tid

Transkript

1 Kapitel 4 Frekvensanalys 4.1 Allm nt En av de viktigaste signaltyperna vid studiet av dynamiska system r de periodiska sinusformade signalerna av formen yètè =Asinè!t + 'è è4.1è Orsakerna till att de sinusformade signalerna har en alldeles speciell roll inom s v l signalbehandling som reglerteknik beror av f ljande fakta. æ Det visar sig att om insignalen till ett linj rt dynamiskt system G r en sinusformad signal uètè = sinè!tè, s r utsignalen y = Gu i station rtillst ndet èdvs efter att inverkan av begynnelsetillst ndet d tt utè ocks en sinusformad signal med samma frekvens som insignalen, men en amplitud och fas som beror av det dynamiska systemet, dvs en signal av formen yètè =A G è!è sinè!t + ' G è!èè è4.2è Figurerna 4.1 och 4.2 sinusformade insignaler och utsignaler f r ett system av f rsta ordningen. Vi ser att utsignalen r i b da fallen efter insignalen i fas, och att signalen i çgur 4.2 d mpas mera n signalen i çgur 4.1. æ En generell signal yètè kan uttryckas i form av sinus- och cosinus signaler. Utvecklingen av en signal i frekvenskomponenter èsinus- och cosinusfunktionerè kallas frekvensutveckling. Exempel 4.1 Betrakta temperaturen i ett hus p sommaren. Utetemperaturen varierar periodisk under dygnet och kan approximativt beskrivas som en sinusformad signal. Hur varierar temperaturen inne i huset under dygnet j mf rt med utetemperaturen? Med en modell av det dynamiska systemet som beskriver sambandet mellan utetemperatur och innetemperatur, kan vi best mma f rloppet hos innetemperaturen. Fr n ovan n mnda fakta f ljer att inverkan hos ett linj rt dynamiskt system p en signal kan p ett kompakt och bekv mt s tt beskrivas med hj lp av den inverkan systemet har p periodiska sinusfunktioner. Detta ligger till grund f r çertalet metoder inom signalbehandling 36

2 1.5 u y tid Figur 4.1: Sinusformad insignal uètè = sinè3tè och utsignalen hos systemet dyètè=dt + yètè = uètè. ès som çltersyntes m.m.è reglerkretsar. samt f r evalueringen av s v l prestandan som stabiliteten hos æ I signalbehandling kan signalers frekvenskomponenter utnyttjas f r att separera signalkomponenter med olika frekvensinneh ll. L t t.ex. en signal sètè vara korrumperad med brus eètè s att den mottagna signalen ges av yètè =sètè+eètè è4.3è F r att rekonstruera signalen sètè ur den uppm tta signalen yètè b r man utnyttja n gon karakteristisk egenskap som tskiljer sètè och eètè. Typiskt r, att frekvenskomponenterna hos den informationsb rande signalen sètè r begr nsade till l ga frekvenser, medan bruset eètè r mera h gfrekvent, se çgur 4.3. Detta kan utnyttjas f r att konstruera ett l gpassçlter F LP èpè som l ter l ga frekvenser passera och sp rrar h ga frekvenser, s att F LP èpèyètè =F LP èpèësètè +eètèë = F LP èpèsètè +F LP èpèeètèè ç sètè è4.4è Konstruktionen av ett dylikt çlter r enkelt eftersom ett linj rt dynamiskt systems inverkan p de olika frekvenskomponenterna kan uttryckas i en mycket kompakt form. æ I reglertekniken r frekvensanalys viktig vid evaluering av reglerkretsars prestanda. Man vet t.ex. att m tbrus i typiska fall har h gfrekventa komponenter èjfr çgur 4.3è, medan l ngsamt varierande st rningar èstegst rningar m.m.è best r av l gfrekventa komponenter. Det r f r viktigt att regulatorn planeras s att god d mpning f s i de frekvensomr den st rningarna çnns. æ Frekvensanalys r ocks ett mycket bekv mt hj lpmedel vid unders kningen av stabiliteten hos en reglerkrets. Reglerkretsen i çgur 2.11 r s ledes instabil, om det çnns 37

3 1.5 u y tid Figur 4.2: Sinusformad insignal uètè = sinè6tè och utsignalen hos systemet dyètè=dt + yètè = uètè. n gon frekvens som f rst rker sig sj lv d signalen g r runt kretsen.stabiliteten hos terkopplade system kommer att diskuteras n rmare senare s e tid Figur 4.3: L gfrekvent signal sètè och h grfrekvent brus eètè. 4.2 Sinusformade signaler Innan vi unders ker frekvenssvaret hos linj ra system b r vi behandla de karakteristiska egenskaperna hos sinusformade signaler. Vi kan skriva en generell sinusformad signal i formen y sin ètè =Asinè!t + 'è è4.5è 38

4 Signalen karakteriseras av de tre parametrarna A,! och '. æ Sv ngningens frekvens best ms av vinkelfrekvensen! èradianerèsekundè. Signalen r periodisk med perioden T = 2ç=! èsekunderè. Signalens frekvens ges av f =!=è2çè èsv ngningar per sekund eller Hertz èhzèè. æ Vinkeln ' r signalens fasf rskjutning i f rh llande till signalen i ekvation è4.1è. æ Signalens storlek ges av dess amplitud A èé è.,a ç y sin ètè ç A. Signalen antar v rden i intervallet Fr n de trigonometriska sambanden sinèæ + æè = sinèæè cosèæè + cosèæè sinèæè cosèæ + æè = cosèæè cosèæè, sinèæè sinèæè è4.6è è4.7è f ljer att è4.5è kan skrivas i form av en sinuskomponent och en cosinuskomponent enligt y sin ètè =A sin sinè!tè +A cos cosè!tè è4.8è A sin = A cosè'è A cos = A sinè'è è4.9è è4.1è Omv nt g ller att è4.8è kan skrivas i form av en fasf rskjuten sinusfunktion enligt è4.5è, q A = A 2 sin + A2 cos è4.11è ç ç Acos ' = arctan è4.12è P analogt s tt f ljer att cosinusfunktionen A sin y cos ètè =Bcosè!t + 'è è4.13è kan skrivas i form av en sinuskomponent och en cosinuskomponent enligt y cos ètè =B sin sinè!tè +B cos cosè!tè è4.14è B sin =,B sinè'è B cos = B cosè'è è4.15è è4.16è Omv nt g ller att è4.14è kan skrivas i form av en fasf rskjuten cosinusfunktion enligt è4.13è, q B = B 2 sin + B2 cos è4.17è ç ç Bsin ' =, arctan è4.18è B cos 39

5 4.3 Frekvenssvaret hos linj ra dynamiska system Vi betraktar nu utsignalen hos ett linj rt dynamiskt system G som beskrivs av diçerentialekvationen è3.2è, d insignalen r den sinusformade signalen uètè = sinè!tè è4.19è Eftersom d dt sinè!t + 'è =!cosè!t + 'è; d 2 dt 2 sinè!t + 'è =,!2 sinè!t + 'è;::: è4.2è har vi att diçerentieringar av en sinusformad signal endast generar nya sinusformade signaler med samma frekvens!. Det f ljer att l sningen till diçerentialekvationen i det station ra fallet èefter att inverkan av begynnelsetillst nd kan f rsummasè ocks r en sinusformad funktion, som vi helt generellt kan skriva i formen yètè =A G è!è sinè!t + ' G è!èè = A sin è!è sinè!tè +A cos è!è cosè!tè è4.21è amplituden A G è!è och fasf rskjutningen ' G è!è best ms av det dynamiska systemet, och koeçcienterna A sin è!è och A cos è!è ges av è4.9è och è4.1è. Vi kan enkelt best mma dessa koeçcienter direkt ur diçerentialekvationen. F r att illustrera metodiken skall vi f rst betrakta ett system av f rsta ordningen. Exempel 4.2 Betrakta ett system av f rsta ordningen som beskrivs av diçerentialekvationen T dyètè dt + yètè =Kuètè è4.22è Om insignalen r uètè = sinè!tè vet vi allts, att utsignalen har formen yètè =A sin è!è sinè!tè +A cos è!è cosè!tè è4.23è koeçcienterna A sin è!è och A cos è!è best ms av systemet. F r att best mma dessa koefçcienter ins tts è4.23è i diçerentialekvationen. Eftersom dyètè dt = A sin è!è! cosè!tè, A cos è!è! sinè!tè è4.24è ger ins ttning i è4.23è: ëa sin è!è, TA cos è!è!ë sinè!tè +ëta sin! + A cos è!èë cosè!tè =Ksinè!tè è4.25è D sambandet g ller f r alla t, f s att koeçcienterna A sin è!è och A cos è!è skall satisçera ekvationerna A sin è!è, T!A cos è!è = K T!A sin è!è +A cos è!è = è4.26è è4.27è 4

6 Denna ekvation har den entydiga l sningen K A sin è!è =! 2 T 2 +1 A cos è!è =,!TK! 2 T 2 +1 è4.28è è4.29è Utsignalen fr n systemet è4.22è d insignalen r en sinusfunktion ges s ledes av è4.23è, koeçcienterna ges av è4.28è och è4.29è. Fr n è4.11è och è4.12è f ljer att utsignalen kan karakteriseras med hj lp av en amplitud och fasf rskjutning i formen yètè =A G è!è sinè!t + ' G è!èè è4.3è A G è!è = ' G è!è = arctan q A 2 sin è!è +A2 cos è!è = ç Acos A sin ç K p!2 T 2 +1 è4.31è =, arctanè!t è è4.32è Storheten A G è!è kallas systemets f rst rkning eller amplitudf rh llande och ' G è!è dess fasf rskjutning. Tillsammans deçnierar dessa systemets frekvenssvar, dvs hur systemet p verkar sinusformade insignaler av olika frekvenser. Frekvenssvaret hos ett f rsta ordningens system illustreras graçskt i çgur 4.4. Ett dylikt diagram, som ger f rst rkningen och fasf rskjutningen som funktioner av frekvensen!, kallas Bode-diagram. Vi ser ur çgur 4.4 att f rst rkningen minskar monotont med kande frekvens. L ga frekvenser è! éé1=t è p verkas endast litet: f rst rkningen r konstant ç K och fasf rskjutningen liten. F r h ga frekvenser è! éé 1=T è r d mpningen stor. Ett f rsta ordningens system fungerar s ledes som ett l gpassçlter. Fasf rskjutningen hos ett system av f rsta ordningen r negativ f r alla frekvenser, dvs utsignalen r efter i fas j mf rt med insignalen, och minskar monotont fr n vid! =till,9 æ vid h ga frekvenser. Proceduren i exempel 4.2 kan generaliseras till system av h gre ordning. Substitution av insignalen uètè = sinè!tè och uttrycket è4.23è f r yètè i diçerentialekvationen è3.2è och evaluering av derivatorna ger ett samband av formen ëu 11 A sin è!è +u 12 A cos è!èë sinè!tè +ëu 21 A sin + u 22 A cos è!èë cosè!tè =v 1 sinè!tè +v 2 cosè!tè è4.33è koeçcienterna u 11 ;u 12 ;u 21 ;u 22 ;v 1 och v 2 beror av diçerentialekvationen. Eftersom sambandet è4.33è g ller f r alla t, f ljer det att koeçcienterna A sin è!è och A cos è!è satisçerar ekvationssystemet u 11 A sin è!è +u 12 A cos è!è = v 1 u 21 A sin è!è +u 22 A cos è!è = v 2 è4.34è è4.35è Koeçcienterna kan sedan l sas och motsvarande f rst rkning och fasf rskjutning kan best mmas ur sambanden è4.11è och è4.12è. 41

7 1.8 Förstärkning Fasförskjuting Frekvens Figur 4.4: Bode-diagram, som illustrerar f rst rkningen och fasf rskjutningen hos systemet dyètè=dt + yètè =uètè. Frekvenssvaret hos en d dtid Frekvenssvaret hos en en ren tidsf rdr jning r speciellt enkelt. F r insignalen uètè = sinè!tè ges den tidsf rdr jda utsignalen av yètè =uèt,lè = sinè!t,!lè è4.36è L r d dtiden. Det f ljer att f rst rkning och fasf rskjutning hos en d dtid ges av Aè!è = 1 'è!è =,!L è4.37è è4.38è F rst rkningen r allts konstant è=1è, medan fasf rskjutningen beror linj rt av!, dvs frekvenserna fasf rskjuts s att utsignalen r efter insignalen i fas och fasf rskjutningens storlek kar linj rt med frekvensen. Anm rkning 4.1 ven om vi ovan beskrivit insignalen med hj lp av en sinusfunktion, r det klart att insignalen uètè = cosè!tè f rst rks och fasf rskjuts p exakt samma s tt som insignalen è4.1è. Detta f ljer av att sinus- och cosinusfunktionerna r identiska s n r som p en fasf rskutning av storleken ç=2, ty cosè!tè = sinè!t + ç=2è. 4.4 Frekvenssvaret hos seriekopplade system En viktig konsekvens av den enkla formen hos frekvenssvaret f r linj ra dynamiska system r att frekvenssvaret hos seriekopplade system f r en speciellt enkel form. Betrakta en seriekoppling av systemet G 1 f ljd av systemet G 2, s att utsignalen kan uttryckas med hj lp av verf ringsoperatorerna enligt yètè =G 2 èpèg 1 èpèuètè è4.39è 42

8 F r den sinusformade insignalen uètè = sinè!tè g ller att utsignalen y 1 ètè fr n det f rsta systemet r y 1 ètè =A G1 è!è sinè!t + ' G1 è!èè è4.4è A G1 è!è och ' G1 è!è anger f rst rkningen och fasf rskjutningen hos G 1. D y 1 r insignal till det andra systemet G 2 f r den en ytterligare f rst rkning och fasf rskjutning, s att utsignalen fr n G 2 ges av yètè = A G2 è!èa G1 è!è sinè!t + ' G1 è!è +' G2 è!èè = A G1 G 2 è!è sinè!t + ' G1 G 2 è!èè è4.41è A G1 G 2 è!è = A G1 è!èa G2 è!è ' G1 G 2 è!è = ' G1 è!è +' G2 è!è è4.42è è4.43è Den totala f rst rkningen r s ledes produkten av de enskilda f rst rkningarna och den totala fasf rskjutningen r summan av de enskilda fasf rskjutningarna. Observera att motsvarande enkla samband inte g ller f r andra signaler. S ledes kan t.ex. stegsvaret hos seriekopplade system inte p n got enkelt s tt ber knas ur de enskilda systemens stegsvar. 4.5 Samband mellan frekvenssvar och verf ringsoperatorn ven om frekvenssvaret hos linj ra dynamiska system kan ber knas med den ovan beskrivna metoden, r den inte speciellt bekv m, eftersom proceduren inte ger n got enkelt explicit uttryck f r frekvenssvaret. Man brukar f r f redra ett alternativt s tt som g r det m jligt att uttrycka frekvenssvaret èf rst rkning och fasf rskjutningè explicit som funktion av systemets verf ringsoperator. Det pris man m ste betala f r denna f renkling r en n got mera abstrakt beskrivning av frekvenssvaret i form av komplexv rda signaler. Vi betraktar s ledes den komplexv rda signalen u e ètè = cosè!tè + j sinè!tè è4.44è j anger det imagin ra talet j= p,1. D den komplexv rda sinusformade signalen è4.44è r insignal till ett linj rt dynamiskt system G p verkar systemet s v l den reella komponenten cosè!tè som den imagin ra komponenten sinè!tè, s att b da komponenterna f rst rks med faktorn A G è!è och fasf rskjuts med vinkeln ' G è!è. Utsignalen r h rvid y e ètè =A G è!è cosè!t + ' G è!èè + ja G è!è sinè!t + ' G è!èè è4.45è De komplexv rda signalerna è4.44è, è4.45è r speciellt valda s att deras tidsderivata f r en s rskilt enkel form. Vi har n mligen d ëcosè!t + 'è + j sinè!t + 'èë =,! sinè!t + 'è +j!cosè!t + 'è dt = j!ëcosè!t + 'è + j sinè!t + 'èë è4.46è 43

9 Im 6 j sin ç ç æ* cos ç e jç = cos ç + j sin ç - Re Figur 4.5: Den komplexa exponentialfunktionen i det komplexa talplanet. Det f ljer att diçerentiering av signaler av typen è4.44è, è4.45è motsvarar multiplikation av signalen med j!, s att d dt u eètè = j!u e ètè d dt y eètè = j!y e ètè è4.47è è4.48è Vi kan notera att den komplexv rda signalen u e ètè i è4.44è k nns igen som den komplexa exponentialfunktionen e j!t,ty vi har att e jç = cosèçè +jsinèçè è4.49è Detta samband kan visas t.ex. genom en Taylor-serieutveckling av den komplexa exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna i è4.49è. Figur 4.5 illustrerar den komplexa exponentialfunktionen i det komplexa talplanet. Fr n sambandet è4.49è f ljer è4.46è direkt, eftersom d dt ejè!t+'è =j!e jè!t+'è è4.5è P grund av sambandet è4.49è kommer vi h refter ocks att beteckna de komplexv rda signalerna è4.44è och è4.45è kompakt med hj lp av den komplexa exponentialfunktionen, dvs u e ètè = e j!t y e ètè = A G è!èe jè!t+' Gè!èè è4.51è è4.52è Betrakta nu systemet som beskrivs av diçerentialekvationen è3.2è. Vi l ter insignalen vara den komplexv rda signalen è4.51è, varvid utsignalen r en signal av formen è4.52è. 44

10 F r att best mma f rst rkningen A G è!è och fasf rskjutningen ' G è!è ins tts uttrycken i systemekvationen è3.2è: è! d n dt n + a d n,1 1 dt n,1 + æææ+a d n,1 dt + a d n y e ètè = çb m ç dt m + æææ+b d m,1 dt + b m u e ètè è4.53è Eftersom diçerentiering av dekomplexa exponentialfunktionerna r ekvivalent med multiplikation med faktorn j!, f r è4.53è formen ç ç çèj!è n + a 1 èj!è n,1 + æææ+a n,1 èj!è +a n y e ètè= çb èj!è m + æææ+b m,1 èj!è +b m u e ètè eller, med inf rande av polynomen è3.8è och è3.9è, è4.54è Aèj!èy e ètè =Bèj!èu e ètè è4.55è vilket ger y e ètè = Bèj!è Aèj!è u eètè =Gèj!èu e ètè è4.56è verf ringsfunktionen Gèpè = Bèpè=Aèpè inf rts enligt è3.12è. Sambandet è4.56è uttrycker f rst rkningen A G è!è och fasf rskjutningen ' G è!è hos utsignalen y e ètè med hj lp av verf ringsfunktionen Gèpè. F r att f explicita uttryck f r dessa storheter kan vi notera att Gèj!è, dvs verf ringsfunktionen evaluerad f r p =j!, r ett komplext tal, som vi kan skriva i formen Gèj!è =Rè!è+jIè!è è4.57è Rè!è r den reella komponenten och Iè!è r den imagin ra komponenten. Se çgur 4.6. D g ller enligt è4.56è, y e ètè = Gèj!èu e ètè = Gèj!èe j!t = ërè!è +jiè!èëëcosè!tè + j sinè!tèë = y reell ètè +jy imag ètè è4.58è y reell ètè =,Iè!è sinè!tè +Rè!è cosè!tè y imag ètè = Rè!è sinè!tè +Iè!è cosè!tè è4.59è è4.6è En j mf relse med è4.17è, è4.18è och è4.11è, è4.12è visar att y reell ètè och y imag ètè kan uttryckas med hj lp av en amplitud och fasf rskjutning enligt y reell ètè = A G è!è cosè!t + ' G è!èè y imag ètè = A G è!è sinè!t + ' G è!èè q A G è!è = Rè!è 2 + Iè!è 2 ç ç Iè!è ' G è!è = arctan Rè!è è4.61è è4.62è è4.63è è4.64è 45

11 Im 6 jiè!è jgèj!èj 'è!è æ* Gèj!è =Rè!è+jIè!è Rè!è - Re Figur 4.6: Det komplexa talet Gèj!è =Rè!è+jIè!èi det komplexa talplanet. Uttrycken è4.63è och è4.64è k nns igen som absoluta beloppet jgèj!èj respektive argumentet arg Gèç!è èdvs vinkeln med reella talaxelnè hos det komplexa talet Gèj!è = Rè!è + jiè!è. Vi har allts f tt f ljande resultat, som uttrycker frekvenssvaret hos ett linj rt dynamiskt system explicit som funktion av systemets verf ringsoperator. Frekvenssvaret hos ett linj rt system. Utsignalen fr n ett linj rt system med verf ringsoperatorn Gèpè f r den sinusformade insignalen uètè = sinè!tè ges av yètè =A G è!è sinè!t + ' G è!èè f rst rkningen ges av verf ringsoperatorns absoluta belopp A G è!è =jgèj!èj = q Rè!è 2 + Iè!è 2 och fasf rskjutningen ges av verf ringsoperatorns argument 'è!è = arg Gèj!è = arctan ç ç Iè!è Rè!è è4.65è è4.66è è4.67è Vi skall illustrera de ovan givna uttrycken f r ett system av f rsta ordningen samt f r en d dtid. Problem 4.1 H rled frekvenssvaret i ekvationerna è4.31è och è4.32è f r ett system av f rsta ordningen med hj lp av uttrycken è4.66è och è4.67è. 46

12 Frekvenssvaret hos en d dtid Vi skall nnu veriçera att sambanden è4.66è och è4.67è ven g ller f r en tidsf rdr jning. I avsnitt hade vi att en ren d dtid av l ngden L har verf ringsoperatorn G L èpè =e,lp Vi har s ledes q jg L èj!èj = je,j!l j = æ cosè,!lè + j sinè,!lèæ = cos 2 è,!lè + sin 2 è,!lè =1 è4.68è è4.69è och h i ç ç arg G L èj!è = arg e,j!l sinè,!lè = arg cosè,!lè +jsinè,!lè = arctan cosè,!lè = arctan ètanè,!lèè =,!L è4.7è Detta verensst mmer med de tidigare h rledda uttrycken è4.37è, è4.38è f r f rst rkningen och fasf rskjutningen hos en d dtid. 47