Exempelsamling i kvantummekanik. Tommy Ohlsson

Transkript

1 Exempelsamling i kvantummekanik Tommy Ohlsson Institutionen för teoretisk fysik Kungliga Tekniska Högskolan Stockholm 999

2 Typsatt i L A TEX Sammanställd av Tommy Ohlsson, c Teoretisk Fysik, KTH, 999

3 Innehåll Innehåll i Lydelser Inledande kvantfysik Endimensionella Schrödingerekvationen Vågpaket Bundna tillstånd 3 Endimensionell spridningsteori 5 Tidsberoende Schrödingerekvationen 8 Harmoniska oscillatorn i en dimension 8 Grundläggande postulat och obestämbarhetsrelationen 9 Två- och tredimensionella Schrödingerekvationen Väteatomen Tredimensionella harmoniska oscillatorn 3 Partiklar i elektromagnetiska fält 4 Störningsteori 5 Enkelt spektrum 5 Degenererat spektrum 6 Tidsberoende störningsräkning 7 Variationskalkyl 8 Impulsmoment 8 Banimpulsmoment 8 Spinn Koppling av impulsmoment Mångpartikeltillstånd Lösningar 5 i

4 ii

5 Lydelser Inledande kvantfysik I den moderna teorin för gittervibrationer är dessa kvantiserade Atomerna i gittret kan anses röra sig i en tredimensionell harmonisk oscillatorpotential Kvantumet för gittervibrationerna kallas fonon Antag att vinkelfrekvensen för vibrationerna är ω Vilken energi kan en elektron uppta eller avge till vibrationerna vid en kollision? En radiosändare med effekten 5 kw sänder på frekvensen MHz Vad är energin för varje utstrålat kvantum? Hur många kvanta utstrålas per period? 3 Vad är de Broglie-våglängden för en elektron som accelererats genom en potentialdifferens på V? 4 Visa att de Broglievåglängden för en partikel kan skrivas som där λ c är partikelns comptonvåglängd λ = λ c c v), Endimensionella Schrödingerekvationen 5 Visa att den tidsberoende Schrödingerekvationen h ψ m x + V ψ = i h ψ t satisfieras av vågfunktionen för en fri partikel då V = konstant ψx,t) = e ikx ωt) 6 En partikel med massan m rör sig i potentialfältet V x) = kx /, där k är en konstant Ställ upp den tidsoberoende Schrödingerekvationen för partikeln och visa att vågfunktionen ψx) = Ae km h x är en lösning till densamma Bestäm energiegenvärdet

6 7 En partikel rör sig längs en rät linje, x-axeln I ett visst ögonblick beskrivs partikeln av vågfunktionen ψx) = N eiax + ix, N reell b a) Normera ψ b) Beräkna väntevärdet av läget c) Bestäm a så att väntevärdet av rörelsemängden blir noll 8 Visa att den plana vågen ψx,t) = Ae ikx ωt) är en egenfunktion till rörelsemängdsoperatorn p = i h d dx svarande mot egenvärdet hk Bestäm sedan väntevärdena p och p samt osäkerheten p 9 Är vågfunktionen ψx,t) = Ae ax iωt en egenfunktion till rörelsemängdsoperatorn p? Bestäm väntevärdena p och p samt osäkerheten p Visa att vågfunktionen ψx,t) = Asinkx ωt) är en egenfunktion till operatorn p, men ej till operatorn p Bestäm osäkerheten p Vågpaket Ett vågpaket utgörs av en superposition av plana vågor, vars fördelning på olika vågtal k bestäms av funktionen om k < K ˆψk) = N om K < k < K om k > K a) Bestäm vågfunktionen ψx) b) Bestäm N så att ψx) dx = Ett vågpaket utgörs av en superposition av plana vågor, vars fördelning på olika vågtal k bestäms av funktionen ˆψk) = N k + a a) Bestäm vågfunktionen ψx) b) Bestäm N så att ψx) dx = 3 Vilken form har vågpaketet ψx) om de ingående plana vågornas fördelning bestäms av funktionen ) /4 ˆψk) = e k k )? π

7 3 Bundna tillstånd 4 En elektron rör sig under inverkan av potentialen { för x a V x) = för övriga x a) Härled ett uttryck för elektronens möjliga energier b) Antag att elektronen befinner sig i andra exciterade tillståndet Beräkna de möjliga frekvenserna för den elektromagnetiska strålning, som emitteras då elektronen återgår till grundtillståndet 5 En partikel är bunden till en endimensionell potentialgrop med oändligt höga väggar på avståndet L från varandra potentialen V = inuti gropen och V = utanför gropen) Beräkna sannolikheten att påträffa partikeln inom avståndet L/3 från en av väggarna a) om partikeln är i grundtillståndet b) om partikeln är i första exciterade tillståndet c) om partikeln är i ett mycket högt exciterat tillstånd d) enligt klassisk fysik 6 En partikel med massan m rör sig längs x-axeln under inverkan av potentialen: { för < x < a V x) = för x < och x > a Beräkna energinivåerna Beräkna den lägsta energin för en neutron i en endimensionell lådpotential med bredden fm Kärndiametern är av denna storleksordning) 7 En partikel med massan m befinner sig i en potentialgrop, definierad av { då < x < a V x) = för övrigt Vid en viss tidpunkt beskrivs partikeln av vågfunktionen πx )) ) πx ψx) = A + 4cos sin, a a där A är en konstant Vilka möjliga energivärden kan man finna vid en mätning, och vad är sannolikheten för respektive värde? 8 En partikel befinner sig i en lådpotential av formen { om < x < a V x) = för övrigt Vid tiden t = T ändras potentialen plötsligt till { om < x < a V x) = för övrigt Antag att partikeln befinner sig i grundtillståndet för t < T Beräkna sannolikheten för att man vid en mätning av energin för t > T skall finna partikeln i grundtillståndet svarande mot den nya potentialen

8 4 9 Låt V x) vara en attraktiv potential V x) <, < x <, V x) C x x ± ) för någon konstant C Då kan man visa att det finns åtminstone ett bundet tillstånd se uppgift 88) För en potential enligt figuren måste gropens djup V V x) a x V överstiga ett visst värde för att ett bundet tillstånd skall kunna uppkomma Bestäm detta minsta V! Denna modell ger en förklaring till varför inte alla par av atomer bildar stabila molekyler trots att potentialen kan vara attraktiv för vissa avstånd Barriären i x = motsvaras av den starkt repulsiva potentialen mellan två kärnor på små avstånd från varandra Paritetsoperatorn definieras genom P ψ)x) = ψ x) Vilka egenvärden har P? Visa det följande: Om potentialen V x) kommuterar med P, dvs [P,V ]ψ)x) = för alla ψx), så är en egenfunktion till Hamiltonoperatorn H = T + V även egenfunktion till P! Vad kan man speciellt säga om lösningar till den endimensionella stationära Schrödingerekvationen? En partikel med massan m rör sig längs x-axeln under inverkan av potentialen V x) a a x V x) = { V för x > a för x < a V antages vara så avpassad att systemet nätt och jämnt har två bundna tillstånd Beräkna approximativt energin för den lägsta energinivån uttryckt i V

9 5 En partikel med massan m rör sig längs x-axeln under inverkan av potentialen V x) V a b V för x < a V x) = för a < x < b för x > b x a) Bestäm energinivåer < V för symmetriska och antisymmetriska tillstånd b) Bestäm V så att det lägsta symmetriska tillståndet har energin V och beräkna för detta tillstånd sannolikheten att partikeln befinner sig i intervallet a < x < a 3 En partikel, massa m, befinner sig i en oändligt djup potentialgrop med en δ-potential { h V x) = ma δ ǫx) x < d x > d, δ ǫ = { ǫ x < ǫ fö Bestäm uttryck för lägsta energin för symmetriska och antisymmetriska tillstånd när δ ǫ x) δx) ǫ ) Beräkna energiskillnaden mellan dessa tillstånd om d a Endimensionell spridningsteori 4 En neutron som infaller mot en atomkärna påverkas av en attraktiv potential med kort räckvidd Den kommer därför med en viss sannolikhet att reflekteras och kan i så fall inte inducera en kärnreaktion För att se om snabba neutroner hög energi) eller långsamma neutroner låg energi) lämpar sig bäst för att inducera kärnreaktioner kan man betrakta en förenklad endimensionell modell där potentialen ges av { x < V x) = V x > Här är V > och x är koordinaten vinkelrät mot kärnans yta x = ) Behandla problemet genom att genomföra en explicit beräkning av reflektions- och transmissionskoefficienterna 5 Kontaktytan mellan två metaller fungerar som ett potentialsteg, sådant att hastigheten hos de elektroner som infaller från vänster och passerar kontaktytan minskar med 75 % vid

10 6 passagen Antag att de infallande elektronerna motsvarar en ström på µa Hur stor blir då strömmen till höger om barriären? v,5 v V x) x 6 Vid ett fotoelektriskt experiment får ljus med våglängden 4 nm infalla mot en aluminiumyta Ytan kan i en enkel modell representeras av ett potentialsteg enligt figur, där utträdesarbetet W har värdet,8 ev Beräkna sannolikheten för att en elektron, som absorberat en foton, skall kunna lämna metallen utan att reflekteras vid ytan Det får förutsättas att elektronen rör sig vinkelrätt mot ytan och att den från början hade energin W V x) W x 7 När en ljusstråle från vakuum infaller mot ett medium sker en brytning av ljusstrålen enligt figuren Brytningsindex n för mediet definieras av relationen n = λ λ = sin α sin β där λ och λ är ljusets våglängd i vakuum respektive i mediet När elektroner infaller mot en metall sker på motsvarande sätt en brytning av de vågor som är associerade med elektronerna Metallens yta kan approximativt representeras av ett språng i den potentiella energin V från V = utanför metallen till V = V inuti metallen Antag att elektroner med energin

11 7 ev under infallsvinkeln α = 45 träffar en metallyta, för vilken gäller att V = ev Beräkna vinkeln β α β vakuum metall 8 En partikel med massa m infaller från vänster längs x-axeln och möter en smal och mjuk potentialbrunn se figur) δ/ δ/ x { h V x) = maδ x < δ annars Partikelns rörelse beskrivas av vågfunktionen ux) = { u x) = e ikx + Be ikx x < δ u + x) = Ce ikx δ < x, där B reflexionsamplituden) och C transmissionsamplituden) bestäms genom att man sammanbinder u och u + via Schrödingerekvationen i området x < δ görs ej här) Då partikelns våglängd är stor i förhållande till potentialens bredd, dvs kδ π, så kan visas att integrationen över brunnen kan ersättas med villkoren: u ) = u + ) vågfunktionen är kontinuerlig i ) och du+ du dx ) dx ) = au) vågfunktionens derivata gör ett språng i origo, proportionellt mot u)) skall ej visas) Använd dessa villkor för att bestämma B och C Bestäm därpå reflexionskoefficienten R = B och transmissionskoefficienten T = C och verifiera att R + T =

12 8 9 En partikel, massa m, faller in mot en potentialbrunn med djup V och bredd d För enkelhets skull antas V och d ha sådana värden att systemet endast har ett bundet tillstånd Bestäm den lägsta energi hos partikeln vid vilken totaltransmission uppträder Numerisk beräkning resultatet i ev) för V = 5 ev, d = Å, och partikeln en elektron Tidsberoende Schrödingerekvationen 3 En partikel med massan m rör sig i en endimensionell lådpotential definierad av { < x < a V x) = för övrigt Vid tiden t = har vågfunktionen formen ψx,) = πx ) 3a sin + a Hur ser vågfunktionen ut vid en godtycklig tid t? 4 3a sin 3πx 3 En partikel med massan m rör sig under inverkan av potentialen { + för x a V x) = för x < a Vid tiden t = beskrivs den av en vågfunktion ψx,) = N sin 3 πx a för x < a, där N är en normeringskonstant Beräkna vågfunktionen ψx,t) Harmoniska oscillatorn i en dimension 3 Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en fjäder med fjäderkonstanten 56 N/m Detta innebär att atomerna kommer att utföra en harmonisk svängningsrörelse i förhållande till varandra Beräkna den lägsta och den näst lägsta energinivån för denna rörelse Sätt den reducerade massan till µ =,6 7 kg 33 Vibrationsrörelsen för en tvåatomig molekyl kan beskrivas med en enkel endimensionell modell enligt följande En partikel med massan µ rör sig längs x-axeln under inverkan av potentialen V x) = V e ax x) e ax x)), där a, x och V är för molekylen karakteristiska konstanter För de lägst liggande nivåerna är potentialen approximativt harmonisk kring jämviktsläget x = x, dvs om V x) serieutvecklas kan termer av tredje potens och högre i x x ) försummas a) Bestäm grundtillståndets energi i denna approximation b) Beräkna grundtillståndets energi numeriskt för H -molekylen för vilken a = nm, V = 7 9 J, x =,74 nm och µ =,84 7 kg ) a )

13 9 34 Visa att Hamiltonoperatorn för en harmonisk oscillator kan skrivas ) H = + a a hω, där operatorerna a och a definieras av uttrycken mω a = h x + i p, m hω mω a = h x i p m hω Dessa operatorer kallas för stegoperatorer av följande skäl Om operatorn a får operera på en egenfunktion till H så erhålls en ny egenfunktion, nämligen den som svarar mot närmaste högre egenvärde Med hjälp av operatorn a erhålls på motsvarande sätt den egenfunktion som svarar mot närmaste lägre egenvärde om a får operera på grundtillståndets vågfunktion blir resultatet noll) 35 Bestäm väntevärdena p och p för en harmonisk oscillator i grundtillståndet 36 Beräkna för den endimensionella harmoniska oscillatorn i det n:te egentillståndet a) medelvärdet av potentiell och kinetisk energi b) osäkerhetsprodukten x p c) generalisera resultatet i a) till det fall att tillståndet är godtyckligt 37 En elektrisk svängningskrets LC-krets) kan uppfattas som en harmonisk oscillator med t ex spänningen V som koordinat Jämför uttrycket för energin i kretsen LI + CV = T kin + V pot ) I = C dv dt med Hamiltonfunktionen för en harmonisk oscillator m p + mω x, p = m dx dt, och identifiera m, ω och p för kretsen Bestäm kommuteringsrelationen [I, V ] Bestäm förintelseoch skapelseoperatorer A, A ) uttryckta i I och V ) så att kretsens Hamiltonoperator får formen H = hω A A + ) Räkna ut oscillatorenergienheten hω både i SI-enheter och elektronvolt) om C = 9 F, L = 9 H Vad är den kvantiserade oscillatorns excitationsnivå om maximala värdet på V är 3 V? Grundläggande postulat och obestämbarhetsrelationen 38 Utgå från definitionen av kommutatorn [A,B] = AB BA och visa följande relationer: a) [A,B] + [B,A] = b) [A,A] = c) [A,B + C] = [A,B] + [A,C] d) [A + B,C] = [A,C] + [B,C] e) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C] f) [AB,C] = [A,C]B + A[B,C]

14 39 Visa följande kommuteringsrelationer: a) [x i,x j ] = b) [p i,p j ] = c) [x i,p j ] = i hδ ij d) [p i,fr)] = i h Fr) x i 4 Är det möjligt att mäta x och p z samtidigt, dvs kan man ange ett tillstånds läge i x-led samtidigt som man känner rörelsemängden i z-led? 4 Observabeln A har i tillståndet ψ spridningen noll, dvs A = Visa att ψ är ett egentillstånd till A 4 Beräkna spridningsprodukten x p för dels de två lägsta tillstånden i en endimensionell lådpotential med oändliga väggar och dels det lägsta tillståndet för en endimensionell harmonisk oscillator Jämför med Heisenbergs undre gräns 43 Låt Hamiltonoperatorn H och en given godtycklig observabel A vara tidsoberoende Härled ur obestämbarhetsrelationen A B [A,B] relationen τ E h d där τ dτ A = A Tolka τ fysikaliskt! 44 Den genomsnittliga livslängden för ett exciterat atomtillstånd är 8 s Våglängden för en observerad spektrallinje är 3 Å Hur stor är bredden relativt våglängden? 45 Låt φx) = fx)e ikx < x < ) där fx) är reell, normerbar, deriverbar och fx), då x ± Visa att p x = hk 46 Visa att medelvärdet av rörelsemängden i ett stationärt tillstånd med diskret egenvärde är noll! Ledning: Vad är [r,h]? 47 En partikel med massan m är bunden i en potential V r) A är en observabel som ej beror explicit av tiden Beräkna d dt A för ett stationärt bundet tillstånd 48 Låt {φ n } n= vara en fullständig ortonormerad mängd av funktioner och {φ ν } en ändlig delmängd ν antar ändligt många värden n) Varje vågfunktion kan skrivas ψ = a n φ n n= Låt P vara en operator sådan att Pψ = ν a νφ ν hur beräknar man a ν ), dvs summan löper endast över element i {φ n } Visa att a) P är självadjungerad hermitesk), b) P = P, c) och ge egenvärden och egenfunktioner till P! En operator som uppfyller a) och b) kallas projektionsoperator

15 49 Bestäm sannolikhetstätheten för de olika värden på rörelsemängden p som kan antas i ett allmänt energiegentillstånd för den harmoniska oscillatorn Ledning: Uttryck Hamiltonoperatorn i p-representationen Fouriertransform) 5 Feynmans teorem: En självadjungerad operator beror av en reell parameter λ, λ Hλ) t ex Hamiltonoperatorn) Hλ) antas vara självadjungerad för alla intressanta värden på λ Låt ψ k λ) vara motsvarande normerade egenfunktioner hörande till ett givet diskret) egenvärde E k λ) Visa att d dλ E kλ) = ) ) ψ k λ), λ Hλ) ψ k λ) Undersök speciellt vad detta innebär då λ = h, m, e, osv 5 Virialteoremet: Låt potentialen V r) vara en homogen funktion av graden n och T kinetiska energioperatorn Visa att för ett godtyckligt bundet, stationärt tillstånd gäller n V = T 5 Bestäm matrisrepresentationerna av operatorerna x och p x relativt en bas som består av egenvektorer till operatorn p { x om < x < a + V x), där V x) = m om x < eller x > a 53 Visa att energin för en partikel som rör sig i en potentialgrop av godtycklig form alltid är större än gropens största djup Ledning: Visa först att medelvärdet för den kinetiska energin i ett bundet tillstånd är större än noll Partialintegrera och använd Gauss sats 54 En partikel massa m) med bestämd energi befinner sig i tillståndet ψ = e λr Beräkna medelvärdena av partikelns kinetiska och potentiella energier Potentiella energin går mot noll i oändligheten 55 Betrakta en fri elektron lokaliserad till ett område med utsträckningen Å Ta medelavvikelsen x som ett mått på vågpaketets bredd Efter hur lång tid har vågpaketets bredd fördubblats? För att uppskatta storleksordningen antar vi att sannolikhetstätheten ges av Sätt = Å ψx) = ) ] / ht [ + e π m [ [ x hk m + ht ) t ] m ) ] Två- och tredimensionella Schrödingerekvationen 56 Visa att en lösning till Schrödingerekvationen för en fri partikel i tre dimensioner ) h m x + y + z ψx,y,z) = Eψx,y,z)

16 kan skrivas Hur är k relaterad till energin E? ψx,y,z) = Ae ik r 57 Vi förutsätter att växelverkan mellan en neutron och en proton kan beskrivas med potentialen { r < a V r) = Ae r/b r a, där A = 35 MeV och b =,8 5 m Ange egenfunktionen och egenvärdet för det bundna tillståndet med l = deuteronen) Neutronens och protonens massor är m n = m p =,67 7 kg Hur skall man välja a för att den beräknade lägsta energinivån skall stämma med det empiriska värdet på deuteronens bindningsenergi E =,3 MeV? Ledning: Utveckla som vanligt) ψ i klotytfunktioner i ekvationen för rörelsen relativt den gemensamma tyngdpunkten Substituera ρ = e r/b i ekvationen för R Väteatomen 58 Beräkna sannolikheten att hitta en elektron i grundtillståndet för väte på större avstånd från kärnan än Bohrradien 59 En myonisk kolatom består av en negativt laddad myon µ) som rör sig i det elektriska fältet från en C-kärna Z = 6) Uppskatta hur stor del av sin tid myonen tillbringar inuti kolkärnan, dvs hur stor sannolikheten är att finna myonen innanför kärnans radie R, då den myoniska atomen befinner sig i sitt grundtillstånd Vågfunktionen kan bestämmas som om kolkärnan vore punktformig Massorna hos kolkärnan och myonen ges av m C c = 7 MeV respektive m µ c = 5 MeV och kärnradien R =,95 3 cm 6 Hur stor energi krävs för att jonisera en väteatom i n = 3-tillståndet? 6 En elektron med försumbar energi förenar sig med en heliumkärna He + Vilken våglängd har den emitterade fotonen? 6 Bestäm väntevärdena av kinetisk och potentiell energi för en väteatom i s-tillståndet 63 Ytan på flytande helium kan laddas elektrostatiskt, och laddningen ligger kvar i timtal En elektron med laddningen e i vakuum utanför heliumytan attraheras till ytan av sin spegelladdning ǫ ǫ+e, där ǫ är heliums dielektricitetskonstant Flytande helium är en isolator, så elektronen hindras från att gå in i heliumet av en oändligt hög potential Ange kraften mellan en elektron, som befinner sig på avståndet x utanför ytan, och dess spegelladdning och visa att den potential som binder elektronen till ytan är { ǫ e V x) = 4πǫ ǫ+ 4x i vakuum x > ) i helium x < ) Skriv upp Schrödingerekvationen för den ytbundna elektronen och jämför den med Schrödingerekvationen för väteatomen Ange, utgående från denna jämförelse, den ytbundna elektronens energinivåer Ledning: Den ytbundna elektronen har reducerade massan m = elektronmassan ty heliumreservoarens massa antas oändligt stor

17 3 64 Medelhastigheten v för elektronen i en väteatom kan definieras som v = v Beräkna v i grundtillståndet 65 En elektron i ett Coulombfält V = e r väteatomen) har i s-tillståndet vågfunktionen ψ = k ) ra e r/a Bestäm sannolikaste avstånd och medelavstånd mellan kärna och elektron 4πǫ 66 Betrakta den orbital vid givet huvudkvanttal n i vilken elektronen påverkas av största möjliga centrifugalkraft Beräkna r och r r, där r är medelavvikelsen Hur illustrerar detta korrespondensprincipen? Hur stor är en väteatom då den är så starkt exciterad att r r =? 67 Bestäm den elektriska medelpotentialen φ som skapas av elektronen och kärnan i grundtillståndet hos väteatomen Diskutera resultatet i gränserna r och r Ledning: Laddningstätheten i enheter e) för elektronen ges av ρ e = ψ, där ψr) är elektronens vågfunktion Bidraget φ e från elektronen till medelpotentialen antas vara en sfäriskt symmetrisk lösning till Poissons ekvation φ e = ρ e /ǫ 68 I vissa experiment kan en atom berövas alla sina elektroner så att man bara får kvar en kärna med laddningen Ze I närheten av en sådan kärna kan det möjligen spontant ur vakuum bildas ett elektron-positronpar enligt följande princip: Det råder ekvivalens mellan energi och massa, E = mc Positronen har samma massa som elektronen, men med motsatt tecken på laddningen Vi skapar nu en elektron och en positron, där elektronen placeras i det lägsta kvanttillståndet för potentialen från kärnan, medan positronen lämnar kärnan med mycket låg hastighet dvs den har energin noll) Detta fall är det energimässigt gynnsammaste om man vill bilda ett elektron-positronpar Finn ett algebraiskt uttryck för den minsta kärnladdning, som skulle krävas för att den angivna processen skall äga rum under energikonservering) Beräkna också ett numeriskt värde på Z 69 Ett icke-stationärt tillstånd hos elektronen i en väteatom beskrivs av den normerade) vågfunktionen: φr,t) = φ a r)e ieat/ h + φ b r)e ie bt/ h, E a < E b För t = gäller: φr,) = A [ e αρ + ρ + x)e βρ] ρ och x i enheter av Bohrradien a ) Bestäm α, β, E a, E b och A Ange vilka konfigurationer n,l,m) som ingår i φr,t) och räkna ut energimedelvärdet H = φ r,t)hφr,t)dr Tredimensionella harmoniska oscillatorn 7 Antag att nukleonerna i en lätt kärna rör sig i en medelpotential av formen V r) = V + mω r Bestäm antalet nukleoner av ett slag neutroner eller protoner) som högst kan finnas i ett slutet skal Ett skal definieras som mängden av tillstånd med samma energi, varvid högst två nukleoner får befinna sig i samma tillstånd

18 4 7 Bestäm möjliga egenvärden för en tvåatomig molekyl med reducerade massan µ Växelverkan mellan atomerna beskrivs av potentialen V r) = µω r r ), där r är avståndet mellan atomerna och ω och r konstanter Vi förutsätter att r r r små vibrationer), så att tröghetsmomentet är konstant µr Partiklar i elektromagnetiska fält 7 Landaunivåer för en tvådimensionell elektrongas a) En elektron är i z-led instängd i en potentialbrunn V z) = { z < och a < z < z < a, och befinner sig i ett homogent magnetfält B = Be z, som kan antas definierat via B = A med A = By,,) Elektronens rörelse beskrivs då av Hamiltonoperatorn H = m p + ea) + V z) Bestäm elektronens energinivåer Ledning: Separera den tidsoberoende Schrödingerekvationen med ansatsen φr) = e ikx fy)gz) b) Hur ändras energivärdena om vi även tar hänsyn till elektronens spinn ), varvid vi får Hamiltonoperatorn H = m p + ea) + V z) gs z, där S z är spinnoperatorns z-komponent och g en konstant? Ledning: Hur modifierar man lämpligen ansatsen i ledningen ovan? 73 Visa att operatorerna ξ = x eb p y och η = eb p x kommuterar med Hamiltonoperatorn i föregående uppgift, men ej med varandra Vilka slutsatser kan man dra av dessa iakttagelser? 74 En laddad partikels rörelse i ett elektromagnetiskt fält fås ur Hamiltonoperatorn H = P + eφ, där P = p ea m Ar,t) och φr,t) är fältets elektromagnetiska potentialer Visa Ehrenfests teorem d mr = P dt

19 5 75 En partikel med massa m och laddning e påverkas av ett konstant homogent magnetfält i z-riktningen B = Be z Hamiltonoperatorn sättes till H = p m e m L zb z + e x + y ) B 8m z Visa att medelvärdet av r följer den klassiska rörelseekvationen Störningsteori Enkelt spektrum m d r dt = e d r dt B 76 En endimensionell harmonisk oscillator massa m, frekvens ω π ) som svänger längs x- axeln påverkas av en störning med potentialen ǫx Beräkna den av störningen förorsakade ändringen av energinivåerna, dels exakt och dels med störningsräkning 77 En partikel med massan m är rörlig längs x-axeln Den påverkas av ett potentialfält av formen om < x < a eller 3a < x < 4a V x) = V om a < x < 3a, om x < eller x > 4a där V är liten jämfört med grundtillståndets energi Bestäm energierna för samtliga stationära tillstånd med hjälp av första ordningens störningsräkning 78 Två partiklar med samma massa m påverkar varandra med en kraft svarande mot potentialen V r) = b r + cr, där b och c är positiva konstanter Bestäm grundtillståndets energi under antagandet att termen cr kan betraktas som en liten störning 79 Röntgenspektra från myoniska atomer, dvs atomer där en elektron har ersatts med en myon, överensstämmer inte med vad man skulle vänta sig om atomkärnan vore punktformig Avvikelsen kan förklaras om man antar att kärnan har en utbredd laddningsfördelning Eftersom myonen är ca gånger tyngre än elektronen rör den sig betydligt närmare kärnan än en elektron Bohrradien är ju omvänt proportionell mot massan Myonen påverkas således i högre grad än elektronen av detaljerna i laddningsfördelningen jämför med uppgift 59) Beräkna med hjälp av första ordningens störningsräkning den korrektion till den myoniska väteatomens energinivåer n, l, m), som orsakas av protonens ändliga utsträckning Vi antar att protonen är en likformigt laddad sfär med radien R 5 m, vilket innebär att myonens potentiella energi ges av { V r) = r < R e 4πǫ r r > R e 8πǫ R 3R r ) 3 Beräkna speciellt energikorrektionen för det tillstånd som mest märker av kärnans ändliga utsträckning

20 6 8 Beskriv kvalitativt hur energinivåerna för olika impulsmoment l ändras när steget i potentialen { V r < a V r) = r > a rundas av enligt figuren nedan Använd första ordningens störningsräkning V r) a r V 8 Beräkna första ordningens relativistiska korrektion till väteatomens lägsta energi Första ordningens i ljushastigheten c) approximation av rörelseenergin, c m c + p mc, ger den korrigerade Hamiltonoperatorn visa detta!) H = p m e p 4 4πǫ r 8 m 3 c Jämför den erhållna energikorrektionen med energiskillnaden mellan vätets första exciterade nivå och grundnivån 8 En partikel, massa m, är instängd i potentialen { x > a V x) = ǫe sin πx a x < a, där E är grundtillståndets ostörda energi för ǫ = ) Sätt upp ett uttryck för grundtillståndets energi i lägsta icke-försvinnande ordningen i ǫ eventuella integraler skall evalueras) Beräkna koefficienten för korrektionen med en noggrannhet av ca % Degenererat spektrum 83 Starkeffekten: En väteatom i ett svagt homogent elektriskt fält beskrivs av Hamiltonoperatorn H = H + ee z z, H = p m e 4πǫ r

21 7 Beräkna med första ordningens störningsräkning uppspaltningen av den första exciterade ostörda nivån L-skalet) Ange även de linjärkombinationer av de ostörda egenfunktionerna, som hör ihop med respektive störda nivå Ledning: Eftersom både H och H kommuterar med L z blandas ej tillstånd med olika magnetiska kvanttal m 84 I en modell av kvark-kvarkväxelverkan antas Coulombfältet i en väteatom modifieras så att den potentiella energin ges av uttrycket e V r) = 4πǫ r + r ), där < r 4πǫ h me Bestäm r så att energiskillnaden mellan s- och p-tillstånden blir 7 E H, där E H är elektronens energi i väteatomens grundtillstånd 85 I en tvådimensionell isotrop harmonisk oscillator med Hamiltonoperatorn H = p m x + p y) + mω x + y ) är den näst lägsta dvs första exciterade) energinivån dubbelt degenererad med egenfunktioner φ = Nxe mωx +y )/ h), φ = Nye mωx +y )/ h) Degenerationen upphävs av en störning H = ǫxy Beräkna de störda energinivåerna tom ordningen ǫ) och motsvarande nollte ordningens egenfunktioner Tidsberoende störningsräkning 86 En harmonisk oscillator med H = p + mω x är vid t = i sitt grundtillstånd Under tidsintervallet,t) verkar en störning ) 3 x x = h/mω) ǫ h T x på oscillatorn Bestäm tom ordningen ǫ den tidsberoende tillståndsfunktionen för t > T Ange medelvärdet i ordningen ǫ ) av den energi oscillatorn tagit upp av störningen Obs! Grundtillståndskomponenten måste reduceras i ordningen ǫ så att φt),φt)) = + Oǫ 3 ) Betrakta speciellt gränsfallet T 87 Resonans En endimensionell harmonisk oscillator med svagt oscillerande frekvens H = p m + mωt) x, ωt) = ω + ω cos γt, ω ω, befinner sig i grundtillståndet Beräkna till första ordningen i ω sannolikheten för övergångar till exciterade tillstånd Anta också att γ ω ω Ledning: n x = h mω för n =, n x = för övrigt

22 8 Variationskalkyl 88 Visa att varje endimensionell attraktiv potential V x) <, < x <, V x) C x x ± ), har åtminstone ett bundet tillstånd Med dessa krav på potentialen kan det visas att den kontinuerliga delen av energispektrumet ges av E <, vilket får antas vara känt Ledning: Ansätt den normerade vågfunktionen ψ = ) a /4 π e ax 89 Visa att man kan beräkna väteatomens n = -energiegenvärde genom variationsmetoden Använd ansatsfunktionen α variationsparameter) Nρe αρ cos θ Varför får man inte ett närmevärde till energiegenvärdet för n = -nivån? Förenkling: Räkna med ρ = r a och Hamiltonoperatorn: H = h ma ), där φ = ) ρ ρ ρ ρφ) ρ h L φ 9 Trots ihärdigt experimenterande har man aldrig lyckats observera kvarkar annat än indirekt Frånvaron av fria kvarkar har tvingat fram teoretiska argument för att kvarkarna är fjättrade i baryoner 3 kvarkar) och mesoner kvark-antikvark) Det skulle krävas oändlig energi för att befria en kvark ur sitt bundna tillstånd En enkel modell för mesoner innebär att kvarkarna rör sig i en potential som växer linjärt med avståndet, dvs V r) = kr, där r > är radialkoordinat Uppskatta grundtillståndets energi med hjälp av variationsmetoden Vilken av ansatserna ψ = e ar och ψ = e ar är bäst? ) Ledning: Detta är ett sfäriskt problem, använd φ = r r rφ) Impulsmoment Banimpulsmoment 9 Visa utgående från definitionen L = r p att banrörelsemängdsmomentets komponenter uppfyller kommuteringsrelationerna [L i,l j ] = i hl k, där i,j,k) är en cyklisk permutation av x,y,z) 9 Visa kommuteringsrelationen där i står för x, y eller z [L,L i ] =,

23 9 93 Visa obestämbarhetsrelationen för operatorparet L z och φ, där φ är polära vinkeln i xy-planet: L z φ h Ledning: Skriv L z som en differentialoperator i sfäriska koordinater 94 Vågfunktionen för en partikel har i ett visst ögonblick formen ψr) = ϕr)y θ,φ) + Y θ,φ) + 3Y θ,φ)), där ϕr) är en okänd ej nödvändigtvis normerad) funktion Vad är sannolikheten att vid en mätning av rörelsemängdsmomentets kvadrat L finna värdet h? 95 Vågfunktionen för en elektron i en kolatom kan i vissa kemiska sammanhang antagas vara av formen ψr) = Rr) + 3sinθ sin φ) Bestäm sannolikheten för att man vid en mätning av rörelsemängdsmomentet skall finna elektronen i ett p-tillstånd 96 Vid mätning på ett visst tillstånd hos ett system erhålles de precisa värdena h ll + ) på L och hm på L z, där l > Om systemet med vågfunktion ψ befinner sig i nämnda tillstånd, vilken oskärpa finner man vid en mätning av L x? Oskärpan L x standardavvikelsen) definieras genom L x ) = L x L x Ange en undre gräns Cl) för denna oskärpa L x Cl) ) 97 En elektron i en väteatom befinner sig i tillståndet ψ nlm Beräkna spridningen L a vid mätning av impulsmomentets komponent i en godtycklig riktning a L a = a L 98 Vågfunktionen för en partikel som rör sig i en centralpotential är ψx,y,z) = x + y + z)e αr Bestäm väntevärdet av rörelsemängdsmomentets kvadrat L 99 En tredimensionell isotrop harmonisk oscillator har i första exciterade tillståndet de energimässigt degenererade egenfunktionerna ψ = xe r a), ψ = ye r a), ψ 3 = ze r a) Konstruera genom superposition av dessa vågfunktioner ett tillstånd i vilket L x säkert har värdet h och beräkna impulsmomentet för detta tillstånd Vilken är den största noggrannhet man kan få vid en mätning av L z? En partikel har vid en viss tidpunkt vågfunktionen ψ = x + y + z)fr), där r = x + y + z Vad är sannolikheten för att en mätning av L z ger värdet noll? Vid ett experiment, där en skur av atomer med impulsmomentet J får passera ett magnetfält, beror avböjningen på impulsmomentets värde i magnetfältets riktning Antag nu att den ingående strålen är polariserad så att alla atomernas impulsmoment har ett väldefinierat värde M a h på komponenten i riktningen a, som bildar vinkeln θ med magnetfältets riktning Strålen spjälkas då i J + delstrålar Bestäm relativa intensiteten hos dessa delstrålar om J = Behandla fallen M a =,,, respektive

24 Spinn För spinn -partiklar har vi att spinnet kan beskrivas med följande vektor av matriser S = h ) i, i ), )) Ibland använder man S = h σ, där σ x, σ y, σ z kallas Paulimatriser ) I alla uppgifter ) betecknar vi de gemensamma egenvektorerna till σ och σ z med α = och β = Spinntillståndet hos en ström av partiklar intensitet I ) beskrivs av vågfunktionen χ = C α + C β, där C = cos γe iδ och C = sin γe iδ γ π, δ och δ reella Partikelströmmen får passera genom ett inhomogent magnetfält i y-riktningen, varvid den splittras i två strålar Den utgående stråle som svarar mot S y = h intensitet I ) får passera ytterligare ett inhomogent magnetfält, nu i z-riktningen, med ännu en splittring som följd Antag att den utgående stråle, som svarar mot S z = h har intensiteten I 3 Beräkna I I och I 3 I 3 Spinntillståndet för en ström av partiklar beskrivs av vågfunktionen χ = C α + C β, där C + C = Strålen splittras i två delstrålar av ett inhomogent magnetfält i z- riktningen Strålen med S z = h får passera ett filter som släpper igenom partiklar med S y = h Hur stor är intensiteten hos den så erhållna strålen relativt den ursprungliga intensiteten? 4 Tillståndet för en spinn -partikel beskrivs av den normerade vågfunktionen ψr)α + φr)β, där α och β är egenvektorer till spinnoperatorn S z med motsvarande egenvärden h respektive h Man letar efter partikeln med en detektor som endast reagerar för partiklar som har värdet h på spinnkomponenten i x-riktningen Sök sannolikheten för att detektorn skall finna partikeln i volymselementet dv i punkten r 5 Spinnriktningen för en elektron bildar vinkeln θ med z-riktningen Beräkna sannolikheten att man erhåller värdet h vid en mätning av S z 6 Man har en partikel med spinn i ett homogent magnetiskt fält längs z-axeln, vilket ger energioperatorn H = µbs z, där µs z = magnetiskt moment µ given konstant) Visa att medelvärdet av spinnvektorn roterar kring z-axeln med bestämd frekvens ω, dvs följande relation gäller: d dt S x = ω S y ; Bestäm ω Larmorfrekvensen) d dt S y = ω S x ; d dt S z =

25 7 98 års Nobelpris i fysik utdelades för arbeten rörande K-mesoner I ett viktigt experiment studerar man tidsutvecklingen av partikeln K Vi beskriver K som en superposition av två tillstånd K och K +: ψ K = ψ + ψ + ) Det gäller nu att tillstånden K och K + är egentillstånd till energioperatorn, med olika egenvärden energier eller massor) Om vi tillverkar en partikel K vid tiden t =, så kommer vi för tider större än i allmänhet inte längre att ha ett rent K -tillstånd, utan K plus någonting annat Vid tiden t uppstår det dock igen ett rent K -tillstånd, dvs ψ K t ) = fasfaktor ψ K ) Tiden t kan relateras till skillnaden i energi för tillstånden K och K + Finn ett sådant uttryck för t Koppling av impulsmoment 8 Hos en elektron spinn ) sammansätter sig banimpulsmomentet L och spinnet S till ett totalt impulsmoment J = L + S Sök de normerade egenfunktionerna, med tillhörande egenvärden, till J och J z 9 S och S är spinnoperatorerna för två partiklar med spinn s resp s Bestäm egenvärdena till operatorn S S och deras multipliciteter Tillämpa resultatet på fallet s = 3, s = Bestäm egenfunktionerna Hos en elektron sammansätter sig banimpulsmomentet L och spinnet S till totalt impulsmoment J = L + S Då vet man att möjliga värden på j är l + och l Visa att man inte kan få ett tillstånd med j = l 3 Ledning: Använd stegoperatorer och tänk på vad som händer vid högsta j z En partikels vågfunktion är i sfäriska koordinater r, θ och φ: cos θ ψ = Fr) e iφ sin θ ) Visa att ψ är egenfunktion till L, J och J z, där J = L + S Tre stycken spinn -partiklar kan sammansätta sina spinn till ett totalt spinn 3 allt i enheter h) Om α i och β i, i =,,3, är normerade egenvektorer för spinn upp respektive spinn ner i z-riktningen, så kan man konstruera den vågfunktion som har spinnprojektion 3 på z-axeln Gör detta och använd nedstegningsoperatorn S för att generera alla normerade) basvektorer för denna spinn 3 -multiplett 3 Betrakta spinnsystemet med tre icke-växelverkande partiklar, alla med spinn Man kan bilda = 8 linjärt oberoende spinnvågfunktioner för detta system En av dessa vågfunktioner kan, med konventionellt beteckningssätt, skrivas χ = Låt den totala spinnoperatorn för de tre partiklarna vara S = S + S + S 3 Beräkna egenvärdena till operatorn S och S z i tillståndet χ

26 4 Väteatomens finstruktur Om väteatomen beskrivs av Hamiltonoperatorn H = p e + V r), V r) = m 4πǫ r, så får man degenererade energinivåer som endast beror på huvudkvanttalet n Med spektroskopi kan man dock mäta upp små uppsplittringar av varje nivå n, beroende på ytterligare växelverkan i väteatomen H = H +W I första ordningens korrektion måste man ta hänsyn till följande bidrag, som alla har samma storleksordning 3 ev), där W = W mh + W SB + W D, p4 W mh = 8m 3 c, massans beroende av hastigheten, som behandlades i uppgift 8 W D = h 8m V r), c Darwintermen som kan härledas från Diracekvationen i relativistisk kvantummekanik W SB = m c r dv dr L S, spinn-bankopplingen Detta uttryck kan tas fram mha klassisk relativitetsteori, så när på faktorn Beräkna bidraget till uppsplittringen av p-nivån som kommer från spinn-bankopplingen W SB = ξr)l S Tips: Om man betänker utseendet hos J, där J = L + S, så inser man snart att det är lämpligt att välja en bas för p-tillstånden som består av gemensamma egenfunktioner till L, S, J och J z Mångpartikeltillstånd 5 I den sk skalmodellen för en atomkärna antages nukleonerna röra sig i en potential V r) = kr Betrakta nu grundtillståndet för 4 He i skalmodellen På grund av spinndegeneration kan såväl de två protonerna som de två neutronerna beskrivas med vågfunktioner svarande mot grundtillståndet för partiklar i V r) Ange ett uttryck för den totala egenfunktion rums- och spinndel) som beskriver grundtillståndet för 4 He Beakta särskilt Pauliprincipens symmetrikrav Se även uppgift 7)

27 3 6 Betrakta ett system bestående av två elektroner med försumbar inbördes växelverkan Schrödingerekvationen kan då skrivas [Hp,r ) + Hp,r )]ψr,r ) = Eψr,r ) För spinndelen av tillståndet har vi basen av egenfunktioner till S och S z, bestående av en triplett av symmetriska tillstånd S = ), χ m, m =,,, och en antisymmetrisk singlett S = ), χ Pauliprincipen innebär att den totala vågfunktionen skall byta tecken under byte av både rums- och spinnkoordinater elektronen är en fermion) Visa utgående från detta att vågfunktionens rumsdel för grundtillståndet till Hamiltonoperatorn ovan är symmetrisk Ledning: Använd Schrödingerekvationen Hφ n = E n φ n 7 Utbytesväxelverkan Spinn på samma eller närliggande atomer i en kristall kan kopplas genom utbytesväxelverkan Denna är en konsekvens av Pauliprincipen Betrakta för enkelhetens skull två växelverkande elektroner elektrostatisk växelverkan) Spinndelen för tvåelektrontillståndet är antingen symmetrisk triplett, två med parallella spinn, ett med antiparallella spinn) eller antisymmetrisk singlett, antiparallella spinn) Hur är det med rumsdelens symmetri? Lägg in de två elektronerna i rumstillstånden ϕ a och ϕ b och beräkna skillnaden i energi mellan de två möjligheterna Ledning: Vad innebär egentligen Pauliprincipen? Hur måste vi skriva rumsdelen för de olika e fallen? Studera V = ψ 4πǫ r ψ, där r är avståndet mellan elektronerna

28 4

29 Lösningar Eftersom gittersvängningar är kvantiserade kan energi endast upptas eller avges i enheter av fononenergin hω Använd E = hω för fotoner 6,6 8 J resp 7,5 5 kvanta per period 3 E = ev och E = h k m = h mλ λ =, nm 4 Från relativitetsteorin vet vi att mv p = v c ) Å andra sidan är p = hk = hπ λ Då får vi eller λ = λ c c v hπ λ = mv v c ) ) med λc = π h cm 5 Insättning av ψx,t) i Schrödingerekvationen ger 6 Schrödingerekvationen blir Insättning av ψx,t) ger att E = h 7 a) Normeringen ges av h k m + V = hω d ψx) dx = N h m dx ψ + kx ψ = Eψ k m b b dx = N b + ix b + x dx = 5

30 6 Då blir N = b e bπ och ψx) = iax π b+ix b) Väntevärdet av läget, x, ges av x = ψ x)xψx)dx = b π c) Väntevärdet av rörelsemängden, p, ges av p = ψ x)pψx)dx = b π = h a ) = b om a = b 8 Vi låter p verka på ψx) x b = {udda funktion} = + x h b + x a ) b b + x + i b π i h d Aexp{ikx ωt)} = hkaexp{ikx ωt)} dx Vi antar vidare att vågfunktionen är normerad Då blir hx b + x ) och p = ψ x)pψx)dx = hk ψ ψdx = hk p = Detta ger att p = ψ x)p ψx)dx = pψ) x)pψx)dx = h k 9 Vågfunktionen ψx) = Aexp ax iωt) är inte en egenfunktion till operatorn p, eftersom i h d dx Aexp ax iωt) = i haaxexp ax iωt) Först normerar vi vågfunktionen ) a ψx) dx = A exp ax 4 )dx = A = π Väntevärdena p och p blir och p = Detta ger att p = ψ x)pψx)dx = ai ha xexp ax )dx = {udda funktion} = pψ x)pψx)dx = 8a h A exp ax )x dx = a h p = a h

31 7 Vågfunktionen ψx) = Asinkx ωt) är inte en egenfunktion till operatorn p, eftersom Däremot den är en egenfunktion till p Nu kan vi beräkna p och p = i h d Asinkx ωt) = i hkacoskx ωt) dx h d dx Asinkx ωt) = h k Asinkx ωt) ψ x)pψx)dx = i k ha sin kx ωt)dx = {udda funktion} = p = ψ x)p ψx)dx = h k ψx) dx = h k där integralerna definierats genom något lämpligt gränsvärde Detta ger att p = hk a) Vi får vågfunktionen genom att beräkna inversen av Fouriertransformen ψx) = π b) Vi använder Parsevals relation Då blir N = K ψx) dx = ˆψk)e ikx dk = π N sinkx x K ˆψk) dk = N dk = K Se uppgift a) ψx) = N π a e a x b) N = a 3 π 3 Inversen av Fouriertransformen ger ψx) = ) ) 4 exp x π 4 + ik x

32 8 4 a) Schrödingerekvationen blir h m d dx ψ = Eψ eller ψ + me h ψ = Med k = me h kan lösningen skrivas ψx) = Asin kx + B cos kx Randvillkoret ψ) = ψx) = Asin kx och randvillkoret ψa) = ger k = nπ a Då blir energierna E n = n π h ma n =,,3, b) De möjliga frekvenserna ges av skillnaden mellan energinivåerna E 3 E, E 3 E, E E Vi får ν = π h 5π h 3π h ma, 4ma, 4ma 5 På samma sätt som i uppgift 4 finner vi att lösningen till Schrödingerekvationen är Normeringen ges av L πn ) ψ n x) = N sin L x L ψx) dx = N sin πn ) L x dx = Således blir ψ n x) = L sin πn L x) Sannolikheten att finna partikeln i intervallet x L 3 blir P x L 3 ) = L 3 ψx) dx = L L 3 a) grundtillståndet, n =, P = 3 3 4π b) första exciterade tillståndet, n =, P = π c) högt exciterat tillstånd n är stort), P = 3 ± ǫ d) klassisk blir sannolikheten 3, detta motsvarar n sin πn L x ) dx = 3 πn sin πn 3 ) 6 Den stationära Schrödingerekvationen h m dx φ+v x)φ = Eφ, med randvärden φ) = φa) =, har lösningar φ n x) = a sink nx), k n a = nπ, n =,,3,, energiegenvärden E n = h k n m = h nπ ), m a n =,,3, Med a = fm fås en uppskattning av lägsta neutronenergin i en atomkärna E =, MeV d

33 9 7 På samma sätt som i uppgift 4 finner vi att lösningen till Schrödingerekvationen är πn ) ψ n x) = a sin a x, med energinivåerna E n = n π h ma Vi ska utveckla vågfunktionen ψ i egenfunktionerna {ψ n } Med hjälp av trigonometriska formler finner vi att π ) ) π π ) ) 3π cos a x sin a x = sin a x + sin a x Detta ger, efter normering De möjliga energivärdena blir Sannolikheten för respektive värde ges av Vilket ger 4 9, 9 respektive 4 9 ψ = 3 ψ + ψ + ψ 3 ) E = π h ma, E = π h ma E 3 = 9π h ma ψ n,ψ) 8 Grundtillståndena för t < T respektive t > T ges av ψ = Den sökta sannolikheten blir a sin π a x ) ψ,ψ ) = a a och ψ = π ) π ) sin a x sin a x a sin π a x ) dx = 3 9π 9 I intervallet < x < a blir Schrödingerekvationen h m dx E +V )ψ = För bundet tillstånd krävs att E < Med k = m E + V h ) kan lösningen skrivas ψx) = Asin kx + B cos kx Randvillkoret ψ) = ψx) = Asin kx För x > a har vi h d ψ m dx = Eψ Med α = m E har vi lösningen: h d ψ ψx) = Ce αx + De αx ψ då x C =

34 3 Kontinuitetsvillkor att ψ och ψ är kontinuerliga i x = a: Asin ka = De αa kacos ka = αde αa Dessa två villkor ger: tanka = ka αa För att lösa denna ekvation numeriskt sätter vi ka = z mv och b = a Då är αa = b h z och ekvationen blir z tan z = b z För bundet tillstånd krävs b > π mv a > π h 4 V > h π 8ma 5 tan z b z Man ser lätt att P är självadjungerad: Pψ,φ) = ψ,pφ) Alltså har P reella egenvärden Vidare Pψ = aψ och P = ψ = P ψ = PPψ) = a ψ, så a = Då måste a = ± Motsvarande egenfunktioner kallas symmetriska eller antisymmetriska funktioner Varje funktion kan skrivas som en summa av en symmetrisk och en antisymmetrisk funktion P har en fullständig uppsättning egenfunktioner), explicit: ψ = ψ s) + ψ a), där ψ s) x) = ψx) + ψ x))/, ψ a) x) = ψx) ψ x))/ Man ser lätt [T,P] =, så [P,V ] = [P,H] = Om ψ är en egenfunktion till H, Hψ = Eψ, har vi HPψ = PHψ = PEψ = EPψ, varför Pψ blir en ny egenfunktion med samma egenvärde E Om E är degenererat, så kan, enligt ovan, ψ skrivas som en summa av egenfunktioner till P med samma energi E Speciellt gäller för endimensionella problem att H ej har degenererade egenvärden en andra

35 3 ordningens linjär ordinär differentialekvation med två randvillkor har högst en lösning) så varje egenfunktion till H har bestämd paritet Schrödingerekvationen h d ψ m dx + V ψ = Eψ Kontinuitetsvillkoret är att ψ och ψ är kontinuerliga i x = ±a För bundna tillstånd är E < V : x < a : x > a : d ψ dx + k ψ =, k = me h d ψ dx κ ψ =, κ = mv E) h Behandla symmetriska s) och antisymmetriska a) lösningar var för sig se uppgift ) s) : ψ = A cos kx för x < a ψ = A e κ x för x > a Det är nödvändigt av fysikaliska skäl att förkasta lösningen e κ x i x > a) Eftersom ψ är symmetrisk räcker det att ställa upp kontinuitetsvillkoren i x = a ψ kont a) : A cos ka = A e κa bestämmer A /A ) ψ /ψ kont k tan ka = κ ψ = A sin kx i x < a ψ = A e κ x sgn x i x > a ψ kont A sinka = A e κa ψ /ψ kont k cot ka = κ De två ekvationerna skall nu lösas, vilket måste ske numeriskt För att göra detta inför mv vi beteckningarna ξ = ka, η = κa, α = a Då blir ξ + η = α, ξ tan ξ = η s), h ξ cot ξ = η a) Ekvationerna löses grafiskt Vi får alltså ett ändligt antal lösningar svarande mot diskreta värden på E < V ) Dessa lösningar är de bundna tillstånden normerbara lösningar till den stationära Schrödingerekvationen) Lösningarna är alternerande symmetriska och antisymmetriska när E ökar Den lösning som svarar mot minsta värdet på E kallas grundtillståndet och är symmetrisk Ur diagrammet framgår att det finns precis två bundna tillstånd då π α < π α = π ger V = π h 8ma ξ + η = ) π och η = ξ tan ξ ger: ξ = π cos ξ Lösning ξ,934 och den lägsta energinivån blir E = h ξ ma = 4ξ π V,354V a) Vi söker de tillstånd som har energi E < V Schrödingerekvationen: h m φ x) + V x)φx) = Eφx) vilket ger: x < a : φ κ φ =, κ = m h V E) a < x < b : φ + k φ =, k = m h E

36 3 s) a) s) 4 η 3 α α ξ Rand- och kontinuitetsvillkor: I x = ±a skall φ och φ vara kontinuerliga sannolikhetsströmmen kontinuerlig) och i x = ±b skall φ = Vi har nytta av följande sats: Om potentialen och därmed hela Hamiltonoperatorn) är symmetrisk V x) = V x)), så kan lösningarna väljas antingen symmetriska eller antisymmetriska se uppgift ) Om Hamiltonoperatorn har enkla egenvärden blir detta uppfyllt automatiskt I en dimension blir alla bundna tillstånd enkla och här blir givetvis alla tillstånd bundna Dela upp i symmetriska och antisymmetriska lösningar De symmetriska lösningarna s): < x < a : φ = A cosh κx a < x < b : φ = A sinkb x) satisfierar randvillkor i x = b) φ kontinuerlig i x = a ger: A cosh κa = A sinkb a) bestämmer A ) φ φ kontinuerlig ger: κtanh κa = k cot kb a) bestämmer egenvärdena E n) För de antisymmetriska lösningarna a): < x < a : φ = A sinhκx a < x < b : φ = A sin kb x) φ kontinuerlig i x = a ger: A sinhκa = A sin kb a) φ φ kontinuerlig ger: κcoth κa = k cot kb a) Lösningen i x < fås givetvis genom f x) = fx) Med beteckningarna α = mv h,

37 33 κ = α k och E = h k m kan vi lösa ekvationerna för energin grafiskt: kcotkb a) κcothκa a) /b a) κtanhκa s) α 7 ka Man får par av lösningar där den symmetriska har något lägre energi än den antisymmetriska b) E = V k = Fall s): < x < a : φ = C a < x < b : f = C sinkb x) φ kontinuerlig i x = a ger: C = C sinb a) φ kontinuerlig i x = a ger: k cos kb a) = Lägsta lösningen: kb a) = π k = π V = h k m = h π m 4 b a) P a < x < a) = a a φ x)φ x)dx = ac [ a Normeringsvillkor: = C dx + b a Den sökta sannolikheten är a a+b b a C sin kb a) sin kb a) ] dx C = a+b 3 Sätt k = me, varvid Schrödingerekvationen tar formen h d dx + ) a δ ǫx) ux) = k ux), x < d,

38 34 ud) = u d) = Låt u ± x) vara lösningen för x > ǫ och x < ǫ kǫ respektive Då ǫ, eller π låg energi stor våglängd) i förhållande till ǫ, får vi enkel verifikation om man har lärt sig derivera funktioner med enkla diskontinuiteter, se kurs i distributionsteori) u + ) = u ) kontinuitet) du + dx ) du dx ) = a u) språng i derivatan proportionellt mot u) och potentialens styrka) Eftersom V x) = V x) blir enligt tidigare visad sats se problem 6) varje lösning till Schrödingerekvationen symmetrisk s) eller antisymmetrisk a) För d < x < ǫ gäller u s) x) = u s) + x), u a) x) = u a) + x) Vi får u + x) = sin kd x) Villkoren i origo ger då lösningen är: symmetrisk: kontinuiteten trivialt uppfylld, derivatavillkoret blir tan kd = ka s) antisymmetrisk: derivatan blir automatiskt kontinuerlig och om funktionen ska vara kontinuerlig måste u) =, dvs sin kd =, k n = nπ d, n =,,3, a) Lägsta energin för symmetriska tillstånd ges av minsta icke-försvinnande roten till s), vilket ger kd < 3π δ+π Eftersom ka kd i s) sätter vi k = d och vi får a d δ + π) = tand + π) = tan δ = δ + Oδ 3 ), varför till lägsta icke-försvinnande ordning δ = πa d a och k = π d a Skillnaden i energi mellan de två lägst liggande symmetriska och antisymmetriska tillstånden respektive blir = E s) E a) = π h ) ) m d a d 4 Lösningen till Schrödingerekvationen blir me ψx) = där k = och k h = lösa Schrödingerekvationen för alla x) ger { Ae ikx + Be ikx, x < Ce ikx, x >, m h E + V ) Kontinuitet hos funktion och derivata ty ψx) ska { A + B = C k k A B) = C B = A k k k+k R = B A = k k k +k,t = R = 4kk k +k Speciellt: E = 5 MeV, V = 5 MeV ger R = ),88 och T,7