pristabeln som en matris 5 2 P = 8 3
2 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 2 och antalen x och y som en kolonnvektor likaväl summorna 18 och 28 som v = b = x, y Ekvationssystemet ska omskrivas som en kompakt form, en vektorekvation, P v = b Här har vi infört en operation, P v, multiplikationen av en matrix med en vektor 2 Vi kan lösa systemet här med en handberäkning, x = 2, y = 4, dvs v = uppfyller 4 P v = = = P v kan också betraktas som en linjärkombination av kolonner vektorerna i P, P v = =, dvs matrismultiplikationen P v är ingenting mer än en linjärkombination av kolonnvektorerna i P Eftersom en skalär ekvation ax = b kan lösas x = a 1 b (OBS! om a 0) vill vi försöka lösa en allmänn vektorekv Ax = b (med samman antal ekvationer som variabler) som x = A 1 b om A 1 existerar Vi kommer att utvecka en fullständig teori för vektorekv:n Ax = b av godtyckliga antal variabler och ekvationer; den kan kort sammanfattas som: en entydig lösn (speciellt om A 1 existerar så har den alltid en entydig lösning) Ax = b har olösbar lösbar med oändligt många lösningar Mer specifikt ska vi komma fram en metod för att avgöra vilket fall det blir och hur många fria variabler det finns när det är oändligt många lösningar 2 Koefficientmatriser Betrakta ekvsys { x 1 + 2x 2 = 5 3x 1 + 4x 2 = 6
3 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 3 Vi plockar upp koefficienterna som en matris, koefficientmatrisen 1 2 A = 3 4 En lösning (x 1, x 2 ) skall idenifieras som en vektor x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = systemet skall skrivas som Ax = b, b = Vi känner oss manade att lösa ekv:n med 5 = 5e e 2 x = A 1 b [ x1 x 2 ], och ekv Men vi behöver först se över reglerna innan vi börjar invertera matriser Vi påminner oss att addition/multiplication av tal uppfyller följande regler (a) a + 0 = a, a0 = 0, a1 = a (b) a(cx) = c(ax) (Konstanten c är fritt fram) (c) (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ax + ay (Distributiviteten) 3 Matrismultiplikation vs linjärkombination Vi behandlar 2 2-matriser - allmänna matriser är egentligen samma x1 Skriv A som två kolonnvektorer A = [a 1 a 2 ] Låt x = Ax = [a 1 a 2 ] som är linjär kombination av a 1, a 2 Ex eller = 7 = [ x1 x 2 x 2 ] = x 1 a 1 + x 2 a 2 (1) = = Den sista är på något sätt snabbare att beräkna, medan den första är begreppsmässigt bättre Matriser som motsvarande 0, 1 blir noll-matriser 0, och identitetmatrisen 1 0 I 2 = I = 0 1 Räkneregler för matriser är exakt samma som tal, så längre man behåller ordningen under multiplikationen - bortsett från skalärmultiplikation som är fritt fram
4 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 4 4 Transponant Låt r vara en radvektor r = [c d] Transponentet r t är kolonnvektorn r t = c d (Omvänt blir transponentet k t av en kolonnvektor k en radvektor) OBS! Matrismultiplikation av radvektor och kolonnvektor vs Inreprodukt En radvektor r multiplicerad med en kolonnvektor k blir ett tal, och är också inreprodukten rk = [r 1 r 2 ] [ k1 k 2 ] = r 1 k 1 + r 2 k 2 = r t k ( här är inreprodukten av kolonnvektorer) Detta kommer att användas av i minst-kvadrat-lösning Transponentet A t av en m n-matrix A definieras som denna n m-matrix vars j:te kolonnen är den j : te raden i A transponerad, dvs A t = [r t 1r t 2 r t m], om A är skriven som m rader (av rad-n-vektorer) r 1 A = r 2 r m (Alternativt: A t är n stycken rad-m-vektorer om A är n stycken kolonn-m-vektorer) Vi gör några små beräkningar av matriser Ex [1 2] 4 = 14, 5 (Se du någon samband mellan resultaten?) [1 1 1] = [1 2] = (förlängning) 4 5 1/4 5/12 = I /3 2 (invertering)
5 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 5 12 Linjära avbildningar (Kap [SL:LinAlg] 5 Påminnelser om linjära funktioner Den enklaste klassen av funktioner är linjära funktioner i en variabel x, dvs, f(x) = ax (eller mer allmänna affina funktioner f(x) = ax + b) Linjära funktioner av två variabler är av form z = f(x, y) = a 1 x + a 2 y Denna kan vi betrakta som en avbildning från planet R 2 av vektorer xe 1 + ye 2 till reella linjen R Definitionsmängden här är R 2 av (x, y) medan värdemängden R av z Även om det är en funktion f : R 2 R 2 från plan till plan är det bra att skilja det ena R 2 från det andra R 2 (Mer viktigt är det i praktiken Se ex 1) Funktionerna ax eller a 1 x 1 + a 2 x 2 är ex på linjära skalära funktioner Vi tittar nu vektorella funktioner av flera variabler, dvs funktioner som har vektorer som värden Given en matris A, till ex 1 2 A = 3 4 så kan vi betrakta den linjära avbildningen x1 y1 x1 + 2 f : x = = y = Ax = x 2 y 2 3x 1 + 4x 2 A kallas då matrisen till f, och betecknas f = f A 6 Räknelagarna för matrisprodukt Av vs linjära egenskaper för f Räknereglerna för matrisprodukten Av kan omformuleras som egenskaper för f : v Av: f(cv) = cf(v), f(u + v) = f(u) + f(v) Sammanfattning: Varje 2 2- matris A definierar en linjär avbildning f A : R 2 R 2 Omvänt har vi följande Sats Varje linjär avbildning f : R 2 R 2 är av formen f A, f = f A, för någon 2 2-matris A som bestäms av A = [f(e 1 ) f(e 2 )] Se senare ex för att se hur man bestämmer matriser för lin avb 13 Determinant Area Volym 7 Geometriska tolkningar av inreprodukt och korsprodukt Geometriska tolkningar av u v och u v kan grovt sammanfattas så här Inreprodukt u v Projektionen av u på v Korsprodukt u v Area av parallellogram spant av u och v samt medurs-motursorienteringen av paret (u, v) (i förhållande till en fix orientering i planet)
6 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 6 Vi kommer att introducera determinanten det(a) för en 3x3-matris som beräknar volymen på en parallellopiped och som omfattar båda inreprodukt och korsprodukt Påminn om korsprodukten: u v definieras som vektorn sådan att (i) u v är ortogonal mot u och v, (ii) den minsta vridning (dvs mellan 0, π) med högra handen från u till v ger tummen siktad åt u v, (iii) Längden av u v är arean av parallellogramen med sidorna u och v Ex Betrakta två vektorer u 1 u = u 1 e 1 +u 2 e 2 = u 1 e 1 +u 2 e 2 +0e 3 = u 2, v = v 1 e 1 +v 2 e 2 = v 1 e 1 +v 2 e 2 +0e 3 = v i xy-planet i xyz-rummet Korsprodukten u v är då parallell med e 3 Mer precist u v = 0 0 = (u 1 v 2 u 2 v 1 )e 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Enligt definitionen är u 1 v 2 u 2 v 1, bortsett från tecknet, arean för parallellogramen spant av u, v; den är positiv om (u, v) är moturs och negativ medurs Dvs, talet u 1 v 2 u 2 v 1 beräknar då arean med orientering relativ den given orientering på xy-planet Vi har sett en teknik i matematik där vi kan betrakta ett två-dimensionellt problem i tredimensioner 1 Ett fågelperspektiv 8 Determinant Låt nu vara en 2 matris a b A = c d Def Determinanten det(a) av A definieras som det(a) = ad bc Betrakta A = [u, v] som två ordnade vektorer Enligt beräkningen ovan på korsprodukten (av ũ = u + 0e 3, ṽ = v + 0e 3, dvs u, v lyftades till tre-dim) får följande Sats (Universumet är planet R 2 )det(a) är arean Area(P ) av parallellogramen P som spänns upp av u, v, om paret (u, v) är moturs, det(a) = Area(P ); den är negativ av Area(P ) om paret är medurs, det(a) = Area(P ) 1 Ni vet säkert lite grann om Einsteins relativitetsteori som säger att vi lever i 4-dim iställt för 3? v 1
7 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 7 9 Volym Låt u, v, w vara tre givna vektorer och låt P vara parallellopepiden som de spänner upp (Se figuren 11) Vi söker nu lösningarna till följande fråga Hur beräknar vi volymen av parallellopepiden P mha u, v, w? Vi antar för tillfället att (u, v, w) är höger-hand-orienterad, dvs positiv orienterad Påminn Volym av en parallellopipeden Vol(P) = Basarean Höjden (2) Beteckna parallellogramen som spänns upp av u, v, dvs basen till parallellopepiden sett från w s spets, som B Vol(P) = Area(B) Höjden (3) Låt Enligt (i)-(iii) ovan är längden av n är arean och n är en normalvektor till basen B n := u v (4) Area(B) = n (5) Höjden är då längden av orthgonalprojektionen, säg h, av w på normallinjen Av [Kap 13, Sats 120] i textboken, vet vi Nu samlar vi ihop (3)-(6) och får h = n w n w n, Höjden = h = n 2 n n w Vol(P) = Area(B) Höjden = n n Enligt vårt antangandet av orienteringen blir n w postiv, dvs V = V ol(p) = (u v) w = n w = (u v) w (Alternativt: Beteckna vinkeln mellan n och w som α Då är V = n w cos α = n w = (u v) w) Så får vi Sats Volymen av parallellopepiden P som spänns upp av u, v, w är om de är positivt orienterade, annans blir V ol(p) = (u v) w V ol(p) = (u v) w (6)
8 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 8 Enligt formeln för korsprodukten i koordinater får vi u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 och (u v) w = (u 2 v 3 u 3 v 2 )w 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )w 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )w 3 = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Detta definierar vi som determinant för matrisen och kan beräknas med s k Sarrus regel Def A = [u v w] det(a) = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Satsen ovan kan omformuleras som om tripeln (u v w) är positivt orienterade Vol(P) = det[u v w] Anmärkning Om A är en övertriangulär matris a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a a 33 då är produkten av diagonalelementen det(a) = a 22 a 22 a Små beräkningar av det(a) mha radreducering 10 Determinant mha radreducering Radreducering, eller Gauss elliminering, är en metod att lös ekvsys Den kan också använda för att beräkna determinanter Det är samma princip för alla kvadratiska matriser, så beskriver jag här bara för 3 3-matriser För allmänna större matriser, säg 5 5, tar det mycket tid med handberäkningen om de inte har andra specialla egenskaper Man kan använda dator förstås Observera att determianten det(a) för n n-matris A (n = 2, 3) har följande egenskaper:
9 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 9 (1) det(a) = det(a t ) Detta medförs av definitionen Man kan då betrakta A som en kolonn av radvektorer (iställt som kolonnvektorer) om man vill (2) den byter tecken efter omkastning av två rader (eller kolonn), ty att orientering av motsvarance parallellogramen (n = 2) och parallellopepiden (n = 3) ändras, (3) om två rader är det samma så blir den noll, ty det blir en degenererad parallellogramen (dvs ett segment n = 2) med noll area och degenerad parallellopepiden (en kallapad sådan, n = 3) med noll volym (4) som en funktion av tre kolonnvektorer är determinant en linjär funktion i varje kolonn (medan andra kolonner är fasta) (Kort argument för n = 2: Med en fixerad basen u är arean av parallellogramen uv linjärt beroende på höjden, vilken är sin tur linjär beroende på den andra sida v) (3) och (4) tillsammans medför att radoperationen c (i:te raden) + (j:te raden) blir den nya (j:te raden) förändrar ej det(a) Så kan vi genom några radoperationer överföra A till en övertriangulär matris vars determiant är produkt av diagonalen Ex Vi utför radreducering på A = ( 4)rad1+rad2,( 7)rad1+rad3, så får vi det(a) = 3 Fråga/Övn Kan du argumentera utan beräkning att det = 0? Uppgifter med lösning 11 Uppgifter Ex (a) Låt f vara speglingen map linjen L: y = 2x i planet Beräkna matrisen för f (b) I rummet representerar y = 2x + 3z ett plan P Beräkna matrisen för speglingen map P i rummet 2 Lsn: (a) Linjen L: y = 2x kan skrivas som 2x+y = 0 En normal till linjen är n = 1 v1 Speglingen för en godtycklig vektor v = är (se bilden ner) v 2 f(v) = v backad två steg längs normalen
10 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 10 dvi Så att Svar: Matrisen är f(v) = v 2 v n n n n = f(e 1 ) = 1 15 [ v1 v 2 ] 2 2v 1 + v 2 5 3, f(e 4 2 ) = (Anmärkning: Man kan också använda en inriktningsvektor, till ex u =, till linjen 2 och beräkna speglingen mha projektionen på linjen iställt Se [SL, Prop 125]) 2 (b) I rummet har planet y = 2x + 3z, dvs 2x + y 3z = 0 en normal n = 1 3 Speglingen blir det samma som i två dimension, dvs backad två steg längs normalen, f(v) = v 2 v n v 1 n n n = v 2 2 2v v 2 3v v 3 3 Bilderna av enhetsvektorerna blir f(e 1 ) = 1 6 4, f(e 2 ) = , f(e 2 ) = och matrisen för speglingen är / Fråga/Övning Kan du bevisa med geometrisk argument, utan beräkningar, att matriserna A ovan uppfyller A 2 = I, det(a) = 1
11 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 11 Parallellopepiden spännd upp av u, v, w w v B u n
TMV206-VT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 TMV206-VT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för linjära
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merFöreläsn. anteckn. HT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9
Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. HT1. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9 Det 4:de huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merTMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra
TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merVeckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT Vi inleder den tredje veckan med att gå igenom begreppen determinant och invers matris som vi inte hann med i vecka, se veckoblad för övningar etc på dessa avsnitt. Därefter
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merFöreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9
Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Det tredje huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merStora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merDetta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Läs merFöreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt
Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs mer2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs mer