Matematikdidaktik för högskolan - uppsatser. Matematikcentrum Lunds universitet

Transkript

1 Matematikdidaktik för högskolan - uppsatser Matematikcentrum Lunds universitet

2 Förord Kursen Matematikdidaktik för högskolan är en kurs för doktorander och yngre lärare, som givits under 2005/2006 vid Matematikcentrum, Lunds universitet. I kursen ingår att skriva en uppsats, som antingen baseras på litteraturstudier eller på en empirisk undersökning. Kursen svarar totalt mot fem veckors arbete varav uppsatsen beräknas ta en vecka i anspråk. I detta kompendium har vi samlat kursdeltagarnas uppsatser. De olika uppsatserna speglar författarnas egna intressen och de har eftersträvat en tydlig koppling till den matematikdidaktiska forskningen. Några av uppsatserna baseras enbart på litteraturstudier. Svetlana Ianchenko beskriver och diskuterar några reformer med nya undervisningsmetoder och nya mål för matematikkurser som utförs på högskolenivå i Sverige. Niklas Lindholm gör en studie av hur Piaget drar paralleller mellan individers kunskapsutveckling och kunskapsbildning utifrån ett vetenskapshistoriskt perspektiv. Anna-Maria Simbotin skriver om studenters svårigheter med matematisk abstraktion och ger exempel på hur undervisningen kan struktureras för att underlätta för studenterna. Azra Kurbasic skriver om olika aspekter på val av uppgifter och deras roll för ett aktivt och förståelseinriktat lärande. I flera av uppsatserna har författarna tittat på undervisning och lärande vid kurser som ges vid Matematikcentrum, ofta i samband med ändrade arbetsformer eller undervisningsmetoder. Kursmaterial och data från enkäter, intervjuer, tentamenslösningar och tentamensresultat har använts. Charlotte Svensson och Fredrik Svensson har båda undersökt hur inlämningsuppgifter påverkar studenternas lärande och deras attityder. I två uppsatser behandlas samarbetslärande, en undervisningsform som introducerats under de senaste åren på några grundläggande kurser vid Matematikcentrum. Sara Larsson och Linda Werner Hartman har gjort en relativt omfattande statistisk analys för att undersöka vilken påverkan samarbetslärandet har på tentamensresultaten, medan Fredrik Kahl och Magnus Oskarsson redovisar hur lärarna ser på studenternas arbetssätt i en kurs baserad på självständighet och samarbetslärande. Carl Olsson har analyserat och jämfört två studentgruppers lösningar på samma tentamensuppgifter, där den ena gruppen läst en delvis reformerad kurs i inledande analys, med mer betoning på vissa grundläggande delar. Olof Barr och Anna Torstensson har också utgått från tentamenslösningar för att studera begreppsbildning och sambandet med problemlösning, men har kompletterat med intervjuer, för att få en fördjupad bild av studenternas uppfattning. Hans Öfverbeck studerar hur man i undervisningen kan ta hänsyn till att olika studenter föredrar olika sätt att tänka matematiskt, till exempel ett visuellt eller ett analytiskt tankesätt. Tomas Persson har skrivit om hur datoralgebrasystem kan stödja eller hindra begreppsbildningen och exempelfierat med kursmaterial från några kurser vid Matematikcentrum. Anna Lindgren och Martin Sköld studerar hur studenternas matematikkunskaper påverkar deras framgång i matematisk statistik genom att jämföra resultaten på tentamensuppgifter i matematisk statistik av olika karaktär och relatera till studentens matematikbakgrund. Helheten av uppsatserna ger en bild av aktuella frågor och pedagogiska utmaningar inom grundutbildningen i matematik och tillämpad matematik. Vi hoppas att innehållet kan vara av intresse för kollegor både vid denna och vid andra institutioner som bedriver grundläggande matematikutbildning vid högskolan. Lund i mars 2006 Gerd Brandell Kursledare

3 Innehåll Olof Barr och Anna Torstensson Studenters bilder av matematiska begrepp och hur de påverkar problemlösningsförmåga 1 Svetlana Iantchenko Otraditionell matematikundervisning, två exempel 16 Azra Kurbasic Uppgifternas roll för att främja inlärande av matematik med förståelse 24 Sara Larsson och Linda Werner Hartman Kan studenter lära varandra? 33 Anna Lindgren och Martin Sköld Studieframgång i statistik inte bara matematik 53 Niklas Lindholm Piagets genetiska epistemologi 67 Carl Olsson Utvärdering av experimentkurs i analys för brand 79 Magnus Oskarsson och Fredrik Kahl En för alla alla för en Samarbete och inlärning i matematisk modellering 89 Tomas Persson Datoralgebrasystem i undervisning 102 Anna-Maria Simbotin Om studenternas svårigheter med matematisk teori 115 Charlotte Svensson Inlämningsuppgifter i matematik vad tycker studenterna? 127 Fredrik Svensson Frivilliga inlämningsuppgifter i kursen FMN Hans Öfverbeck Matematiska tänkesätt i undervisningen 147

4 Studenters bilder av matematiska begrepp och hur de påverkar problemlösningsförmåga Olof Barr och Anna Torstensson Centre for Mathematical Sciences Lund University Sweden January 26, 2006 Abstract Vi har undersökt de begreppsbilder förstaårsstudenter vid LTH har haft om olika matematiska begrepp vid första tentamenstillfället i matematik. Rapporten förordar att läraren, för att hjälpa individuella studenter med missuppfattningar kring olika begrepp, ska försöka att aktivera olika delar av begreppsbilderna hos studenten som motsäger varandra, så att studenten upplever konflikten och kan få hjälp med att förändra sin begreppsbild. Detta är naturligtvis väldigt tidskrävande och i praktiken utopiskt att uppnå i varje enskilt fall. 1 Introduktion När man som lärare diskuterar matematik med sina studenter på grundläggande högskolenivå, och när man rättar deras tentamensskrivningar så stöter man ofta på resonemang som vid en första anblick verkar obegripliga. Å andra sidan verkar det orimligt att tro att matematiklärare skiljer sig på något fundamentalt sätt från matematikstudenter vad det gäller hur man tanke- och känslomässigt reagerar på olika situationer. Detta visar ju sig bland annat genom att rollerna genast kan bli de ombytta om man en stund senare börjar diskutera något område där studenten har stor erfarenhet. Om man jämför sina egna tankar kring något svårt forskningsproblem som man arbetar med är det inte heller svårt att leva sig in i studenternas situation. Den stora skillnaden tycks vara att det är begrepp och problemställningar av olika komplexitet och svårighetsgrad som förvirrar läraren respektive studenten. Man kan därför tänka sig att studenterna i grunden resonerar relativt rationellt 1 1

5 och logiskt utifrån sin utgångspunkt. Att resultatet ändå ofta inte blir det läraren väntat sig kan förklaras med att studenten inte har lika väl utvecklade begreppsbilder kring grundläggande matematiska begrepp som någon med större erfarenhet av matematik har. 1.1 Frågeställning I vårt arbete som lärare vid universitet och högskola har vi kommit att intressera oss för hur studenternas begreppsbilder inverkar på matematikinlärandet. Speciellt en fråga brukar dyka upp i samband med rättning av tentamina i olika grundkurser i matematik. Det förefaller som om det finns återkommande typer av felresonemang bland studenterna och det vi vill undersöka är huruvida detta bottnar i gemensamma fel i studenternas begreppsbilder. Nu har vi dock inte haft tid till att djupintervjua så många studenter i detta projekt, utan denna uppsats kan snarast ge en beskrivning av hur dessa begreppsbilder kan te sig i några individuella fall. Dessa individuella representanter kan snarast ge läraren en vägledning om hur typiska fel i begreppsbilderna kan se ut och vilka fel de kan resultera i vid en tentamen. Detta anser vi ändå kan ge viss vägledning till föreläsaren om vad som bör betonas i undervisningen för att på sikt motverka de felaktiga föreställningarna. 1.2 Tidigare arbeten och teoribildning Tankar liknande de ovanstående ledde Tall och Vinner till att införa distinktionen mellan begreppsbild och begreppsdefinition i [11]. Båda termerna refererar till individuella mentala konstruktioner, till skillnad från den formella begreppsdefinitionen som är den bland matematiker överenskomna definitionen. En individs begreppsdefinition är det sätt på vilket han eller hon för sig själv definierar ett givet begrepp. Det kan vara en (felaktig eller korrekt) memorering av den formella begreppsdefinitionen, men också en modifiering av begreppet som individen (oftast omedvetet) gjort för att passa in den i sin mentala struktur. Exempel på en begreppsdefinition av arccos(x) kan vara inversen till cosinus, eller en instrumentell beskrivning såsom "inversknappen på miniräknaren". Den formella definitionen av arccos(x) är ju att det är inversen till restriktionen av cos(x) på intervallet [0,π], men om man inte har inversbegreppet klart för sig kanske man inte ser något problem med att bilda en invers till cosinusfunktionen (utan någon restriktion av definitionsintervallet). Det kan också vara så att man vid närmare eftertanke kan tala om vad en invers är, men inte har aktiverat denna kunskap i samband med att man får uppgiften att tala om vad arccos(x) betyder. 2 2

6 Individens begreppsbild är hela det kognitiva nätverk som vävts kring begreppet. Begreppsbilden byggs upp och förändras genom olika erfarenheter. När det gäller komplicerade begrepp som exempelvis gränsvärden eller kontinuitet inom matematiken är det inte ovanligt att olika delar av begreppsbilden motsäger varandra hos en och samma individ. Detta upplevs inte som en konflikt så länge individen inte hamnar i en situation som aktiverar dessa motsägande delar av begreppsbilden samtidigt. När en sådan konflikt uppstår kan det leda till att personen modifierar delar av begreppsbilden för att den aktualiserade motsägelsen skall upphöra. Detta kan jämföras med Piagets allmänna teori för kognitiv utveckling där han beskriver två huvudsakliga sätt att ta till sig information från omvärlden. Det kan antingen ske genom assimilation, vilket innebär att nya data läggs till i en befintlig kognitiv struktur utan ändra den, eller genom ackomodation. Det senare är en process i vilken individen förändrar den aktuella kognitiva strukturen och skapar en ny, i ett försök att innefatta så väl tidigare erfarenheter som den aktulla. Om vi bygger vidare på exemplet med arccos(x) från matematikens värld kan vi tänka oss en person P som liksom ovan har begreppsdefinitionen inversen till cosinus av arccos(x) och vars begreppbild av invers bland annat innehåller att funktionen måste vara injektiv och att detta kan illustreras med att funktionens graf inte får skäras mer än en gång av någon linje parallell med x-axeln. Om vi nu ber P rita upp grafen till funktionen y =cos(x) och därefter illustrera hur funktionen x = arccos(y) definieras med hjälp av sin bild, så är det mycket möjligt att P blir förvirrad. Detta kan P hantera på olika sätt. Exempelvis kan P hålla fast vid sin kognitiva struktur och avfärda sin aktuella erfarenhet. Kanske tänker P att han kan ha ritat upp grafen felaktigt, men bryr sig inte om att undersöka det hela närmare. Han lägger kanske till sin erfarenhetsbank ett minne om att det kan hända konstiga saker vid invertering av cosinusfunktionen som är obehagliga och bör undvikas. P har i så fall ägnat sig åt assimilering. Alternativt kan man tänka sig att P vill gå till botten med problemet. Han kanske börjar fundera på om han verkligen minns rätt om inverser. Kanske var det linjer parallella med y-axeln som bara får skära funktionens graf högst en gång. I så fall blir cos(x) inverterbar och konflikten har upphört. (Exempelvis när P skall beskriva hur man får fram inversens värden från funktionens graf kommer dock en ny konflikt att uppstå.) En annan möjlighet är att P faktiskt erinirar sig att han har hört något om ett intervall i samband med arccos(x). Var det inte [ π 2, π 2 ] eller möjligen [0,π]? Nu ser P att om man bara tar ut den del av cosinus-grafen med definitionsmängd [0,π] så kommer varje vågrät linje skära i högst en punkt. Också i detta fall upphör den aktuella konflikten. I de två senare fallen har P ägnat sig åt ackomodation. Ur matematikinlärningssynpunkt är det sista fallet det största framsteget eftersom P modifierat sin bild av arccos så att den bättre stämmer överens med den matematiska definitionen. Detta gör också att risken för framtida konflikter mellan olika delar av begreppsbilder 3 3

7 hos P minskar. Dubinsky har vidareutvecklat Piagets ideér för beskrivning av just den kognitiva utveckling som äger rum då man ägnar sig åt matematik på högskolenivå [2]. Han identifierar fem olika typiska sätt på vilka ackomodation kan ske i denna situation. Särskilt intressant i detta sammanhang är ackomodation genom generalisering. Tall har lagt märke till att svårigheter i matematik ofta uppstår på grund av en form av generalisering som han kallar den generiska utvidgningsprincipen, något han utvecklade i [9], och citeras i hans senare artiklar. Denna innebär att en person som ser ett antal exempel på ett slags objekt vilka alla har en viss egenskap drar slutsatsen att alla objekt av detta slag har egenskapen i fråga. Om man till exempel definierar begreppet matris i en kurs som sedan handlar om diagonalisering kanske man hela tiden ger exempel med kvadratiska matriser. Då är det, om studenterna inte tidigare stött på matriser i andra sammanhang, stor risk att de tror att det ingår i begreppet matris att antalet rader skall vara lika stort som antalet kolumner. En forskare som också intresserat sig mycket för begreppsbildning är psykologen Vygotsky. Utan att gå in närmare på hans övergripande teori kan vi se närmare på hans begrepp närmaste utvecklingszon som är relevant i detta sammanhang. En individs aktuella utvecklingszon är det område han eller hon redan behärskar, medan den närmaste utvecklingszonen är det område där systematisk inlärning ger resultat. Inom denna zon kan man inte lösa problem på egen hand, men däremot med hjälp i form av exempelvis antydningar och tips. Bortom zonen saknas koppling till material i den aktuella utvecklingszonen, vilket enligt Vygotsky omöjliggör inlärning. En maximalt givande diskussion om en students matematiska begrepp torde enligt Vygotsky till stor del röra sig inom just den närmaste utvecklingszonen där det finns oklarheter i begreppsbilderna men också stor möjlighet till påverkan och förändring av desamma. En individs begreppsbild kan inte studeras direkt. Däremot påverkar våra begreppsbilder vårt agerande i konkreta situationer. På så vis kan man exempelvis i en students lösning av ett matematiskt problem finna spår av de bilder av begrepp relevanta för uppgiften som studenten har [5]. Vill man veta mer om en students begreppsbild kan man också tänka sig att man ger personen i fråga uppgifter att lösa som är specialdesignade för att spår av speciella begreppsbilder skall visa sig. Man kan naturligvis också fråga direkt hur vederbörande definierar begreppet för sig själv och vilka mentala bilder som kommer upp när man diskuterar begreppet. Detta var den teoretiska utgångspunkten för hur vi lagt upp vår studie. 4 4

8 2 Undersökningen i detta arbete I detta arbete ville vi undersöka LTH-studenters förståelse av vissa grundläggande begrepp vid tiden för första matematiktentamen (Analys I, oktober 2005). Exempelvis så saknas ofta grundläggande kunskaper om gränsvärde och derivata hos de underkända studenterna. Undersökningen skulle kunna peka fram viktiga aspekter hos begreppen som inte nått fram i undervisningen och vägleda lärare inför framtiden. 2.1 Metod och upplägg I undersökningen valde vi ut tre olika deluppgifter från tentamen i Analys I (se bilaga), vilka skulle kunna återspegla kunskapsbrister kring grundläggande begrepp. Uppgifterna var: 2 c) Lös följande ekvation: sin x +cosx = poäng 4 a) Funktionen f är deriverbar i x 0. Hur definieras f (x 0 ). 0.2 poäng 4 b) Härled derivatan av f(x) =e x. 0.3 poäng Som ett första urval av studenter valde vi att endast titta på studenterna vid programmen D (Datateknik) och W (Ekosystemteknik), för en mer tidskrävande undersökning kunde naturligtvis samtliga tenterande på kursen valts ut, men vi bedömde att två av programmen borde relativt väl kunna avspegla de typer av misstag studenterna gjort vid dessa uppgifter. Totalt var det 65 tentor vi studerade närmare. Vi gick igenom dessa studenters lösningar på de ovan nämnda uppgifterna och klassificerade dem utifrån vilken typ av misstag de gjort i sina lösningar vid tentamenstillfället. Utifrån denna klassificering tittade vi på vilka misstag som var mest frekventa och som samtidigt skulle kunna tyda på någon brist av förståelse av något grundläggande begrepp. Här var det alltså av mindre intresse att studera enklare former av räknefel eller slutledningsmisstag då detta är svårt att koppla till någon förståelsebrist av något grundläggande begrepp. I den först nämnda uppgiften valde vi att titta närmare på de studenter som verkade ha problem med inversa funktioner i allmänhet och funktionen arcsin x i synnerhet. I den andra uppgiften kom huvudproblemet att handla om den snarast språkliga frågan om vad en definition är och då speciellt en matematisk definition, även om detaljerna naturligtvis rörde sig kring definitionen av derivata. Slutligen kom den tredje uppgiften att handla om lagarna för potensräkning och hur man kan minnas dem. Här var det också intressant att titta på kopplingen till uppgiften innan 5 5

9 och se om och hur de använt sig av derivatans definition för att härleda derivatan av exponentialfunktionen. Ur var och en av dessa tre grupper valde vi ut två representanter från studentgruppen, vilka skulle kunna sägas utgöra relevanta exempel på potentiella intervjuobjekt för längre kvalitativa intervjuer. Slutligen kontaktades dessa sex studenter för intervjuer kring de respektive problem de valts ut för. Frågorna i intervjun bestämdes att gå från det allmäna till det specifika för att avslutas med en titt på hur studenten ifråga svarat på just den specifika uppgiften vid tentamenstillfället. Frågorna för den första uppgiften var frågorna av karaktären: 1. Vad är en invers funktion? 2. Vilka problem kan uppkomma då man skapar en invers funktion? 3. Hur ser den inversa funktionen till sin x ut? 4. Hur gör man för att få fram alla lösningar till ekvationerna sin x = 1 2 och sin x = 1 5? 5. Avslutning med studentens lösningsförslag vid tentamenstillfället. För den andra uppgiften var frågorna: 1. Vad är en definition? 2. Vad använder man definitioner till? 3. Hur definierar man derivatan? 4. Vad använder man derivatans definition till? 5. Avslutning med studentens lösningsförslag vid tentamenstillfället. Och slutligen för den tredje uppgiften: 1. Vilka räknelagar finns det för potensräkning? 2. Hur kan man memorera dessa räknelagar? 3. Finns det något sätt att kolla om man har memorerat rätt? 4. Kan du lösa 3 x+1 +3 x =18? 6 6

10 5. Avslutning med studentens lösningsförslag vid tentamenstillfället. Efter intervjuerna har vi sammanställt och analyserat svaren för att kunna belysa vilka begreppsliga problem studenterna har haft i de olika fallen. Resultaten här är naturligtvis ett utslag av de enskilda studenternas svar på frågorna och de kvalitativa svar undersökningen ger kan naturligtvis inte svara på huruvida studenterna vi valt ut varit representativa i vårt urval. Däremot kan de kvalitativa svaren utsäga att det inte är otroligt att studenterna i varje problemkategori har likartade problem i sin uppfattning av de begrepp som undersökningen tagit fasta på. 2.2 Statistik För att vi ska ha en uppfattning om hur enkla eller svåra de studerade uppgifterna har varit för studenterna vid tentamenstillfället presenterar vi här några tabeller över hur många poäng de har tilldelats vid respektive uppgift. Fördelning av poäng på uppgift 2 c), uppdelat på kön var således kön antal K 22 18% 0% 18% 9% 55% M 42 38% 2% 12% 5% 38% Fördelning av poäng på uppgift 4 a), uppdelat på kön var kön antal K 22 30% 9% 61% M 42 39% 7% 55% och avslutningsvis var fördelningen av poäng på uppgift 4 b), uppdelat på kön kön antal K 22 25% 4% 8% 63% M 42 39% 2% 0% 59% En uppdelning av resultaten på kvinnor respektive män visar att det inte finns någon större signifikans (p 0.4) för att kvinnorna har haft bättre resultat på de undersökta deluppgifterna, även om det kan se ut så vid en första titt på siffrorna, underlaget är helt enkelt för litet för att vi ska kunna dra några egentliga slutsatser. 7 7

11 Bland dessa tentamensskrivningar tittade vi sedan på de skrivningar som haft poängavdrag vid någon av de valda uppgifterna för att kunna gruppera skrivningarna efter den typ av fel som gjorts. Det utkristalliserade sig ganska snart, efter bortsorteringar av de som inte försökt alls och de som haft 0.1 poängs avdrag för räknefel, att den överväldigande majoriteten av de felaktiga svaren hamnade inom samma kategori. Det vill säga, i uppgift 2 c) var det olika problem med inversa funktionen till sin x, i uppgift 4 a) var det sammanblandningar mellan informella beskrivningar och formella definitioner samt i 4 b) var det problem med att komma ihåg och använda potenslagarna. Något som är värt att poängtera är att flera tenterande (4 stycken) kunde det korrekta svaret på 4 a), men de hade istället skrivit ned det och använt det på uppgift 4 b), medan de i föregående uppgift hade svarat med en informell beskrivning istället för en formell definition. Detta tyder någonstans på att, utöver problemen som studenterna har med olika matematiska begrepp, det också finns ett språkligt problem där en del studenter exempelvis inte lärt sig vad som menas med en definition i matematiska sammanhang. 2.3 Sammanfattning av intervjuer Intervjuerna med studenterna utfördes på så sätt att en av oss i huvudsak ställde frågorna och diskuterade med studenten, medan den andre antecknade. Studenten fick papper och penna till att rita och/eller anteckna med, ett material som sedan sparades för att vi lättare skulle kunna redogöra för studentens tankegångar. Intervjuerna spelades också in på band, ifall vi skulle vilja gå tillbaka och exakt citera studenternas svar och kommentarer. Av de sex stycken kontaktade studenterna fick vi endast tag på tre av dem. Lyckligtvis fördelade sig det stora bortfallet jämnt, vilket gjorde att intervjuundersökningen åtminste hade en representant för varje uppgift vi valt att undersöka. Här följer kortfattade referat av de minuter långa intervjuerna. Intervju 1 med student X om inverser 1-2. Då vi ber X om en definition av inversen till en funktion är han tveksam, men ritar efter en stund en bild på en funktion som ej är injektiv och förklarar att det inte får vara så att flera x-värden ger samma y-värde om funktionen skall ha invers. X förklarar ej närmare hur inversen kan illustreras med bilden och ger ej heller någon formell definition av invers. 3. X minns att arcsin(x) är invers till sinusfunktionen på ett visst intervall, men kan inte säkert minnas vilket intervall. Varför det är invers på ett intervall och 8 8

12 inte på hela reella axeln har X ej reflekterat över tidigare, men han kommer så småningom (med viss ledning) fram till varför, genom att titta på grafen till sin(x). Han kan då också se att intervallet på vilket inversen definieras skall vara [ π 2, π 2 ]. Intervjuare 1: Kan du säga något om sinus invers? X: Det är väl... Det är väl arcsinus inom det här intervallet. Jag blandar ihop de här intervallen. Cosinus och tangens är väl π 2 till π 2? Intervjuare 2: Om du ritar upp sinusfunktionen så kanske du tänker på... det här problemet som vi pratade om i början. (Syftar på att det inte finns invers om ett y-värde svarar mot flera x-värden.) X: Ja, jo givetvis. Det blir ju... För tar du ett intervall som går ända hit så har du ju 1,2,3,4 värden. Då blir det π 4. Nej, π 2 blir det. Just det, π 2 och π 2. Ja, okej. 4. X börjar genast rita upp trianglar för att lösa det första problemet. De använder han för att hitta en vinkel vars sinusvärde är 1 2 och lyckas på så sätt hitta lösningen x = π 4. Han förklarar sedan hur man får fram samtliga lösningar till ekvationen genom att se i enhetscirkeln vilka andra vinklar som har samma sinusvärde. X kan inte se att denna lösning har något med arcsin(x) att göra. När han ställs inför motsvarande problem med 1 5 i högerledet istället för 2 1 vet X ej hur han skall angripa det. Med hjälp lyckas han komma fram till att man kan ta fram ett första värde ur sinusgrafen genom att ta ut första positiva x-värdet som motsvarar y = 1 5. X kan sedan resonera sig fram till samtliga lösningar med hjälp av enhetscirkeln som i föregående problem. X nämner aldrig arcsin i samband med lösningen och tycks ej vara klar över att det är arcsin( 1 5 ) som han beräknar med hjälp av grafen. 5. X kan förklara stegen i sin lösning efter lite betänketid och ser nu klart att han missat att ta med vissa av lösningarna till ekvationen. Intervju 2 med student Y om potensräkning 1. Y är osäker på vad som menas med frågan, men när han förstått den svarar han snabbt och korrekt med två av potenslagarna: a b a e = a b+e och (a b ) c = a cb. På förfrågan efter motsvarigheten till den första av dessa med division skriver han även upp a b /a c = a b c Y minns framför allt hur potensräkningen blir i speciella situationer. Han tar som exempel upp att man i högerledet till en differentialekvation kan få e x e ix och då skall skriva om det som e x+ix. (Detta var aktuellt för studenten vid tillfället eftersom det nyligen gåtts igenom på en kurs han läste.) Y berättar också att han först nyligen fått potenslagarna klara för sig och att det skett just i samband med att 9 9

13 han arbetat med differentialekvationer. Han är medveten om att han saknar vissa grundkunskaper och att det orsakar honom svårigheter i matematikstudierna. Då vi frågar om han brukar sätta in siffror i potenslagarna för att kontrollera att han minns dem korrekt säger han att det kan man göra som en sista metod om man inte kommer på något annat. Intervjuare 1: Du kunde ju de här (syftar på potenslagarna) väldigt bra, men hur kan man göra för att minnas dem? Alltså, kan man ha någon minnesregel eller så för att... Y:... för att underlätta? Intervjuare 1: Ja, precis. Om man inte är säker på hur man gjorde. Eller sitter de bara som ett rinnande vatten? Y: Nej, inte riktigt. Intervjuare 1: Det tyckte jag i och för sig att de gjorde. Y: Jo, jo. Men man tänker ju som till exempel den här a (b+c) där tänker man ju på... Jag kan inte komma på något sådär jättebra exempel men... Intervjuare 1: Men om man... Y: Man kan ju till exempel tänka som nu när vi räknar med andra ordningens differentialekvationer... Intervjuare 1: Ja? Y:...så kan man ju få följande scenario i högerledet att e x gånger sin(x). Då kan man ju skriva om det här som e ix. Det har jag som minnesregel att då kan man göra det i alla fall. Det är väl så jag tänker nu för tiden. Intervjuare 1: Ja. Y: Det var väl då det började lossna, när vi kom in där. 4. Y börjar genast med den korrekta omskrivningen 3 x+1 =3 x 3, men har sedan svårt att se hur han skall komma vidare. Han logaritmerar höger och vänsterled och använder därvid felaktiga logaritmlagar. Sedan kör han fast. När vi frågar om han kan försöka utan logaritmer kommer han efter en stund på att man kan dela ekvationen med 3 x och löser så småningom problemet. 5. Y uppger att han vid tillfället mindes att svaret skulle bli e x. Under skrivningen kände han sig säker på att han var på rätt väg i sin lösning, men nu efteråt ser han genast felet i uträkningen. Intervju 3 med student Z om definitioner 1. Z beskriver att en definition är en exakt beskrivning av något, ett sätt att sätta gränser för vad som skall inkluderas i ett begrepp och vad som inte skall ingå. Detta gäller även matematiska definitioner. Som exempel tar Z upp deriveringsregler och 10 10

14 säger att där är det defintionen av derivata som används. Om denna säger han att det handlar om vad som händer när man har någon funktion och närmar sig en viss punkt. 2. Z säger att derivatan är funktionens lutning i en punkt. Han kan ej ge den formella definitionen av derivatan som gränsvärde, men känner igen den och kan fylla i de sista orden när vi upprepar den. Z berättar att som han ser det är den formella definitionen inte särskilt viktigt. Han inriktar sig istället på att lära sig mer mekaniskt hur man löser olika typer av problem. Intervjuare 1: (Om derivata) Hur är definitionen då? Z: Det har jag svårt att säga. Det vet jag inte. Intervjuare 2: Nej, det är ju inte lätt alltså. Intervjuare 1: Men om du har någon konkret uppgift, någon funktion, e x till exempel, och skall härleda derivatan av den. Hur skulle du gå till väga då? Du får gärna skriva. Z: Jag skulle... Det är svårt att säga. Jag bygger ju mycket av min, mina lösningar... Nu är jag inte världens bästa på matte, men det är ju mycket bara genom att sitta som man bygger upp en erfarenhetsbank skulle jag vilja säga. Man lär sig att känna igen mer än vad det egentligen är den djupa förståelsen för vad problemet innebär så ofta är det ju att man har stött på ett problem och löst det och sedan har man löpt igenom de varianterna så många gånger så att man nästan mekaniskt vet hur det går till mer än man teoretiskt vet hur det skall gå till. 3. Z uppger att han inte kan härleda derivatan till e x men att han vet vad den blir och att det är det som är viktigt när han skall lösa problem. Han siktar mer in sig på att memorera relevanta regler och tekniker än att arbeta med begreppens definitioner. På detta sätt säger han sig "bygga upp en erfarenhetsbank". Han anser att man oftast inte hinner förstå begreppen under kursens gång och har därför tillägnat sig arbetssättet som beskrivs ovan. Ibland har han upplevt en ökad förståelse för begreppen efter avslutad kurs då han arbetat vidare med dem i andra sammanhang. 4. Vid tentamenstillfället var Z egentligen övertygad om att hans svar inte var det som söktes, men eftersom detta var vad han visste om derivata skrev han det i alla fall. Han anade att svaret egentligen skulle vara något mer exakt. Efter intervjun förklarade vi hur Z:s beskrivning av derivata som funktionens (egentligen tangentens) lutning hänger samman med den formella definitionen som gränsvärde. Z tyckte att denna förklaring var givande och berättade att han inte gjort någon koppling av det slaget tidigare

15 3 Slutsatser, diskussion och sammanfattning 3.1 Slutsatser Teorin om begreppsbilder verkar vara en fruktbar förklaringsmodell för matematikundervisning på grundläggande universitetsnivå. Urvalet av försökspersoner i vår studie är så litet att man omöjligt kan dra några säkra generella slutsatser, men materialet ger ändå indikationer på att vissa missförstånd kring grundläggande begrepp såsom inverser av funktioner, gränsvärden och derivata samt en allmän svårighet att skilja definitioner från mer intuitiva beskrivningar av begrepp ligger bakom en stor del av de felaktiga slutledningar som studenter gör i en tentamenssituation. En tänkbar konsekvens för undervisningen är att mer direkt sträva efter att få upp studenternas begreppsbilder till ytan, speciellt att försöka aktivera olika delar av begreppsbilderna som motsäger varandra så att studenten upplever konflikten och kan få hjälp att förändra sin begreppsbild. Det verkar också behövas mer diskussion kring skillnaden mellan formella definitioner och intuitiva bilder och sambanden mellan dem. Det verkar i första hand vara de intuitiva bilderna som används vid problemlösning och de är därför mycket viktiga, men om koppling till den formella definitionen saknas är risken för felslut exempelvis genom att använda den generiska utvidgningsprincipen uppenbar. 3.2 Diskussion En intressant aspekt av intervjusituationen med de enskilda studenterna är hur givande ett enskilt samtal mellan lärare och student kan vara. Genom att långsamt gå igenom ett ämne, där studenten få förklara hur den tänker, kombinerat med små hjälpsamma ledtrådar, visar det sig att studenten verkigen kan reda ut de problem den haft med en specifik begreppsförståelse. Det kan liknas vid Platons dialog Menon [8], där Sokrates lär en liten gosse att om man vill dubbla arean av en kvadrat, så ska man inte dubbla sidans längd, utan använda diagonalen i ursprungskvadraten till ny sidlängd. Platon vill med detta säga att kunskapen hela tiden fanns förborgad i den lilla pojken och att den kunde lockas fram av en förlossare, i det här fallet Sokrates. Vi tror dock inte att begreppskunskaperna vi talat om i den här uppsatsen är något som ligger förborgat inne i studenterna, och att det inte heller var fallet med gossen i dialogen Menos. Det är snarare yttre hjälp, och små tips, som stimulerar studentens slutledningsförmåga till att se sambanden mellan exempelvis informella beskrivningar av begrepp och formella matematiska definitioner. Ytterligare en beskrivning av hur begrepp, definitioner och begreppsbilder växer fram kan man läsa i Lakatos bok Proofs and Refutations [6]. Här diskuterar matem

16 atikstudenterna Alpha, Beta, Gamma och Delta kring ett grafteoretiskt problem och de olika karaktärerna har olika roller i diskussionen. Exempelvis är en av dem väldigt intuitiv och rusar iväg med tankarna, medan en annan är stringent och formell och vill inte godta icke-formella bevis. I diskussionen kan man likna de olika personerna som olika delar av en matematikstuderandes inre som diskuterar med sig själv. Häri får man en bild av hur begreppsbilder och begrepp växer fram inom ett medvetande som konstant försöker se problemet från olika synvinklar. Ibland uppstår konflikter mellan de begreppsbilder som växt fram under deras diskussion, varpå de återigen får analysera problemet och de definitioner de skapat tidigare. En fråga som ställs generellt är hur man kan veta att det system som byggts upp faktiskt är motsägelsefritt och att bevisen faktiskt är korrekta. I vår studie har vi enbart interjuat personer som har misslyckats med att lösa vissa tentamensuppgifter och sett att de verkligen hade vaga eller felaktiga uppfattningar om de begrepp som var väsentliga för lösning av de aktuella uppgifterna. Härifrån kan vi dock inte dra några slutsatser om begreppsbildningen hos studenter som lyckas lösa uppgifterna. En hypotes är att dessa studenter har mer fullständiga begreppsbilder och en högre grad av koppling mellan sina intuitiva bilder kring begreppen och sin begreppsdefinition, men det är också möjligt att dessa studenter framgångsrikt ägnat sig åt att memorera vissa typlösningar. Detta skulle kunna undersökas närmare genom att intervjua en grupp studenter som lyckats med de aktuella tentamensuppgifterna enligt samma modell som de intervjuer vi genomfört Övriga observationer Vi granskade i detalj lösningarna till vissa uppgifter som 40 studenter lämnat in och vid denna granskning lade vi märke till vissa skillnader i de bedömningar olika rättare hade gjort. Det fanns exempel på snarlika lösningar som gett helt olika poäng därför att en rättare bedömt det som att studenten helt missförstått problemet medan en annan betraktade det som en mindre miss i ett i huvudsak riktigt resonemang. Det fanns också exempel på delar av uppgifter där olika rättare genomgående hade varit mer generösa i sin bedömningar än andra. 3.3 Sammanfattning Vi har undersökt de begreppsbilder förstaårsstudenter vid LTH har haft om olika matematiska begrepp vid första tentamenstillfället i matematik. Rapporten förordar att läraren, för att hjälpa studenter med missuppfattningar kring olika begrepp, ska försöka att aktivera olika delar av begreppsbilderna hos studenten som motsäger varandra, så att studenten upplever konflikten och kan få hjälp med att förändra sin 13 13

17 begreppsbild. Eftersom det inte finns tid och resurser för individuell undervisning i någon större utsträckning kan man tänka sig att läraren, med sin erfarenhet om vilka missuppfattningar som brukar förekomma, diskuterar begrepp och begreppsbilder med studenterna i större grupper och allmänt försöker uppmuntra studenterna till egna diskussioner kring begreppen Bilagor Bifogat till uppsatsen finns också: 1. Tentamen i Analys I, vilken vi hämtat uppgifter från. 2. Lösningar till de undersökta deluppgifterna. References [1] B. Sutter, Introduktion till Vygotsky VygBS1.pdf, [2] E. Dubinsky, Reflective abstraction in Advanced Mathematical Thinking Advanced Mathematical Thinking Kluwer: Holland , [3] K. Juter, Limits of functions how do students handle them?, in Pythagoras 61, 36 46, [4] K. Juter, Students Attitudes to Mathematics and Performance in Limits of Functions, in Mathematics Education Research Journal 2005, Vol. 17, No. 2, [5] K. Juter, Limits of functions: Traces of students concept images, submitted. [6] I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge, [7] J. H. Mason, Mathematics Teaching Practice A Guide for University and College Lecturers, Horwood Publishing Series in Mathematics and Applications, Eastbourne [8] Platon, Menon. I Platon: Skrifter. Bok 2. Red. Jan Stolpe. Stockholm: Atlantis, Sid [9] D. O. Tall, Building and testing a Cognitive Approach to the Calculus using Computer Graphics. Ph D Thesis Mathematics Education Research Centre, University of Warwick,

18 [10] D. O. Tall, The Psychology of Advanced Mathematical Thinking Advanced Mathematical Thinking Kluwer: Holland 3 21, [11] D. O. Tall and S. Vinner, Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity, in Educational Studies in Mathematics, ,

19 OTRADITIONELL MATEMATIKUNDERVISNING. TVÅ EXEMPEL DECEMBER 15, 2005 SVETLANA IANTCHENKO 1. Inledning Undervisning i matematik har diskuterats mycket på sista tiden. Man debatterar kring problem med studenternas försämrade förkunskap i matematik och krav som högskola ställer på studenternas kunskaper. Glappet mellan gymnasiet och högskola är stort. Antalet studenter har ökat. Spridning i förkunskaper har blivit större. Alltmer betonas vikten av att studenterna tar eget ansvar för sina studier. Hur kan man bedriva undervisningen så att man uppnår målet utan att sänka krav? Hur kan man undervisa så att studenterna blir mer aktiva? Behöver man införa nya former av examinationen för att kontrollera studenternas matematiska förståelse? Flera högskolor i Sverige jobbar på att utveckla nya otraditionella metoder i undervisningen och examination. Grupparbete, mentorssystem, försök att integrera datorn i matematikundervisningen, kontinuerlig examination är några exempel på sådana metoder. Min uppsats baseras på två projekt Matematik med ökat studentansvar och ny lärarroll och Lära matematik genom muntlig presentation. 2. Matematik med ökat studentansvar och ny lärarroll Högskolestudier innebär stora förändringar för de flesta nybörjare. Man måste själv ta mer ansvar för sina studier. En viktig del av utbildningen är att lära sig att lära sig och den delen anses få allt större betydelse. Detta medför att lärarens roll förändras från föreläsarens till handledarens roll. Studenterna måste i större grad själva söka kunskap istället för att få den serverad. Det är viktigt att skapa goda kontakter mellan lärare och studenter och den enskilda studentens anonymitet måste brytas. Ett försök att genomföra dessa förändringar har man gjort på Mälardalens högskola via projektet Matematik med ökat studentansvar och ny lärarrol [1]. Projektet genomfördes på Institutionen för matematik och fysik under 95/96 och 96/97 läsåren, kurser som berördes var Introduktionskurs, Lineär algebra och Analys. Traditionell undervisning består av ett antal föreläsningar där en föreläsare går genom ett visst material och övningar där studenterna själva löser uppgifter. Vid slutet av kursen har man skriftlig tentamen som examinationsform. Studenterna får en mycket passiv roll medan lärare är isolerad ifrån studenter med denna form att bedriva undervisningen på.undervisningen måste sträva efter att studenterna aktivt lär sig istället för att studenterna blir undervisade. Olika personer tänker på olika sätt. Ju större spridningen i kunskaper är desto svårare för föreläsaren att anpassa föreläsningen till enskilda studentens behov. Syftet med projektet var att ändra studenternas och lärarnas roll i undervisningen, sträva efter aktiv inlärning 1 16

20 2 SVETLANA IANTCHENKO från studenternas sida och ändra på lärarens roll från lektor till handledare. För att höja kvaliteten på studenternas inlärning har man bestämt att organisera studenter i grupper med max 4 personer avstå från traditionella föreläsningar förutom skriftlig tentamen införa kontinuerlig examination. Man utgår från att varje individ strävar efter kunskap och lärarens roll är att skapa atmosfär och goda villkor för inlärning. Utvecklingen av projektet har man byggt på följande pedagogiska teorier uppfattningsteori (perception) Teorin har utvecklats av J.J.Gibson[5,6], E.J.Gibson[4], J.Piaget[8] och U.Neisser[7]. Genom våra sinnen får vi information om vad som händer kring oss. Vi bearbetar och strukturerar informationen. Den processen kallas för perception. Processen är dynamisk och utvecklas utifrån individens och miljös samverkan. Perception är viktig grund i all inlärning. konstruktivism De viktigaste aspekter i konstruktivistisk syn på inlärning är att (1) all kunskap är konstruerad. Matematisk kunskap är konstruerad med hjälp av reflektiv abstraktion. (2) det finns kognitiva strukturer som aktiveras under processen. (3) de kognitiva strukturerna utvecklas kontinuerligt. En konstruktivist betraktar följande påstående som centrala: (1) Matematik är konstruerad av människor. Den är inte oberoende sannin eller samling av regler. (2) Interpretation av matematisk innebörd är snarare konstruerad av den som lär sig än hämtad från den som undervisar. (3) Matematisk inlärning sker mer effektivt genom vägledande upptäckter, meningsfull tillämpningar och problemlösningar än genom formell användning av algoritmer. (4) Examination genom individuella intervjuer och case studier ger betydligt mer än vanlig papper-och-penna test. (5) Läraren uppnår effektiv undervisning genom att skapa inlärnings miljö i klassrum, uppmuntra kreativa problemlösningar och minska betoning av korrekt svar. För att uppnå syftet med projektet, nämligen sträva efter aktiv inlärning har man bestämt att avstå från föreläsningar och ändra på examinationsform.traditionell undervisning i form av föreläsningar skapar oftast passivt deltagande från studenter. Studenter accepterar lärarens bild och uppfattning istället för att skapa sin egen. Examination måste motivera studenternas arbete, ge möjligheten att tillämpa sina kunskaper, ge bekräftelse på progressen i studier och ge lärare och studenter chans att diskutera problem för att kunna upptäcka möjlig missförståelse och fel uppfattning. Hur har projektet genomförts rent teknisk? I projektet deltog 500 studenter 95/96 och 550 studenter 96/97 som läste första året på ingenjörsprogram. Studenterna var indelade i klasser med 30 studenter i varje klass. Klasserna i sin tur var indelade i mindre grupp med fyra studenter i varje. Grupperna ändrades inte under kursens gång. Det var 4-timmers arbete i salen två gånger i veckan. Läraren var tillgängligt under de timmarna. Lärarens uppgift var att organisera, handleda och värdera. Studenterna kunde ställa frågor till läraren men den viktigaste uppgiften 17

21 OTRADITIONELL MATEMATIKUNDERVISNING. TVÅ EXEMPEL DECEMBER 15, var att genom diskussionen i gruppen och lärarens handledning komma fram till svaret. Lärare avstod helt och hållet från att föreläsa. Först var det tänkt att det inte skulle vara någon genomgång på tavlan för hela gruppen av 30 studenter, men sedan bestämde man att man kunde göra en 30-minuters genomgång men bara om flera studenter hade stött på samma problem och hade försökt med olika metoder och med olika sorts hjälp att lösa det. Examination delades i två delar. Den första var kontinuerlig examination i form av inlämningsuppgifter med diskussionen som följd. En del av inlämningsuppgifterna var individuella, andra del skulle utföras i grupp. Man prövade också individuella test och test i grupp, skriftlig rapport från gruppen, muntliga förhör och problemlösning med hjälp av datorn. Dev andra delen bestod av traditionell skriftlig eller muntlig tentamen. Grupparbete var inte ett syfte utan ett sätt att hjälpa studenter att koncentrera sitt arbete med mål på att lära sig istället för att begära hjälp från lärare. Risken är då att studenter passivt övertar lärarens bild och uppfattning av ämnet. Hur många studenter som klarade kursen? Lineär algebra Datum Antal studenter Antal G(U) % Antal G(T ) % Antal G % Analys Datum Antal studenter Antal G(U) % Antal G(T ) % Antal G % I tabellen betyder G(U) antal studenter som fick sina uppgifter godkänna, G(T) är antal studenter som klarade tentamen. Enligt siffrorna var resultaten tillfredställande. Statistiken visade att studenternas kunskaper var åtminstone lika goda som före. Det positiva var att med hjälp av kontinuerlig examination hade man en chans att modifiera arbete utifrån studenternas behov. Vilka svårigheter upplevde man under projektens gång? Först och främst var det problem med lokaler. Det var svårt att arbeta i samma klassrum när det var 7-8 grupper. Lärarna upplevde att 30 studenter var alldeles för stor grupp, det skulle vara mer realistiskt med 20 studenter åt gången. De flesta grupperna fungerade bra. Men det hände att en del grupp upplevde ytterligare en indelning (alltså istället för 4 personer jobbade man 2 och 2). Några studenter var inte helt nöjda med slumpmässigt indelning fast till slut allt ordnade sig. Det var bara ett fåtal av grupperna som fungerade så dåligt att man var tvungen att ändra på gruppindelningen. Studenterna tyckte om sättet att lära sig. Här är några kommentarer: Vi kunde lära oss att samarbeta, vi diskuterade och vi hade inte fått någonting serverad. Bra, vi vaknade.absolut nödvändigt. Var och en tog sitt ansvar men vi hjälptes åt och det var mycket bra. Tidigare lärde vi oss att räkna, nu studerar vi matematik. Nu förstår vi mycket mer än når vi bara satte på föreläsningar. Men det tar mer tid också. 18

22 4 SVETLANA IANTCHENKO Matematik är mycket roligare när man förstår. En av fördelar med kursen är att man hela tiden vet hur man klarar sig. Det är bra med olika former av examination. Vi vet vad vi kan och inte kan. Det är det bästa. Även om studenterna i huvudsak var nöjda med projekts idéer ville de ändå flera genomgångar och förklarningar från lärare. Lärare hade också positiva åsikter angående metoden. Lärare fick möjligheten att se varje student och kontakten mellan studenter och lärare blev bättre.lärare hade inte förväntat sig så stora ambitioner från studenter. Även om förändringarna fungerade i stort sätt bra,så ändrade man upplägningen något.studenterna frågade änligt lärarna efter mer genomgångar. Därför infördes 30-minuters sammanfattning i början och slutet av lektionen. Kurserna Lineär algebra och Introduktionskurs gick betydligt bättre än Analys. Analyskursen upplevdes som mycket svår. Studenternas reaktion på användande av metoden på analyskursen var mindre positiv. Studenterna kritiserade metoden och menade att metoden skulle passa om man ville bli matematiker, matematik tog 80 % av tiden, vilket påverkade andra kurser, man måste lära sig väldigt mycket, ämnet var för stort och för svårt. Om man sammanfattar resultaten av projektet kan man säga följande: Lärarna var övertygade om att studenterna hade lärt sig minst lika mycket som vid vanlig undervisningen. Lärare blev mer medvetna om vilka svårigheter studenterna hade fått. Lärare som utvärderade resultat tyckte att kvaliteten på studenternas kunskap var bättre än efter traditionell undervisning. Det var gott arbetsklimat i klassrummet. Studenterna ville inte återgå till den vanliga formen av undervisning, alltså föreläsningar fast de ville gärna få flera genomgångar på tavlan. En fördel som uttalades inte i projektrapport men som jag tycker är viktigt och vi ofta missar detta i traditionell undervisning är att studenter har börjat utveckla sitt matematiska språk. 3. Lära matematik genom muntlig presentation I sin rapport [3] poängterar A. Tengstrand att det är viktigt att ändra examinationsformerna om man vill ändra studenternas attityd till studier ty examinationen styr studenternas sätt att arbeta. Examinationen bör utnyttjas som en del av inlärningen. Man kan som på Mälardalens högskola införa kontinuerlig examination. Den andra intressanta form av examinationen har prövats på Universitet i Linköping. Projektet heter Lära matematik genom muntlig presentation. Syftet med projektet var att undersöka hur man kunde skapa miljö för kamratinlärning,där studenter undervisade studenter genom muntlig presentation av problemlösning. Studenter som deltog i projektet var förstaårsstuderande på civilingenjörsprogram. Den formen av examination som man föreslog kan i stora drag beskrivas på följande sätt. Studenterna indelades i grupper på 4-5 studenter i varje. Varje grupp fick uppgifter att lösa. Sedan presenterade grupperna sina lösningar på tavlan. Resten av klassen lyssnade och förhoppningsvis lärde sig något nytt. Presentationen skulle ta 20 minuter, efter detta hade man 5-10 minuter till diskussionen. Efteråt skulle lärare ge feed back. Det var ett allmänt förslag. Var och en lärare hade mer eller mindre fria händer att organisera examinationen på. En av lärare 19

23 OTRADITIONELL MATEMATIKUNDERVISNING. TVÅ EXEMPEL DECEMBER 15, gav samma problem till alla studenter. Tanken var att alla skulle lösa alla uppgifter och sedan lärare valde vem som skulle presentera lösningar på tavlan. Enligt min mening var det en mindre lyckad uppläggning. Den andra läraren gav studenterna några svåra problem att lösa. Hans syfte var att få fram diskussionen för att lista ut hur studenterna hade tänkt. Den tredje var överens med studenterna att han skulle välja mycket komplicerade problem. Gruppen presenterade då bara första delen av lösningen medan de andra studenterna skulle kunna lösa problemet efter presentationen. Hans syfte var att förutom att kunna lösa problem att lära studenterna att presentera lösningen på så sätt att de andra lyssnarna verkligen kunde förstå lösningen och kunde fortsätta på egen hand. De sätten att examinera ledde studenterna till djupinlärning, ökade studenternas motivation. Den positiva effekten var också att studenterna utvecklade sitt matematiska språk. Studenterna lärde sig mycket från varandra medan de hade förberett sina presentationer. De var tvungna att förklara hur de hade tänkt. Det är känt att det bästa sättet att lära sig någonting är att förbereda och förklara detta för någon annan. Förberedelse av presentationen stimulerade den aktiva inlärningen, vilket ledde till förståelse istället för passiv memorering av fakta. Den aktiva inlärningen hjälpte studenterna att tänka, reflektera över problem och lösningar, resonera och tillämpa sina kunskaper i praktiken. Läraren kunde ge mer effektiv feed back än efter skriftlig tentamen eftersom det fanns under examinationen möjlighet att fråga och ta reda på hur studenten hade tänkt. Den positiva effekten var också att studenterna lärde sig presentationsteknik vilket är mycket viktigt att kunna. De flesta människor är blyga och de måste övervinna sin rädsla att tala framför publik. Det måste man träna och ju oftare man får möjlighet att presentera framför de andra desto lättare blir det sedan. Inte minst lärde sig lärare hur man skulle bete sig för att få studenter att presentera på bästa sätt, hur man skulle framföra kritiken på ett positivt sätt. Från studenternas utvärdering av lärarens beteende kunde man få både positiva uttalande som t. ex. Han stödjer oss och hjälper när vi kör fast Han visar intresse Han försöker att lugna ner dem som är mycket nervösa Han nickar vilket gör att jag känner att jag är på rätt spår och jag känner mig trygg och negativa som t. ex. Han lägger sig hela tiden i det som jag gör Han verkar ointresserad hela tiden och ger ingen feed back Han verkar somna Han är sarkastisk och ironisk Den utvärderingen tycker jag är mycket givande för lärare. Det är inte så ofta man får möjlighet att se på sitt eget beteende med andras öga. När man utvärderade projektet frågade man studenter och lärare vad de tyckte om en sådan form av examination. Alla lärare tyckte att det var ett bra sätt att examinera på. Skriftlig tentamen täckte inte studenternas kunskap. Vid skriftlig tentamen var det mer viktigt att kunna använda formler. Oftast förklarade studenterna inte varför de gjorde si och så. Det var svårare att bedöma vad studenterna 20

24 6 SVETLANA IANTCHENKO kunde och inte kunde utifrån skriftlig tentamen. En interaktiv dialog var betydligt bättre. Lärare betonade också att studenterna hade varit mycket motiverade, försökte pröva olika sätt att lösa problem på. Det var viktigt för dem att kunna besvara alla frågor, kunna resonera om varför en lösning var bra och den andra var mindre bra. De hade också tänkt igenom hur de skulle utföra sin presentation så att andra studenter kunde lära sig så mycket som möjligt från presentationen. Från studenterna fick man också en positiv respons. 90 % av alla studenterna tyckte att det var givande att examineras på detta sätt. De sa att de lärde sig ämnet bra eftersom de var tvungna att vända och vrida på problemet för att kunna lösa och presentera lösningen på bästa sättet, det var kul att lyssna på de andra studenterna och inte bara på läraren.studenterna lärde sig på djupare nivå.de tyckte också att det var bra att kunna öva att presentera framför publiken, man kunde förklara mer och bättre än när man skrev lösningen på papper, man såg vad som var fel när man förberedade presentationen och försökte förklara det hela tankesättet för de andra. En av de viktigaste frågan i utvärderingen var Vad har ni lärt er från muntlig presentation? Tala framför publiken 4% 11% 41% 44% Tala matematiskt 2% 12% 58% 28% Få djupare förståelse av matematiska begrepp 5% 35% 44% 16% Få djupare insikt hur du lär dig 9% 40% 43% 7% Reflektera mer kring matematiska problem 7% 32% 50% 11% I tabellen betyder 2 inte alls och 5 betyder mycket. Som det följer från tabellen de flesta studenterna började lära sig att tala matematiskt språk, reflekterade mer kring problem och förbättrade sin förmåga att tala framför publiken. 4. Diskussion Som lärare upplever vi att studenter har allt större svårigheter med matematikkursena.spridningen av matematikkunskaper är stor. Det finns studenter med så svaga kunskaper att de har svårt även med de inledande kursena samt det finns studenter med mycket goda förkunskaper och ett stort matematikintresse. För dem inbjuder grundkursena inte tillräckligt med utmaningar. I den situationen som vi befinner oss nu är det svårt att uppnå målen, nämligen godkänna de flesta studenterna utan att sänka krav samt ta vara på de duktiga studenterna och tillgodose deras behov, om vi bara bedriver undervisningen på traditionellt sätt. Man måste hitta nya former som kan hjälpa att ta vara på de färdigheter som studenterna har med sig från gymnasiet, sträva efter aktiv inlärning med syfte på att öka förståelse för ämnet. Jag tycker att de två metoderna som jag har beskrivit ovan kan bidra med idéer till hur man kan organisera undervisningen. Samtidigt måste man ta vara på den delen av traditionell undervisning som är riktigt bra. När jag funderar kring det första projekt som genomfördes på Mälardalens högskola är jag lite tveksam till idén att avstå från lärarens framställning av materialet på tavlan. För det första är läroböcker ganska svåra för studenter att läsa. Studenter är inte vana vid att läsa matematiska texter. Om de inte får någon slags introduktion till de nya begreppen och teorierna kan studenter snabbt köra fast och tappa lysten att lära sig. En 21

25 OTRADITIONELL MATEMATIKUNDERVISNING. TVÅ EXEMPEL DECEMBER 15, lärare kan förklara ämnet på flera olika sätt, hitta flera exempel, rita figur vilket kan förbättra och underlätta förståelse. Läraren kan visa figurer i tre dimensionen, som t.ex. när man introducerar vektorprodukt, vilket är svårt att hämta från boken för de flesta studenterna. Sist men inte minst kan lärarens entusiasm och förhållande till ämnet väcka studenternas intresse. Detta kan leda till ökat motivation och vilja att lära sig ämnet. Däremot är idén att avstå från tvåtimerslånga föreläsningar kan vara bra. Vem kan behålla intresse och koncentration under 2*45 minuter? Man kan kanske använda tiden mer effektivt samtidigt som man får mer aktivt deltagande från studenternas sida. Den andra svårigheten med sådan form av undervisningen kan vara svårigheten att kunna rättvisst dela upp tiden mellan grupperna. Studenterna söker informationen själva. Det är klart att de kommer att stöta på problem och de kommer att behöva hjälp från lärare. Då kan det vara mycket svårt att inte fastna i diskussionen med en grupp medan andra får vänta under lång tid. Det som jag tycket är mycket positivt är en kontinuerlig examination. Studenterna får hela tiden feed back från lärare, de kan tidigt upptäcka sina misstag och de får chans att rätta till. När vi bedriver traditionell undervisning är studenter oftast anonyma. Lärare får sällan möjligheten att korrigera felaktiga bilder hos enskild student. Om studenten inte är aktiv på övningar, inte ställer frågor är det svårt att ta reda på hur han tänker. Det tycker jag är en nackdel. Det andra projektet tycker jag är intressant att känna till eftersom det är vanligt att lärare vill få studenter att göra muntlig presentation. Jag har varit med om sådana försök både när jag undervisade på Malmö högskola och på LTH. Jag kan inte säga att det fungerade bra. Antingen ville inte studenterna presentera sina lösningar på tavlan eller uppgifterna var så enkla att det inte var intressant för de andra studenterna att lyssna på presentationen. Därför var det spännande att få känna till andra erfarenheter. Det som jag tycker är viktigt när man vill införa muntlig presentation i kursen är fullständig information till studenter. Man måste tydligt förklara varför inför man detta, vilken syfte man har, vad som förväntas av studenter osv. Sedan måste man noggrant tänka genom hur man vill organisera förberedelse av presentationen. Man måste ta hänsyn till att studenterna också har andra ämnen att läsa. Sist men inte minst måste man välja sådana problem som är värda att presentera framför andra studenter. Det är kanske inte så intressant att lyssna på lösningen till en uppgift från övningshäftet särskilt om en likadan uppgift var löst vid tidigare tillfället. 5. Slutsatser I uppsatsen har jag försökt belysa två otraditionella metoder att bedriva undervisningen och examinationen på. Förhoppningsvis kan man hämta inspiration och använda de goda erfarenheterna från projekten i sin egen undervisning. References (1) Larfeldt, U. Axner, The mathematisk project at Mälardalens University , Final raport January 1998 (2) O.Kågesten, L.Bonta, Learning mathematics through oral presentations 22

26 8 SVETLANA IANTCHENKO (3) A.Tengstrand, Pedagogisk utvecklingsarbete i matematik vid ingenjörsutbildningar i Sverige, Nylng, Rapport nr 13 (4) E.J. Gibson, Principles and perceptual learning and development,1969,prentice Hall International Inc. (5) J.J. Gibson, The senses considered as perceptual systems, 1966, Boston:Houghton Mifflin (6) J.J. Gibson, The ecological approach to visual perception, 1979, Boston:Houghton Mifflin (7) U. Neisser, Kognition och verklighet, 1978, ALMA-serien, Stockholm (8) J. Piaget, Psychology of intelligence, 1966, Littlefield Adams, Ottawa 23

27 ÍÔÔ Ø ÖÒ ÖÓÐÐ Ö ØØ ÖÑ ÒÐÖ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ö Ø Ð À ÖØÓº º Ò Ö Ö Ñ Ñ Ò ÓÒ Ö Ö ØØ ÖÑ Ö Ø Ð ÚÑ Ø Ñ ¹ Ú ÞÖ ÃÙÖ ÖÙÑÑ Ø ÓÐ Ø Ö Ò Ó Ð ÖÙÒ Ó ØÒ ÖÙÒ µ Ø ÐÐ Ò Ð Ø Ò ÒÐÖÒ Ò ÙÔÔ Ø ÖÒ Ò ØÙÖ ÐÖ Ö Ò ÖÓÐÐ Ò Ó Ð ÙÐØÙÖ Ò Ð ¹ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÝ Ó Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÚÑ Ø Ñ Ø Ø ÐÐÚ Ö ØÙ ÒØ ÓÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ØØØ ÐÐØ Ð ÖÓÐ ØÙ ÒØ Öµº ÒÚ ÒÐ Ø ÙÔÔ ØØÒ Ò Ò Ó ÖÑ ÔÖ Ü Ö ØØ Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ ØØÐÝ Ò ÔÐÖ Ö Ò Ö Ð ¹ Ö Ò ÖÓ ØØ ÐÖ Ö ÑÓÒ ØÖ Ö Ð Ò Ò ÖºËØÙ ÖÚ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ØÚÖØÓÑÙØÚ Ð Ö Ö Ø Ð ÚÑ Ø Ñ Ø ÒÓÑ ØØÙÔÔ ÒÒ Ó Ö ÒÒ Ñ ØÓ Ö Ö ØØÐ Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð ÑÓ ÒÓÑ ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñ À ÖØ Óº ºµºÀÖ ÓÑÑ ÖÚ Ö Ø Ò ØØØ ØØ ÔÙÔÔ Ø ÖÒ ÖÓÐÐ Ö Ø Ð Ò ÚÑ Ø Ñ Ø º ØÖ Ó ÚÐ Ø ÚÖØ ØØ Ô Ö Ö ÒÒ ÖÓÐÐ ÖÒ Ò Ö Ô ÐÐØÐÖ Ö Ò Ö ØÖÐÖ Ö Ò ÓÑ ØØ Ô Ø ÑÙÐ Ö Ò ÔÖÓ Ð ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÔÔ Ø ÖºÎ Ö Ð Ö Öغ ܺŠÓÒ ¾¼¼¾ µùôô Ø Ö ØÖ ÓÐ ÖÙÔÔ Ö ÐÖ Ò ÒÓ Ø Ö Ò Ó ÑÒ Ò ºÎ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ö Ö Ò Ø Ö ÖÒÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ ÖÐÖ Ò Ñ ÒÓ Ö Ö Ö ÑÒ Ò º ÙØÓÑØ Ö ÔÓÒØ Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÖÑ ØØ Ñ À ÖØÓº ºµºÌ ÐÐ Ö Ò Ö Ñ ØØ Ô ØØØ ØØ ÔÐÖ Ö Ò ÑÓÒ ØÖ Ö Ð Ò Ò Ö ÚÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö ØØÖ Ô ØØ Ñ Ø Ö ËØÙ ÒØ ÖÒ ÐÖ ÖÒÓÐ Ð ÙÔÔ Ø ÖÓ ÙØÚ Ð Ö Ø ÖÑ Ø Ð ½ ÍÔÔ Ø ÖÒ ÖÓÐÐ Ö ÖÒ ÙÔÔÑ Ò Ò Öº ÒÒ Ô Ö ÔØ ÓÒÚ Ð Ö Ö ÖÚÒØÒ Ò Ö ÚÚ Ñ ØÓ ÖÓ Ð Ð Ò Ò ÔÖÓ Ð ÑºÍÔÔ Ø ÖÒ ÓÖÑ Ö Ö ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö ÐÐØ ÐÐ Ö Ò Ñ ØØ Ñ ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñº ÑÒ ØºÎ ÐÐÑ Òغ ܺ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØØÝ ØØÑ Ø Ñ Ø Ò Ò Ð ÖÓÑ Î Ú ÐÐÐÖ ÖÒ Ø ÓÑÑ Ñ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ø ÙÔÔ Ø Ö Ø ÑÙ¹ ÖÔÑ ØØ Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÔÚ Ö Ö Ö Ò Ò Ø ØØÒÖÚ Ö Ú Ð Ø ÓÒ Öº ËØÙ ÒØ ÖÒ Ô Ö ÔØ ÓÒ ÚÑÒ Ø Ý ÖÔ Ø Ö Ø ÙØ ÖÓ ÒØ Ôй Ð Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØØÖ Ø Ö Ö Ò ÑÒ ØÓ ØØ ÒÚÒ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ú ÖÚ Ø ÐÐ ÖÖ Ò Ø Ó ØØ Ö Ø Ò Ø Ò º ØØ Ø ÐÚ¹ Ó Ø Ò ÖºÄÖ ÖÒ Ú ÐÐ ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒÒ Ø Ò Ø Ø Ú Ø ÒØ ÖÒ Ð Ö ÐÔ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØÙØÚ Ð ØÚ º º Ú Ö ÓÑÔ Ø Ò ÖÒ ØØ Ö Ó ÓÑÑ Ø Ñ Ø ÖÖÓ ØØÑÐ Å ÓÒ¾¼¼¾ µºãóöø Ø ÙÔÔ Ø ÖÒ Ú Ö Ñ Ó ÓÑÑ Ø Ñ Ø ÑØ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ÔÖ Ó Ö Ô ÖØÖÓ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö Ø ÖÓ ØØ ÙÔÔÐ Ú ÙÖÖ Ø ØØ Ö Æ Ò À Ö ¾¼¼¾µº 24

28 Ö ØØ Ú ØÙ ÒØ ÖÒ ÖÚÒØ Ö ÒÑ Ø ÔÖ Ò º ºÔÖ Ñ ¹ ØØ Ø Ò Ú Ö ØØ Ö Ø Ñ Ö Ú Ð Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ú Ò Ü ÑÔ Ð Ó Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ú Ö ÙÑ ÒغÌÝÚÖÖ Ö ØÑ Ö ÒÒÓÐ Ø ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ø Ø Ò Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÖÚÒØ Ö ÒÐÖÒ Ò ÒÓÑ ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñº Å Ò ÓÔÔ ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÐÐ ÖØÑ Ò ØÓÒ Ø Ú Ñµ ÓÑ Ñ ÐÐ ÒÐÖ Ö Ó ØÙ ÒØ Öº ÙØÓÑ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÔÔ Ø Ö ÓÑØ ÙÔÔ ÔÖ Ñ Ø ØÖÙØ Ö Ó Ò ÓÑ Ò Ö Ò Ò Ñ ÔÒÒ Ò ÙÒ ÖÐ Ø ÓÒ Ö ÓÑØÝÔ Ö Ò ÓÑÑ Ò Ü Ñ Òº ØØ Ú Ö ÖÚ Ö Ò Ö ÓÑ Ø Ò Ú ÖÖ Ö Ú Ö ÒØ ÐÐ Ö ÒÓÑ Ò ÒØ Ò Ò Öº ÒÒ ÔÖ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ð Ò ØÙ ÒØ ÖÔÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ ½º½ Ö ÐÐ Ð ÙÔÔ Ø ÖÐ Ú Ø Å ÓÒ ¾¼¼¾ µ Ð Ö ÒÙÔÔ Ø ÖÒ ØÖ ÖÙÔÔ Ö ØØ Ò Ø Ò Ó ÙØÚ Ò ÙÔÔ Ø ÖºËØØ Ò ÙÔÔ Ø Ö ÒÚÒ ÖÑ Ò ÓÑ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ ÐÐ ÑÒ Ø ÐÐ ÖØ Ò ÒÓ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑÚ Ð ÔÖÓ¹ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ØØÙØ ÓÖ Ø Ò ÖÓ ÖÑ Ò Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ø Ö ØØ ¹ Ñ ØÑ ÒÚ ÐÐÐÖ Ùغ Ø Ò ÙÔÔ Ø Ö ÒÚÒ ÖÑ Ò Ö ØØ Ø ÑÙÐ Ö Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÚÒÝØØ Ö ÐÐ ÖØ Ò Ö ÑØÚ Ú ÓÑÖÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÑÓÒ ØÖ Ö ÒÖØ Ò Ò Ò ÒÚÒ Ó ÒÖ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ö ÐÐØÖ Ò Ð ÑÑ Ò ÒÐ Ñ ÒÒ Ø Ò ºË Ò ÙÔÔ Ø Ö Òغ ÜºØ Ö Ô Ð ÙÔÔ Ø ÖÖÑÒ Ö ØÙ ÒØ Ö ÓÑÖ Ö ÔÖÙØ ÒÙÔÔ Ø Öº ÒÒ ØÝÔ ÙÔÔ Ò Ô ÓÑ ÒÙÔÔ ØÒÖÑ Ò ÒÚÒ ÖØ Ò Ò ÔÖ Ø ÒºÍØÚ Ò ÚÙÔÔ Ø Ö ÒÚ Ö Ö Ö Ø ÖÓ Ò ÖÙÔÔ Ö Ø Ü ÖÙÔÔ ÖÑ ØÙ ÒØ Ö Ñ ÓÐ ÙØ Ð Ò Ò ÖÙÒ º Ú ÖÓ ÒØ ÒÐ ÒÓÑ ØØ Ð Ò ÓÒ Ð Ö ÔØºÎ Ö Ø ÓÑ ÙÔÔÑÙÒØÖ Ø ÐÐ Ù ÓÒÓ Ö Ø ÓÒ À ÖØÓº ºµºÍÔÔ Ø ÖÒ ÐØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ð Ò ØÙ Ø ÓÒ ÓÑÖÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÓØ Ú ÖØÒ¹ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙØÚ Ð Ó Ý Ö Ø Ð ÚÑ Ø Ñ Ø Ó Ö Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒÓ ØØ Ø ÐÒ Ö Ó ÐÖ ÒÝ Ñ ¹ ÖÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ú Ö Ñ Ø Ñ Ø ÒÓ ÒØ Ò Ö Ô Ø Ö Ú ØÙ Ø Ó¹ Ò ÒºÍÔÔ Ø ÖÒ Ó ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ò ØØ ÒÚÒ Ò ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø ÚÖ ºÆ ÒØ Ö Ò Ô ÖÙÔÔ Ø Ö Ö ØØÙÔÔ ÝÐÐ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÝ ºÍÔÔ Ø ÖÒ ÓÑÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ö Ø Ö Ö Ò Ò ÓØ Ú Ö Ø Ö Öº ½º¾ÍÔÔ Ø Ö ÙÔÔÑ Ò Ø ÐÐÖ Ø ÓÒÓ ÓÑÑÙÒ ¹ Î ÐÐÑ Ò ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ Ö ØÑ Ø Ñ Ò ÑÙÔÔ Ø Ö ÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ö Ö Ú ÖÚ ÐÚ ÖÑ ÒÓ ØØ Ò ÖÑ Ð ÒÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ö ºÊ Ø ÓÒ ÒÒ Ö ØØÑ ÒÚÖ ÖÔ ÖÓ Ø Ò Ó Ö ÖÖ ¹ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ÙÑÑ Ö ØØÚ Ö Ñ ÓÐ ÒÑÒ Ö Ð Ö ÒÒ ÙÔÔ ØÑ Ø Ñ ¹ Ô ÐÔ ÒÙÔÔ Ø ÓÑÖÑ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÙÔÔÑ Ò ÖØ ÐÐÖ Ø ÓÒ ÖØ Ü Ø ÓÒ Ú Ö Ñ ÓÐ ÒÑÒ Ö À ÖØÓº ºµºÇÑ ØÙ ÒØ Òغ ܺ Ð Ø Ö ÑØ ÐÐÒ ÓØÑ ÒÖ Ò ÒºÇÑÙÔÔ Ø Ò Ö Ò ØØÖ Ø Ö Ø Ö Ø ØÔÖÓ Ð Ñ Ø ºËØÙ ÒØ Ò Ú Ö ÙØÓÑ ÒÚÒ Ú ÙÒ Ô ÖÒ Ñ Ò ÒØ ÒÓÑ ÒºÍÔÔ Ø Ö ÓÑÙÔÔÑ Ò ÖØ ÐÐÖ Ø ÓÒØ ÖØ º ØØ Ü Ñ¹ 25

29 Ò» ÓÒÖ Ò ÖÓÑ ÙÑÑ Ø ÓÒ Ú Ö º Ø ÒÒ Ü ÑÔ ÐÔÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÒØÝÔ ÖÑ Ò ÒÑ ÑÓÖ Ö Öº ØØ Ü ÑÔ Ð ÒÚ Ö ØØÐÖ ØØ Ú Ö ÖÑ Ø Ñ Ø Ñ Ò ÒØ ÖÔÖÓ Ð Ñ Ø ºË Ò ÙÔÔ Ø Ö ÒÚ Ö Ú Ú Ú ØØØ ÓÖ ÑºÁ Ð Ò ÖÐÖ Ö Ò Ò ÖÔÓÑ ØÙ ÒØ Ò Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ö Ø ØØ Ú ÐÐ ÖÚ Ö Ð Ò Ö ØÖÚ Ø Ò Ð ÖÓѺ ÖÑ Ð ÐÐ Ö ÓÑÑÙÒ Ö ÒÒ Ö ØØÐÝ Ò Ó ØØØ Ð º ØØ ØÝ Ö ØØ Ð Ñ ÚÑ ØÓ Ö Ö ØØÐ ÙÔÔ Ø ÒÓ Ö Ð Ö Ö Ò Ö Ñ Ò Ó ÐÝ Ò Ó Ö Ö Ø Ò Ö Ð Ò Ò ÖºÍÔÔ Ø ÖÒ Ú Ö Ò ¹ Ð Ò Ó ØÝ Ð ÙÐÐ ØØ ÓÑÑÙÒ Ö Ö Ò Ö ØØÙÔÔÑ Ò Ø ÐÐÖ Ø ÓÒ Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒºËØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ø Ó ØØ ÑÐÑ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ò ÓØ ÓÑÖ ÒÙØÑ Ò Ò Ó ÚÖØ ØØÚ Ø Ú ÖÔºËØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑÑ Ö ØØ Ó Ñ ØØÒÑÐ Ö ÓÑ ØÖÓÖ ØØÑÐ ØÖÚÖØ Ò ØÖÒ Ò Ò Òº Ö Ó ÖÚ Ö Ø ØØ ÒÓÑÑ Ò ÒÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ Ò ØØ Ö Ñ ÓÑÓ ¹ ØØÑÓØ Ú Ö ØÙ ÒØ ÖÚ Ö ÖÚ Ö ØØÔÖÓ Ð ÑÔÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ Ð ÙÒ ÖÔ Ò Ð Ù ÓÒ ÒÑ ÐÖ ÖÒ ÖÒÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ ÖÓÖ ØØ Ô ØØÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ Ò ÒÚÒ Ö ÒØ ÖÙØÑ Ò Ò ÐÐ Ö Ò ØØ ØÙ Ò¹ Ø ÖÒ ÒØ Ö Ø Ø Ö ÒÚÒ Ò Ò Ú Ø ÐÖ ØØ Ö ÑØ Ö Ø ÀÙÖ Ö ÖÚ ØØ ÖÑ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò ÖÓÐÐ Ð Ø Ò ØØ Ú ÖÔ Ö ÓÖ Ø Ö Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö Ò ËÝ Ú Ò Ò ÖÅ Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ØÓ ÓÑÓ Ø ÖÙÔÔ ÓÚ Ø ÚÑ Ø Ñ Ø Ö Ò ÙØØ Ð ÓÑÚ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ö Ø ØØÔÙÒ Ö Ö Ø ØÑ Ð Ò ÒÒ Ö Ò Ö Ô ÐÐØÚ Ø ÔÙÒ Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ¹ Ö ÑØ Ò Ò Ö Öº ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÒÖ Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø ØÖ Ø Ö Ö ÒÚÒØÓ Å ÓÒ ¾¼¼¾ µø Ö Ö ÒÐ Ø Ñ Ö Ð ÙÖÑ Ò Ö ÒÙÔÔ ØÙØÑ Ò Ò º Ö Ø Ö Ú ÖÚ ÖÐÖØ Ú ØØ Ó Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ó Ö Ú Ú Ö Ð ÚÔÖÓ Ð ÑÑ Ò ÒÐ Ñ ÑÑ Ø Ò ÙÖÑ Ò ÒÒ Ö ÒÔÖÓ Ð Ñ Ú ÑÑ ØÝÔÓ Ú ÓÑÙØ Ö ØØ ÒØ ÐÐ Ö ÒÚ ØÝÔº ÍÔÔ Ø Ö ÓÑ ÖÚ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ð Ø ÖÔÓ ÒÚÒ Ö Ò Ö ÒÙØÚ Ð ¹ ÖÖ Ø Ö Ò º Ö ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ó ÖÑ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ ÖÙÔÔ ÖÓ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ Ô Ö ÑØ Ö Ö ÙÒ Ô Ò Ö ØØ Ò Ö Ö ÒÐ Ò Ò ÖÚÒØ ÔÖ ÒØ Ö Ó Ö Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ ¹ Ö Ö Ðº Ò ÒÒ Ò Ô Ø Ú ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒÖ ØØ ØÙ ÒØ Ö ØØ ÒÒ Ø ÐÐ Ö Ø Ò ÖÙÔÔÓ ØØ ÒÒ ØØ ÒÒ» Ò Ö ÚÖ Ö Ú ÖÙÔ¹ Ô Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖÓ Òº ÙØÓÑÐÖÑ Ò Ö Ô Ø Ö Ó ÚÖ Ö ÐÐØ ÒÒ Ø Ö Ø ØØÐÖ º ÒÓÑ ØØÐ Ö Ö Ò Ö Ö Ó Ö ØØØ Ú Ö Ò Ö ØÒ Ò ºÅ Ð Ø ÖÓ Ø ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÒÐÖÒ Ò Öº ØØÔÖ ÒØ Ö ØØÒ Ò Ö ÒØ ÐØØ Ô ÐÐØÓÑÑ Ò ÒØ ÓÖØ ØØ ÒÒ Ò Ñ Ò ÓÑ ØØ Ú ÒÒÓÖ Ö ÚÖ Ö ØØÚ Ò ÖÙÔÔ ØØ Ö Ù Ø º ØØ Ö Ò Ú ÒÐ Ö Ô ÖÙÒ ÓÐ Ó ÝÑÒ ÙÑÓ Ö ÒØ Ó ÖÚ Ö Ø ÒÓÑ Ò Ø Ó ØÙ ÒØ ÖÔÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ Ô ÙÖ ÖÔ Ö Ò ÚÓ º ÒÐ ØÑ ÒÙÔÔ ØØÒ Ò Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØÑ Ò ØÓ¹ Ú Ö Ö Ö Ñ ÖÒ ØØÚ Ö Ñ ÖØ ÓÖ Ø Ô ÖÙÒ ÙÖ ÖØ ÐÐ ØØÚ Ö Ñ ÖØ ÐÐѹ Ô Ô Ö ÙÖ ÖÒ ºÍÔÔ Ø ÖÒ Ôƹ Ò Ò Ó Ú Ö ÚÐ ØØ ÓÖ Ø ÌÒ ÖÑ ÒÔ ÙÔÔ Ø ÖÚ ÒÚÒ ÖÔÑ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÔÄÌÀ¹ Ò 26

30 Ò ÔÄÌÀ¹ Ò Ñ Ö ÒØÖ Ö Ó ÑÓØ Ú Ö ÚÙÔÔ Ø Ö Ö Ó Ö Ñ Ø ÖÒÚ Ö Ð Ø Òº Ø Ò Ö ÚÖ Ö ØØ ØØ Ô Ò ÙÔÔ ¹ Ø ÖÔ ÖÙÒ ÙÖ Öº ÓÖØ Ö Ò ÒÑ ÒØÝ Ð ØÚ Ú Ñ Ò Ò ÒÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò» Ø Ø Ø ÒØ ÐÐÚ ÒÓÑÑ Ò Ö Ø ÖÙÔÔØ ÓÖ Ø ÙÔÔ Ø Öº ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ØØ ØÓÖØÔÖÓ Ð ÑºÎ Ö Ù ÙØ Ö ØÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò ÙÖÙÚ ÚÒ Ò ÖÒ ÔÄÌÀÓ Æ¹ ÙÐØ Ø Ò ÙÒ Ö ÖºÂ Ò Ö Ö Ø ÓÑ ØØÚ ÙÔÔ Ó ØÖ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ø ÐÐ ØØ ÖÖØØ ØØÚ Ö Ö Ò ÔØ ÚÐ Ò ÔÄÌÀ¹ ÒÑ ÒÑ Ò Ö Ø ÓÑ ÒÖØØ ØØ Ð Ò Ò ÖÔÖ ÒØ Ö Ò ÔØ ÚÐ ÒÔƹ Һà ÒÑ Ò ÒØ ØØ Ò ÓÒÑ ÐÐ ÒÚ ËØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑ Ö ØØ ÖÓ Ó Ö ÖÙÔÔ ÖÓÑØÚ ØÖÓÐ Ò ÒØ Ö ÙÖ Ö ÙØ Ò Óѹ Ô ÖÓ µ Ò ÐÖ ÓÑÑÙÒ Ö Ñ Ú Ö Ò Ö Ñ ÒÙØÚ Ð Ö Ò ÖÑ ØØ ÓÑÑ Ñ Ð Ò Ò Ö ÐÐÖ Ö Ú Ö Ñ Ö Ñ Ö Ò Ø ÖÖ ÖÙÔÔ Ö Ö Ø ÐÐ ØÐÐ Ø Ö ØØ ÓÑÑ Ñ Öº Ò Ö Ò Ö ØÙ ÒØ Ò Ð Ò Ò ÖÔÖ ÒØ Ö Ð Ø ÒÓ Ð Ö Ö Ö ÑÓ Ú Ö ÒÐ Ò Ò ÐÐ Ö ÚÖ Ø ÐÐ Ò ÒØ ÐÐ Ö Ò Ö ÐÚ ÑÒ Ö ØÙ ÒØ Ò Ò ØÙ Ø ÓÒ Ö Ò» ÓÒ Ö Ö Ú Ö ÚÓ ÐÖ Ñ Ø Ö º ½º ÍÔÔ Ø ÖÒ ÙÔÔÑÙÒØÖ Ø ÐÐ ØØ ÒÚÒ ÓÐ Ú Ö ¹ ÙÒÒ ÔÚ Ð Ø ØØ Ò ÒÚÒ Ú Ú Ö ØÝ Ö Ö ØØÔ Ö ÍÔÔ Ø Ö ÓÑÙÔÔÑ Ò ÖØ ÐÐÖ Ø ÓÒÓ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒÖ ÓÑ ÒÝØ Ö ÒØ ÐÐ ØÙ ÒØ Ò ØÒ Ò º ØØ ØØ ØØ Ö Ú ØØ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ØÝ ÙÔÔ Ø ÒºÎ Ò Ö ÖÚ Ö ØÝ Ö ØØ ÓÑ ÙÒ Ô Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ò Ö ÑØÑ Ø Ö Ð ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñ ØºÎ Ö ØÝ Ò Ò Ý Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÙ Ö Ò ØÓÖµ Ö ÚÒ ÝÑ ÓÐ Ö ÖÑ ØØÙØØÖÝ ÓÑØ ÐÐ Ò ÖÓ Ò ÐÙ Ö Ö Ö Ø Ö» ÙÒ Ô Ö ÓÑÑ Ò ÖÚÖÚ Ø ØºÅ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÝ ÙÒ Ö Ö Ø ÓÑÑ Ú Ð Ò Ö Ú Ö ØÝ ÓÑ Ð ØºÅ ÒÑ Ø ÒÚÒ ÑÔÓÐ Ó Ú Ö Ö Ò ÙÔÔ Ø Ö Ö ØØ ÐÖ ØØ Ö Ø Ñº ØÖÚ Ø Ø ØØ ÒÚÒ ÖØØÚ Ö ØÝ Ø ÐÐ Ø ØÙ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ð ØØÑ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö ÖÙÔÔ Ø Ö Ø Ö Ú Ö ØÝ ÓÑ ØÙ¹ ÒØ ÖÒ ÒÒ Öº ÁÓ Ñ ØØÑ ÒÖØÚÙÒ ÒØ ÐÐ Ô Ö Ò ÖÓ ÐÖ ÑÑ ÒÓÐ ÙÖ Ö ÑØ ØØ ØÚÖÚ Ø Ò ÔÐ ÙÖ ÖÒ Ð Ú ØÙ ÒØ ÖÑ ÓÐ ÙØ Ð Ò Ò ¹ ÖÙÒ Ð Ö Ø ÒØ ÐØØ ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÔÔ Ø Öº ÐÐ ÖÖØØ Ö ØÑ Ò Ú Ö Ò Ñ ÖØ ØØÖ Ô Ø Ö Ú Ö Ö Ñ ÓÑÖ Ò ÒÓ ÒØÖÓ Ù Ö ÒÝØØØ ÐÐ Ñ ÓÑ Òº ØØ Ö ÙÐØ Ö Ö Ò Ö Ø Ö Ö ØÙ¹ ÒØ ÖÓ ÖÐÖ Ö Ñ ÒÓ Ø ÖÖ ÚÖ Ø Ö ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÑÓØ Ú Ö Öº Ó Ñ Ò Ö Ò Ö º ØÖÚ Ø Ø ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ú Ø ÙÒ Ô ÖÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑ ØØ ÔÖ Ñ Ò Ø ÓÑ Ð Ö Ò ÖÒ Ò Ö ÔÖ Ö ØØÑ Ò ÒØ Ö Ó ÖÑ Ø ÜØÙØ ÒÑ Ñ Ø Ñ Ø ÝÑ ÓÐ ÖÓ Ö Ö Ö Ø º Ó ÒÒÙÚ Ø Ö Ö ØØÑ ÒÐÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ ÒÚÒ Ö Ñº ØØ Ö ÒØ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÒÐØØ Ö ºÅ Ò ÒÙÒ ÖÐØØ Ñ Ø ¹ Ö ÔÔÖØØ ØØ ºÚº º Ö ØÚ ÓÑ Ò ÖÒÖÑ ÒØÖݹ Ñ Ø Ö Ò Ò Ö ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ Ú Ý Ú Ö ØÝ Øº ܺ ØÓÖ Ö ÓÑ ÙÖÑ Ò ÒÚÒ Ö Ó ÖÑ Ú ØÒ ÓÑ Ö Ú ØÐÐ Ò ÖÒÖ ÖÔÒ ÓÒ Ò ÔÔÔÑ Ò Ö Ò Ö Ò ÐÐ Ö ØÓÖÒºÅ Ò ÙÒÒ Ñ ÖÒ Ö 27

31 Ð Ú ÖÓÖ ÖÒ ÖÑ Ò Ñ Ò ÙÒÒ Ö Ð Ö Ú ØÝ ÖÓ Ö Ø ØÝ ÖÄÙÒ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ØØÑ Ò Ö Ò Ö ÒÖ ÒÑÓ Ù ØÐÐ Ø Ö ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ö ÔºÂ ÐÐ Ö ÒØ Ö Ø ØÑ ºÂ Ò ÖÔÖÓ Ð Ñ ØÖ ØØ ÙÖÑ ÒÖ Ò Ø Ö Ñ Ñº ÒÐ Ø Ò Ò Ò Ö ËÝ Ú Ò Ò Ñ Ö¾¼¼ Ñ ÒÐÖ ÒÚÒ Ö Ô ÖÒ Ö ÒÙØ Ò Ö Ø Ð ºÅ ÒØÖÝ ÖÔ Ò ÔÔ ÖÙØ Ò ØØÚ Ø Ú Ñ Ò ÒØÐ Ò Öº ØÖ ÓÑ ØØÐÖ Ú Ò ÓÖ ÙØ Ò ØØÚ Ø Ú ØÝ ÖºÃ Ò Ö ÖÄÙÒ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ÖØØ Ø ÐÐ ØØ ÒÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑÑ ÖØ ÐÐÄÙÒ Ñ Ò Ø Ö ÒÓ ÒØ ÔÖØØ ØØ ÒÒ Ö ÙÐÐ Ñ Ò ÙÒÒ Ð Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ò Ò ÒºÃ Ò Ò Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÙÒ Ô Ö Ô Ó Ñ Ò Ø Ö ÖÔÖ ØØ ØØÑ Ò Ø Ú ÖÑ Ø Ñ Ø Ò Ó Ø ÒÑ Òغ ܺ Ö ÒÓÑ Ò ÐÔ Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÒºË ÐÚØÖÓÖ ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ø ÑÓØ Ú Ö Ó ÒØ ØÚÖØÓÑºÄ ÓÚ ¾¼¼ µô ØÖ ØØ Ð ØÖÓÒ ÐÔÑ Ð ØÖ Ö ÖÑ Ö Ö Ö ØØØ ØÝ Ð Ò Ú ÒÚÒ Ò Ò Ú Ò Ø Ò Ö Ø Ò ØÓÖ Öº ØØÐ ÓÑÔÐ Ö ÔÖÓ Ð ÑÑ ÐÔ Ú ØÓÖ Öº Ñ ÐÐ ÖØ ÙÒÒ ÍØÚ Ð Ò Ú ØÓÖ Ö Ö Ø ÓÚ Ø ÚÑ Ø Ñ Ø Ò Ñ ÐÐ Ó Ö ØÓ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÐÚ Ó ÒØ Ö ØØ Ö Ñ Ö ØÓÖÒ Ó ÒÚÒ Ñº ½º ÍÔÔ Ø ÖÒ ÔÖÓ Ù Ö Ø Ò ÙÒ Ô Ö È ¼¹Ø Ð ØÔ ØÓ Ï ÐÐ Ñ ÖÓÛÒ ÐÐ ½ µ ØØ Ø Ø ØØ Ø ØØ Ö ØÑ Ø ¹ Ñ Ø Ö ÒÓÑ ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒØ Ò ÓØÚ ÙÐÐ ÙÒÒ ÐÖ ÙØ Ö Øº Ú ½ ¾µ ÙØ Ö ØØ Ø ÐÖÓÔÐ Ò Ö Ý ÖÔ Ò ØØÚ Ö Ø ÐÖ ÙØÑ ØÓ ÖÓ Ø ÖØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ø ÐÐÑÔ ÑÔÔÖÓ Ð Ñ ÒºÀ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ö Ö ØØ ØÖ ØØÖ ØØ Ö Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÐØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ùع Ú Ð Ñ ØÓ ÖÒ Ö ØØÐ Ñ Ó Ò ØØ Ø ØÙ ÒØ ÖÒ Ø ÖÑ ÓÑ Ö Ö Ò ØÖ Ø ÐÖØ ºË Ò ÒÐÖÒ Ò Ö ÙÔÓ Ø Ò ºÈÓÒ Ò Ö ØØÚ Ý Ö Ö Ø Ð ÖÑ ØÓ Ö ÒÓÑ ØØ ÙÔÔØ ÑÓ Ö ÓÑ Ñº Ì ÓÖ ÖÒ ÓÑ Ú Ö ØØ Ö Ø Ð ÓÑÑ Ö ÓÑÖ ÙÐØ Ø ÚÔÖÓ Ð ÑÐ Ò Ò Ó ÒØ ÒÓÑ ØØÐÖ Ö ÒÐÖÙØ Ö ØÑ Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÖÒ Ö Ò ÚÖÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑÙÒ ÖÚ Ò Ò ºÀ ÖØÓº ºÖ ÓÑÑ Ò Ö Ö ØØÑ ÒÐØ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÐÚ ÙØÚ Ð Ö ÔÔ Ò ÒÓÑ ØØÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ ØØÐÖ Ö Ò ØÐÐ Ø Ó Ù Ö ÖÔ ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÐÔ ØÙ ÒØ Ò ØØÐÖ Ö ÔÔÓ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Öº ØØ Ö ÒÐ Ø Ñ Ú Ø Ø Ò ÙÒ Ô ÖÖ ÒØ Ñ Ð Ø Ð Ö ØØ Ø ÒØ ÒÒ Ò ÓÒ ÓÖÖ ØÐ Ø Ó Ú ÒÓÑ Ø ÒÒ Ò Ò ÙÐÐ Ò Ú Ö ØÐÒ º ÙØÓÑ Ý Ö Ø Ð ÔÓÐ ØØ ÖÓÐ ØÙ ÒØ Öº ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÙÔÔÑ Ò Ö ØÙ ÒØ Ö ØØÖ Ø Ö ºÈÖÓ Ð Ñ Ø ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÚÒ ÓÑ Ò ØÖÙ Ø ÓÒ ÖÚ Ú Ð ÚÙÔÔ Ø Ö ÐÐ ÖÔÖÓ Ð Ñ Å ÓÒ ¾¼¼¾ µº Ò ÐÐ ÖÑ ØÓ Ö ÖÔÖÓ Ð ÑÐ Ò Ò ºÅ Ø Ñ Ø Ý Ø ÑÖ ÙÐÐ ÚÖ Ð Ø ÓÒ ÖÓ Å Ò Ò ÐÐ ÐÐ ÒØ Ö ØÚØÝÔ Ö Ú Ø Ò ÙÒ Ô Ö ÓÑ Ò Ò¹ Ú Ñ Ò ÐÐ Ö Ø Ð ÚÑ Ø Ñ Ø ØÖÙ ØÙÖÓ Ø Ò Ö Ö ØÖ Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ó ÖÑ ÐÔ Ö Ñ ØØÙØÚ Ð ØÖ Ø Ö Ö ØØÐ ÑÓ ÒÔ Ñ Ö Ò Òº Ô ØØÓ ÙØÚ Ð Ò Ò Ö ÐÐ ÔÔÖÓ Ö ØØÙÔÔ ÒÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö ÐÐ Ö 28

32 Ø ÐÔ ÖØ ÐÐ ØØ ÒØ Ö ÒÚÐ ØÚ ÒÐ ÚÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ ØÙ ÒØ Ö ØØØÒ ÔÐÖ Ò ÓÑÙÔÔ Ý Ø Ú Ø Ò ÙÒ Ô ÖÖÚ Ø Ø Ø Ö ÓÑ ØØ Ö Ð ÓÒ Ú Ò Ö ÓÑغ ܺ ØØ Ð ÑÑ Ø Ò Ò ÐÖ Ð Ø ¹ ÐÙØ Ö ØÑ ØØ Ñ ÑÓÖ Ö ÖÓ ÔÖ Ø Ö ÖØ Ò Ö ÒØ Ö Ø Ø Ö ØÖº Ö ÚÖØ ØØ ÓÔÔÐ ÓÒ ÔØ ÐÖ Ñ Ø Ò Ö ÓÑ ÔÖ Ø Ö ÖºÇ Ø Ø Ò ÖÙØ Ò ØØ ÙÒÒ Ñ ÐÐ Ö ÒÚÒ ÑÖ Ø ÚÙØ Ò ØØ ÒÔ Ñ Ó ÚÒ Ò Ñ ÒÙØ Ò Ö Ø Ð Ð Ö Ø ÚÖØ ØØ Ø ÐÐ Ó Ö Ø Ñ Ø ÐÐÓÐ ÔÖÓ Ð Ñº ÔÖÓ Ð Ñ ÒÑ Ò Ôغ ܺ ÚÒ Ò Ö Ö ØÙ ÒØ Ö ÖÐ Ò Ò Ö ÓÑ Ö ÖØ Ö Ô ºÄÖÑ Ò Ø Ò Ö ÒÓÑ Ñ Ø Ø ÓÒ Ø Ö Ò ºÍØ Ò Ö Ø Ð Ö ØÓ ÐØØ Ö ØØ Ð ÑÑ Ó ÖÚÖÒ Ñº Ö Ø Ð Ñ Ø ÓÑÑ ÓÑÖ ÙÐØ Ø ÚÔÖÓ Ð ÑÐ Ò Ò Ó Ö ÒØ Ò ÓØÑ Ò ÒÐÖ ÙغÇÖ ÒØ ÐÐ ØØÑÒ ØÙ ÒØ Ö Ô Ö Ö Ö ÓÒ ÔØÓ Ø Ò Ö ÒÚ Ö ØØÖ Ø ÓÒ ÐÐ ØØ Ø ØØÙÒ ÖÚ ºËÓÑ Ü ÑÔ Ð ÒÑ ÒØ ÙÖ Ö ÔÑ Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ ÖÑ Òغ ܺ Ö ØÔÖ ÒØ Ö Ö ÒÑÒ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÖÓ Ú ÙØ Ò ØØ Ö ØÒÑÒ Ú Ö ÖÓ ÙÖÑ Ò ÐÐ ÒÚÒ Ñ Ó Ú Ð ÔÖÓ Ð ÑÑ ÒÚ ÐÐ ÓÑÑ Øº Ø Ö Ð Ú ØÔÓÔÙÐÖØ Ò ØØ Ô Ö ÑÐ ÒÑ ÙÖ Ò ÓÖÑ Ú ÖÚÖÚ Ö¹ Ö Ø Ö Ø Ö ØØ Ð Ú ØÐÑÒ Ô ¼¹Ø Ð ØÔ º ØØ Ú Ö Ø Ö Ò Ö ÐÐ ¾ ÐÐ Ö Ö Ò ÓÖÑ Ø Ú µºèöó Ð Ñ Ø ÓÑ Ý ÖÙÔÔÖ Ð Ò ÙÑ Ö Ô Ø Ù ÁÒÐÖÒ Ò ÖÖ ÙÐØ Ø Ú Ñ Ô Ð Ö Ú Ö Ø Ò Ù ÖÚÒØ Ö ØÓÐØØ Ö Ö Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØØÚ Ø Ò Ø Ò ØÙØ Ò ØØ Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ Ö Ø Ð Å ÓÒ ¾¼¼¾ µº ع Ø ÐÐ Ö Ø ÔÒÒ Ò º ØÔÖ Ð ÖÙÒ ÖÚ Ò Ò Ó ÒÐÖÒ Ò ÐÐ ÑÒ ÒÓ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø º Ø Ö ØØ Ö Ú ÙÖ Ò ÑÐ ÖÙØ Ô ØØ Ô Ö Ú Ð ÙÒ Ô ÖÓ Ö Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑÑ Ö ØØ º Ø ÓÑÑ Ò ÒØ ÔÓÒ Ø Ö ÖÖ ØØÚ ÓÑÑ ÒÐÖ ÖÓÖ Ò ÒØÔ Ò Ò Ð ØÙ ÒØ Ò Ò ØÐÐÒ Ò Ø ÐÐ ØÙ ÖÒ º Ú ÒÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÖÚ ¹ Ö ÖÚ Ð Ø ÓÒ Ö Ð Ö ÙÖ Ñ Ø Ö Ð ØÓ ÖÙÔÔ Ø ÖÒ ØÝ Ö ÒØ ØØ ØØ ÙÔÔ Ø Öº Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ú ÙÖ ÑÐ Ò ÓÑÔÐ Ö ÖÑ Ö Ò Ú Ö Ó ØÙ ÒØ ÖÔÖÓ Ù Ö Ö ØØ ÒÒ Ò Ð ÚÐÖ Ò ºÅ ÓÒ ¾¼¼¾ µ Ö ÐÖ Ð Ò¹ Ö ÐÐ ÖÙØÚ Ð Ö Ö Ø ÖºËÔ ÐÐØ ØÝ Ö ÒØ ØØ ØØ ÐÖ ÒØÐ Ò Ö ÙÖ Ö Ò Ö Ú ÖÒÖ Ó Ö ÒÓÑØ ÜØ ÐÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö ØØ Ö Ú ÖÚÒØÒ Ò Ö ËØÙ ÒØ Ò Ô Ö Ú ÐÖ Ö Ò ÖÚÒØ Ö ØØ ÐÖ ºÅÝ Ø ÖÓÖÔÚ ØÙ ÒØ ÖÒ Ð ØÑ Ô ÖÓ Ø Ò Öº ÖÑ ÒÙÔÔ Ø ÖØ ÐÐ ØÙ ÒØ Ö Ö Ö Ø Ò Ò ÙØ ÓÖ Ô Ö ÓÒ» ÒØÖ Ô ÒÒ ÒÓ ÙÔÔÒ Ñ ÒÚ Ö ÖÔ ØØÐ Ò Ø Ú Ò Øº ¾º½ Ø Ú ÙÔÔ Ø Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ ÖÚÖÚ ÒÚÒ Ö Ö Ö Ò Øº ØØ Ü ÑÔ ÐÖÓÑ Ð Ø ÒÒ Ø ÖÚ Ö ÙÔÔ Ø ÓÑÖÚÖØÑ ÒÓ ÓÐ ÓÙØØ Ð Ô Ø Ö Ô Ø Ö ÓÑ ÐÐÑ Ò ÓÖ ÑÙÔÔ Ò Ö Ö ÒÚÓÖ ØØ Ö Ø ÚÖ Ö ÍÔÔ Ø ÖÒ Ú Ö Ø Ú º Ì Ø ½ ½µ Ú Ö ØØ Ø Ú ÙÔÔ Ø Ö Ú ÒØÝ ØÝ Ð Ú¼»¼ ÓÑ ÒÚ Ö ÒÚÒ Ö Ö ØØ Ò ÚÖÐ Ó ÖÑ ÖÒ Ò Ô Ø Ó ØØ ÒÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ú º ÒÐ Ì Ø 29

33 ÓÚÒØ ÚÖ Ø ÙÔÔ ØºÇÑÑ Ò ÖØØ Ö ÖÚ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ ÓÑÑ Ö ØØÙÔÔÐ Ú ÓÑ Ð Ø Ú ÒÙÒ Ú Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ò ÒØ Ò¹ ØÖÒ Ö Ö ØØ Ö Ø ÐÐ ÖÚ ØØ º ÓÑÑ Ö ÒØ ÐÐ Ö ØØ ÙØ Ö ØØ Ñ Ò Ö Ó Ñ Ö ÒØÐ Ò ØØÙÔÔÐ Ú Ó ÖÑ ØØ Ö ØÔÖÓ¹ Ð Ñ Ø ÓÑ ØØÒ Ò º Ø ÒÒ Ò Ö ÓÐ Ô Ø ÖÓ Ø Ü ØØÑÒ ÙÔÔ Ø ÖØ Ò ÖØ ÐÐ ØØ ÚÖ Ø Ö ÐÐ Ö Ö ØÖ Ø Ö Ö ØØØ ØÙÑ ÚÖ Ø Ö ÙÖ ÓÖØÓ Ó Ø Ö Ö Ø Ö ÐÔ Ò Ö Ñ ØØ Ú ÖÔ Ö Ò ÐÐ Ö Ö Ö ¹ Ú Ð ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ò Ø Ö Øº ܺÓÑ ÖÙÔÔ ÓÖØ ÑÒ Ö Ò Ö Ð Ö Øº Ö ÙÔÔ Ø Ö Ò Ú Ð Ò Ò Ò Ø Ö ØØ ØÙ ÒØ Ö ÒÙØÚ Ð ØÖ Ø Ö Ö ØØ Ó ÓÖØ ÑºÅ ÓÒ ¾¼¼¾ µùôôñ Ò Ö ØØ Ñ Ò ÒÚÒ Ú Ò ÙÔÔ Ø ÖÑ ÒØ Ö Ò Ñ Ò Ú Ð Ø ÓÐ Ñ ÙÔÔ Ø ÖÒ ÖÚ ÙØ ÒØ Ù ÓÒÑ ØÙ ÒØ ÖÒ Ø Ö ØØ ÓÖØÙÔÔ Ø ÖÒ º Ñ Ò Ò Ó ÓÑ Ò ÓÑÖÙØ ÒÙÔÔ Ø Öº ÐÐ Ú ÐÐ ØØ Ö ØÙ ÒØ Ö ¾º¾ÍØÑ Ò Ò ÙÔÔ Ø Ö ÓÒØÖ ÖÙØ ÒÙÔÔ Ø Ö Ø ÒÒ ÐÐØ Ò ÚÚ Ò Ò Ú Ú Ð ÚÙÔÔ Ø Ö Ñ ÐÐ Ò ÓÑÖÑ ÖÙع Ö Ö Ñ Ø Ø Ö ÓÑ ÐÚ ÖØÖÓ Ò Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ Ò Ð Ò Ú ØØÑ Ò ÐÝ Ø Ð ÔÖÓ Ð ÑÑ ØØÒ Ò Ó ÒÓÑ ØØ ÐÚØ Ø ÒÓÑ ØØ ÚÖØÔÖÓ Ð ÑºË ÐÚ ÖØÖÓ Ò Ò ÐØ Ò ÐØ ÔÔÒ ÖÖ Ò Ö ÒÒÝÚÖÐ ÒÓÑ ØØ Ð ØØÚ ØÖ ÔØ ÐÐ Ö Ñ Ø Ø ÓÒÖ ÒØ ÙØÑ Ò Ò º Ò Ö Ò ÓÑ ÒØ ÖÒ Ö ÐÐ Ö Ò ÓÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÙØ Ò ÒÐ Ú Ö ÙØ Ð Ò Ò ºÀÙÖ ÓÑ Ð Ø ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ ÒØ ÖÚ Ö ÐÚ ØÒ ØØÒ¹ Ñ ØØ Ú ØÙ ÒØ Ö Ò Ð Ò Ð Ú ÐÚ ÖØÖÓ Ò Ó Ò ØÖ ÙØ Ò Ö º Ú Ö ØØ Ö Ø Ø Ö ØØ Ö ÚÑ Ñ ÓÑ ÒØ Ö ÒÚÒ Ö ÙØ Ò ¾º ËØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ò Ø Ö ÓÑ ØÖ Ú Òº ØØ Ü ÑÔ ÐÖغ ܺÓÑÑ ÒÙÔÔØ Ö Ò Ò Ø ØØ ÙÔÔ ÓÖØÑ Ò Ø Ø ÖÔÔÖÓ Ð Ñ ÒÑ Ò Ö Ñ ÐÐ ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ø Ò ÓÑ ÓÑ Ò Ò Ò Ò Ø Ö Ô ÐÐØ ÓÑ ÖÑ Ö ÒÒÝØØ º ØØ Ò ËÓÑÒÑÒØ ÒÒ Ò ÒÙÔÔ Ø ÖÒ ÖÓÐÐÚ Ö ØØ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ú ØÒ Øº ܺ ØØ Ö ÝÔÓØ ÖÓ ÑÐ Ô Ú Ö Ú ÒÐ Ø Ñ ÖÑ Ò Ò Ó Øº ܺ Ö ØØ Ö Ú ÔÖÓ Ð ÑÑ Ò ÐÐ ÖÔ ØØÐ Ñ Ò ÓÖ º ÙØÓÑÖ Ø Ò ÒØ ÐÐ Ð ÐØØ ØØ Ú Ð Ò Ò Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Öº Ö Ö Ñ ÒÙÒ Ú ØØ Ñ ØÙ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò Ñ Ò Ò Î Ö ÒÚ ØÙ ÒØ Ö Ö Ò Ò Ø Ö ÓÑ Ú Ö ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Öº Ð Ó ÑºÅ Ò Ñ Ø Ò ØÓ ÒØ ØÙ ÒØ ÒºÅ ÓÒ ¾¼¼¾ µ Ö ÓÑÑ Ò Ö Ö ØØ ÓÖØÑ Ò ÒÒ Ö ÙÔÔÑ Ò ØØ ØØ ØÑÔ ÐÔ ØÙ¹ ÒØ Ò Ñ Ò ØÐÐ Ø ÙÑÑ Ö Ø Ò Ò ØÙ ÒØ ÒÚ ÖÓ ØØ ØÑÔ Ð Ô Ø Ò Øº ÖÑ ÒÑ Ò Ñ ØÙ ÒØ Ò Ø Ò Ñ ÒÔÖ Ø Ñ ÖÒ ØÙ ÒØ Òº ØÖÓ ÐØØ ØØ ØØ ØÑÔ ÐÒÔ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø ØÙ ÒØ ÒÑ Ò ÐÐ Ñ ÒØ ØÙÔÔ ÓÑÓÑ Ø Ò ÒÚ Ö Ô Ö Ö ÐÒ Ñ ÐÐ ÖÐ Ø Ö ÔÒ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ñ ÒÑ Ò ÓÑÑ ØØ Ö Ø Ò ÔÚ Ö Ú Ö ØÓÖ Öº ØÖ Ø Ò Ò ÓÑÑ Ò 30

34 Ñ Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ø Ò Ø ÒÒ ÒÔ Ö ÓÒ ÓÑÒÓ ÖÑÝ ØÑ Ö ÓÑÔÐ Ü ÒÒ ÓÒ Ø ØØ Ò Ö Ú º ¾¼¼¾ µºë ÓÖØÑ Ò Ö Ò ÖÙÔÔ Ú ØÙ ÒØ Ö ÒÑ ÒÒÓØ Ö ØØÒ Ö Ö ¾º ÄÖ Ò Ø Ð Ö ÇÐ ÐÖ Ò Ø Ð Ö º º Ö ÖÓ Ð Ô ÓÖ Ö ØØ ÒØÔÖÓ Ð Ñ Å ÓÒ ÒØÖÝ Ú ØØ ÓÖØ Ö ÔÔÓÑÑ Ø Ö Ð ØÑ Ò Ø ÐÚ Ú Ö Ø ÒØ Øѹ Ñ Öº ÐÐ Ö Ö ÖºË Ð Ô ÓÖ ÒÚ Ö ÐÒ ÑÑ Ó ÖÒ Ð Ñ Ò Ó Ø Ö Ö Ñ Ø Ö Ð ØºÀ Ö Ö ÖÙ Ö Ò Ú Ö Ø ÚÚ Ð Ô ÓÖ Ø ÑÙÐ Ö Ö ØÙ ÒØ Ö ØØÑÓØ Ö Ø Ò Ò Ò Ø ÖºÍÔÔ Ø Ö ÓÑØÚ Ò Ö Ö Ö ØØØ ØÐÙ ÒØÓ Ø ÑÙÐ Ö Ö ØØ Ó Ñ Ø Ð Ö Ò Ò ÓØØ ¹ Ö Ö Ñ Ò Ð Ô ÓÖÖ Ò Ú Ø Ð ÖÓ Ö ÚÖØ ØØ Ò Ú Ö Ø Ú Ø ÓÖغ ØÖÚÖØ ØØ ØØ ÔÓÐ ÓÖØ Ö ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ Ò ØØÖ µó ÙÔÔ Ø Ö ÓÑ Ö Ð Ô ÓÖ ØØ Ò Ú Ö Ø ÒÓÑ Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ò Ö Ð Ö Ò ÐÐ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ú Ú ÖØÝ Ò Ö ÙÑ ÒØµÖ ØØ ØØ ØØØ ØÙ Î Ö ÙØ Ö ØÚ Ð Ò Ô ÖÙÔÔ Ø ÖÒ Ö ØØÑÓØ Ú Ö Ñ ÒÓ ¹ Ò Ò Ö ÙÐØ Ø ÚÐÖ Ò Øº ØÖÐØØ ØØ Ò ØØ ÐÐ Ò Ô Ö ÐÔ Ø ÐÐ ØØÙØÚ Ð ÓÑÔ Ø Ò Ö Ò Ö Æ Ò À Ö Ù ÓÒ ¾¼¼¾µº Ó ÓÑ ÓÒ ØÖÙ Ö ÖÙÔÔ Ø ÖÒ ÐÚ ÙÒÒ Ö Ø Ö Ú Ö Ñ Ø Å ÓÒ ¾¼¼¾ µø ÖÙÔÔ Ö ÓÖÓÑÙÔÔÑÖ Ñ Øº Ø ÓÑ ÒÑ Ò Ö Ö ØØÚ Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÑÓÑ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÖÐÖ Ò ÓÑ ØÙ ÒØ Ö¹ Ú Öº ÒÒÙÚ Ø Ö Ö ØØ ÙÒÒ Ú ÓÑ Ò Ö Ð ÖÙѹ Ò ÐÚØÑ ÒÓ ÓÑÑÒ Øº ØÖ Ö ÒØ Ñ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò Ó Ú Ö ÙÔÔÑÖ Ñº ØÖÐØØ ØØ Ò ØØ Ø ÒÒ ØÙ ÒØ ÖÑ ÑÒ ÓÐ Ò Ò Ø Ö ÙÔÔÑ Ò Ò ÙÔÔ Ø Öº Ö ØØ ÙÒÒ ÒÓØ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÒÖÙØØÖ ØØÑÓ¹ ÓÑÐ ÖÚ Ñ Ø Ñ Ø ÒØÖÙѺ ÙØÓÑÚ Ö Ö ÖÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ØÙ ÒØ ÖÒ Ø Ú Ø ÓÒ ÒÖÐ ØØ ÙÒÒ ÒÒ Ò ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ò Ø ÖÑ Ø Ñ Ò Ö Ø Øº Ø ÙÖ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô Ò Ò Ö Ùع ÐÒ Ò ÖÖÓ Ð ØÓÖ Ó ÖÑ Ò Ñ Ö ÒØÖ ÒØ ØØØ ØØ Ôº Ò ØÓÖ ÖÙÔÔ Ú ØÙ ÒØ ÖÔ ÙØ Ð Ò Ò Ö Ö ÒØ Ú Ø ÒÑ ØØÐÖ Ñ Ø Ñ Ø ºÌÝ Ö ØØ ØÖ ÚÖØÓ Ó Ö Ø Ð Ø Ó Ù Ö Ö Ð ØÔ ØØ Ö Ø ÒÓÑ ÙÖ Òº Ò ØÓÖ ÖÙÔÔ ØÙ ÒØ Ö Ö ØÝ ÓÑÑÓØ Ú Ø ÓÒº Ö ÒØÖ Ö ÚÑ Ø Ñ Ø Ó Ö ØÓÖ ÖÚÒØÒ Ò Öº ËÓÑ Ö Ø Ö ØÚ Ø Ø ØØ ØØ ÔÙÔÔ Ø ÖÑ Ò Ô ÖÚ ÐÖ Ñ Ö Ø Ð º Ö ÖÙÔÔ ÖÒ Ð Ö Ð ÖÙÑ ØÑ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ØØ ÒÓ Ö ÙÐØ Ö ØØ ÐÖ Ñ Ø Ö Ó Ñ ÑÓÖ Ö ØÐÐ Ø Ö ØØ Ö ÙØ Ö ØÓÚ Òº ØÖÐÖ ÖÒ ÙÔÔ Ø ØØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò ÙÔÔ ¹ Ö ØØÙÒ Ú Ñ Ö ØÒ º Ö ØØ ÖÚÒØÒ Ò ÖÒ Ú Ö Ö ÑÐ ÖÚ Ø Ö ÓÑ Ö Ò Ö ÙÐØ ØºÅ Ø Ñ Ø ÖÒ ÐÚ Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ð Ú ÑÙÒ Ø ÓÒºÄÖ Ö Ò ØÝ Ð Ø ÙÒÒ Ò Ö ÖÚÒØÒ Ò Ö ÓÒ» Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ö ÙÐ Ö Ö Ñ ÐÐ ØºÄ Ú Ø Ø Ö ØØÒÖ ÙÐØ ØÖ Óѹ 31

35 ÙÔÔÑÖ Ñ Øº ÖÓÛÒ ÐÐϺ º ½ µºáòøöó ÙØ ÓÒ ÈÙÖÔÓ Ò ËÓÔ Ó Ø Ý Ö ÓÓ ºÁÒ ÓÖØݹ Ø Ý Ö ÓÓ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ó ØÝ ÓÖØ ØÙ ÝÓ Ù Ø ÓÒ Ô ÖØÁº Ì Ñ ÙÖ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ºÆº ºÀ ÒÖÝ ½¹ º Ó ÍÒ Ú Ö ØÝÓ Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò Óº Ú Êº º ½ ¾µºÍÒ Ö Ø Ò Ò ³ÙÒ Ö Ø Ò Ò ³ºÂÓÙÖÒ ÐÓ Å Ø Ñ Ø Ð ¹ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ºÈÓÖØ ÑÓÙØ ÆÀ À Ò Ñ ÒÒº Ú ÓÙÖ½½ ¾¾ ¹ ½º À ÖØ ÖÔ ÒØ ÖÌÈ ÒÒ Ñ Ù ÓÒÃ Ï ÖÒ ÅÙÖÖ ÝÀ ÇÐ Ú Ö Ò ÀÙÑ ÒȺ ½ µºå Ò Ò Ø Ò Ò Ð ÖÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø Û Ø Ä ÓÚ º ¾¼¼ µºî ÖÓ Ò Ò ÒÙØÖ Ö ºÉÚ ÖØ Ð Ò ÒÙÑÑ Ö Ñ Ö ¾¼¼ º Å ÓÒÂÀº ¾¼¼¾ µºå Ø Ñ Ø Ø Ò ÔÖ Ø Ù ÓÖÙÒ Ú Ö ØÝ Ò ÓÐÐ Ð ØÙÖ Ö º Ø Ö Ò Ð Ò ÀÓÖÛÓÓ ÈÙ Ð Ò º Å ÓÒÂÀº ¾¼¼¾ µºê Ö Ò ÝÓÙÖÓÛÒÔÖ Ø Ì ÔÐ Ò Ó ÒÓØ Ò º Æ Åº Ò À Ö Â̺ ¾¼¼¾µºÃÓÑÔ Ø Ò ÖÓ Ñ Ø Ñ Ø ÐÖ Ò ºÍ ¹ ÄÓÒ ÓÒ ÊÓÙØÐ ÐÑ Öº Ò Ð ØÝÖ Ð ÒØ Ñ Ø Ö ÒÖº½ ºÍÒ ÖÚ Ò Ò Ñ Ò Ø Ö Øº Ì Ø º ½ ½µºËÓÑ Ø ÓÙ Ø Ö Ò ÖÓÑØ Ò ÛÒ ÓÐ Ø ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ï Ø º ½ ¾µº ÓÑ ØÖ ÁÑ Ä Ô ÖÓ Ó Ø ÓÒÓ Ì Ö Ó Ì Ò Ô¾ ¹¾ ºÊ ÔÖ ÒØ Ò Ò Ý ÊºÂ ÖÚ ÅºÌ Ø ºÏ ÖÛ Âº Å Ø Ñ Ø Ö Ý Ô½½ ¹½½ º 32

36 ÑÔ Ö ØÙ Ú ÙÖ Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ã Ò ØÙ ÒØ ÖÐÖ Ú Ö Ò Ö Ë Ö Ä Ö ÓÒÓ Ä Ò Ï ÖÒ ÖÀ ÖØÑ Ò ÔÚ Ö ØØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÒÔÏ Ò Ø Ú Ö Ø Ø Ñ ÖÙÔÔ ÖºÍØ ÖÒ Ò ØÖÙ Ø ÓÒ ÖÐ Ö ØÙ ÒØ Ö¹ ½Ë Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö ÒÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ Ö Ø ÒØÖ Ð Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÁÒÐ Ò Ò Ò ÖÚ ÙÖ Ó Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ø ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ñ ÖÙÔÔ ÖÒ Ó ØØÚ Ð ØÙ ÒØ ÖÒ Ú ÔÖÓ Ð ÑÐ Ò Ò ºÁ Ö ØÙ Ö Ö Ñ Ö Ø ¹ ÙÒ ÖÐÖ ÖÐ Ð Ø ÓÒ Öº ÒÐÖ ÖÐ Ø ÒÙØÒÝØØ ÖÑ Ø ÐÐ Ø ¹ Ø ÚØ Ö Ø Ó ØÙ ÒØ ÖÒ Ô Ö Ò ÙÒ Ô ÒØ Ö Ø ÓÒÑ Ò Ö ºÄÖ ¹ Ö Ò ÖÓÐÐÖ ØØ ÒÓÑ Ò ØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö ÑÒ Ñ ØÖ Ð Ú ÒØ Ù ÓÒ Ö Ð Ö Ö Ù ½ Ó Ã Ð Ö Ò ËØ Ò ÓÖ Ø ½ Ø Ø Ø µº Ö ÙÐØ ØÔÔÖÓÚÓ Ø ÖÖ Ò Ð Ó Ò Ñ ¾¼¼¼ Ñ Ø Ñ Ø µ й ÐÖ Ò Ú Ø ÔÚ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÔÓ Ø ÚØ ÓÖÑ Ú Ö Ø ÖÙÒ ÖÐÖ ÖÐ ÚÒ Ò Öº Ö¾¼¼ Ò Ö ØØ Ö Ñ Ñ Ö Ø Ð¹ Ö Ö Ö Ð Ö ÒÔÖ ÒØ Ö Ö ØØÑ Ø Ö Ð ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ö ¹ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò ÐÝ ÙÚÙ Ð Ò ÓÖÑ Ú Ö Ð Ò Ò ¹ Î ÄÙÒ Ø Ò ÓÐ ÄÌÀµ Ö Ú ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö Ò ÔØÚ ÚÅ Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ ÙÖ ÖÔ Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ó¹ Ý Ø ÑØ Ò ÏµºÀ ØØ ÐÐ Ö Ò Ø ÒÑ Ò Ö ÙØÚÖ Ö Ò ÓÖØ Ø Ö Ö¹ Ò Ö Ò ÒÓ ÒÒ ÓÖ Ø Ö Ö Ø Ö ØÓ Ò ØÔ Ò Ú ÙÖ ÖÒ ½º½ËÝ Ø Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ ¾¼¼ º ÎÖ Ú Ö Ö Ô Ò Ö ØÐÐÒ Ò ÒÒ ØÙ ÖÚ Ö Ø ØØ ØÙ Ö ÓÑ Ò Ö Ò¹ Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÔÚ Ö ØÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ô ÙÖ ÖÒ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÔϺËÔ ÐÐØÚ ÐÐÚ ØÙ Ö ÓÑÓÐ ØÙ Òع Ö ÙÐØ ØÔÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Òº ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖºËØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÖÚ Ú ÐØ ØØÑØ ÒÓÑ ØØ ØÙ Ö ÖÙÔÔ Ö Øº ܺ Ú Ó Ø Ö ÔÚ Ö Ø ÓÐ ºÎ Ö Ú ÐÐÙÒ Ö ÓÑÚ Ò Ñ ÖÙÔÔ ÖÒ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ò ÔÚ Ö ÒÔ Ò Ð ØÙ ÒØ ÖÒ ¾¾º½Ë Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ë Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö ÒØ ÒØÝ Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ ÙØ Ò ØØ ÖÙÒ ÑÐ Ò Ò ÑÒ ÖÑÒ ÓÐ ÙÔÔÐ º Ö ØØÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò ÐÐ ÙÒÒ Ð¹ 33

37 Ð Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÐÐ ÒÐ Ø À Ð Ò Ø Ðº ½ Ð Ò Ñ Ò Ñ¹ Ñ ÒÑÒ Ö ÒÒ Ñ ÈØ Ð ÑÒ ÖÙÔÔ Ö Ø Ò Ð Ú Ñ Ö Ø ÖÙÔÔ ÖÒ Ñ Ø Ò Ú ÖÑ ÐÐ Ò ÖÙÔÔÑ Ð ÑÑ Ö Ø Ð ÖÙÔÔ ÖÓ Ùع Ð Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ØØ ØØ ØØÓÖ Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ö ØØÙØÒÝØØ Ò ÚÖ Ö Ò Ú ÖÙÔÔ ÖÒ Ö Ø º Ö ÑÓØ ÒÑÒ Ò Ö Ð Ò Ò ÖÚ Ö Ö Ó Ø Ö ÓÑÑ Ö Ò ÐÐ Ö Ö ØØ Ø ÐºÍØ Ò ÖÒØ ÓÖ ÒÓÑ Ó Ð ÓÒ¹ ØÖÙ Ø Ú Ñ Ú º ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÐÚ Ô Ö Ò ÙÒ Ô Ñ Ô ÐÑ Ò Ö ÐÖ ÖÐ Ø ÒØ ÐÐ Ò Ø Ú Ø Øº Ñ ÒØÓ ÖØ Ö Ñ Ö ÐÐØÙÒ ÖØ Ø½ ¼¹Ø ÐÓ Ö ÒÐ Ø ËÐ Ú Ò ½ Ù¹ ÚÙ Ð Ò Ò Ð ØÓÑ ØÙ ÒØ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ Öº ØØ Ü ÑÔ ÐÖ Ò ØÙ Ú Ö Ù ½ Ö ÒÚ Ö ØØ Ð Ñ ÐÓ ÔÖ Ø Ö Ò ØÙ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ò ÓÑ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÖÔ ØØÙÒ Ö Ð ÖÖ Ö ÙÒ Ö Ø ÓÑ ÒØ ÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò º Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö ÒÔÓ Ø Ú ØÔ ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÑ Ò Ö ¹ Ô Ò ÓÐ ÙÖ Ø Ø Ø Ö Ö ÔÖÓÚÖ ÙÐØ ØÒÑÓØ Ú Ö Ò ÖÙÔÔ Ö ÑÓØ ÒÒ Ò ØÓÖÓ Ò ØÓÑÚ Ö Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÔÚ Ö ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÙÒ ÖÚ Ð ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ÒÒ ÔÚ Ö Ò Öº ØØÔÖÓ Ð ÑÚ ÐÐ Ö ËÐ Ú Ò Ö Ú ÖÓ ÓÑ ØØ Ø ÒÒ Ò Ø Ö Ò Ø Ð Ò ÓÖ Ö ÓÑ ØØ Ñ Ò Ñ ÖØ Ò ØÙ Ò Ö Ø Ú Ö ÚÖغ ÖÙØ ØØÒ Ò ÖÒ ÖÙÔÔÑÙÒØÖ ÒÓ ÔÓÖÖ Ò ØØ ÐÐÐÖ Ò º ØØ Ð ÒÒ ØÝÔ Ú ÓÖ Ò Ò Ö ØØ Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÔÚ Ö Ö Ðº º Ñ ÐÐ Ò ØÙ ÒØ Ö ÓÑغ ܺ ÒÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÙØ Ö ÐÖ Ò Ö ØØÖ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö Øº ܺ ËÐ Ú Ò ½ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ø Ðº ½ º ÎÖØ ØØÒÑÒ Ö Ó ØØÚ Ø ÓÖ Ö Ö Ñ Ö ÐÐØÐÝ Ø Ö Ö Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÒÙØ ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÚØ ÓÖ ÖÓÑÚ ÓÑ Ö ØØ Ñ Ö Ø ¹ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑ ÖÒ Ö Ó ÒÓ Ö ÔÖ Ú Ø Ò Ú ÖÙÔÔÑÐ ÓÑ ØØ ÖÙÔÔ Ò Ü Ñ Ò Ö Ñ Ò Ñغ Ó Ö Ð Ö ÖÚ Ö Ò Ö º Ò Ö Ñ Ò Ö ØØ Ø ÙÚÙ Ð ÒÖÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ò ÖÑ Ø ÍË ºÁËÚ Ö Ö Ò ÒÚÒØ Ô ÓÐ Ò Ú Ð Ò ÒÒ Ø ÄÙÐ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÙÒ Ð ½ º Ë Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö ÒÚÒØ ÒÓÑÑ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ú Ö Ò Ö ØØØÚÖÚ Ø Ò ÔÐ ØÙÔÔÐ ÖØ Ò Ó ÓÐÓ ÓÑ Ò Ö Ö ØØ Ò Ö ØØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÚÑ Ð ÔÖÓ Ð Ñغ ܺ ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÏ Ø ÖØ Ú ÄÌÀ ØØ ÖÑ Ò Ò½ ºÍØ Ð Ò Ò ¹ ¾º¾ Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÏ ÓÑÖ Ò Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ØÙÖÚÖ ÐÐ ÖÚ ØØ ÒÖ ÙÖ ÒØ Ö Ò º Ô Ö Ó Ò Ò ØÓÖ ÓÑÔÚ Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÖÑ ØØ Ð Ö ÚÙØ Ð Ò Ò Ò Ðнº Ö ÝÒ Ó ÙÖ ÒØ Ò Ò ÔÓÒ Ò ÙÒ ØÙÒ Ö Ò ØÙ Ö Ø ¹ ÔÄÌÀ Ä Ò Ö Ò ¾¼¼ º Ö Ø Ö Ø ÒØÓ ¼ ØÙ ÒØ Ö Ö Ø Ö ¼ ØÙ ÒØ ÖÔ ÖÖ Ì ¹ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ºËØÙ ÒØ ÖÒ ÐÐ Ò Ü Ñ Ò Ð Ø ½ ÔÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÔÓÒ Ð Ò Ö Ð Ö ËÓÑÔ ÐÐ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ö Ò Ö ØØÓ Ð ØÓÖ Ø ÐÓ Ú 34

38 Ì Ðн ÒØ Ò Ò Ø Ø Ø Ö Ó Ý Ø ÑØ Ò ½ ¾¼¼ º ½ ½ ¾¼¼¼ Ö ÁÒØ Ò Ò ØÝ ÌÓØ ÐØ ÒØ Ð ÒØ Ò ¾¼¼½ ½ º ½ º ¾ ¾¼¼¾ ½ º ½ ¾¼¼ ½ º ¾ ¾¼¼ ¾¼¼ ÐÐ ÒØÓ º Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ò Ø Ó Ð ØÓÖ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ô Ó ÔÓÒ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ µó ÔÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø º Ð Ö¹ ÚÖØ ÖÑ Ò ÒÙÒ Ö¾ Ð Ö Ø ÖÙÒ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö Ò Ú ØØ ÖÑ Ò ÒÙÒ Ö ºÍÒ Ö ØÖ Ö Ø Ö Ò ÓÑ ÙÖ Ö Ú Ö ¾¼¼¼¹¾¼¼¾ ÒÚÒ Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ô ÙÖ ÖÒ Ú º Ø Ö º ÖÙØÓÑ Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ô ÙÖ ÖÒ Ö Ò ÚÒ Ò ÖÓ Ô Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÒÒ Ú Ò ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÓ ÔÖÓ Ø Ö Ø º ÙÖ ÖÒ Ñ Ò Ø¾ Ö Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ö ÙÖ ÒÒ ÐÐ ØÔÖ Ò¹ ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÁÒ Ù ØÖ ÐÐ ÓÒÓÑ Ñ ¼ ÒØ Ò ØÙ ÒØ ÖºÃÙÖ ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ö Ø ÑÑ Ö ÐÐ ÙØ Ð Ò Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ò ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ô ÐÐØ ÒÔ Ö Ó Ý Ø ÑÙØ Ð Ò Ò Ò ÃÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ð Ø ÙÒ Ö¾¼¼¼¹¾¼¼¾Ø ÐÐ ÑÑ Ò Ñ Ú ÐÐ Ö ÚÐ ÙÖ ÒÒ ÐÐ ÓÑØ ÐÐÑÔÒ Ò Ö ÚÒ Ò ÙÔÔ Ø ÖÓ ÔÖÓ Ø¹ ÙÔÔ Øº Ð Ñ ÙÖ Ú ØÙ ÒØ ÖÓ ÔÖÓ Ö ÑÐ Ò Ò ÔÏ ÒÐ ¾¼¼ ØØ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò ÖÒ Ö º Ð Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ð ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÐÐ ÐÖ Ó ÙÖ Ò ÒÚÒ ØÓÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ø Ö ÓÑ Ö Ñ Ö ÐÐØ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÙÔÔÐ Ú ÓÑ ÒÔÖÓ¹ Å ÔÐ º Ö ØØ ÒØ ÙÖ Ò ÒÒ ÐÐ ÙÐÐ Ö ÙÖ ÒÒ ÐÐ ØÒ ÖÒ ÓØ ÖÑ Ø ÒÓÑ ØØ ÒØ ÙÔØ ÒÔ ÙÖÚ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ò ÐÐ ¾¼¼ º Ú Ò ØØ Ü ÐÙ Ö Ø ÖÒ Ú ÑÐ ÙÖ ÒÒ ÐÐ Ø ÒØ Ú ÖÑ º Ò Ö Ò Ò ÒÒ Ö Ó Ò Ò Ò Ò Ò ÚÒ ÚÒ ÑÑ Ö Ö Ò º Ø ÒØ Ñ Ò ÖÒ Ö ØØÅ ÔÐ ÒÚÒ Ô Ò Ð ÚØ ÒØ Ñ ÒÓ Ò ÙÖ ÓÑÚ Ò ÒÒ ÒÓÑÐ Ò Ò ÒÚ ÖÙÔÔ ØØ Ó Ó Ø ÒØ Ñ Ò ¹ Ö ÙÐØ ØºÈ ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÅ ØÐ ÒÚÒØ Ö ÒÙÒ¹ ÖØ Ö Ö Ó ØØ ÓÖØ ØØ Ú Ò Ø ÖÓÑÐ Ò Ò ÒºËØÙ ÒØ ÖÒ ÔÏ Ë ÑØ Ø Ò Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó Ô ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ö Ò ØÙ Ö Ò Ö Ö ØÓÖ ÓÑ Ò Ö Ó Ö Ú ÖØ ÐÐ Ú ÐÙØ Ö Ò ØÙ Öº ÐÐØ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ØÓÖ Ø Ö Ñ Ö Ø Ó ÙÒ Ö ÐÐÙÒ ÖÚ Ò Ò Ø º Ó Ø Ö ÖÒ Ö Ò Ò ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ ºËÓÑ ÝÒ ØÙ ÒØ ÖÒ Ô ÁÌ ÐÐ¾Ö ÓÚ Ö ÐÒ Ò Ò ÚÐÖ ÖÖ ÙÖ ÖÔ ØÚ ÙÖ ÖÒ ÒÒ Ò 35

39 Ò ÐÝ ¾¼¼¼¹¾¼¼¾ Ö Ð Ò Ò Ö ÓÔÑ ÁÒ Ù ØÖ ÐÐ ÓÒÓÑ Ì Ðо ÄÖ ÖÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ø º Ö Ð Ò Ò ÖÓ Ñ Ò Ö Ö Ö ÒÐÖ Ö Ø ÐÐ ÐÐ ØÙ ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓ Ö Ò ÚÒ Ò Ö Ö ÒÐÖ Ö Ô Ö ¼ ØÙ ÒØ Ö Ð ÓÖ Ø ÓÒÓ ÔÖÓ ØÙÔÔ Ø ÖØÚÐÖ Ö Ô Ö ¼ ØÙ ÒØ Öº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÍÒ ÖÚ Ò Ò ¾¼¼¼¹¾¼¼¾¾¼¼ ¾¼¼ ¹¾¼¼ ¾¼¼¼¹¾¼¼¾¾¼¼ ¹¾¼¼ Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ 45Ñ ÒÙØ Ö Ë Ñ Ò Ö ÙÑ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ê Ò ÚÒ Ò Ä Ø ÓÒ ½ ½ ¾ ¾½ ½ ¾½ ÒØ ÐØ ÐÐ ÐÐ Ò 2 Ä ÓÖ Ø ÓÒ» ÔÖÓ Ø Ö Ø ËÙÑÑ ½ ¾ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú ÓÒÓÑ Ð Ú ÒØÐ Ø ÖÖ ÐÖ ÖÐ ¹ Ø ÑÑ Ö Ø ÖÓÑÐ Ò Ò Ò Ñ Ò ÐÖ ÖØØ ØÔ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ø Ñ¹ Ú Ð Ö ÐÖ Ö Ø Ö ÓÑ ÒØ Ö Ö Ð Ò Ò ÖÒ ÙØ ÒÚ ÒÐ Ø Ó¹ Ò Ò ÖÑ ÒÐÖ Ö Ö ØØ Ú ÙÐ Ø ÓÒ ÖÑ ØÚÐÖ Ö º Ú Ò ÓÚ Ø Ú Ó ÖÒ Ö Ø Ø ÖÓÑÐ Ò Ò Ò Ñ ÒÐÖ ÖØØ Ø Ò Ò ÓØ Ù Ö Ð ¹ Ñ Ö ÓÑ Ú ºÈ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú Ö ÒØ Ð ØÐÖ ÖÐ Ø ÑÑ Ö ØØÑ Ø Ñ Ø ØÙ ÒØ ÖÙÒ ÖÚ ÖÔÖ Ò ÚÒ Ò ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò ÖÒ Ö Ø ÖÖ Ð Ò ÚØ ÓÖ Ò ÒÓÑ ÖÚ Ö Ú Ð Ö ÐÖ Ö Ú º Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø º Ñ Ò ØÔ Ó ØÓÖ Ò Ò ÚºÈ Ö Ð Ò Ò Ö ÙÖ ÖÖ Ø ÒÒ Ö Ú ÒÐ Ø ÙÖ ÐÐ ØÖ Ö Ò Ó Ú ÒÙÒ Ö ØØ ÚÖ Ò ÒÒ ÒÓÑÐ Ò Ò Ò Ö¾¼¼½º ÈÑ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö ÑÑ ÐÖ Ö Ú Ö Ø ÙÖ ÙÒ Ö ÐÐ ÜÙÒ¹ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º Ø ÖÓÑÐ Ò Ò Ò Ö ÑÑ ÐÖ Ö Ú Ö Ø Î Ð ÐÖ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ ØÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ò Ô Ö Ó Ò ÖÚ Ö Ö ØÔ Ö Ø Ö Òº Ò ÒØ Ö Ø Ô ÙÖ ÖÒ º Ö ØÑ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó ØÓÖ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÖÒÙÔ ÖÑ ¹ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ ÒÚÒ Ú ÖØ Ð ØÙÒ Ú Ö Ø ØÓ ÓÐÓÖ ËÚ Ö ºÎ ÎÖÙÒ Ö Ò Ò Ö Ô Ø Ò ÑØ Ø ÖÒÄ ÇÃ Ø ØÙ Ñ Ò Ø¹ Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÖÚ Ö ØÙ ÒØÔÏ ØØØ ÐÐ Ò Ø ÐÐØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ú ÐÐ Ò¹ ÖØ ØÝ Øµ Ö ÑØÐ Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖÓ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÐÐÑÒ ÙÖ ÑØÚ Ð ÒØ ÖÑ Ò ÓÑ ØÙ ÒØ Ò ÙÖ Ö ØÖ Ö Ô ÙÖ ÒºÈÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ø Ø ÖØ ØØ ÖÑ Ò Ò½ ØÙ ÐÐ ÙÖ ÖÒ Ö Ð Ø ØØ Ú ÜØ ÐÐ ÐÐ ÒÖ¾¼¼¼¹¾¼¼ º ØÖ Ö Ø Ö Ò ÖÒ ¾¼¼¼¹¾¼¼¾ 36

40 Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÍÒ Ö¾¼¼ Ó ¾¼¼ ÒÒ Ñ Ð Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÖ ÖÒ Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ Ò Ò¾¼¼ Ö ÙÒ ÖÚ Ø ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ ÖÖ Ô Ø Ú ÙÖ º½ ØÙ ÒØ Ö ÓÑÚ Ö Ø ÙÖ Ö ¹ ØØ Ð ØØ ÒÒ ØÔÖÓ Ö Ñ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º Ñ ØØ ¼ÔÓÒ ÔØ ÒØ Ñ Òº ØÖ Ö Ñ Ò ÓÑ ÒØ Ö Ú ØØ ÒØ Ñ ÒÚ ÓÖ Ò Ö ÙÖ Ø ÐÐ ÐÐ ÖÐ ØÐÐØ ËÓÑÑØØÔ ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÖÚ ÒÚÒØØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÚ Ú Ò Ò ØØ ØÖ Ö Ò Ú º ÒÚ Ø ØÓÖÚ Ö Ú Ö ÙÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ö ØÔØ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖºÃÙÖ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö ÓÑ ÒÑÒØ ÓÚ Ò Ô8ÔÓÒ Ó ØÖ ÚØÚ Ð ÖÓÑ4ÔÓÒ Ú Ö Ö ÓÑØ Ò¹ ÀÙÖÚÐ Ò ØÙ ÒØÐÝ Ô Ò ÙÖ ÖÓÖÔ ÒÑÒ ØÓÖ Ö Ó ÙÒ Ö¹ Ø Ö Ø Ô Ö ØÓ Ú ÖÖ ÙÐØ Ø ÖÒÖ Ô Ø Ú ÐØ ÒØ Ñ Ò º ØÙ ÒØ Ò Ô Ö Ð Ò ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÐ Ò Ø Ø Ò ÓÐÓÖºÄ Ö ¹ Ö Ø Ö Ö Ð Ú ØÙÒ Ö Ò Ö ÓÚ Ò Ø0 Ó Ú ØØÔÓÒ ÔØ ÒØ Ñ Òº Ö ÙÒ ¹ Ô ÖÒ ÒÚ Ö Ö Ñ ÐÐ ÒÖ Ò Øº ܺ Ö ÒØ Ò Ò ÔÓÒ Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ö Ö ÙÐÐ ÖÓ Ø ÖØ Ð Ø ÓÑ Ò ÐÐÑÒ Ò Ò Ò ÚÒ ÚÒÔÑ Ø Ñ Ø ÙÒ¹ ØÙ Ö ØÓÖÔÅ Ø Ñ Ø ÄÌÀ Ñ Ò Ö ØØ ØØ Ó ÒÐ ØØØ ÐÐ ØØÒ ÚÒÔ ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ó Ð Ò Ö Ð Ö ºÆÖ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÏÑ Ò ÐÐØ Ú Ö ÖÖ ÙÐØ ØÔ ÙÖ Ò Ò Ñ Ò¹ Ö ÒÓÑ ØØØ ØØ Ô ØÙ ÒØ Ò Ö ÙÐØ Ø ÖÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ Öº Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖÒ Ò Ø Ò Óغ Ò ØÙ ÒØ Ö ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø ÑØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ó Ú ÐÙØ Ø ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ò ÒÒ Ö ÒØ Ñ Ö ØØ ÖÓ Ò Ø ÚÚ Ð ÒÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ ØÙ ÒØ Ò ØÔ ÙÖ Ò Ô ÒÒ ÙÖ Ø Ö Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÙÐÐ ÒÒ Ö ÒÒ Ö Ò ÖÒ Ö Ò Ú ÙÖ ØÙ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ô Ö ÓÑÑ Ö ØØ Ñ º ØØ ÙÐÐ Ö Ò Ø Ñ ØÙ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø º Ò ÖÒ Ö Ò Ö ÙÐØ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ð Ö ØØÔÖÓ Ð Ñº ÖÙØÓÑ ØÙ ÒØ ÖÚ ÐÐÚ ÙÒÒ ÙØØ Ð Ó Ú ÒÓÑ ÓÑÑ Ò ØÙ ÒØ Ö Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÖÒ ÑØÐ ÜÖ ÙÐÐ Ö ÚϹ ØÙ ÒØ Ö Ö Ò ÐÝ Ö Ø º Å ØÓ Ó Ö ÙÐØ Ø ÔÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÒÓÑ Ò Ú Ö Ð Ö ÑØ Ó Ú Ö ÙÒ Ö Ø ØÙ ÒØ Ö¹ Ò ÓÑ ØØ Ø ÔÖÓÚ ÚϹ ØÙ ÒØ Öº ØÖ ÐÐØ Ú Ø Ø ØØÙÒ Ö ÓÑ ÐÐÒ Ö ÓÑ ÒÒ Ø Ñ Ø Ö Ð ØÖ Ò ÒØ Ú º Ø Ø Ø Ø Ö ØÐÐ º ØØ ÒØ ÐØ Ø ÖÙØ Ö Ô ØØÓ ÑÑ Ø Ñ Ø Ö Ð ÓÑÑ Ö Ö Ø ÔÖÓ¹ Ð ÑÑ Ò Ò Ò ÚÒÔº º ºÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ö ØØÙÔÔ Øº Ö Ö ÖÚ Ú ÐØ ØØ ÙÚÙ Ð ÒÔÖ ÒØ Ö Ô¹ÚÖ ÒÓ ÚÐ Ö ØØÐÑÒ Ð Ø ØÓÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ Ú Ò ØØ ØÓÑ ÐÙØ Ø Öº Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ ØÝ ÖÚ ÒØ ØØ ØØ Ö ØØÖØØÚ Ò Ö ÙÐØ ØºÎ Ö Ö Ö ÖÚ Ö ØÙ ÒØ ÖÚ ÓÐ Ö ÙÖ Ö ØÓÐ ÑÒ Ñ Ð Ø ÖØ ÐÐÓÑØ ÒØ Ñ Ò Øº ܺ Ö Ù ØÙ¹ ÒØ ÖÒ ÓÑÐ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ¾¼¼ Ö ØÑ Ð Ø ØØØ ÒØ Ö Ú ØØÓÖ Ò Ö ØÙ ÒØ ÓÑ ÙÖ Ö ØÖ Ö Ø ÔÒ ÓÒ Ú ÙÖ ÖÒ Ö Ò Ö ØÖ Ö ØÖ ÙÐØ Ø ØÚ ÓÖ Ò Ö ½ÁÄ Çà ÒÒ ÖÚ Ö ØÙ ÒØÐ Ö ØØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ø Ø ÒØ Ñ Òº Ø Ö ÓÑ Ø ÒØ Ñ Òº 37

41 Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ ÖÐ Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÚÖ Ð ÒµÖ ¹ ÙÖ½ À ØÓ Ö Ñ Ú ÖØ ÒØ Ñ ÒÖ ÙÐØ Ø ØÚ ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ ÒÔ ÙÖ Ò 50 Ô Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ö Ð ÒµºÅ ÜÔÓÒ ÔØ ÒØ Ñ ÒÚ Ö º¼Ó Ò Ò Ö ØÖ¾½ Ó Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö½¾¼º ÖÒ Ò Ö Ó ÒØ º¼º ØØÓØ Ð ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð ¹ Poäng på ordinarie tentamen i Flerdimensionell analys º½ Ò Ö Ø Ú Ö Ð Ø Ö ÓÑ ØÙ ÒØ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö ÚØ ÒØ Ñ Ò ÔÓÒ Ú ÙÖ¹ Ô ÙÖ ÖÒ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ô Ø Ú Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÙÔÔ Ð Ø Ô Ø Ú ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖѺÁ ÙÖ½Ó ¾ ØÓ Ö Ñ Ú ÖØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ Ö Ø ÒØÖ ÒØ ØØ ÙÖ Ö ÐÒ Ò ÖÒ Ö ÔÚ Ð ÒÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÐØ Ø ºË ÑÑ ÒØ ØÖ Ø Ø ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÖÙØÓ ÙÖ Ð Ö Ö ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ÐØ Ø Ö ¹ Ø Ø Ø Ö ØØÓØ Ð ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ Ö¾ ¼Ó ÑÓØ Ú Ö Ò ÖÓÖÙÔÔ Ð Ø ÔÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑÖ½½ Ö Ô Ø Ú ½ ½º ØØ ÒØ Ð Ø ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ó ½¾¼ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÈ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑÐ Ø ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ö Ú¾½ ÐØ Ø Ö Ð ¹ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ô ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö Ö ÖÓÖÔ ØØ ØÙ¹ ÒØ ÖÒ Ñ Ð Ø ØØÚÐ Ò ÒÒ ÒÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑÙÒ Ö Ö Ø ØÚÖ ÒÑ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÓÚ Òº Ò ÐÝ 0.32 ÒÒ Ò Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó 0.7 Ø ÖºÅÓØ Ú Ö Ò ÖÓÖÔ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö0.71Ö Ô Ø Ú 0.76º Ö ØØØ Ø ÓÑ ÐÐÒ ÖÖ Ò ÒØ ÒØ Ð Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ð Ò Ó Ò Ú ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ Ú Ö Ö Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ø º Ò ØÙ ÒØ Ð Ö ÒØ Ò Ò Ó Ò ÐÐ Ö ÒØ Ó ÖÓ Ò Ú ÚÖ ØÙ ÒØ Ö Ó ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ð Ö Ó Ò X Ö ÒÓÑ Ð Ö Ð Øº ÐÐØ Ö SLÖØÓØ Ð ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò µ ½µ Ön ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÐÐ Ö ØØ X SL Bin(n SL, p SL ) 38

42 ÙÖ¾ À ØÓ Ö Ñ Ú ÖØ ÒØ Ñ ÒÖ ÙÐØ Ø ØÚ ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ ÒÔ ÙÖ Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ö Ð ÒµºÅ ÜÔÓÒ ÔØ ÒØ Ñ ÒÚ Ö ¼ÔÓÒ Ó 10 ÖÒ Ò Ö Ó ÒØ ÔÓÒ º ØØÓØ Ð ÒØ Ð Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ ÖÐ Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÚÖ Ð ÒµÖ Ô ¹ 5 Ö Ð Ò Ò Ö ØÖ½½ Ó Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö½ ¾º SLÖ ÒÒÓÐ Ø Ò Ö Ò ØÙ ÒØ ØØ Ó ÒØ ÒØ ÑÑ Ö ÐÐ Poäng på ordinarie tentamen i Matematisk statistik Ö ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Øº Ö ØØÙÒ Ö ÓÑ Ò Ð Ò Ó Ò Ú Ö Ö Ð Ò ÓÑ Ø Ñ Ö¹ ¾µ Ó p ÙÔÔ Ð Ò ÝÔÓØ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ð Ò ÓÑ Ø Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ØÐÐ ÖÚ H 0 : p SL = p FB µ 1)¹ ÒÓÑÙØÒÝØØ Ò ÚÒÓÖÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÚØN(0, Ö Ð Ø Ø ØÓÖ Ø ÒT ÖtÖ ØÓ ÖÚ Ö ÚÖ ØÔØ Ø ØÓÖ Ø Òº )Ö Ò ØØ Ñ Ò ÑÑ Ò Ð Ò = x SL/n SL x ØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð Ò Ò Ö ØÖ Ô Ø Ú Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò¹ Å ÒÒ Ñ ØÓ ÖÚ ØØ ÐÐÒ ÖÒ ÓÚ Ò Ò Ð Ò Ó Ò Ú FB/n FB p (1 p )( 1 n SL + 1 n F B ) Öp = (x SL + x FB )/(n SL + n FB Ó Ò ÙÒ ÖH 0µº Ö Ø Ö Ö Ò Ô¹ÚÖ Ø ÓÑP(T > t T N(0, 1)) Ñ Ø Ø Ø Ø ÖÔ¹ÚÖ Ø0.09º 11º Ö ÙÖ Ò Ñ Ø ¹ Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ö ØØÔ¹ÚÖ Ô2 10 ØÙ ÒØ ÖµºÅ ÑÓØ Ú Ö Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ö X FB Bin(n FB, p FB ) H 1 : p SL > p FB. µ 39

43 Tentaresultat Fler dim Gruppnummer Tentaresultat Fler dim Gruppnummer Fler dim Ø ÒØ ÐÐ Ö ºËÚ ØÙ ÒØ ÖÑ Ö Ö Ñ + Ñ ÐÑ Ó Ø Ö Ñ ÙÖ Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÙÒ ÖÖ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ú º 3 2 Ú Ò ØØ º º Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÈx¹ Ü ÐÒÚ ÖÙÔÔÒÙÑÖ ØÔ Ò Ñ ÖÙÔÔ ØÙ Ò¹ Gruppnummer ÖÙÔÔ ÖÐÓØØ Ö ÑÓ Ö ÙØÓÑ Ò Ø ÐÐ ÑÑ ÙÒ Ö Ð º¾ ÖÙÔÔØ ÐÐ Ö Ø Î ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÙØÒÝØØ Ø ÖÖ Ð Ò ÚÙÒ ÖÚ ¹ Ò Ò Ø ÒØ Ù ÓÒ Ö ÖÙÔÔ ÖÑ ¹ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ú Ø Ø Ö º ÙÖ Ò Ò º ÒÚ ÒÐ Ö ØÐÐÒ Ò Ó ØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑ Ð Ò ÒÒ Ø Óѹ Ñ ÒØ Ö ÙÖ ÙØÚÖ Ö Ò Ö Ö ØØ ÖÙÔÔ Ò Ô Ð Ö ØÓÖÖÓÐÐ Ö Ò ÐÖ Ò ºÎ Ú ÐÐ Ö ÖÙÒ Ö ÓÑ ÖÙÔÔØ ÐÐ Ö Ø Ò Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ö Ð Ö Ò ÒØ ÖÒ ØÖ ÖÙÔÔ Ö Ø Ö Ñ ÐÓ Ú ÙØ ÖÒ Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÒØ Ö ÓÑÐ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÎ Ð Ö Ò ØÙ¹ ØÙ ÒØ ÔÖ Ø Ø ÓÒº Ú Ò ØØ º ºÎ Ù ÐÐØ ØÖ Ø ØØÝ ØÚ Ö Ö Ø Ö ØÙ ÒØ Ö Ð Ò ÙÖ Ú Ö Ñ ÖÙÔÔ Ø ÐÐ Ö Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ö ÙÒ Ô Ö Ö ØÙ¹ Ñ ØØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÓ Ö Ú ØÙ ÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ö Ò Ú º Ö ÙÒ Ô ÖÒ Ö Ò ÝØ Ò ÔÖ ÙÐØ Ø Øº Ö ÑÓØÚ Ö ÖÖ ÙÐØ Ø ÒÚ Ö Ñ ÖÙÔÔ ÖÐÓØØ Ú ÙÖ Ø ÖØÔÖ Ô Ø Ú ÙÖ º ÒØ Ö ÓÑÐ ØÑ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÇ ÖÚ Ö ØØÒÝ ÑÝ ØÚ Ö Ö Ò ÒÓÑ Ñ ÖÙÔÔ ÖÒ º ØÖÑ Ð Ø ØØØÒ Ú Ö Ò Ò ÐÝ Ö ØØÙÒ Ö ÓÑÚÒØ ÚÖ Ò ÙÖ Ú Ö Ñ ÖÙÔÔ Ø ÐÐ Ö Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ö ÙÒ Ô Ö Ö ØÙ¹ Ð Ö ØÑ ÐÐ Ò Ñ ÖÙÔÔ ÖÒ º ÒØ Ð Ø Ú Ö ÖÙÔÔÖ Ó ÓÐ Ó Ñ ÐÐ Ò ÖÙÔÔ ÖÒ ÖÙÔÔ ÝÐÐ ºÊ ÙÐØ Ø Ø ÖÒ Ò Ò Ò ÐÝ ÙÐÐ ÖÑ Ð ØÓ ÖØÓ Ú Ö Ö ÖÚ ÐØ ØØÒ Ó Ñ ÒÒ Ú Ù ÐÐ ØÓÐ Ò Ò º Ö Ð Ø ÚØ Ó ØÖØÚ ÑØÓÑ Ö ÐÒ Ò ÒØ Ò Ò ÓÑغ ÜºÐ Ú Ö Ò Tentaresultat 40

44 Tentaresultat Mat stat Gruppnummer Tentaresultat Mat stat Gruppnummer Mat stat Ø ÐÐ Ö ºËÚ ØÙ ÒØ ÖÑ Ö Ö Ñ + Ñ ÐÑ Ó Ø Ö Ñ ÙÖ Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÙÒ ÖÖ¾¼¼ ¹¾¼¼ Ú ºÑ Ú Ò ØØ º º Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÈx¹ Ü ÐÒÚ ÖÙÔÔÒÙÑÖ ØÔ Ò Ñ ÖÙÔÔ ØÙ ÒØ Ò Gruppnummer º ÂÑ Ö Ð ÙÔÔ Ð ØÔÓÐ ØÙ ÒØ ÖÙÔÔ Ö Ö ØØ Ö ÒÑ Ö Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ú ÙÖÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ ÒÔ¹ Ú Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÖ ØÒ ÚÒ Ø ØØÓ Ø Ò ÝÒØ ÐÐ ÙÖ ÔÖ Ø Ö ØÔØ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ Öº Ö ØØ ØÙ Ö ÓÑ Ú Ö Ô Ø ¹ Ú Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÔÚ Ö Ø ÓÐ Ú Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö Ò ÖÙÔÔ Ò ÐÒ Ò Ø Ö Ö ÙÒ Ô Öº Ò Ú ØÙ ÒØ ÐÐ ÖÚ Ö Ò ØÙ ÒØ ÓÑ Ú ÙÖ Ø ÖØ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ô Ø Ú Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÙÒ¹ Ö ÒØ ØÝ ÔÑ Ò Ø Ò Ú ÙÖ ÖÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ½ Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ ÒÚ ÙÔÔ Ð Ø ØÖ ÖÙÔÔ ÖÒ ÙÖ º Ö Ñ ÐÐ Ò ÖÚ Ú ÐØ ØØ ÐÐ Ñ ÐºÌ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ö ÙÖ ÖÒ Ú Ò ÐÝ ¾ ÐÐ ÖÄ Ò Ö Ð Ö ºÅ Ø Ö Ñ Ò ÖÚ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ØØ Ó ÒØÔ ÑØÐ ÚÓÚ Ò Ø Ò ÙÖ Ö Ó Ø ØÝ ÔÑ Ò ØØÚ Ú Ñº ÖÙÔÔ Ò Ú Ò Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ØØ Ú ÙÔÔ ÒÐ Ò ÖÑÓ ÐÐÓ Ø Ø ÓÑÔ Ö ¹ Ñ ØÖ ÖÒ Ö Ö ÙÒ Ô ÖÒ ÔÚ Ö ÒÚ Ö Ò ÒØ Ð ÖÒÒÓÐкÅÓ ÐÐ Ò Ö ØØÙÒ Ö ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÙÒ Ô ÖÚ Ö Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ö Ð ÖÙØÔ Ð Ò ØØYi iöø ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ö ØÙ ÒØÒÙÑÑ ÖiÓ Ö Ð Ö Ò Ú Ö Ð Ö¹ µ )¹ Ö Ð ØÓ Ø Ú Ö Ð Öº Ö ØØÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ð = µ + β1x1i + β2x2i + β3x3i + εi ÖY Ò X 1i 0º i ÒØ Ú Ö Ó ¹ 1ÓÑ ØÙ ÒØ = 1ÓÑ ØÙ ÒØÒÙÑÑ ÖiØ ÐÐ Ö Ò Ú ÖÙÔÔ Ò ¼ ÒÒ Ö µ X 2i = 1 ÓÑ ØÙ ÒØÒÙÑÑ ÖiØ ÐÐ ÖÑ Ð ÖÙÔÔ Ò ¼ ÒÒ Ö µó X 3i = ÒÙÑÑ ÖiØ ÐÐ Ö Ò Ø Ö ÖÙÔÔ Ò ¼ ÒÒ Ö µºëðùñôø Ð Òε ÖÓ Ò N(0, σ ÒØÝ Ò Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ø 2 3 i=1 β i = Tentaresultat 41

45 6 Svaga 6 Medel 6 Starka tentareultat tentareultat tentareultat student student student Svaga Medel Starka ÙÖ Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø ÖÓÐ ØÙ ÒØ ÖÙÔÔ ÖÓ ÓÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ¹ Ö ØÖÑ Ö Ö Ñ Ñ Ò ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö ØÓ Öº ÚÖ Ö ÒÚ ÖÖ ÙÐØ Ø Ò Ö ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ò Ö Ö Ò ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ºËØÙ ÒØ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð Ò Ò ¹ ÓÖØ ÜºÖ ÙÐØ Ø Ö Ó ÒØ Ö Ôº Ö Ú Ö ØÝ Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò¹ Ñ Ö Ö Ñ º ÓÖ ÓÒØ ÐÐ Ð Ò ÖÒ Ú Ö ÖÚ Ð Ò ÖÒ Ñ Ö Ð Ò student student student ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º Ò ØÓÑÒÓÖÑ Ð Ö Ð ÐÙÑÔØ Ð ÒØ Ö ÐØÚÐ Ú Ö Ò ØÑÑ Ð Ñ ÃÖÙ Ð¹Ï ÐÐ Ø Øº Ó Ö ÒØ Ò ÆÇÎ ¹ Ò ÐÝ Ò Ð ÖÓÑ Ø Ú¹ Ø º Ò ÐÝ Ò ÙÐÐ Ö Ö ÐÐÖ ÓÖØ Ñ ¹Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÓ Ö Øº ܺ Ø Ö ÓÑÚ Ò ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ØØÖ ÙÐØ Ø0ÖÑ Ò ÐÝ ÒÖ ÒØ ¹ Ú Ö ÖÒ ÒÒÓÖÑ Ð Ö ÐÒ Ò Ú ÒÒ Ö Ø Ö Ö Ú Ò ØØÒ Ö ÓÚ ÆÇÎ Ø ÐÐ Ò ÖÖ ÙÐØ Ø ØÔ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö ÓÚ Ì ÐÐ Ó Ò ÓÜÔÐÓØÚ ÙÖ º Ö ÙÒ Ô ÖÒ ÒÚ Ö ÒÚ Ú Ö Ø Ö Ø Ò Òغ Ì ÐÐ Î Ö Ò Ò ÐÝ Ø ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÒÚ Ö ÒÔØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø H 1 : β i β j, ÖÒ ÓØi j Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º ÃÐÐ Ö ÙÒ Ô Ö º Ð ÌÓØ Ð ½¼ ¾º ¾½ ½ º ¾ ÃÎË ¾ ½ º ¾º½¼ ÅË º¾ Ô tentareultat Ö ÙÐØ Ø Ø Ú Ò Ò Ú Ø Ø ÝÔÓØ ÖÒ H 0 : β 1 = β 2 = β 3 tentareultat tentareultat 42

46 6 5 4 Values 3 2 Ó Ø Ö º Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ò¾¼¼¼¹¾¼¼ º ÖÙÔÔ½ Ú Ö ÙÒ Ô Ö ¾ Ñ ÐÐ Ò ÙÖ ÓÜÔÐÓØ Ú Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÒÚ Ö ÒÔØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ö ¹ 1 0 ÅÓØ Ú Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ö ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú ÆÇÎ ¹ Ø ÐÐ Ò Ì ÐÐ Ó Ò ÓÜÔÐÓØ ÙÖ º Ú Ò Ö Ö Ö ÙÒ Ô ÖÒ ¹ Ì ÐÐ Î Ö Ò Ò ÐÝ Ø ÐÐ Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÒÚ Ö ÒÔØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ò ÒØ ÒÚ Ö ÒÔÖ ÙÐØ Ø Øº Ô ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø º ÃÐÐ ÌÓØ Ð Ö ÙÒ Ô Ö½½ º¾ Ð ¼¾ º ¾ ¾ º ÃÎË ¾ ¾ ÅË Ô Ø ÖÒ Ö ÙÒ Ô Ö ÒÚ Ö Ò ÐÝ ÒºÎ ÙÒ Ö Ö Ö Ö ÙÖÙÒ ÖÚ ¹ Ò Ò Ö ØØÚ Ö Ò Ò ÐÝ ÒÚ Ö ØØ ØÖÐÑÔÐ Ø ØØØ Ò ÝÒØ ÐÐ ØÙ Ò¹ ÑÝ ØÐ Ô¹ÚÖ Ò Ö ØØÚ ØÖÓØ ØÚ Ñ Ø Ö ÑÓ ÐÐ ÒØ Ò ¹ ¾º ¾½º Ò Ò Ñ ØÓ ÒÔÚ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ÒÓÑÚ ÖÓ Ò Ú ØÖ ÖÙÔÔ Öº Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ñ ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð Ò Ò Ö ØºÀÖ Ò¹ Ø ÖÚ ÔÖ ÓÑØ Ö ØØ ÒØ Ð Ø Ó Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö Ð Ø ÒÐ Ø ½µ Ö Ú ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ö Ò Ð Ò Ó Ò Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø º º½ËÚ ØÙ ÒØ Ö Ó ¾µÓ Ñ Ö Ö p¹ô Ö Ñ ØÖ Ö ÒÐ Ø ÝÔÓØ ÖÒ µºè ÙÖ Ò Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú½ Ð Ú Ó Ò ºÎ Ö Ú Ö Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ö Ø Ð Ò Ú Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ¼ ÓÑ Ø Ñ¹ 5º Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú Ð Ú Ó Ò º ØØ ÖÔ¹ÚÖ Ø

47 Values Ø Ö º ÙÖ ÓÜÔÐÓØ Ú Ö Ö ÙÒ Ô Ö ÒÚ Ö ÒÔØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ø Ø Ø Ö Ò¾¼¼¼¹¾¼¼ º ÖÙÔÔ½ Ú Ö ÙÒ Ô Ö ¾ Ñ ÐÐ ÒÓ 10 0 È ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ø Ð Ò Ú Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ½ Ô¹ÚÖ 0.790º ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾½ Ð Ú Ó Ò ºÎ Ö Ú Ö Ø ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾¼ Ð Ú Ó Ò º ØØ Ö º º¾Å Ð ØÙ ÒØ Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÑ Ñ Ð Ó Ø Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÙÒ Ö Ø Ó ÓÑ Ò ¹ Ð Ò Ó Ò Ð Ñ ÐÐ Ò ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó ÓÑ Ø Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò º Ú Ò ÖØÒ ÖÚ Ó ÒØ Ð Ø Ó Ò Ú Ö ÒÓÑ Ð Ö Ð Ø ½µÓ ¾µÓ Ñ Ö Ö p¹ô Ö Ñ ØÖ Ö µº Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ú Ö ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ¹ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú Ö Ó Ò Ó ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ¹ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú Ö Ó Ò Ó ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Ø Ð¹ È ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ø Ñ ÐÐ Ò ÖÙÔÔ Ò ¼ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ö ØÐÐ Ø Ò Ð Ò ÓÑ ØØ Ú Ö ØÝ Ú º º º ËØ Ö ØÙ ÒØ Ö Ö Ò Ú Ö Ú¾ Ö Ó Ò º ØØ ÖÔ¹ÚÖ Ø ØÝ Ó µ Ö ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ñ ÖØÑ ÓÑÙÒ ÖÚ Ø Ö Ð Ò Ò Ö ØºÄ ÓÑØ Ö ØÒ ÖÚ Ó ÒØ Ð ØÑ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾ Ö Ó Ò º ØØ ÖÔ¹ÚÖ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾ Ú Ö ØÝ Ó ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö¹ Ú Ö ØÝ Ú Ö ÒÓÑ Ð Ö Ð Ø ½µÓ ¾µÓ Ñ Ö Ö p¹ô Ö Ñ ØÖ Ö µº Ê ÙÐØ Ø Ø Ð Ú Ö ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø 4º Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾ Ú Ö ØÝ º ØØ ÖÔ¹ÚÖ Ø

48 ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú¾¼ Ú Ö ØÝ Ó ¾ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ú½¾ Ú Ö ØÝ º ØØ ÖÔ¹ÚÖ Ø0.125º È ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ¼ Á ØØ Ú Ò ØØ Ö ØØ Ö ØØÑÓ ÐÐ ÖÒ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÙÐØ ØÔÓÖ Ò Ö º ÅÓ ÐÐ Ö Ò ÚØ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ó Ø Ö ØÙ ÒØ Ö Ô ÖÚ Ò Ò ÓÖÐÙÒ µ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ð º ØØ Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ð ÖºÁ ØÐÐ Ø Ö ØØØ ØØ Ô Ö ÙÒ Ô Ö ÓÖÑ Ú Ú Ñ Ð ÒÓÑ ØØØ ØØ Ô ÙÑÑ Ò ÚÖ ÙÐØ Ø Ò ÖÒ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙÖ ÖÒ º Ø ÒØ Ñ Ò ÒÓÑ ØØÐØ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ØØÓ Ö ÙÒ Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö Ø Ø Ø» ØÝ ÒÖ Ò Ö ÓÑ Ð Ú Ø Ó Ò Ô ÙÖ Ò ÒÒ ÒÖ ØÖ Ö Ò Ô Ò ØÙ ÐÐ ÙÖ Ò Ú º Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ô Ø Ú Ñ Ø Ñ Ø Ø ¹ ÖÒ ØÚ Ð ÙÖ ÖÒ Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÒÒ Ø ÒØ Ñ Ò ÔÓÒ Ú Ö Ò¹ Ä ÇÃÑ Ò ÖÒ ÙÖ Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ø ØÝ ºÌ ÒØ Ñ Ò Ö Ùй Ó 17º º º½ Ò Ð Ò Ó Ò ØØ ÒÚÒ ÐÓ Ø Ö Ö ÓÒºÇÑ Ò ØÙ ÒØ Ð Ö Ó Ò ÐÐ Ö ÒØ Ö Ú ØØ ØØ ØØ ÒØ Ö Ø Ô Ø ÓÖ Ð Øº ܺ Ó Ò ÐÐ Ö Ó Ò Ö Ø Ø ºÎ Ö ØÙ ÒØ Ö ÙÒ Ô ÖÖ ÔÖ ÒØ Ö ÐÐØ Ö Ú ØØØ ÐÑ ÐÐ Ò0 Ú Ö ÐÒÖ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ ÒÓØ Ö XºË ÒÒÓÐ Ø Ò Ö ØØ Ò ØÙ ÒØ Ó Ú Ò Ö Ö Ú Ò ØÓ Ø Ú Ö ÐÒY ÓÑ ÒØ ÖÚÖ Ò 1Ö Ô Ø Ú 0º Ò Ö Ð Ö Ò¹ Ð Ò ÑÓ ÐÐ ÒØ Ò ÙÒÒ Ö Ú Ò Ò Ú Ñ Ð Ø ØØ Ð Ó ¹ Ð Ö Ó Ò Ú Ø ÖÙØ ØØÒ Ò Ö X Ö Ú ÓÑP (X) ÖÚ Ò Ò ØØ ØÚ Ö Ø Ö Ð Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ñ 0Ö Ô ¹ logit{p ØÖ ÐÐØ ÒÐÓ Ö ØÑ Ö Ó ÚÓØ Ò Ú º ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ Ð Ó Ò 2i Ò Ö ÖÓÑÙÒ¹ Ú Ö ØÑ ÒÒÓÐ Ø Ò ØØ Ð ÙÒ Ö Ò ÓÑ ÒØ ÖÓÐ Ò ÖØÔ Ö Ð Ö Ò Ú Ö Ð ÖÒ º i ÓÑ ÖÚÒØ ÚÖ 0Ó ÓÒ Ø ÒØÚ Ö Ò º Ê ÙÐØ Ø Ø Ú ÒÒ ÑÓ ÐÐ ÒÔ Ò Ò Ö ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÖX 1iÑÓØ Ú Ö Ö ØÙ ÒØÒÙÑÑ Öi Ö ÙÒ Ô ÖÓ X Ø Ú 1ºÎ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ú Úε ØØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ò ÒØ ÒÒ Ö ØØ Ø ÖÒ Ú Ö ÙÒ Ô Ö 2.0ºÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÒÚ Ö ÒØ Ú Ö Ò ÒØÓ Ö Ö Ö Ó ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ ÔÖ Ò ÔÖ Ø Ú Ú º Ø Ò Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÓÖØØ ÒÙÖÑÓ ÐÐ Òº ÚÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ö Ø Ø Ø Ø Ò ÒØ Ô5%¹ Ö ÐÐ ÖÑ Ò Ö ÒØ ÖÓ Ò Ô ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÙÒ Ô Öº Ò ÚÒÓ ÑÓ ÐÐ ÒÚ Ö Ð Ö 74% Ú ØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÙÐØ Ø ÓÖÖ Øº Ò ÙÖ Ó Ö Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò Ö ˆβ0 = Ó ˆβ2 = Ò logit{p P (X) (X)} = log 1 P (X). (X i )} = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 12X 1iX 2i + ε i, = P (Y = 1 X) 3.5 ˆβ1 =

49 1 Andelen godkända ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ºÁ ÚÖ Ð ÒÙØ Ò Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó Ò Ö ÙÖ ÍÔÔÑØØÓ ØØ Ø Ò Ð Ó Ò ÔÖ Ô Ø Ú ÙÒ Ô Ò Ú Ö 0.6 Ñ º ÝÖ ÒØ ÖÒ Ö Ò Ð Ò Ó Ò Ö ÙÒ Ô ÖÒ ÖÙÔÔ Ö Ø º Ë ÑÑ ØÝÔ ÚÑÓ ÐÐÚ Ö ÒØ ÙÒÒ Ö Ú Ö ÙÐØ Ø ØÔ ÙÖ Ò Matematikkunskaper Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ð Ö º ÖÚ Ó Ð ÖÔ Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÒ Ò ÒØ Ö ÑÓØÖÖ Ù Ð ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ð º Ú ÒÓÑÑÓ ÐÐ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ö ÐØØ ÐÐ ÖÐ ØÐ Ö Ø ÒØÖ ÒØ ØØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÒÚ Ð Ò ÒØ Ô¹ÚÖ ¼º¼¾µ Ö ØÙ ÒØ Öº º º¾Ì ÒØ Ñ Ò ÔÓÒ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑºÈ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ø Ò ØÓÖ Ò Ð ØÙ¹ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÓ ÒØ Ö ÓÖÑ Ú Ó ÒØ ÐÐ Ö ºÁ ÙÖ Ú Ø ÒØ Ñ Ò ¹ ÔÓÒ Ú ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ö ØÙ ÒØ ÖÑ ÓÐ Ö ÙÒ Ô ÖÙÔÔ Ð ØÔ ØÖÓ ÒØÖ ÒØ ØØ ØÙ Ö ÙÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ÖÙØ ÓÖÑ ÚØ ÒØ ¹ ÒØ Ö ÓÑ ÐØ Ø Ò Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ö Ò Ð ÒÑ ÒÓÐÐ Ø Ö Ø Ð Ò Ú ÖÚ ÐØ ØØ ÒØ ÙÔÔÔØ ÒØ Ñ ÒÑ Ò ÒÐ Ø Ò Ð ÖÓ ØØÒÓÐÐÔÓÒ ÔØ ÒØ Ñ Ò ÐØ ÖÒ Ø ÚØÐÑÒ Ø Ò Ð Ò Øº Ú ØÙ¹ ÒØ Ö ÓÑ ÖØ ÐÐ Ð Ø ÒÓÐÐÔÓÒ Ú ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ º Ò ÐÐÖ ÔÓÒ Ú ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò0.56Ó Ú ÓÑ ÐØ Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÓÖØ ÖÚ ÖÒ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ú Ö0Ô Ö Ñ Ò ØÐ Ò ÖØÙØÓ Ú Ô ÖÖ Ô Ø Ú Ú Ð ØÙÒ ÖÚ Ò Ò ØØ ØÙ ÒØ Ò ÐØ Ø ºÎ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò 16º Ö Ò Ð Ò0.11ºË ÐÐÒ ÒÖ Ò ÒØÑ Ô¹ÚÖ 4 10 Ø ÒØÚ Ö Ò º Ú Ò ÖÖ ØÑ Ð Ø ØØØÒ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑÑ Ò i ÓÑ ÒØ Ú Ö ÒÓÖÑ Ð Ö Ð Ñ ÚÒØ ÚÖ 0Ó ÓÒ¹ 2i ØÙ ÒØÒÙÑÑ Öi Ö ÙÒ ¹ ÈÖ ÓÑØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÖX 1iÓ X ÔÐ Ò Ø Ö Ú Úε Andelen godkända Ò ØØ Ö ÒÐ Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + ε i. 46

50 6 Flerdimensionell ananlys, utan SL 5 Tentamenspoäng Förkunskaper SL Ñ ÒÐ Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Òº ÙÖ Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÔ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ y¹ Ü ÐÒµÑÓØ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ØؼÔÓÒ Ñ Ö Ö Ñ Ó Ó ÚÖ ÒÖ ÐÐØ ÒØ Ö ÙÒ Ô Ö x¹ Ü ÐÒµºÁ ÚÖ Ð ÒÙØ Ò Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó ÙÒ Ö Ñ º Förkunskaper ÒØ ÐÐ Ö Ö Ð Ö ÒÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÒØ Ú ºÚ Ò Ö Ò Ø ÖÒ 1.4 ˆβ1 = 0.20 Ñ؈β Tentamenspoäng ØÖ Ò Ñ Ò ÓÑÒÑÒØ ÓÚ Ò ÖÓÖ ØÙ ÒØ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÔ ÒÖ ØÓÖ Ö 0.36ºÊ Ù Ð ÖÒ Ö ÑØ Ö Ð Ó ÒÓÖÑ Ð¹ 1.1º ÐÐØ Ø ÒÒ ÒØÝ Ð ÓÑ Ø Ú ºÈ Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÒ Ð Öˆβ0 = Ö ÖÚ ØØ Ò Ð Ò ØÙ ÒØ ÖÑ ÒÓÐÐÔÓÒ ÖÑ Ò Ø ÖÒ0.16Ø ÐÐ0.07º ØØÑÓ ÐÐ ÖÒ Ò Ö Ú Ú ØÖÓÖÖÑ Ø ÒØÖ Ð Ó ÙØÓÑÑØ Ö º Ó Ö Ú Ò ØÓÖ Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÔÐ Ò Øº ØØ Ö Ö Ø Ö ØØ Ö Ó Ö Ð Ö Ò Ö Ò R2 = Ë ÐÐÒ ÒÖ Ò ÒØÑ Ô¹ÚÖ 0.01º Ú Ò Ö ÖÚ Ö Ø ÒÔ Ò Á ÙÖ½¼ ÒÒ ÑÓØ Ú Ö Ò ÙÖ Ö ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø º Ú Ò Ö Ð Ñ ÒÚ Ö Ò ÒÖ Ò ØÓÖ ˆσ 2 = Ò Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ò ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÖ Ð Ò ÖÑÓ ÐÐÑ ÒÑ ÒÒ ØÖ ÙÐØ ØÒ Ö ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º Ú Ð Ø ØÝ Ö ØØ Ö ÙÒ Ô ÖÒ ÓÑ Ô Ð ÖÖÓÐÐ Ö ÙÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ö Ö Ñ Ò ÒØ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ ÒºÊ ÙÐØ Ø Ø Ò ÙÖ½¼ ÖÐÙØÒ Ò Ò ÐÐØ Y i = β 0 + β 1 X 1i + ε i, 32Ó ÒÒ ØÙ Ö Ý Ø ØØ ÐÐ ØØÑ Ø Ò Ö Ñ ØÓ Ö Ö ÐÙØ Ø ÖÓÑ ÙÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÖÒ Ö Ø Ø Ö Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó Ù ÓÒ Ö Ò ÑÑ Ð ÙÖ ÖÒ ºÈ Ö Ñ Ø Ö ØØÒ Ò ÖÒ Ð Úˆβ0 = ØØ Ö Ú ÖÒ Ö Ò ÖÑ Ò Ð ÑÓ ÐÐ Öº ØØ Ö ØØ ÙÒÒ Ô ˆβ 1 = 1.23º Ö Ð Ö Ò Ö ÖÖ Ò ØR 2 = 0.17º = 47

51 70 Matematisk statistik, utan SL 60 Tentamenspoäng Förkunskaper SL Ñ ÒÐ Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ ÐÐ Òº ÙÖ½¼ Ì ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÔ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø y¹ Ü ÐÒµÑÓØ Ö ÙÒ Ô Ö x¹ Ü ÐÒµºÁ ÚÖ Ð ÒÙØ Ò Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó ÙÒ Ö Ñ º ØÙ ÒØ Ö ÓÑ ØؼÔÓÒ Ñ Ö Ö Ñ Ó Ó ÚÖ ÒÖ ÐÐØ ÒØ Förkunskaper Ñ ÒÔÚ Ö ØÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ºÅÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ö Ø ÑÝ ØÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ó Ò ØØÖ Ð ÚÓÑÓ Ú Ð ØÙØ ØÖ Ò Ò ÒÒÝ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖ¹ Ú ÓÑÖ ÓÚ ÖÓ Ò ÒÒ Ò Ö Ñ Ò ÓÑ ØØÖ Ö Ú Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ÒÐ Ò Ö º ÙØÓÑØ ÖÚ Ö Ö Ñ Ú Ö Ð Ö ÓÑÖÑع Ö Ó Ö Ð Ø ÚØÐØØ ÐÐ Ò Ð ÒÓÑÄ Çú ØØ ØÝ ÖØ ÐÐÑÒ ØÓ ÙÖ Ö Ð Ú ÒØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ö ÙÖ ÒÚ Ö Ö ÒÙØ Ð Ò Ò ÖÓ ØÖÓÐ ¹ ØÓÖ Ö ÓÑÔÚ Ö Ö ØÙ ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÒÓ ÖÑ ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ü ÑÔ Ð¹ Ú ÀÓ ÓÒ ¾¼¼¼ º Ö ØØ ÐÐ ÖÒ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ Öº ÒÚ Ø ØÓÖØÖÓÖÚ ÒÚ Ö ØØ Ø Ñ Ö Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ó Ø Ö Ò ÖÒ Ö Ò º Ø ÒÒ Ö ØÓÖ Ö ÖÙØÓÑ Ò Ö Ò Ø ÚÒÝÔ Ó ÓÑÚ ÒØ ÙÒÒ Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ñ Ò ÓÑÓ Ò ÒÒ ØÙ Ý Ö ÒØ ÐÐ ÖÔ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙØ ÒÔ ØØ Ð Ô Ö Ó ÒºÁÒÒ Ò Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ö Ú Ö ØÓÐ ÐÖ Ö ÓÑÙÒ Ö¹ Ö ÖØ ÐÐ ØØÖ Ö ÙÐØ Ø Ð Ò ÒÒ ØÔ ÖÙÒ Ú ÒØÙ Ñ Ó ÐÖ ÖÒ º ÒØ Ö Ö ÒÒÝ Ô Ó Ò ÙØ Ò ØØ ÐÚ Ò Ö Ò Ø ÚÒ ÓØÒÝØØ Ú Ô ÙÖ Òº ÒÐÖ Ö ÓÑ ÒØÓ Ú ÖÓ Ò Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ú Ö Ó ÙÖ Ú ÒÙÒ Ö ØØ ÚÖ ÒÑ Ö Ð Ò Ò Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò Î Ö ÖÐÖ ÖÒ Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÒØ Ú Ö Ø ÑÑ ÙÒ Ö ÙØ Ò ØØ Ø ØÖ ØÚ ÖÑÖ ÖØ ÒÒÓÖÐÙÒ Ö ÙÐØ ØÒ Ò Ö ØÚÖ Ò Ñ ÒÒ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ º ØØ ÒØÝ Ö ØØ ÖÒ Ö Ò Ò ÚÐÖ Ö ÒØ Ú Ö Ò Ú Ö Ò ØÓÖºÎ Ö Ö ÒÐÖ ÖÐ Ø Ò ÖÒ Ö Ø Ô ÙÖ Ò ØØ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ò Ú ÒØÓØ Ð ÐÖ ÖÐ Ø Ò Ì Ðо Ò Ø ÖÖ ÐÖ ÖØØ Ø Ø Ö ÓÑ Ö Ð Ò Ò ÖÑ ¼Ô Ö ÓÒ Ö ÝØØ ÑÓØÐ Ø ÓÒ Ö Ñ ¼Ô Ö ÓÒ ÖºÈ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö ÑÓØ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ð ÑÒ ÐÖ ÖØ ÑÑ Ö ÓÑØ Ö Ñ Ò Tentamenspoäng 48

52 ØÝ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ö Ö Ô ØØ ÒÒÝ Ô Ó Ò ÙÒ Ö Ö ØØÖ º Ó ÓÑÔ Ò Ö Ø Ú Ø ÖÖ ÐÖ ÖØØ Øº ØØÖ ÙÐØ Ø ÒÔ ÒÒ ÙÖ ÙÒÒ Ø Ö ØØÖ Ò ÒØ Ò Ò ÑØ Ø ÓÑ ÒØÓØ Ð ÐÖ ÖØ ÒÑ Ò Ø Ú ÖÖ Ò Ñ Ò ØØ Ö ØØ Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ö ØØÖ Ò ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ ÒÒÙÑ ÖÔÓ Ø ÚÓ Ö ØÓ Ø Ö Ö º ÙØÓÑ Ö ØÚ ØÙ ÒØ ÖÙÔÔ ÖÒ Ô Ò Ò ÖÒ Ö Ø Ú ÖØ ÒºÁÒØ Ò Ò ÔÓÒ ÒÔÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö ÙÒ Ø Ò ÒÒ Ò Ð ÐÐ ÓÑÚ Ö Ø ÚÖ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØÙ ÒÖ ØØ ØÙ ÒØ ÖÙÔ¹ ÒØ Ø ÒØ Ö Ø ÑÑ Ø ÒØ Ñ Òº ØØ ÖÓÖ ÒØ Ö Ô ØØ Ø ÐÐ ÖØÓÐ Ö ¹ ÙÖ Ö ÙØ ÒÓ Ô ØØϹ ØÙ ÒØ ÖÒ Ø ÖÓÑÐ Ò Ò Ò ÒØ Ö Ú Ö ÑÑ Ö Ò Ú Ö Ò ØÓÖÒØ ÐÐ ØØÖ ÙÐØ Ø Ò Ð Ú Ø ØØÖ Ö Ò ÐÐ ¾¼¼ º Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÑÑ Ò Ú ÓÑ ÚÖ Ø ÒØ Ñ Ò ºÎ ØÖÓÖ ÐÐØ ÒØ ØØ ØØ Ø ÒØ Ñ Ò ÓÑ ÚÖ ÄÌÀ¹ ØÙ ÒØ Ö Ú Ò Øؾº¾º Ó Ö ÓÑÑ Ö Ø ØØ Ú ÚÙÔÔ Ø ÖÒ Ö Ñ Ò ÑÑ Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÓ Ö Ø Ö Ò ÙÔÔ¹ ÒÒ Ò Ò ÒÐ Ò Ò ØØØÖÓ ØØ ÒØ Ð Ø Ð ÙÐÐ Ú Ö ÓÐ Ö ØÚ Ñ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÐÚ ÖØÖØØ ÖØ ÐÐ Ú ÒØÙ ÐÐ Ð Ø Ø Öº ÖÙÔÔ ÖÒ º Ø ÒÒ Ò Ò ÖÙÒ Ö ØØÑ ØÒ Ò Ö Ø ÖÖ Ö Ø Ö Ø Ö ÓÑ Î ÖÓ ÙÔÔØ Ø Ò Ø ÐÐ ÖÄ ÇÃÚ Ö ØÓ ÙÐÐ ØÒ ØÑ Ò Ø Ò Ø ÖÖ ÓÑÐ Ò Ò ÖÑ Ò ÑØ ØÑ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÐÐ ÐÖ Ó ÒÚÒ Å ÔÐ º Ø Ö ÓÑ ÖÒ Ö Ò ÖÒ ÓÖ ÑØ Ø ÒÚ ÒØ Ð ÖÒ Ö Ò Ò ÓÑ ÖÓÖÔ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ã Ò Ú Ø Ø ØØÔÔ Ö ØØÔ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÓÖ¹ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ñ ØÓ ÒØ ÐÐ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ó Ò Ö ØÓÖ Ø º Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ö ÐÐØ ÔÚ ÓÑ ÖÒ Ö ÓÑÑ Ò Ò Ö Ö ÖÒ Ò ÓÑ ÖÓÖÔ Ò Ö Ò Ø ÚÅ ÔÐ º ÐÐ ÐÙØ Ø ÖÚ Ö Ö ÖÒ ÙÖ Ò Ö ÙÐØ Ø Òº Ø ÖÙØ ÒØÚ Ò ØØ Ò ÒÓÖÑ ÖÒ Ö Ò Ô ÙÖ Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ø Ö ÙÖ ÓÑÐ Ò Ò Ò¾¼¼ º Ò Ð Ò Ó Ò Ú ÓÖ Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÐÐ ÐÐ ÖÒ Ø Ò Ö Ù Ð Ø Ó ÒÒ Ö ØØÖ Ò ÒÒ Ú ÖÚ Ò Å Ñ Ð Ð ÐÐÓÖ ÙÚÙ Ø ÖÚ Ú Ö Ø ÐÐ ØØ ÙØ Ö Ú Ø Ö Ò ÝÒØ ÐÐ ØØ Ö ÙÒ Ô ÖÒ ÒÚ Ö ØÓÐ ÓÐ Ö ÒºÅ Ò Ø ÒØ ÖÙÔÔ Ö Ú Ñ ÐÓ Ø Ö ÐÐ ÔÖ Ø Ö Ö ØØÖ º ØØ Ó Ò Ð Ò Ö ÒÔ Ò Ò Ò Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ø ÒØ Ñ Ò Ö ÙØ Øº ÒØ Ð Ø ÓÑ Ö Ú Ö¼ ÔÓÒ Ñ Ò Ö Ñ Ò Ú ÓÑ Ö Ú Ö ÒÒ Ò Ò Ö ØØÖ Ò Ö ÙÐØ Ø Ú º Ö ÒØ Ö Ò Ð Ò Ó Ò ÓÑ Ö ÙØ ÒÚ ÖÓ Ú Ø ØØÓÐ ØÙ¹ Ø ÖÓÑÐ Ò Ò ÒØ ÐÐ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ºÀÖÚ Ö Ò Ò Ò Ú Ò Ð Ò Ó Ò Ñ Ò Ö Ú Ö Ð Øº ØÖ ÒØ ØØ ÓÑ ÒÒ Ö Ø ÒÒ Ø ÑÑ ÒÙ ÖÙÔÔÓ Ö Ú Ö ÒØ Ò ÒغÁÒØ ÐÐ Ö Ú ÙÒ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø ÒÙÔÔ Ð ØÔÓÐ ØÙ¹ ÒØ ÖÙÔÔ Ö ÒÒÚ Ò ÒØ Ö ØØÖ ØÖ ÙÐØ Ø Ò ÓÒ Ú ÖÙÔÔ ÖÒ ºÁ ØÐÐ Ø È ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÖÖ ÙÐØ Ø ÒÚ Ö Ø Ó Ö Ó ¹ ØÙ ÒØ ÖÒ Ø Ö ØØ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò Ö º ÒÒ Ö ÑÖ Ò Ö Ó ÒØ ÒØÝ Ö Ø Ú Ð Ø Ö Ø ÖÚÒ Ó ØØ Ø ØØÒ ÓØ ÑÖ Ö Ú ØÓÐ ÖÚ ÓÑ ØØØ ÒÔ ØØ Ö ØÙ ÒØ ÖÖ Ø Ú ÙÒ Ö ÙÖ Ò Ò Ú Ò Ò Òغ Ò Ò ÒØ ÖÒ Ö Ò Ö Ó ØØ Ò Ð Ò ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ú Ö ¼ ÐÐ Ö ÒØ ÖÙÔÔÔØ ÒØ Ñ ÒÑ Ò Ø Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ò ÖØ º ØØ ÓÑ ÒØ Ð Ö Ó Ò Ú Ø ÒØ Ñ ÒºÍÒ Ö Ö ÓÑ ÙÖ Ò ØØ Ñ 49

53 Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ØÚ Ö ØÑÝ Ø Ú ÓÔÔÓ Ú Ö Ø Ö ÓÖ ÖÚ ØØ Ò Ø ÓÒ ÖÔ ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÒ Ö ØØ Ò Ú Ö Ö Ò ÖÙÔÔ Ó ÒØ Ú ÐÐ Ú Ö Ò ØÓÖ ÖÒ Ø ÐÐ ØØÖ ÙÐØ Ø Ø Ö ØØÖ Ø Ö ÐØÔ ÙÖ Ò Ú ÚÖ ÖÙÔÔÑ Ð ÑÑ Öº Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ º Ò Ú ØÓÖ ÖÒ ÓÑØÖÓ ÔÚ Ö ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ÖÚ Ø ÒÔ ØØ Ø Ú Ø Ø Ö Ò Øº ØØ Ñ ØÒ ÖÚ Ó Ö Ò Ú Ú ÒÓÑÚ ÒØ Ö Ò Ö ØØÖ Ò Ö ÙÐØ ØÔ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ö ØÓÖ Ú Ö Ö Ö Ò Ò ÖÒ Ö Ò ÚÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö Ù Ø ØØÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ú Ò Öº Ø ØØ ÖÔ ØØÑØØÓ Ò ÙÐÐ Ò Ö ÑØØ ÒÒ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒÓ Ö¹ Ô ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ò Ö Ð Ö Ò Ò Ö Ø Ú Ö ØØÚ Ò Ø Ò Ö ÓÑ Ú Ö ØÖ ÖÓ Ö Ø Ö ÓÑ ÐÐÒ ÒÔ ÙÖ Ò Ö ¹ Ñ Ò Ö ÐÙØ Ø Ö Ñ ÒÚ Ö ÚÖØ ØØ Ú Ö Ö ØØ ÙÐÐ Ò Ö Ø ÖÖ Ô Ó ØÙØÚ Ð ÙÖ ºÃ Ò Ö Ø ØØÚ ÒÓÑ Ò Ö Ò Ø ÚÚ ÓÑÑ ÐÝ ÖÒ Ö Ø º ÒÑ Ð Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ ØØ Ø Ò ÒØ ÝÒ ÙÖ¹ ÒÑ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÒÓ Ú Ö ØØ ÒÖ Ò ÖÒ Ö ÒÚ Ö Ò Ö ÖÒ Ö Ò ÖºÎ Ú Ø Ò ÒØ Ò ÓÑغ ܺ ÒØ Ð ØÓÑØ ÒØ Ñ Ò Ö ØÙ ÒØ Ö ÑÓÑ ÒØ Ö ØØÖ ÖÖ ÙÐØ Ø ØÔ Ò ÙÖ Ö Ø Ö ÒÚ ÙØ ØÖ ¹ Ò Ò º Ö Ø Ö Ò ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ØØÖ ÒÑÒÚÖØºÎ Ø Ø ØØÒÑÒ Ö ÖÓ ØØ Ó ÒÔ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÒØ Ò Ö Ø Ó ØØ Ò ÙÖ Òº Ø ÒÒ Ó ÒÑ Ð Ø ØØ ÙÖ ÓÑÐ Ò Ò ÒÔ Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÒÒ ÒÑ Ð Ö Ð Ö Ò Ø ÐÐ ØØ ÖÒ Ö Ò Ö Ø ÒØ Ñ Ò Ö ÙÐØ ØÙØ Ð Ú ØÔ ÓÑ ÒÚÒ ÒØ Ö Ö ÐØÚÐ ÒÔ Ö ÒÒ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑºÅ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö Ø ÜØÖ Ú Ø Ø ØØ ÒÚÐ ÒÔ Ó ØØ Ö Ò ÐÝ ÖÒ Ö Ø ØÙ ÒØ ÖÙÔÔ Ò ÓÑÐ Ö ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ºÇÑ Ö ØÙ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ú ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ò ØØ Ö Ø ÐÐ ØØ Ð Ö ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÑÑ Ö ÓÑ Ð Ø Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ¹ Ò Ö Ò Ø Ú Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÒÚ Ò Ò Ò Ú Ò Ð Ò ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ø Ö ÓÑ Ò Ø Ö ÚÒØ ØÑ ÙÖ Ò ÐÐ Ö ÓÔÔ Ø ÚÔÖÓ Ö ÑÑ Øº Ø Ö Ö Ú ØÙ ÒØ Ö Ö ØÐ ÖÚ Ö Ô ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ØÙ Ò¹ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ò Ò Ø Ú ÒÝØØ ÖÐ Ö Ò ÐÝ Ö ØØ Ö Ò Ö ÐÙØ Ø ÖÙØ ÖÒ ØØ º ÐÝ º ÒÒ Ò Ò Ö Ó Ú Ó Ú Ö ÒØ Ú Ö ÙÒ Ö ØÚ Ð ØÙ ÒØ Ö Ò ÒØ Ð ÖÙÔÔ Òº ÒÒ Ø Ò Ò Ø Ø ØÙ Ò Ò Ö Ö ÒÚ Ø Ò Ò ÖÔ ØØ ØÖ Ø Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÓÑ ØÖ Ø Ñ Øº Ð ÝÒÒ Ú ØÙ ÒØ Ö Ó ØØÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ ÐÝ Ø Ñ Ò ÎÖ Ò Ö ØÐÐÒ Ò Ú ÖØ Ö ØØ Ñ Ö Ø ÐÖ Ò Ö Ñ Ö ÐÐØ Ùй Ú Ö Ø ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ ÖÑ Ò ØÖ Ò ÒØÖ ÒØ Ö Ó Ø ÙÐÐ ØÚ Ú Ö ÚÖØ ØØ ØÙ Ö ÙÖ Ñ ÖÙÔÔ ÖÒ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ô¹ ËÐÙØ Ø Ö Ú Ö ÚÖØ ØØ ÙÒ Ö Ô ÙÖ ØØ ÒÙÒ Ö Ô ØØ ØØÖ Øغ Ö ØØÖ Ò Ô ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ò ÙÖ ÓÑ ÒÒ Ò Ò Î ÐÐ Ö ÖÙÔÔ Ò ÓÑ Ð ØÖ ØÙÔÔ Ò ÖØ ØØ Ø ØØ Ò ÒÓÖÑ 50

54 Ð Ö ÙÐØ Øº Ö ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ò ÙÖ ÓÑÖ Ò ÒÒ ÒÚ Ö ÑÝ ØÚÐÙØÚ Ð Ó Ó Ö ÙÐØ Ø ÙÒ Ú ÒØ Ö Ò Ö Ò ÐÙØ Ø Öº ØØ Øº ÒÒ ØÙ Ú ÖÒ Ô ØØ Ø ÒÒ Ö ØØÖ Ò Ö ØØÚ ÒÒ Ô ØØ Ø Ó ØÙ ÒØ ÖÒ ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÖÓÖ ÐÚ Ð ÖØ ÒØ Ö ÔÙÒ ÖÚ Ò Ò ¹ Ò Ö Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ÓÑÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÖÑÔ Ò Ö ÙÖ ÖÓ Ô Ò ¹ ØÖ ÐÐØ ÚÖØ ØØ Ò Ö Ð Ö Ö ÙÐØ ØØ ÐÐ Ò Ö ÖÙÔÔ ÖÒ ÙÒ Ö¹ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ Öº Ê Ö Ò Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñº Ö Ñ Ö ÐÐØ Ò ØÚ Ö Ò ÓØ ÓÑÖÚÖØ ØØÔÖÓÚ Ô Ò Ö Ñ ¾¼¼¼ Ñ ÅºÀº ¾¼¼¼µºÌ ÑÔ ØÓ ÓÓÔ Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò Ò ÒØ Ð Ø Ðº ½ ÒØ Ð ÄºÊº Â Ò Ò ÂºÊº Ï ÝÒ ËºÃº Ò Î Ý Èº º Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ºÈÊÁÅÍ˺ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÓÙÖ Ò Ù ÒÑ Ø ¹ ½ µº ÓÓÔ Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò ÈÖ Ú Ð Ò ÓÒ ÔØÙ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ð ¹ Ñ Ø ÙÒ Ö Ö Ù Ø ØÙ ½¼ ¾¾ ¾ ¼º Ö Ò ÐÐ ¾¼¼ Ö Ò ÐÐ º ¾¼¼ µº Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÖϺÇÑ ÙÖ¹ ½ º Ø ÓÒ ØÛ ÒÖ Ö Ò ÔÖ Ø º Ñ Ö Ò Ù Ø ÓÒ ÐÊ Ö ÂÓÙÖÒ Ð Ö Ò ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ ¾¼¼ Ö Ò ÐÐ º Ò Ò Ö ÓÒ Êº ¾¼¼ µºï¹ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÖÏ Ñ Ö Ð Ñ ÑÑ ÙÖ Ö ÚÖ ÔÖÓ Ö ÑºË Ö Ú ØØ ÐÐÍØ Ð Ò Ò ÒÑÒ Ò ÖÏ ÔØ Ñ Ö¾¼¼ º ÙÒ Ð ½ ÙÒ Ð º ½ µº ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓÑ Ø Ñ Ø Ð ÒÓÛÐ ÔÖÓ Ø ØË Ñ Ö Ø ÐÖ Ò ØÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÒÓ Ø ÐÐÑÔÒ Ò Ö¹¹ ÒÓÑ ¹ Ö Ò Ó ÙØÚÖ Ö Ò Ú Ð½ ÙÖ Ò Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ ºÍØÚÖ Ö Ò Ø ÐÐ ÒÓÑ ÖÓØØ Øº Ö Ù ½ Ö Ù º ½ µº ÓÓÔ Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò Ò Ø Ø Ø Ò ØÖÙ¹ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒºÈ Ø À ÓÐ Ò ÄÙÐ º ÓØÓÖ ÐÌ ½ ¾¼¾ º À Ð Ò Ø Ðº ½ À Ð Ò ÆºÄº Ê ÝÒÓÐ º º Ë Û Ò Ò ÓÖ ÔÖ Ø Ð Ù ØÓÓÓÔ Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò ÒÓÐÐ Ø Ñ Ø ÑØ ºÅ Ø Ñ ¹ ú º Î ÓÚ º Ù Ò Ý º Ë Ò Åº Ò Ï Ñ ºÂºÂº ½ µº Ø ÓÒºÂÓÙÖÒ ÐÓ ËØ Ø Ø Ù Ø ÓÒ º ÀÓ ÓÒ ¾¼¼¼ ÀÓ ÓÒ Îº ¾¼¼¼µº ØØÐÖ Ú Ö Ð Ò Ò ÖºÁÒÅ ÖØÓÒ º ÈÖ Ñ º ÀÓÙÒ ÐÐ º Ò ÒØÛ ØРƺ ØÓÖ ÀÙÖÚ ÐÖ Ô ½¾ ½ ¾ºËØÓ ÓÐÑ Ø Ð Ó Ø ÓÒÓ Ñ Ö º Ã Ð Ö Ò ËØ Ò ÓÖ Ø ½ Ã Ð Ö ºÅº Ò ËØ Ò ÓÖ Ø ÊºÃº ½ µº ÓÓ¹ Ô Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò Ò Ø Ø Ø ºÌ Ò ËØ Ø Ø ½ ½ º 51

55 ËÐ Ú Ò ½ ËÐ Ú Ò Êº ½ µºê Ö ÓÒÓÓÔ Ö Ø Ú Ð ÖÒ Ò Ò ¹ Ä Ò Ö Ò ¾¼¼ Ä Ò Ö Ò º ¾¼¼ µºë Ñ ÙÖ Ð Ö Ö Ø Ö ØÓ Ú Ñ ÒØ Ï ØÛ ÒÓÛ Û ØÛ Ò ØÓ ÒÓÛº ÓÒØ ÑÔÓÖ ÖÝ Ù Ø ÓÒ Ð ÐÐ ÙÖÑÒ ÓÑ ÓÑÑ Ö ØØØ Ü Ñ ÒºÁÒÈÖÓ Ò ÖÒ Ò Ö Ô Ó Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò ÒÚ ÄÌÀº È ÝÓÐÓ Ý ¾½ º 52

56 Studieframgång i statistik inte bara matematik Anna Lindgren och Martin Sköld 22 mars Inledning Ingenjörsutbildningar inleds av tradition ofta med ett relativt stort block av matematikkurser. Det är därför inte förvånande att goda förkunskaper i matematik ofta anses vara en viktig faktor för framgångsrika studier. De flesta ingenjörsutbildningar innehåller även en obligatorisk kurs i statistik, som till stor del bygger på att studenterna har lyckats tillgodogöra sig ett antal grundläggande matematiska begrepp och verktyg under de inledande matematikkurserna. Det råder ingen tvekan om att vissa av dessa verktyg är nödvändiga för studieframgång inom statistikämnet, t.ex. förmågan att kunna analytiskt beräkna integraler av vissa enkla funktionsklasser. Huruvida goda resultat på inledande matematikkurser är en i någon mening tillräcklig förutsättning för goda resultat på statistikurser är mer tveksamt. Vi ämnar med denna uppsats påvisa att detta inte nödvändigtvis är fallet, dels genom att påvisa tydliga skillnader mellan de två ämnena och dels genom en empirisk undersökning där vi relaterar studenters resultat vid en statistiktentamen med deras betyg på inledande matematikkurser. Vi undersöker även effekten av införandet av en dugga med syftet att aktivera studenterna i ett tidigt kursskede på tentamensresultat. 2 Att prediktera studieframgång i statistikämnet Det finns en omfattande litteratur, både empirisk och teoretisk, som undersöker olika prediktorer för studieframgång i statistik (t.ex. [8, 10, 14, 21, 16, 22, 12]). Flertalet av dessa studier behandlar påverkan av attityder och förutfattande meningar om statistikämnet, mätta med ett antal utvecklade mätinstrument som t.ex. SAS ( Students Attitude Survey, Roberts & Bilderback [18]) och ATS ( Attitudes Towards Statistics, Wise, [24]), på resultat. Carmona [6] vänder på frågan och undersöker hur matematikbetyg påverkar ett antal attitydmått, han påvisar en viss positiv attitydeffekt av goda matematikbetyg. Det bör påpekas att det vetenskapliga värdet av studier som de ovan nämnda är kontroversiellt. Flertalet når endast slutsatser av typen duktiga studenter presterar bättre, studenter som uppfattar ämnet som lätt presterar bättre och en begränsad statistisk undersökning lär inte öka mångas öververtygelse om dessa till synes självklara faktum. I de fall mindre självklara resultat observerats kan stabilitet över tid och rum, och framför allt mellan olika ämnesområden ifrågasättas. Majoriteten av undersökningarna är gjorda på studenter inom antingen ekonomi eller psykologi, utbildningar som i många länder innehåller en obligatorisk kurs i statistik (ekonometri respektive psykometri). Attitydstudier inom ingenjörsområdet är mer sällsynta, vilket kan förklaras med att ingenjörer är en mer homogen grupp när det gäller förkunskaper och attityd till matematik. Utanför de tekniska och naturvetenskapliga fakulteterna har 53

57 matematik/statistik alltid mött motstånd av ett stort antal studenter. I en intervjusituation beskriven i Gordon [13] uttrycker sig en psykologistudent som följer I don t even see the point. In psych why must maths infiltrate itself??? Studies have shown that those who have high maths abilities have low or poor communication & perception skills shouldn t psychologists be exceptionally perceptive & able to communicate well?... Även om en liknande attityd ibland kan märkas inom vissa ingenjörsprogram, torde den vara mer sällsynt och resultat från andra studentgrupper kan antagligen inte överföras på ingenjörsstudenter. Ett undantag i litteraturen är Sorge & Schau [21], som studerar ingenjörsstudenter. De konstruerar en avancerad strukturell ekvationsmodell för att förklara olika faktorers inverkan på varandra och på prestation. Ett intressant resultat i denna studie var att studenter som uppfattade statistikämnet som lätt, i allmänhet värderade nyttan av statistisk kunskap lägre än de som ansåg ämnet svårt. Då vi inte har tillgång till något empiriskt attitydmaterial, kommer vi att koncentrera oss på att undersöka studieframgång i inledande matematikkurser och dess inverkan på olika tentamensfrågor inom matematisk statistik. Inverkan av matematikkunskaper på studieframgång har tidigare bla studerats av Galagadera et.al. [10], Galagadera [9] och Tempelaar [22]. Galagadera et.al. [10] finner samband mellan matematisk förmåga (bedömd av studenten själv) och prestation. Den viktigaste prestationsfaktorn visar sig dock vara studentens allmänna begåvning, ofta mätt med s.k. SAT-scores ( Scholastic Aptitude Test ), ett resultat som ligger väl i linje med modern forskning inom de sociala vetenskaperna. Det är värt att notera att nivån av matematikkunskaper inte helt självklart är en god prediktor för framgång i statistikstudier inom en relativt homogen studentgrupp som civilingenjörer inom ett visst program. Man kan tänka sig att även de svagaste studenterna har tillgodogjort sig de matematiska verktyg som krävs. Vidare är det tänkbart att mer abstrakt matematiskt mogna studenter har svårt att tillgodogöra sig statistikundervisning, då de har större benägenhet att fastna i matematiskt oklara definitioner och resonemang. Vi kommer påvisa att sådana finns inom statistiken. 3 Statistik, en gren av matematiken? Statistikämnet skiljer sig från grenar av den rena matematiken på ett antal sätt. Framför allt kan ämnet ej motiveras i sin isolation, utan bygger på ett samspel med tillämpningar. Denna symbios innebär, i relation till den rena matematiken, ett antal svårigheter i en undervisningssituation (se t.ex. Garfield [11]). Bland annat, vilket även beror på att statistikämnet är relativt ungt som det undervisas idag, är centrala begrepp inte lika väl definierade som inom matematiken. Ofta ligger här svårigheten att koppla en tydlig matematisk definition till den praktiska situationen, men det händer även att den matematiska definitionen är ytterst oklar och i vissa fall skiljer sig mellan läromedel. Studenter förväntar sig ofta att en kurs i matematisk statistik kommer att vara ytterligare en matematikkurs. Denna uppfattning förstärks också under grundläggande kursers första delar som i allmänhet behandlar sannolikhetsteori, och karakteriseras av en relativt tydlig matematisk formalism. I denna del begränsas kopplingen mellan abstrakt formalism och praktisk verklighet ofta till tärningskast och myntsingling, situationer som är lätta att abstrahera. Schoenfeld [20] s. 359, beskriver några typiska attityder hos studenter om matematiska ämnen Mathematics problems have one and only one right answer. 54

58 There is only one way to solve a mathematics problem usually the rule the teacher has most recently demonstrated to class. Ordinary students cannot expect to understand mathematics; they expect simply to memorize it and apply what they have learned mechanically and without understanding. Mathematics is a solitary activity, done by individual in isolation. Students who have understood the mathematics they have studied will be able to solve any assigned problem in five minutes or less. Medan dessa uppfattningar kan anses vara mer eller mindre missvisande applicerat på matematik och sannolikhetsteori är, kanske främst den första, så i ännu högre grad när de appliceras på statistik. Statistiska resultat kan tolkas korrekt eller felaktigt, men det är sällan meningsfullt att tala om ett korrekt svar. Det bör dock poängteras att även om statistiska problem kan lösas på ett flertal olika sätt, har vid tentamen uppgiftskonstruktören oftast en tydlig procedurbaserad lösning i tankarna. Studenten förväntas med hjälp av vissa koder i texten återknyta till ett liknande problem löst av läraren och återanvända lärarens lösning steg för steg med nya indata (j.f.r. den andra uppfattningen ovan). Även om det alltså inte existerar en entydig korrekt lösning i matematisk mening, finns det ofta en lösning som är entydig av tradition. En dylik lösning är ofta väl matematiskt motiverad, att den ibland betraktas som the one and only one answer har att göra med statistikens utveckling i nära samspel med de empiriska vetenskaperna, och en strävan mot ökad objektivitet. Man kan tänka sig att en vetenskapsman som presenteras ett flertal statistiska lösningar på sitt problem väljer den som bäst gynnar sin statistiska hypotes. Dessa traditionella stegvisa problemlösningsmetoder har på senare tid fått konkurrens av lösningar som är bättre matematiskt motiverade, men som tidigare inte varit praktiskt genomförbara på grund av begränsade beräkningsresurser. Tyvärr är dock dessa beräkningskrävande lösningar sällan möjliga att utföra i den traditionella tentamensmiljön; salskrivningen. Inom matematikundervisning anses ovanstående lösningsmetoder d.v.s. att lösa ett problem genom att söka efter ett passande färdigställt recept i minnet istället för att resonera sig fram från grundläggande principer som förkastliga då de inte i samma utsträckning bygger på förståelse (se t.ex. Anderson et.al. [1]). I statistikämnet är samma form av lösning oftast förväntad och premierad, både grundat på ovannämnda statistiska tradition men även till stor del beroende på att vägen från de grundläggande principerna till ett praktiskt statistikproblem anses alltför lång och invecklad. En slutsats av detta är att individualitet och originalitet inte premieras i samma utsträckning under statistikutbildningen som inom matematiken (j.f.r. den fjärde uppfattningen ovan). 3.1 Statistiska begrepp och matematisk formalism I Aprin et.al. [2] beskrivs en studie där studenter under tentamen fick svara på två identiska uppgifter, en formulerad i matematisk-statistiska termer och en mer prosaiskt formulerad 1. För händelserna A och B gäller att P(A) 1 3, P(B A) 1 och P(B A ) 1 4. Beräkna P(B). 2. En villaägare köpte en stor påse blandade lökar i höstas. Enligt förpackningen är en tredjedel påskliljor och resten tulpaner. Alla påskliljor och en fjärdedel av tulpanerna är gula, resten är röda. Villaägaren grävde ner en slumpmässigt vald lök utanför köksfönstret. Hur stor är sannolikheten att blomman är gul? 55

59 Det förvånande resultatet var att den andra formuleringen svarades korrekt av 87 % medan den första endast av 18 %. Det tycks alltså som studenterna kunde lösa uppgift 2 utan den matematiska formalism och de hjälpmedel som den aktuella kursen försöker introducera, och de har en intuitiv uppfattning av begreppet sannolikhet och de kan konstruera sin egen procedur för hantering av betingade sannolikheter som, åtminstone i detta fallet, gav rätt svar. Eftersom kursen lägger sin vikt vid den formella behandlingen, faller det troligt att studenterna kunnat lösa uppgiften i sin andra formulering redan innan de deltagit i undervisningen. En intressant aspekt av den andra formuleringen är att antalet lökar i påsen inte är angivet, bara att påsen är stor med vilket problemkonstruktören vill antyda att blomsterhandlarens förmodade slumpmässiga fördelning av lökar i påsarna är av mindre betydelse. Utnyttjade studenterna detta eller antog de att påsen innehöll 4 påskliljor och 8 tulpaner varav 2 var gula? Insåg de sedan att 8 påskliljor och 16 tulpaner ger samma svar? Liknande frågeställningar har behandlats i bl.a. Crouch and Haines [7] som beskriver svårigheter att vandra mellan matematisk modell och verklighet, Quilici & Mayer [17] och Lavigne and Glaser [15] undersöker studenters förmåga att skilja mellan struktur och sammanhang i prosaiska uppgifter. De räkneregler som behövs för att lösa uppgiften i sin abstrakta formulering undervisas i ett tidigt skede i kursen. I den andra delen av kursen, som behandlar statistisk inferens, vänds dock sannolikhetsbegreppet; istället för att beräkna sannolikheter gäller det här att konstruera mängder med en viss föreskriven sannolikhet, en mycket svårare uppgift som inte kan lösas på samma intuitiva sätt. Statistikämnet innehåller dessutom en mängd begrepp som ständigt missuppfattas i vetenskapliga sammanhang. Speciellt teorin för hypotesprövning och tolkningen av dess resultat har visat sig problematisk. Batanero [3] och Batanero et.al. [4] ger mängder av exempel och referenser angående vanliga missförstånd hos studenter och forskare angående statistiska begrepp. En vanlig uppfattning på institutionen för matematisk statistik är att studenterna får en ytlig, algoritmbaserad förståelse av statistik. De lär sig producera resultat, men har en dålig uppfattning om hur resultaten skall tolkas. Denna uppfattning har bland annat stärkts av försök att införa tolkningsbaserade uppgifter på tentamen. Examplet ovan tyder på att studenter har svårigheter att koppla matematisk formalism till sin bildmässiga begreppsförståelse i sannolikhetsteori. En förutsättning för att en sådan koppling skall kunna göras inom statistikteorin är att lärarstaben har en tydlig och likformig bild. Som antytts ovan finns det en omfattande litteratur som behandlar olika missförstånd när det gäller tolkning och hantering av statistisk hypotesprövning. Vi har valt att istället studera begreppet konfidensintervall och hur lärare kopplar detta till en abstrakt matematisk formalism. Vi ställde följande fråga till ett slumpmässigt urval av nio anställda (gruppen innehöll både doktorander, lektorer och professorer) på institutionen för matematisk statistik: Låt X vara en stokastisk variabel och x en observation av den samma, vilket/vilka av följande objekt anser du vara ett konfidensintervall A Intervallfunktionen [a( ) b( )] B Det stokastiska intervallet [a(x ) b(x )] C Det observerade intervallet [a(x) b(x)] Från en matematisk synvinkel är detta tre vitt skilda objekt. Det läromedel som används, Blom & Holmquist [5], ger ingen tydlig definition men både B och C benämns som konfidensintervall i texten, Vännman [23] som även används i vissa kurser använder definitionen C för konfidensintervall och benämner B för intervallskattningen, Schervish 56

60 [19] som ligger på en högre matematisk nivå än tidigare nämnda läromedel använder definitionen A. Samtliga objekt är givetvis relevanta i sammanhanget; A i konstruktionen av intervallet, B i den sannolikhetsteoretiska tolkningen av intervallets egenskaper och C i dess praktiska tillämpning. Observera att det är vanligt att under tentamen be studenterna beräkna ett konfidensintervall och att vid detta tillfälle de förväntas att svara med objekt C. Resultatet av studien bekräftade den variation som observeras i olika läromedel; tre tillfrågade ansåg att samtliga objekt var konfidensintervall, en ansåg att endast objekten B och C var konfidensintervall medan tre respektive två röstade på alternativen B och C. En ytterligare fråga, den här gången behandlande språkförbistring, som ställdes till samma grupp av anställda var följande; Som bekant är x en punktskattning av E(X ). Men vad syftar punkt i punktskattning på? A E(X ); dvs en punktskattning är något som skattar en punkt. B x; dvs en punktskattning är en punkt som skattar någonting. I fallet punktskattning kan distinktionen tyckas betydelselös, i vår studie svarade fyra personer A och fem B, få verkade ha reflekterat över betydelsen. Det problematiska dyker upp vid införandet av begreppet intervallskattning, varav konfidensintervall är ett exempel. Det bör här nämnas att läromedel i statistik har av tradition det upplägget att ett kapitel Punktskattningar direkt följs ett kapitel Intervallskattningar. Om en student nu har uppfattat punktskattning i betydelsen A, följer logiskt att ett konfidensintervall är en skattning av ett intervall. Detta är dock fel, det finns inget (fixt) okänt intervall och det är inte meningsfullt att skatta det abstrakta intervallet med stokastiska gränser. Den korrekta tolkningen är att ett konfidensintervall är ett intervall som skattar en punkt, direkt förknippat med påståendet ligger i (a(x) b(x)), ett påstående med 95 %ig konfidens. Huruvida de tillfrågade som svarat A var av uppfattningen att ett konfidensintervall är en skattning av ett intervall framgick ej av studien. Mycket av förvirringen i sammanhanget ligger i att sannolikhetsbegreppet endast kan appliceras på det abstrakta intervallet [a(x ) b(x )] och inte på det intervall studenten förväntas räkna ut, d.v.s. [a(x) b(x)]. För att kunna göra uttalanden om det senare används istället begreppen konfidens och (inom hypotesprövningen) signifikans som härstammar från beslutsteorin snarare än sannolikhetsteorin. 4 Undersökning av uppgifter vid två tentamina 4.1 Material Vi har undersökt resultatet på tentamen i Matematisk statistik för de 234 förstagångsregistrerade studenterna på FMS012 (F, 87 st,, 31 st och N, 39 st) respektive FMS121 (I, 77 st) under hösten De två kurserna har olika Ladok-kod men innehåll och undervisningsformer är desamma. FMS121 går under hela höstterminen med sannolikhetsteori under första läsperioden och inferensteori under andra läsperioden. FMS012 börjar en bit in i första läsperioden och går tre veckor med grundläggande sannolikhetsteori medan den mer komplicerade delan av sannolikhetsteorin och all inferensteori kommer under andra läsperioden. För att motivera studenterna att ägna sig åt kursen redan från början introducerades i höstas, på båda kurserna, en frivillig dugga i slutet av första läsperioden. Eftersom kurserna kommit olika långt omfattade duggan på FMS012 bara en mindre del (endimensionella stokastiska variabler och minimum och maximum av oberoende variabler 57

61 samt väntevärde och varians för endimensionella variabler och för linjärkombinationer av oberoende variabler) medan den på FMS121 även omfattade flerdimensionella variabler, betingade fördelningar och Markov-kedjor, dvs de matematiskt svårare delarna av sannolikhetsteorin. Båda duggorna kunde ge maximalt 8 poäng som fick läggas till tentamensresultatet på ordinarie tentamen (december) och första omtentamen (januari). Tentamen kunde ge maximalt 90 poäng varav 40 krävdes för godkänt. Poängen från duggan fick användas både för att bli godkänd och för att höja betyget. På grund av schematekniska skäl valde majoriteten av I:arna att inte tentera i december utan först i januari. I analysen plockades de studenter som redan hade tentat, och kört, i december bort från januaritentan. De två tentorna finns i bilaga 1. För att bedöma matematikkunskaperna beräknades medelbetyget, viktat med kursernas poängantal, på de tre grundläggande matematikkurserna, Endimensionell analys, 4+4 poäng, Linjär algebra, 4 eller 5 poäng, samt Flerdimensionell analys, 4 eller 5 poäng. Endast de av kurserna som studenten varit registrerad på räknades med. Tillgodoräknade kurser vägdes in med betyget 3. Studenter som inte varit registrerade på någon av matematikkurserna plockades bort; de är i regel antagna till högre årskurs och har läst matematik på annat håll och inte fått den tillgodoräknad ännu. 4.2 Tentamensuppgifterna Sannolikhetsteorin på de båda tentorna bestod av en uppgift av grundläggande karaktär med klara definitioner och enkla matematiska beräkningar [dec-1, jan-1], en uppgift, också med klara definitioner men som krävde dubbelintegraler för lösningen [dec-2, jan-4], samt en tredje uppgift där studenten förväntades läsa en praktisk problembeskrivning, själva omformulera den i matematisk/statistiska termer och sedan lösa problemet [dec-4, jan-2]. Alla inferensuppgifterna utom en var formulerade som praktiska problembeskrivningar där studenten först, i varierande grad, själv måste formulera om problemet i matematisk/statistiska termer. I en uppgift på vardera tentamen skulle studenten sedan lösa problemet genom att välja en lämplig statistisk standardmetod och genomföra beräkningsproceduren [dec-3, jan-3]. En uppgift på vardera tentan testade procedurkunnande i en speciell situation (linjär regression) [dec-5, jan-5] medan sista uppgiften på januaritentamen [jan- 6] krävde att man själv kunde konstruera ett lämpligt statistiskt test i en icke-standard situation. Sista uppgiften på decembertentamen [dec-6] var redan formulerad i statistiska termer och lösningen av första delen byggde på att studenten kunde ställa upp rätt uttryck och sedan maximera detta med avseende på lämplig parameter, en rent matematisk färdighet. Andra delen var i princip sannolikhetsteori. Som exempel på en praktiskt formulerad uppgift i sannolikhetsteori kan vi ta uppgift 2 på januaritentan: Lanthandlare Julander förbereder sig inför julen. Han planerar för att få 300 kunder veckan innan jul, och vet att chokladasken Alladin är populär. I genomsnitt handlar 2 av 10 kunder en Alladinask, och 2 av 10 kunder handlar två askar (medan andra kunder inte handlar någon chokladask alls). Beräkna, under lämpliga och redovisade antaganden, väntevärde och standardavvikelse för antalet sålda Alladinaskar om Julander får 300 kunder. Beräkna, sannolikheten att Julanders 300 kunder köper fler än 200 Alladinaskar. Julander vill absolut att Alladinaskarna ska räcka till alla. Hjälp honom att 58

62 dimensionera inköpet av askar så att sannolikheten att de ska ta slut (återigen baserat på 300 kunder) blir ca 1 %. Samma uppgift i en matematisk/statistisk formulering hade varit Låt X i, i vara stokastiska variabler med sannolikhetsfunktion 300 p X (k) a för k 0, 2 10 för k 1 2 och 0 f.ö. Sätt Y i 1 X i och bestäm a, beräkna E(Y ) och D(Y ), beräkna P(Y 200) samt bestäm m så att P(Y m) Några resultat Man kan genast bekräfta att duktiga studenter presterar bättre. Det finns ett tydligt samband mellan medelbetyget på de tre matematikgrundkurserna och resultatet, både på duggan och på tentamen i Matematisk statistik; se Figur 1. Det finns också ett klart samband Duggan för F, Pi, N Duggan för I 8 8 Resultat 6 4 Resultat Medelbetyg i matematik 80 Decembertentan Medelbetyg i matematik 80 Januaritentan Tentamensresultat Tentamensresultat Medelbetyg i matematik Medelbetyg i matematik Figur 1: Resultat på duggan (övre raden) och på tentamen (undre raden) i matematisk statistik, relaterat till matematikbetyget mellan resultatet på duggan och tentamensresultatet (visas ej). Delar man upp tentamensuppgifterna i två grupper, dels de som redan är formulerade i matematisk/statistiska termer (dec , jan-1+4+5), dels de som är formulerade i ord (dec-3+4, jan-2+3+6), se Figur 2, kan man konstatera att studenterna är märkbart sämre på att hantera uppgifter där de själva först måste tänka ut den matematiska formuleringen. Speciellt ser man att variationen ökar för studenter med mycket goda matematikbetyg jämfört med de matematiska uppgifterna. 59

63 Modell och problem givna i matematisk form 1 1 Modell och problem givna i ord Poängandel Poängandel Medelbetyg i matematik Medelbetyg i matematik Figur 2: Andel av möjliga tentamenspoäng på uppgifter av matematisk/statistisk karaktär (vänster), och praktisk karaktär (höger), relaterat till matematikbetyget. Andel rätt på praktiska uppgifter Andel rätt på matematisk/statistiska uppgifter Figur 3: Andel rätt på uppgifter av matematisk/statistisk kontra praktisk karaktär. 60

64 Figur 3 visar att det finns ett visst samband mellan en students prestationer på de två olika typerna av uppgifter, men variationen är stor. Det är speciellt värt att notera att det inte finns några studenter som är dåliga på de matematiska uppgifterna men bra på de praktiska. Däremot råder det stor variation bland de studenter som är bra på de matematiska uppgifterna. Det är fullt möjligt att vara bra på matematik men dålig på praktik, när det gäller att tillämpa sina matematiska kunskaper på ett verkligt problem. Matematiska färdigheter är alltså ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för framgång i matematisk statistik. 4.4 Duggan Duggan skrevs av 198 av de 234 studenterna. Av de 36 som inte skrev duggan var det bara 16 (44 %) som gick upp och tentade och bara 10 av dessa blev godkända, jämfört med 88 % tenterande av dem som skrev duggan varav 86 % godkända. Bara 19 av de 198 skrivande behövde ta hjälp av poängen från duggan för att bli godkända. Det, tillsammans med det starka sambandet mellan resultatet på duggan och på tentan, tyder på att duggan åstadkom det den infördes för att göra, nämligen motivera studenterna att själva ta ansvar för sitt lärande och ägna sig åt kursen redan från början. Figur 4 visar å andra sidan det intressanta att resultatet på duggan visserligen har 1 Matematisk/statistiska uppgifter 1 Praktiska uppgifter Andel rätt Andel rätt Resultat på duggan Resultat på duggan Figur 4: Andel av möjliga tentamenspoäng på uppgifter av matematisk/statistisk karaktär (vänster), och praktisk karaktär (höger), relaterat till resultatet på duggan ett samband med resultatet på de matematiskt formulerade tentamensuppgifterna, men att spridningen är mycket stor. Däremot verkar det nästan omöjligt att prestera bra på de praktiskt formulerade uppgifterna om man presterade dåligt på duggan. Det stärker övertygelsen att det är viktigt att ha tillgodogjort sig grunderna i kursen för att överhuvud taget ha en chans att förstå de mer komplicerade resonemang som krävs när man själv ska formulera modell och välja, eller till och med konstruera, en lämplig metod att lösa problemet. 61

65 Referenser [1] J. Anderson, K. Austin, T. Barnard, and J. Jagger. Do third year mathematics undergraduates know what they are supposed to know. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 29: , [2] S Aprin, T. Holmberg, F. Lindgren, and J. Rydén. Stokastikdidaktik. Pedagogiskt projekt, [3] C. Batanero. Statistics education as a field for research and practice. In Proceedings of ICME-10, Copenhagen [4] C. Batanero, J.D. Godino, D. Green, P. Holmes, and A. Vallecillos. Errors and difficulties in understanding statistical concepts. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 25(4): , [5] G. Blom and B. Holmquist. Statistikteori med tillämpningar, Bok B. Studentlitteratur, [6] J. Carmona. Mathematical background and attitudes towards statistics in a sample of undergraduate students. Proceedings of ICME-10, Copenhagen, [7] R. Crouch and C. Haines. Mathematical modelling: transitions between the real world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 35(2): , [8] I. Gal and L. Ginsburg. The role of beliefs and attitudes in learning statistics: towards an assessment framework. Journal of Statistics Education, 2(2):1 15, [9] D. Galagadera. Is remedial mathematics a real remedy? evidence from learning statistics at tertiary level. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 29(4): , [10] D. Galagadera, G. Woodward, and S. Degamboda. An investigation of how perceptions of mathematics ability can affect elementary statistics performance. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31(5): , [11] J. Garfield. How students learn statistics. International Statistical Review, 63(1):25 34, [12] G. Giraud. Cooperative lerning and statistics instruction. Journal of Statistics Education, 5(3), [13] S. Gordon. A theoretical approach to understanding learners of statistics. Journal of Statistics Education, 3(3):1 16, [14] S. Jackman, J. Goldfinch, and J. Searl. The effectiveness of coursework assessment in mathematics service courses studies at two universities. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32(2): , [15] N.C. Lavigne and Glaser R. Assessing students representations of inferential statistics problems. CSE Technical Report 553,

66 [16] C. Mahendra. Students perspectives of undergraduate business statistics course: does it really matter. [17] J.L. Quilici and R.E. Mayer. Teaching students to recognize structural similarities between statistics word problems. Applied Cognitive Psychology, 16: , [18] D.M. Roberts and E.W. Bilderback. Reliability and validity of a statistics attitude survey. Educational and Psychological Measurement, (40): , [19] M.J. Schervish. Theory of Statistics. Springer, [20] A.H. Shoenfeld. Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In D.A. Grouws, editor, Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning, pages Macmillan, New York, [21] C. Sorge and C. Schau. Impact of engineering students attitudes on achievment in statistics: A structural model. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, April 2002, New Orleans. [22] D. Tempelaar. Modelling students learning of introductory statistics. In Proceedings of the Sixth International Conference on Statistics [23] K. Vännman. Matematisk statistik. Studentlitteratur, [24] S.L. Wise. The development and validation of a scale measuring attitudes towards statistics. Educational and Psychological Measurement, (45): ,

67 64

68 65

69 66

70 ! #"$&%('*) &+,-./$&0 EGFIHKJLNM7J OPOQJLRLTSUSIVXWYJLZJ\[]VNS^LRL_]`]VZLRabSILRLTS^LcVZJ OQ`]dfe]VTS\agefVhIJ SIikj\lmSIdfJLTn/_poqiqnR_^S]rqnRM7`QOts JuHKHc`tvTw!x^S]OyOQJiziYS_^S]i!WzlmOQVTSM7JuO*iY[IVUOQJL{dp[IHKHKJV age]vtn}ltfijhmnzji~sx7lkiplzj WqS]VXSHm[IVTSIiqOQJ ozlxsiig`tvt_qnxf7x]jlzjuiqnr_^s]rzhkl d]lusivxwyjlzj<`qvtwxfjlzjuiqnz_s]ryjuiqnuozlzx]j vt_th lkizd lsihkhkm*[iizwqjlƒ PJi wtozxtoqoqnzs]_phklkdfs _^[IHKHmSIi[]V hij SIi j\lmsidfjl `QvTw7 `]HmSIiYOQ`kˆkS]VXvlmS]nWY`f_ Š Œ]ŽT z X f ( Š KŠ ^ / z : k KŠ ^ Œ }š /Ž b /ŽT ƒ œ FIVZLPM*F]H[]V lkiplzj:s^lzlpag`fvzm:ozhkjvts rzvtsi_plzlmnz_s*_]`]iynrju_pxfjiqnzjv agefvuoqlzs\jhkhkjvl iqhk[]vziql iqd<jhkhkjvvzju_]`fm7m7jiqozsilzlk`]iqjv\sx*oziyoqjvxxtlknzizlkizdpnrm7jlz`qoqjvuƒ LZL wzl LRLTSyrqSIVTSIHKHKJHKHKJVUM7JuHKHKS]iGFžJiYSnRlmOzS]iŸlKiqOQlKxtlmOQJiYn rqnzt_]`fh `fd]lmnz_s*oqlzxfjuvt_thkl iqd `QvTw F SIiqOzVXS nrlmozs]i nxsim7wq[]hkh JLXn JHKHKJV:x]JLXJiqnZ_^SIr(Jiqn ozlzx]j vt_th lkizdq \xtl HK_fJL:[]i M*F]iqOQJ x^s]vxs~`]vtnzs]_!`qvtwxfjvx_s]il OQJL absihkhkjlu /[]VPiYS^LZoqVZHKlKdILXxplmn{lKipLZJ<JuiGitžagVTFId]J n}lt[ihkhkizlkizdzƒœpl _^S]iyJ QJM7r(JHKxtlKn vl LZJuVXSrqnZt_]`]HK`fd]Jiyh]S]M7Jun S]HmOQ lkig }ª «] ] p T LUlmnM: ~SIlKMž zlki~lxwzj<rzvxjunzjipluj nznxsi QLX`*lKiq±pozlKVZJPLZ`7 wqsiluj tlzjuiplulzwzj rzvxlkiqvlkrzhkjun(`]aflxwzj OQJux]JuH `frzm7jipl/ìatlzwqj\lkiqoqlkxtlkozoqsihm7lkiqoksirzrqh PSIHmnR`LX`LZwzJ Jxf`]HKoQLXl `fi ÌaYnZ`QvlKJL} ]ƒ²{wzlmnlzwzj nrlmnwyjulkizdulxwzj{m*silki<`]iqji Il LiYS^LZoqVXS]H HK absihkhmn lkiplzùl} ` M*SIlKi<lKiq±pozlKVZlKJ n / wqs^l\s]vzj LZwzJ{rzVXlKiqvlKrzHKJun wzlmvtw LZwqJlKiqOzl xtlmoqoqs]h nzwz`^ün lkiwqlknpm7jipltsihh l agj] q³ rzvxlkiqvlkrzhkj n{ìa `fvzdpsiizlkµusilzlk`]in qd]vx`^ {LZwc csiiyo v`fiqoqoqvlt ³ SIiYO wqs^l!sfozoql LZlK`fiqSIHrzVXlKiqvlKrzHKJ n l¹a SIit ] OQ`tJun~nZ`QvlKJL} J QwzlKWzl L{lKi!l LXnag`fVZM*n`]a`]VXdfS]izlKµuSILZlK`]ic frzvz`fd]vxjunxn zs]iqo!sfv LXl xtl L}z ²{wzJuVZJ*S]VZJ LXwzVZJuJ*M7`]VXJ `]V<HKJ nzn:º»nzvlkjiplzl ¼YvIºNM7JLZwq`tOqn WtŸ wzlmvtw LZwqlKn d]juizjvtsih/rzvx`]wqh JuM½M7lKd]wpLW(J lkitx]junrlzlkdps^lzj O/ f wqlkvtw! M*S7iYSIM7J l iy`]vtoqjuvƒ ¾ } Q² zlxwzj iplxwzvz`fry`fhk`]d]lmvusihz`fvuàulmn}lx`]vxlmvsihym7jlxwz`qogṃƒuƒrâ tãäå ÆP < qlzwzj t`qvl `fhk`]d]lmvusihz`fv tlxs^lxlmn}lxlkvusih/m7jlxwz`qogṃƒuƒrâ ²ÀU } < plzwzj ˆ JizJLZlmvM7JLXwz`QO/ t wzlmvtw:wys]n S]rzrzHKlmvSILZlK`]i<lKi L} `k¼qjhmozn ÌalKitx]JunRLZlKdpS^LZlK`fi Tƒz²{wzJkrqnZtvTwq`]HK`]dflKvuSIHQOQJux]JHK`frzM7JipL `]anlzwzjklkiqoqlkxtlmoqoqs]hqj zs]m7l iqjuo:ag`]v HKlKd]wpLozr(`]ï LZwzJnZ`tvlmSIH]JuHKJM7JipLTnSIiYO M7`^x]JuM7JipLXnc`]aqwzlmniqS^LXozVZJ] I wzjvxjwt wzj{lmnsiwzhkj\lx`kjiplzjuvlkiplz`knz`tvlmsihp`]vxdfsiiql µ S^LXl `fik l¹lxẅ wzlmnagjhkhk`^ünƒ²{wzlmnm*s W(J<vSIHKHKJuO7LZwzJ j nzqvtwz`]dfjizjlzlmvpm7jlzwq`tocƒ Ç ƒ ²{wzJUWql `fhk`]d]lmvusihiag`fvxvjun\s]iqo:lzwqjlkv\vxjunzozh LXn lki7siizlkm*s]hphkl agj Á¹ƒƒƒZÂ{²{wqlKn M*S7W(J<vSIHKHKJuO7LZwzJ< lk`]dfjizjlzlmvum7jlzwz`qo/ƒ {S]HKOz l ix^siv Ji agefvzjudff]izdfs]vzj LZlKHKHpj lks]d]jl`qvt_qnxfplyoqjl SILRL\wqS]iqn\S]VZW(JLXJi `]MÈWqSIVXiqn M7JuipLXSIHmS7ozLZx]J vt_th lkizd~xs]vkji M7l HmnRLZ`fH r(jkl rqnzp_f`]hk`]dflkiy`qvtwÿl\nrtizizjuvzwqjl age]v S^LZL OzJunXnZS S]VZW(JLXJižx^SIVUOQJ agefvxnrlxs nz`]mélkizizjuwze]hkh(j Qr(JVXl M7JuipLM7J OŸ #O/ƒ x(ƒ»nn}lxoqoqlkjvusxz WqS]VZicƒ EGFIizdpS age]vzabs^lrltsivxji Oz[]VZlKWzHmS]iqO PozWzlKiqnZ_t Rªu f zª wq[xqozsiv~silrlžoqjagvtfii W(e]V#ÊRSIi rynrt_]`fhk`]d]lmnz_^s7wyjud]vxjrzrënz`]mìj lks]d]jlkozlrag`]vxm*s]ozj:l nrlkiqsžsivxw(jlzjui `]MÍWYSIVXiqnkrqnZp_f`]HKÌs dflmnr_^s<ozlzx]j vt_th lkizd `QvT_QnXF<_^SIiySIitx^[IiqOzSfn\agefVS^LRLSIiYSIHKQnRJuVXS Sx^SIiYvJVTS]OzJUx]JLZJiYnR_^SIrqH lkdps `QvTw M*S^LXJM*SILZlmnR_^SGVZJ nr`fizjm*s]izdzƒî PJLRLTSËx^SIV7`QvT_QnZF j\lms]d]jltn7f]nzlk_flu `QvTwÏÃ\izdpn}LXVZefM Rªu f ]«f :_^S]H HmS]V:wq`]iz`fMÐagefV:Ñ}agVX[]M*n}L7JrqlKnRLZJuM7`]HK`]dIÒX nriqs]vxs]vzj[]i rqnrt_f`]hk`]dq nz`tvlk`]hk`]dq 67

71 xfjlzjuiqnz_s]rqnr¼qhk`fnzìa QJ Qr(JVXl M7JuipLZJHKH/rqnZt_]`]HK`fdJuH HKJuVdfJizJLZlmnZ_~rqnZt_]`]HK`fdz QlxtlKHK_S:[IM7iqJi wqs]iglkizizjuwqs]ozjrzvxìagj nznzozvxjvuƒ<j\lmsidfjlk`tvtw ˆkSIVTvlmS7wzl LZLXSIVkl\nZl LRL SIVXWYJLZJ:`tvT_QnXF7L}QOQHKlKdfS HKlK_twzJLXJVkM7JHKHmSIi OQJ*`]HKlK_^SyrzVZ`QvJunXnRJuV<Sx Z Š Z b I z \nz`]m []V<JunXnZJipLZlKJHKHmS*l j\lms]d]jltn oqlxx]juvt_thklkizdfnrlzju`]vxl& `QvTw7xfJLZJuiqnZ_S]rYJuiqn\wqlKnRLZ`fVZlmnZ_^SPozLZx]J vt_th lkizdqƒ PJ M7JiYSIV OQJuHmn SILRLx]JLZJiYnR_^SIr(Ji~age]VT[IiqOzVXSfn\W(JL}QOQHKlKdIL M7JuV _f`]iplzlkitozjuvzhklkdil `QvTw!`fVZdpSIizlmnZ_pL ]dfjiz`fm½l izs _f`]vxry`fvzjuvzlkizd:`qvtw`]m ag`fvzm7izlkizd Sx!LZlmOQlKdfS]VZJk_toziqnZ_^SIrlitfS*nRLZVXoz_pLZozVXJVu ([]ix^s]onz`]m agvtsim agefvxn:lps]iqoqvts M7JV~OzlKS]HKJ_pLZlmnZ_SLZJu`]VXl JuV `QvTwÎOQJHmn7S^LZL!OQJWY[^LRLXVZJG_S]iÏage]VX_pHmS]VXS xtlmnznxswzlmnrlz`fvzlmnz_sjr(`]_]juv:[]i l{lxlkozl dpsivxj7m7`qoqjhkhkjvuƒ Ã\LRL*J QJuM7rYJuHrYFŸOQJL*nRJuiqSIVXJ![]V agqnzl _fjiqn HmFIizdpnZS]M7M*SkoQLZxfJuvT_tHKlKizd agvtfii ª Ç s&lxs]h JL\LZlKHKHª s&lxs]hkjl `QvTw~x^S]VRagefV{OzJLLZ`fd nxf HmF]izdULXlKOS^LZLdfe]VTSUozrqrM7J Ö OQJui:S]VZlmnRLZÌLXJHKlmnR_^S agqnrlk_fji LXVZ`]LXnS^LZL OzJi:x]JLXJiqnZ_^SIrzHKlKdfS M7JLZ`QOQlK_]JuinZ`]M nxf]ozs]ic ]xtlkhk_]jljiqh lkd]lagefvrabsilrlxs]vziyspitozm7juvxs [IV VXJHmSILZlKxpL`t`]M*nRLZVXl LRL Ix^S]V x^[ihcozlzx]j vt_thksfo*vxjuozs]i!m:qvt_]jl LZlmOQlKd]Lƒ 9 48!2y6A57>? 4 h]jus]i7j\lmsid]jl }ª «] IsXª ]«xs]v xfjvx_tnxsimèlkiz`]m OQJLrqnRt_f`]HK`]dflKnZ_^Sab[]H¹LXJL oqiqoqjviq[fn}ltsii nzj tlzlk` F]V IM7Juï OQlmnZrzoQLZJuVXSfOQJ\abS]_pLZlmnR_pLlpWql `fhk`]d]l]l iqiqsii<wysiï W(e]V#ÊRS]OzJnRLZoqOzJVTSUrqnZt_]`]HK`fd]l `QvTw rqnzp_f`fs]iqsihkqnƒàpsiiqn SIVXWYJLZJi `fm WqS]VZiqnrYnRt_]`fHK`]d]lmnZ_^SUSIVXWYJLZJui:x^S]V WqSIitWzVXpLXSIiYOQJ `QvTw JamLXJVTnR`fM OQJ*Wttd]dfJV rqfj QrYJuVZlKM7JuifLk`QvTwËJM7rzlKVXlmnR_^S~OqS^LXS[]V OQJ7ag`fVRLZabSIVTSIiqOzJ:l wzefdfnrlxs7dfvxsfožvzjuhkjx^siiplxszƒ Å SxQnZJLRL n}ltfiiqoqrqoziz_plks]izdff]jiqozj<d]lkh LZlKd]wqJLZJuiSx!wqS]iqn nrhkoqlzs nxs^ltnrjuv _^SIi*lKizdfJi7ag`fVXnZ_^SIVXJ{age]VXWzlKdfFkj\lmS]d]JLTn VXJunZozH LXSIL\oQLXS]i~_f`]M7M7JipLTSIVuƒÃ LRLSx wqsiiyn M7JuV JM:WzHKJM*S^LXlmnR_^S J Qr(JVXlKM7JipL x^s]v iq[iv wqs]i wqs]oqj LXx^FžVXSfOQJVkM7JuO []d]dy`tvtwënzrzvxjuo oql<oqjuigjuiqs*agefv SILRL d]efvxs~oqjiÿd]hkjunxsivxjiƒ À S]iagVTFIdfSfOQJ WYSIVXi`]MÌOQJL xs]vphklk_^s7m*fiiqdfs JuH JuM7JipL loqj!lzx^fÿvxsfoqjvxiqsqƒ # QxS]VZJL []ViqJ}Ê agefv:nzm*fwysivxicƒ ˆ H J nzs]vzj~vxsfo LXS]V:M7JuV rzhmsilxn xplkhk_]jl W(JL}QOQJuVYJVJHKJuM7JipLƒ nrlkiqs<lzj`fvzlkjuv xtlkhkh JwYSIi!age]VX_pHmS]VXS ozlzx]j vt_th lkizd rqf JLRL nx[^lrl nz`]m oziqoqxfj_*wqffoqj ÑRrzVZJag`]VXM*S^LXl `fitò< gxtlkh _fjl{x^sivx^s]o!wqsiiž_^sihkhms]ozj M7JuOQagetOqOzS nrlzvxoz_plzozvxjv{juh HKJuV _toziqnz_^sir(jv `QvTwyOQJLZJuVZM7lKizlmnZM agvtfiižm7lkh Ê}e]icƒ j\lmsidfjl*lmoqjuiflxl ¼qJVTS]OQJyagtVTS wpoqxpoyoznzs]_th lkdpsgoqlxx]j vt_phklkizdpnznrlxsfoqlkjv wq`fn7wqs]vziqjl nz`]m S]ipx^[]iqOQJV!`]HKlK_^S _]`]dfizl LZlKx^S n}lxvzoz_plxozvzjuvÿ bjhkhkjv~nxvtwzjm*s]iy T nzjiqnz`]vxlkm7ìlx`]vxlknz_( \rzvxj`]rzs JuVXSILZlK`]izJuV \_f`]iz_tvxjltsg`fryjuvxsilzlk`]izjuv \`QvTw ag`]vxm7jhkhmsë bs]wqn}lxvxs]_plxsf `]r(jvts^lxlk`]izjuvƒ J nznxs nrlxsfoqlkjv [IV _^SIVTSI_pLT[IVXlKnRLZlmnZ_^Sage]V xtlmnznxspf]hmoqjvtnrlkiplzjuvzx^s]h H& M7Juix^S]VZlKJVTSIVage]V x^s]vbê}jlkiqoqlkxtlmo/ƒ œ\s]vbê}jn}lts]oqlkozm lkizizjwyfihkhkjvcoqjunxnzoqlz`fm JLRLqJVZLXS]H]`]HKlK_^SOQJHmnRLZVXoz_pLZozVXJVu Luƒ J /ƒ e^xfjvnagtvzlzlk` `fh lk_^s nz`]m VZefV\LZlmO/ QVXe]VXJHmnZJI ILTSIH& pnzhkozm7rc fvxozm*nzhkl dpspnxsim:wqs]iqo JLTv^ƒ l(ozjl{_]`]iq_pvxjl `]r(jvzs SILZlK`]izJuHKHKS:nRLXS]Ozl JLƒP PJunXnXS*OQJHmS]V Sx!wYSIiqn LZJu`]VXl JuVUwqS]VPOQlKVXJ_pLXS:LXl HKHm[IM7rqizlKizdfS]V d]juiz`]m VXJ_f`]M7M7JiYOzS^LXl `fizjv `fm nzryj vl ¼q_^S:SI_pLZlKxtl LZJV age]vwysivxi!ln`fhkl _^S oqlzxfjuvt_thkl iqdfnxn}lts]oqlkjvuƒ j\lmsidfjl{d Ê}`]VTOQJ Oz`tvT_7M:QvT_]JL M7JVu Q`QvTw!nZl iysihkhkm*[iiziys LZJ`fVZl/`fMÉ_toziqnZ_S]rqnZoQLZxfJuvT_ps HKlKizd~_^S]H HmSfOQJ wqs]igagefv f ( KŠ G "!/ KŠ $# %¹ X I Kƒ OÊ}J_pLZlKxfJLkd]JiqJLZlmnZ_wqSIV wy[iv nrlki ozvzs nzrzvxozizd]hklkdfs WYJL}QOQJHmnZJ<Sx~ozVTnRrqVZoziqd7JHKHKJV{ozrzrz_f`]M*nRL bnz`]m l'&u / Š KŠR T c`qvtwsiitx^[iiqoqn lkiplzj nz`]m lmozs]d JiqOzSfn}L`]M½OQJLnZ`]M VZefV S]VZxQnZM*S]nXnZSzƒNÃ\rzlmn}LXJM7`fH `fd]lq[ivhm[ivtsii `]M x^fivts _toziqnz_^sir(jv `QvTw OQJVTS]n ozvtnrrqvzoziqdz Nd]VXoziqOzxS]HmSIVu /ozlzx]j vt_th lkizd~`tvtw x]juvzl ¼qJuVZWYSIVXwzJLuƒÀUozV _^SIiËJuM7rzlKVZlmnZ_^S*`]WYnRJuVZx^S^LXlK`]izJuVPdfJ*ozrzrzwq`^xLZlKHKH JLZL_f`]wzJuVZJuifLu xfjlzjuiqnz_s]rzhklkdil nrqnrlzjm Sx `]WzÊ}J_pLZlKx^S _toziqnz_^sir(jv ~j lks]d]jlxn\ozlzdff]izdfnzrzoziq_flx^siv(!yš Œ ] X p / KŠ) YOq[IV OzJLRLTS W(Js dfvzjurzr<sihkh LXnXF W(JunZ_tVZlKxfJVNOQJLnZ`]M wqsiiqozhks]vc`]m ozvtnrrqvzoziqd]jlclxlkh H]rqnRt_f`]HK`]dflKnZ_^S\rzVX`QvJ nznzjvu r(jvtnr`fizhklkd]wzjl(juh HKJuV(W(JLXJJuiqOQJI ^JuH HKJuV(M7JuVSIHKHKM*[IipL/OQJLnZ`]M wqsivnrl LRLNoqVXnZrzVXozizdl]M7JuipLXSIHmS LXl HKHmnRLXFIiYOžJHKHKJV rqvz`qvj nznzjvuƒ À S]iqnkM*FIHx^SIV SIHKH LXnXF*SILRLkage]VX_tHKS]VXS _toziynr_^sir d]juiz`]mìozjunxn wzlmnrlz`fvzlmnz_s!wqs]_pdfvzoqiqo/ OzJunXn nz`tvlmsihms*ozvtnzrzvzoqizd`qvtw OzJ*rqnZp_f`]HK`]dflmnR_^S*rqVZ`QvJ nznzjv<nz`]m HKlKd]dfJV LZlKHKH dfvzoziyo age]v OQJunXn<WzlKHmOzS]iqOQJ7`QvTw age]vtn}ltfijuhknzjiƒã\amlzjvtnz`]m OQJi x]jlxjiqnz_^sirzhklkdfs _toziqnz_^sir(jiï[iv:l{nrlx[]iqoqlkd`fm ag`]vxm7izlkizdz lkiflxj~wqs]vxsagvxf]i d]juizjvts^lxlk`]i LZlKHKH dfjizjuvxsilzlk`]i oqltsii:`qvt_tnxfpl iq`]m lkiqoqlkxtlmoqjvu M7JiqSfOQJ j lks]d]jl SILRL M*SIilKifLXJ{_S]i:nRLZoYOQJVTSkOQJi7nX[IVTnR_tlKHmO 68

72 agvtfiiÿoqjm7ju_^siizlmnzm7jvd]juiz`]m xtlkh _fjioqjuiage]vt[iiyoqvxsfnƒ PF!OQJLk`QvT_tnXF*[]V nxf7d]`]lrlknr`fm `fm7eiê}hklkdilcs^lzl_]`fiqnrlzvxozjvts{jrzlmnrlzjum7`]hk`]dflknz_^slzju`]vxlkjvcoqltsiï SILRLVXJagJuVZJuVXSLXlKH HfrqnZp_f`]HK`]dflmnR_^S abs]_plz`]vxjv glkm7rzhklmvl L JuH HKJuVJ QrzHKlmvl LT q[iv OQJLPJuin}L}tVX_S lj\lmsidfjltn{vzj nr`fizjm*s]izd7s^lrlpwqsii _^S]i HKoQLTS!nZlKd!M7`]L rqnrt_f`]hk`]dflknz_*ag`fvxnz_tizlkizd!sx_f`]iz_tvxjl `QvTwŸJuM7rzlKVZlmnZ_!iYS^LZoqV M7J OzSIi OzJ rqnzt_]`]hk`fd]lmnr_^s<age]vx_phms]vzlkizdpsivxiqs wz`pn SIiYOQVXS _^S]ixS]VXS7Sxyx^[IHmOQlKdILrzVXlKx^S^L nzryju_poqhksilzlkx iys^lzoqvƒ t`fm j\lmsidfjl Rªu {nbêr[ihkx~nxs]oqj] ÑZ²{wzJ oziqag`fvrlxoziqsilzj LXwzlKizd ag`]vurynrqvtwz`fh `fd]7lmn LXwqS^L{JxfJVXtWY`QOQ :LZwql iq_tn ÌawzlKM*nRJuH¹acS]nS<rYnRQvTwz`fH `fd]lmnrlƒ²{wzlmn lkn iz`]l LXVZozJ ag`]v{rzwtqnrlmvun `fv{ag`]v{lxwzjk¼qjhmo!ìarzwzlkhk`fnz`]rzwti twzoqlul Llmn{lKiQag`]VZLZoziYS^LZJuHKLXVZoqJPag`fVrqnZtvTwq`]HK`]dfIƒ Ò Q`]M `^x^sii age]vx_thmsivts^lxn []VOQJL Ê}oqnRL7S^LRLage]VTn}LTF`QvTw nxsim7m*siizabs^lrltsžoqjunxnzslzj`fvzlkjuv l:nrtiziqjvxwzjlgoqj nz`]m df[]h HKJuV!SIHKHKM*[IipLyx]JLXJiqnZ_^SIrzHKlKdILyLX[]iz_^SIiqOzJË`tvTw x]jlzjuiqnr_^s]ryjuiqn ozlzx]j vt_th lkizd `tvtwylkiplzj l/age]vtn}lts wqs]iqo!oqlzxfjuvt_thkl iqdfnzrqnrt_f`]hk`]dil# InR`fM [IVS]VZW(JLXJLXnM*F]H(`QvTw M7JuizlKizdz QM7Jui~M7JuOyOQJLRLXSagefH Ê}JuVLZx^F iqs^lxozvxh lkdps rzvx`]wzhkjmžƒ JLUJiqS:[IVUSILRLx^SIV#Ê}Jk_poqiQs nz_^sirqnrlzju`]vxl& JuH HKJuV<e^x]JuVZwtozxtoqOtLTSIdfJL<x^SIV#Ê}J*agozHKHKeQOQlKdIL ¼qHK`pnR`]¼YnR_pL nzqn}lxjmž ozrzrtxtlmnzs]v<ji nrlz`fvplkizvxj HK`]dflKnZ_*_f`]wzJuVZJuiqn nz`]m d]efvpoqjlphm[^lzl S^LZL agefvzoqltnz[ilrlxizlkizdfnzhkefnrlsfvvjrqlxjvts7oqjunxn S]VZdfozM7JipLTS^LZlK`fi `QvTwÏnRHKoQLTnZSILXnZJVuƒË PJL*S]iqOQVTSG[IV S^LZL7JamLZJuVXnZ`]M M*F]izdfSLZJ`fVZlKJuV M7JuO iqetozx[]iqoqlkd]wqjl nrqnxnrjuhknx[^lzlzjuv nzlkd~m7juoÿnzs]m7m*s*rzvx`]wqh JuM*n}LT[IHKHKizlKizd]S]Vk bm7jvk`]mìozjlrltsžl nzlmn}lts SxtnZizl LRLXJL _f`]m7m7juv M*F]izdfS:Sx~OQJ<OQlmnRLZlKiz_pLZlK`fizJV{nR`fM dfe]vtn lh l LZLZJVTS^LXozVXJi~x^S]VXS Sx Juï _^SIVTSI_pLT[IVnR`fM Hm[ILRL_S]ï ozrqrqabs^lzlxs]n nz`]m nzì¼(n}lxlknz_^swqf]vz_thktx]jvxlkjvcsx<oqjuï `]W(Jx^S]iQs OzVXSfOQJ Hm[]nXSIVXJi b`tvtw!lcoqji!d]vxozrzr(ji*xtlkhkhqxtly`qvt_qnxf<lkitwyjud]vxl ryspe^xfjvtnr_tvxlkx]jiage]vzabs^lzlxs]vzj Tƒ ¾efV SILRLkldfe]VXHKl dps]nrlzj M*FIidfe]VTS7WY`]LPrqFyOQJLRLXSz c`tvtwage]vks^lrlk_toziziqs*age]vx_thks]vxs:wtozvkj\l s S]d]JL`QvTw!ˆkS]VXvlKS nbêr[ihkx^s nzjvrqfnrlki*rzhmsilxn ly¼yh `pnr`]¼qic pxplkhkhqxtl/d]jpji!mqvt_]jl _]`fvrlzabs^lzlxs]o WYSI_td]VXoziqO/ƒ U Š KŠ # x^sivyji xtl _plxl dëvxlk_plzizlkizd Sx ¼YH `pnr`]¼qi oziqozjv ªu«s&LXS]HKJLƒ Ã\i Sx OzJunXnPxtlK_pLZlKdfSfn}LXJkage]VXJLXVX[fOzSIVXJ<x^SIV oqd]oqnrlzj*ä `]MLZJy }ªI ]«IsXª «] T qx^s]vxnpwtozxtoqotlzj nkx^siv SILRLk_toziqnZ_S]rG`QvTwxfJLZJuiqnZ_S]rGnZ_S]HKHx^SIVTS7W(Jd]VT[IiYnZSfOQJ LZlKHKHOzJL!z ^ŠT ^ nz`]m wq[]vpwysiv nxsim7m*s<wyjl}tozjhmnrj nr`fm iq[iv{ji!hm[i_^sivxjlxs]hmsivxju`]m½jlrl{ry`pnrl LZlKxpL rqvz`^xqnzxs]v to/ƒ xyƒ»niqfidfìl nz`]m _^SIižrqFxtlmnZSfnƒ HKHN_toziqnZ_^SIryM*F]nRLZJ SIHKH LXnXF<ozLZdfFagVTFIiOQJLU`]WqnZJVXx]JuVZWqS]VXS `QvTw~agVTFIi JuVRabS]VZJuizwzJLZJiNƒÃ\iqH lkd]l\ry`pnrl LZlKxtlmnRM7Juï [IVOQJL{SIHKH LXnXF WYSIVTS OQJ JuM7rzlKVZlmnZ_S x]jlzjiynr_^sir(jvxiqs nz`]m _S]ižd]J _poqiqnr_^s]r!`fméx^[ivxhkozjic Q`QvTw~¼YH `pnr`]¼qiqn ozrzrzdfl aml[]v< gjuiqozs]nrlt SILRL nztnrlzjum*s^s LXlmnRJuVXSP`QvTw:dfJizJuVXS]HKlKnZJVTS{x]JLZJuiqnR_^S]rYJuiqnVZJ nroqh¹lts^luƒ PJrY`pnRl LZlKx^SPx]JLXJiqnZ_^SIr(JVXiqSPd]e]V OQJL M7e]Ê}HKl d]l\s^lrl{_]`fiplzvx`]hkhkjvts nxfx[]hyiys^lzoqvzjui*nr`fm nxsim7wy[ihkhkjl `QvTw~S^LZL lkizvt[^lrlts JLZLwtozM*S]ipL VTS^LXlK`]izJuH H L nxsim7wy[ihkhmnznzqn}lxjmžƒ PJi % Z ] KŠ) ]!q Š KŠ # *M7JuiqSIVUSILRL OQJ LXVXSfOQl LZlK`]iqJHKHmS ¼qHK`fnZ̼YnZ_^S rzvx`]wqh JuM7Jiy[IV M7JuizlKizdfnZHKefnXS7rqnZJoqOz`]rzVX`]WzHKJuMžƒ:¾lKH `pnr`]¼ynz_s~rqf]nrlxf]jiqozji [IV lkiplzj:absihmnz_s!jhkhkjv nxsiiziysq ozlxsii7wqjh L\Jiz_fJH L M7JizlKizdpnRHKepnZSzƒc PJ nxs^ltnrjuv nr`fmèoq`qvt_wqsiv _f`]d]iql¹lxlkx M7JizlKizdk[IV Sẍ LZx^F L}tr(JVuƒ\ JkSIiqS]HKfLXlmnR_^SknZSILXnZJVXiqSkW(JVXe]V JuiqOzSfn}L age]vxwqfihkhmsiiqozjl M7JHKHmSIi nrtm:wy`fhkjv l/hk`]d]lk_ JuHKH JuV M*SILZJM*SILZlK_( ]M7Ji!nZ[]d]JV lkizd]jl `]M½x^[IVXHmOQJiNƒ PJ nxs^ltnrjuv `fm½d]e]voqjlu[]v SIipLXl iqd]ji Juiz_tHmSWYS]nXnZSILXnZJVUnZ`]M S]izd]JuVUnRlKizizJ n}agefvziql M7M7JuHmnRJuV IJuH HKJuVHK`fd]lmnR_^S wq[ivxhkjuoqizlkizdpsivsx!nxf^s OqSIiqSyl JLZL JHKHKJV YJVTS!nRLZJudzƒj lks]d]jl Rªu U_pVXl LZlmnZJVTSIV OQJuiziqSžF]nZlK_pL S^LZL H `fd]lmnz_s `QvTw M*SILZJuM*S^LZlmnZ_^S{`]WQÊ}Ju_fL ¹ÑRW(JlKizdfn}Ò lqoqji:jiqd]jhmnz_^s{lzj plxjiy JuiqOzS]nRL [IVH lkizdfxtlknrlzlmnz_^snrlzvxoz_ps LXozVXJVu (dfjiz`fm S^LZLPOQJLRLXS~lKM7rzHKlKvl L oqlzlxsihms]vunrlkd7`]m rqnzt_]`]hk`fd]l&ƒ À S]iM7JiqS]Viq[IM7HKlKd]Jui SILRL OzJL [IV HK[ILRL\S^LZL\_]`fifLXVZ`fHKH JuVXSU`]M WYSIVXiozrqrzxtlKnXSIVHK`]dflmnR_^SUW(JLXJJuiqOQJi7lKiziYSIi nrrzvtfi_fjl ozlzx]j vt_thksfn /`QvTwGS^LZLkOzJLRLTS![]V JuiagVTFIdfS*`]MVXJiqS abs]_plxsynr`fm M*Ffn}LXJ<W(JunZxS]VXSfn dfjiz`fm `fwqê}j_plxl x^sj Qr(JVXl M7JuipL `QvTw!lKipLZJ nzozwqê}ju_flxlkxs:nzryju_poqhksilzlk`]iqjvuƒej O!nXSIM7M*SSIVXd]ozM7JuifL _tvxl LZlmnRJuVXS]V wqs]iä wq`]m*nz_p]ƒ S]VZHfj`]rzr(JV }ªu fç sxª ] t YxS]VJuï Sxª s&lxsihkjlxn/m7junrllki qplxjhmnrjuvzlk_^s x]jlxjiqnz_^sirqnrs ¼YH `pnr`]agjv*`qvtw [IV!_^[IiqOÏagefV!nZl¹LZLš % ŠT $ T I Z z Š) I # ƒ j`]rzr(jv!_pvxl LZlmnZJVTS]OQJžOQJ HK`fd]lmnR_^S r(`fnzl¹lxlkxplmnrlzjuvziqsfnnz[ilrl SILRL agefvxnze]_^s nz_tl H ÊRSkM7JuH HmS]ixfJLZJuiqnZ_S]r7`QvTw7rqnRJuoqOQ`^xfJLZJuiQs nz_^sir dfjiz`fm SILRLJuiqOzSfn}L HK`fd]lmnR_pL age]vtnref_^snr_tlkh ÊRS!rYFM7JizlKizdpn}agoqH HmS~`tvTwËM7JuizlKizdfnZHKefnXS ozlxnxsid]`fv gxfjvxl¹¼yjvxwqsivxwzjltnr_tvxl LZJVXlKJL T UHKlK_px^[]H<nR`fM OQJui lkiqozoz_plzlkx^s M7JLZ`QOQJui SILRLŸOzVXS 69

73 S]H HKM*[]iziqS<nZHKoQLXnXS^LTnRJuVlJM7rzlKVXlmnR_^S xfjlzjuiqnz_s]ryjuv (nr`fméjizhklkdil{wz`fiz`]m nzs]_piys]oqjkd]vxoziqoqs x^sih&ƒ Ã\izHKlKdILj`frzr(JVH J OQJVJLRLx]JLZJuiqnR_^S]rzHKl d]lcrzvz`fwzhkjm gji`]wqnzjvxx^s^lxl `fi nz`]m lkiplzj nrlx[]m s M7JuVcM7JuOkOQJ agefvz_thmsivxlkizdfnzm7`qoqjh HKJVzM*SIi wqs]vt YLXl HKHISILRLM*S]iknZ_^SIrqS]VcJi wttry`]lzj nƒ ULZl agvtfii OQJuiziqSkwttrY`]LZJ n _^SIi M*SIi:M7JuOHK`]d]lK_fJiqnw^ÊR[IHKrage]VXoQLXnX[IdpS M7eIÊ}HKlKdfS`fWqnRJuVZx^SILZlK`]izJuVnZ`]M agefh Ê}JuVPSxyLZJu`]VXlKic YxtlKHK_S*_S]iLZJ n}lts]npj Qr(JVXl M7JuipLZJHKH L`QvTwGSIHKH LXnXF:Jx]JuipLZozJuH H LUabS]HmnRl ¼qJuVXSfnƒ ÀPSIiqnPLZJu`]VXlKJV dfjv SIHKH LXnXF lkiplzj:wqsivts*juigagefvz_thmsivxlkizd7sxoqjiÿx]jlxjiqnz_^sirzhklkdfs rqvz`qvj nznzjin oqltsii age]vxjunz_tvzlkxfjv `QvT_QnXFynZ`]MÍM7JLZ`QO S^LZL<x^[IH ÊRSžOQJi wttry`]lzjun nz`]m wqsiv<nrlzefvxnrl<vtwqsiiyn SILRL WzHKl abs]hknzl ¼qJVTS]OcƒŸÆ F]d]`]i nz[]_]jv_toziqnz_s]r J tlmnrlzjuvxs]v<lkiflxj*agefvj`]rqryjuv ozlxsii WqSIVTS LXJ`]VXlKJVknR`fMÍrzVXe^x^S^LTnP`QvTw [Iizito lkiplzjabsihmnrl ¼qJuVXSILXn c`tvtw l OzJLRLTSy_pVXl LZlmnZJVTSIV wysii `QvT_tnXF JuM7rzlKVZlmnZM7Jicƒ <wqs]iqn LZJ`fVZlKJuV<`]M OQJui x]jlzjuiqnr_^s]rzhkl dpsy_poqiqnr_^s]ryjuiqn ozlzx]j vt_th lkizdnz_]juv OQJyJr(`]_tdfe]VTSIiqOQJ*agVXS]M*n}LXJd]JuiËiq[IV nx[ivtnr_tlkh L<x[]HKWYJab[]nRLXSLXJ`fVZlKJV absihmnzl¹¼yjvts]n nz`]m iq[]v OQJuiŸÆ J {LZ`fiqnZ_S~agQnRlK_fJiJVTnX[^LRLTnkSxžOzJiGà l iyn}lxjlkiqnz_szƒ œ lhm[iv lkiplzj:d]juiz`]msilrlkd]e]vts M7lmnXn}LTSId ozlxsiiyd]juiz`]m S^LRLU_f`]iqnRLXSILZJuVXS xplkhk_^s M7lmnXn}LTSId<xtlNwYSIV{d Ê}`]VZLƒ ²{wz`fM*S]n koqwzig }ª ÇfÇ s} _tvzl LZlmnZJVTSIVWqFfOQJ r(`fnzl LZlKxtlKnZM7Ji`QvTw*j`]rzr(JVTn xfjlxjiqnz_^sirqnrs ¼qHK`pnR`]¼:`QvTw7x]JuVZ_^S]V ILXlKH HmnXSIM7M*S]iqncM7JuO:WzHmS]iqO SIiqOQVTS S]_^S^LZ`pn `QvTw7¾zJfJVTSIW(JiqOc flkiz`]m OQJui*x]JLZJuiqnR_^S]rqn}¼YH `pnr`]¼:nz`]m wqs]v oqlxx]juvt_thms^ltnjamlxjvj`frzr(jvuƒ kozwqi*lkiqn}lt[im7m7juvl(m:tvs _fjlm7j OËj`]rzr(JVu \M7JiËM7JuiqSIV:S^LZL:xfJLZJuiqnZ_S]rYJui lkiplzj*oqlxx]j vt_phmsfn rqfgozjl VXSILZlK`]izJuHKH¹L `fvxoqiys]oqjunx[^lzl nr`fmèj`frzryjuv W(JunZ_tVZlKx]JuVƒ _f`]iz_tvxjlts absihkhql}qvt_]juv\wqsii*silrl j`frzryjuvxn ozrzrqs absilrlziql iqdysxžabs]hknzl ¼q_^S^LXl `fiž`tvtwglzx^fy_]`fiflxj tlzjuv: ÑRv`]ipLZJ tl `]aoqlmnxv`^x]juvzfò `QvTwyÑZv`]ipLXJ tl `]aqê}oqnrlzl ¼YvuS^LZlK`fitÒ} lkiplzj SIHKH LZlmO _^SIiSIitx^[IiYOzS]nƒ à LZLPvJuifLXVXS]H LW(JdfVZJurzr~agefV kozwziž[iv!q ^ Z f ^ # ƒ OQJLRLTS l itw(jdfvzlkrqnnzfx^[]h(x^sfo~wqs]i _^SIHKHmSIV~Š Œ # T % KŠ f f ( Z % KŠ m p p ^ T M7J O xtlkhk_]jl:m7jiqsfn:oqlxnxsidf`]v7nr`fm LZlKHKHag`]VXM7Ji HKlK_tiqSIViqS^LXozVZHmS]dfSIVM7JinZ`]M SfvvJrQLXJVTS]noQLXS]iJ tr(jvxlkm7jiplzjuhkhirzvxe^xpiql iqdz ^nr`fm # }štœ Š KŠ) ] š I Z Š % % Y m p p ^ \`fm Luƒ J /ƒfhklkx]jltnwyj nr_^s(juizwzjlu X ] nz`]m WYJ nr_tvxl xfjvlƒ J /ƒpxsfo nz`]m df[]h HKJuVPagefVSILRL JuiËLZJu`]VXl nz_s]hkh\x^sivtsžx]jlxjiqnz_^sirzhklkdil<nzoziqo/ `QvTw p $#'!z $%SxŸL}przs _^SIVTSI_pLT[IVUrqF~agVTSIM7dfF]izdfnZVXl _7rqVZ`fWzHKJM7HKefnZizlKizdzƒ{Ã\izHKlKdIL kozwzignz_]juv OzJLkx]JLXJiqnZ_^SIrzHKlKdfS S]VZW(JLXJL\oziqOzJV nrlzefvxnrlxs LZlmOQJui:lqJiž ( I # % qš f! % '!q b UOzF ag`fvxnz_^sivxiqs age]vxwqfihkhkjv nzlkd `f_tvzl LZlmnZ_pLLZlKHKHQrqS]VXSfOQlKd]M7JL`QvTw:Jux]JuifLXozJHKHmSUM7lmnXnRHKQvT_^SIiqOzJï SILRL\HKefnXS xplmnxnzsprzvx`]wzhkjum []V r(jvtnz`]izhklkdfs*nziqs]vxs]vzj:[iiÿlzjuvt_fjiÿrqfyjlrl nzqn}lxjm agjuh#ƒ PFžOQJL<JamLXJVXwqSIiqOŸozrzrzLZVT[]OQJuV qjuv `QvTw qjv SIiz`fM*SIHKlKJV{nR`fM lkiplzj<_^s]ižage]vx_phms]vxsfn oqrzrqnrlxfiv JM7JHKHKJVZLZlmO7_tVXlmnRJuVUnR`fM abf]v ag`fvxnz_^sivxiqs7s^lzl l agvtfidfsfnz[ilrltsrysivts]oqlkd]m7jlƒu PJLRLTS~HKJ OQJV LZlKHKHNJi Z ^ % b I zš!z b nz`]m VXJunZozH LZJuVXS]VNltJLRLrqS]VXSfOQlKd]M*nZ_pl amlxjiƒc PF SIizwY[IizdpSIVXJ Sx OQJ `fhkl _^S{rqS]VXSfOQlKd]M7Jui SfvvJurQLZJuVXS]V `fh lk_^s*w(jxtlmnrage]vxl iqdfsivu /`]HKlK_S~M7JLX`tOzJVk`QvTwŸ`fH lk_^s7agefvz_thmsivxlkizdfnzm7`qoqjhkh JV¼qiziYn<OQJL Oz`tvT_ lkizdfjiym7eiê}hklkd]wzjl LZlKHKHcVTS^LZlK`fizJHKH L oqlxwtflxj<m7jhkhmsii!oqjmžƒjs]vxsfoqlkd]m7jui~[ivuryf7oqjlpnx[^lzlzjl m ] # zš Q Z %¹ g`]êr[im age]vxwqs]vxsp T ^`QvTw7M*SIi _^SIi7Oz[IVZage]V l iplxj{lxsihms `]M x]jlzjuiqnr_^s]ryjuvziqsfn VTS^LXl `fizjhkhms agvtsim*nrlzjd:jhkhkjve^x]juvzwtozxtoqoqlxsidfjliq[ivxm*siiqozjulzlkhkhcjižnzh ozlzhklkdnxsiizizlkizdqƒ {9:3; c34 9:3;5<2A57>? j\lms]d]jlnr_tlkhmoqj\m7jhkhmsii7 $#!/ m KŠ Š X b I z!yš q ] #'!( m KŠ) : Š X b I P`QvTw* Z y Š Z b I l\_]`fiqnrlzvxoz_plzlk`]igsx_toziynr_^sir(jv JuHKH JuVP_f`]dfizl LZlKx^S*n}LXVZoq_fLXozVXJVuƒ7ˆ Juiz`]M JuM7rzlKVZlmnZ_ SIWqnRLZVTSI_pLXl `fi<nr_^s]rqs]n_toziqnz_s]ryjuv bnz`]m [IVlKipLZJVXiqSwq`fnnRoqWQÊ}J_pLZJLT NagVXF]ï Jud]Jizs nz_^sir(jvwq`fnn`fwqê}j_pl #nr`fm lkiplzj iqetozx[]iqoqlkdilxxtlkn/m*ffn}lxj x^sivts{agqnrlmnz_sp Tƒˆ Juiz`]M OQJLRLXSU_S]i M*S]ižOzVXS7nZHKoQLXnXS^LXJV`]M JdfJiqnZ_^SIr(JV nz`]m ab[ivxdz zag`fvzm `QvTwyxtlK_pL (M7Již`QvT_tnXF OQVTS7nRHKoQLZs nxs^ltnrjuv`fmès]h HKM*[]iziqS{JdfJiqnZ_^SIr(JV `QvTw:dfFPagVXF]i:nZr(Juvl ¼q_^SPLZlKHKHtd]JuizJVXJHKHmSW(JunZ_pVXlKxtizlKizdfS]Vƒ J$qJ_pLZlKx<S]Wqn}LXVXS]_pLZlK`]i<lKiziqJwqF]H HKJuVNJi:rzVXÌÊ}J_pLXl `fi<rqf Ji:wzefd]VXJ izlkx^f Sx _poqiqnr_^s]ryjuv nz`]m lkizwq[]m LTS^LXn Y`QvTwJuiM7JipLTSIHVXJ YJ_pLZlK`]inZ`]M VXJ_f`]iqnRLZVXozJVTSIV`QvTw`fM7`]VXdfS]izlmnRJuVXS]V _toziqnz_^sir(jï nz`]m e^x]juvragefvrltn(lzlkhkhfoqjuiziqswqe]d]vxj nrlzvxoz_plzozvuƒ # J qju_plzlk`]i wqs]vs]h H LTnZFltOQJiziYS 70

74 _f`]iplzj tluwyjl}tozjhmnrjui ÑRM7JipLTSIHce^x]JuVZx^[]d]izlKizdIÒ`QvTwylKifLXJ ÑRnZr(Jd]HKlKizdIÒxtlKHK_]JL`QvT_QnZF nz_tozhkh J _toziqiqsux^sivtsujui<m7eiê}hklkdlz`fh _tizlkizdqƒ» koziynr_^sir(jï _S]i<d]Juiz`]M OQJLRLTS S]nXnZ`tvlKJVTS]n/M7JuOk`QvTw VXJHmSILZJVTS]n\LZlKHKHzLXlKOzl dpsivxju_toziqnz_^sirc Q`QvTw~OQJuiziqS:`]M7`fVZdpSIizlmnXS^LZlKÌï LZlKHKHmF^LZJuV\Ji ] I zš p ( Z % KŠ m p žsx OQJi rzvz`]ê}lmvjvts]ozj_toziqnz_^sir(jiëagefvsilrllkiplzjud]vxjvtsžoqji ljlzl:oqjuhkxplmn itplrl*nrlzefvzvxj!nzqn}lxjmžƒëã LRL7J tjum7ryjuh[iv S^LRL:agozHKHmn}LT[IiqOzl d]l `]VTOQiqSGJiÏnZS]M7H lkizdž`fwqê}j_pl dfjiz`fm S^LZL ÊR[IM agefvxs:oqjm rqsivxxtlkn tlzvxjk`tvtw!lzvxj `zƒ»nƒ x(ƒ WqHKS]iqO nz_tlkh Ê}JuV!j lks]d]jly`qvt_qnzf oqlrqnzjoyoq`tjm7rzlkvxlknz_ SIWqnRLZVTSI_pLZlK`fic PnZ`]MJLRLM7JH s HmS]iqn}LXJdžM7JHKHmSIiOzJ LZx^Fže^xtVZlKdfSz NOzFnRoqWQÊ}J_pLZJL OQVTSIV<nZH ozlxnxs^lxnzjvk`fmì`]wqê}ju_pl nr`fmìxtlknrs nzjvxhklkd]jim7eiê}hklkd]d Ê}`]VZLXnSẍ wysiiqoqhklkizdpsivrqf `fwqê}j_plzjuic fm7jui7lkiflxjvzj$qj_plxjvtsiv e^x]juv wqsiiyots HKlKizdpSIVXiqSPnZ`]M nxf]ozs]iqsqƒã LRLJ QJM7r(JH([IV SILRL wzl LZLXS Jui7JipL}QOQlKd _f`]vxvzj nrr(`]iyoqjiqnm7juhkhks]i `fwqê}j_plxjižl/lzx^f M*[IiqdfOQJuVdfJiz`fMÉS^LZLUHK[]d]dpS age]vxjm*f]hkji7lclxxf VTS]OzJV{oziqOQJuVx^SIVTSIiqOQVTSQƒ PJiqiqS!q Z *WzlKHmOŸSx_toziYnR_^SIr `QvTw LX[]iz_^SIiqOQJ7x^S]V vjuiflxvxs]h age]v j lks]d]jl `QvTw lkiz_thkoqoqjuvxs]v l iplxjwqsivts OQlKVZJu_fLTS wqsiiqozh lkizdpsivu nz`]m rqfx]juvz_^siv `fwqê}j_pl~juh HKJuVagefVX[]iqOQVTSIV LXlKH HmnRLXF]iqO/ toqlxs]iy`qvt_qnxf M7JuifLTSIHmS<`frYJuVXSILZlK`]iqJVuƒ ²ỳJ QrzVZJ nznplxwzj*nzs]m7jlmoqj S~lKi n}lxlkh H S]izÌLXwzJV {SI N PLZwzlKiz_LZwqSILkwtozM*S]i _tiz`^ HKJuOQdfJUlmn J nznzjiplxlks]hkh S]v LXlKx]JIƒ ²`_tiz`^ lmn LZ` S]nXnRlKM7lKHmS^LXJ VXJuS]H l L}:lKifLX` nztnrlzjum*nìa/lzvtsiiyn}ag`fvzm*silzlk`]iqnƒ²` _piq`^ lmnlx` LZVTSIiqnRag`]VXM VXJuS]HKl¹L}klKi7`]VTOQJuV LZ` oziyoqjvtn}ltsiiqoywz`^ S vjvzlxs]lki!nrlxs^lxjklknwzvx`]oqd]wplusiw(`]oqluƒ gj\lmsidfjlkªu j lks]d]jlxn WzlKHmO:Sẍ wtozv\xtlynz_^s csiv\`pnzn\_poqiqnr_^s]rc f`qvtw7s^lzl xtlqm*f]nrlzjunrlzoyoqjvts OQJUrzVX`QvJ nznzjv nz`]mé[]v lkitx]`fhkx]jvts]ozjoz[]vzl& Qn}LTFIV{SIHKH LXnXFklcn}LTSIVX_M7`]LXnXS^LXn LZlKHKHqW(JwYSxplK`fVZlmnZM7Jï oqiqoqjv s `QvTw s&lxs]hkji absi_plxlknz_pllqnxf]ozs]ï dfvxsfo<s^lzloqjllz`]d qjuvxspfivzlzlk`]iqozjikage]vj\lms]d]jltns]vzw(jlxji SILRLUWzHKlce^xfJVTnZSILRLXS<LZlKHKH/JizdfJHmnR_^Szƒ EGSIizlKrzozHmSILZlK`]izJuV Sx7`]WzÊ}J_pL_^S]i!dfJP`pnZn_toziqnZ_^SIr(JV{`]M½x^[IVXHmOQJiN tm7jui~lmnrlx[ihkhkjl agefv ryf7`]wqê}ju_plzjlp_s]ixtl`qvt_qnzfag`]_toqnzjvts rqf M*S]izlKrzozHmS^LXl `fizjiÿ gjhkhkjvm7juvusihkhkm*[iiziys<wqs]iqs OzH lkizdpsiv /nr`fm nzffozsii<`qvtw<lkiplzj rqf OzJï xfjvx_^sii<oqjuï wqs]vƒ J qju_plzlkx SIWqnRLZVTSI_pLZlK`fi Wttd]dfJV S]HKH¹LTnZF<l iplxjprqfjiynr_tlkhmozs wqs]iqoqhklkizdfs]v\oqlxs]i!ryf*š #7 ^ X ^ q m t ksx7wqsiiyoqhkl iqdfsivp grqf:jiqd]jh s nz_^s:ñrd]juizjvtsihv`t`]vtoqlkiqsilzlk`]iyìa Sfv LXl `fiqn}òkxtlkhk_]jlpvzjagjvxjvtsivlxl HKHSIHKHmS7SIHKHKM*[IiziqS nx[^lzlksilrl nz_^sirqs itfs<wysiiqoqhklkizdpsiv d]juiz`]m½silrl _f`]m:wzlkizjvtsksiiqozvxsp `QvTw~[IVJi*agozHKHKnRLX[]iqOQlKdIL\lKipLZJuVZi rqvz`qvj nznƒuj\lmsidfjlum7juiqs]oqj<silrlpozjiziqs!nzs]m7`]vtoqizlkizd:`qvtwy_f`t`]vtoqlkizjvxlkizd:sx!wqsiiyoqhkl iqdfsiv []V nbêr[ihkx^s WqSfnRJuiage]V HK`]d]lmnZ_pLLT[Iiz_^S]iqOQJI /`QvTwGS^LZLPVXeILZLZJVXiqS LXlKH HOQJLknRJuiqSIVXJ S]H H LTnZF lkiplzj JuiqOzSfn}L _^S]i wql¹lzlxsfn l nzrzvxf]_th lkdps*_]`fiqnrlzvxoz_plzlk`]izjuvƒ~hf[im agefv dp[ivxiqsžoqj7lxvzj L}tr(JVXiqSSx S]WqnRLZVTSI_pLZlK`]ižM7J O!lKipLZVTS^sX qlkiplzjuvrs `QvTwžLXVXS]iqn}abSfnRJuiizJuOqSIic /`QvTwwpoqVPOQJLRLXS![IVUVXJHmSILZJVTS^L LXlKH HqÑ}LZVTSIiYn}ag`fVZM*SILZlK`]izJuV}ÒTƒ P`]iYn}LXVZoz_pLXl `fizjvxiqsÿnr`fm nz_]jv~d]jiq`]mðvxj YJ_pLZlKx S]Wqn}LXVXS]_pLZlK`]iÏ_^SIi x^sivtsësx qjuvxs `fhkl _^SËnZHmSIdzƒÈˆ Juiz`]M S]ipx^[]iqOzSIiYOQJL!Sx nzpm:w(`]hkjvu {nzrzvtfi_ï`qvtwîm7jiplxs]hmsÿwql HmOQJuV*_^SIi agjuiz`]m7juiÿ m ( % KŠ X Š grqf:jiqd]jhmnz_^s ÑRlKifLXJVXlK`]VXl µ S^LXl `]itò} agefvus^lrlunz_^sirqs:lkiplzjvxiqsrzvxìs vjunxnrjuvnz`]m d]juv<m7jiql iqdf^l:ozjloqrzrqabs^lzlxsfoqjiƒ Å amlxsm*ffn}lxj7lzx^fgjhkhkjv qjuvrzvx`qvj nznzjv f ^ Z I m ( Z Škage]VS^LRL:nR_^SIrYS!JuiËitIƒ!à i SxGOQJ*xtlK_pLZlKdfSfn}LXJ _]`fiqnrlzvxoz_plzlk`]izjuvziys~[ivoqji nz`]mnz_]juv M7JuOzJHmn}L f!(š %¹ m t :M7JuOžxtlKHK_]JLUM7JuiqS]n `]M:x^SIiqOQHKlKizd Sx!JuiGOQtiqS]M7lKnZ_ rqvz`qvj nzn LZlKHKHJLRLnRLXSILZlmnZ_fL `fwqê}j_plƒž JuiziqSrqVZ`QvJ nzn []V xtl _plxl dyl nztizizjuvzwzjl<l\m*s^lxjm s SILZlK_( `QvTw ÌamLTSx^[IHmOQlKdILkL}QOQHKlKdzƒžEozH LZlKrzHKlK_^S^LZlK`finR_^SIrYS]nkagVTFIi SfOzOQl LZlK`]iN M7JiËiq[]V<xtl []V x^siiqs!xtlkogwyjud]vxjrzr(jl `QvTw nz[]_pvts*ryfysilrl M:ozH LZlKrzHKlmvJVTS:WYJuwze^x]JuVkxpl lkiplzj:hm[iizdfvzjdff OzJižx^[Id]Jui~agefVUS^LZLUoQLRagefVXS OQJLƒ LRLUdpFagVXF]iyOQJuiyOzJ¼qizl LTSlKipLZJud]VTSIHKJi LXlKH H/JuiylKipLZJud]VTSIH M7J Ox^SIVXlmSIW(JHe^xtVXJ<d]VT[IiYn nz`]m _^SIiozrqrQabS^LZLXS]nknZ`]M Jiagoziz_pLZlK`]iŸnR`fM l nzlkižlzozvk_^sii OzJVXl xfjvts]nu[]vp`qvt_qnxf7jlzl J tjum7ryjuhryf*jiq_s]rqnzozhkjvxl iqdzƒ QvTwqJM*SIi_^S]iŸnZH ozlzhklkd]jiy`qvt_qnzf p ( Z % KŠ Z Šage]V S^LZL S]rzrzHKlmvJVTS]nkrYF qjuv agjuiz`]m7jui [Ii LZlmOQlKdfS]VZJ]ƒ QFŸ_^SIiËLuƒ J (ƒ\sfots Ozl¹LXlK`]iqnXnZvTwqJM*S^L{d]JuizJVTSIHKlmnZJVTS]n age]vks^lrl SIrzrzHKlmvJuVXSfn[x]JuiyrYF~SxtWzlKHmOQizlKizdfS]V JuHKH JuVU[Iizito M7JuV d]jiqjvxjhkh L l{ji SIHKHKM*[Ii d]vxozrzrcƒîåpwqê}j_plxjl rqfgxtlkhk_]jlm*sii SIitx^[IiqOQJuV7OQJL7d]JuiQs JuVXS]HKlKnZJVTS]OzJnXvTwzJM*SIL age]vt[iiqoqvts]nk`qvt_qnxf!ryfm7ìltnrx^sivtsiiyoqj:nx[^lzl<age]v:s^lzly ŠTŠ # % Z ^Š<l 71

75 OQJLdfJizJuVXS]HKlKnZJVTS]OzJnXvTwzJM*SILƒ\ plzvxlk_plnzjlrlnxf nz_plkhmoqjuj lks]d]jl rqf<lzvxj nz`]vzlzjuvxn d]jiqjvtsihklmn}s JuVZlKizdpSIVu zš b ^ / % % f #'! %¹ # Z ^ / ] `tvtw f ^ qš UdfJizJuVXS]HKlKnZJVXlKizdzƒ JLUage]VTn}LTS S]ipx^[]iqOzn age]v Jiz_tHmS*dfJizJuVXS]H lmnzjvxlkizdfs]v nz`]m agvtfiigsilrlkdff7agvtfiižñ}iyfid]vtsòklzlkhkhcñrs]h HmS^Ò l S^LZL wzl LZLXS<S]H HKM*[]iziqSUJud]JuiqnR_^S]rYJuV pm7ji7oqltsii7`]mlz`fhk_piql iqdfsivuƒn JLnZlmn}LTS SIitx^[IiqOzn iq[iv M*SIi dfjiz`fm VXJ qju_plzlkxys]wqnrlzvtsi_plzlk`]iž_^siiÿnr_^sirys*itfs*nxsim7m*s]izwqs]izd7nzf*silrlkhmsidfs]v`qvtwgnzs]m s WqS]iqOŸ_S]iGabFyitfS~WYJL}QOQJHmnZJVuƒÃ LZL<J QJM7r(JHrqFy_]`fM7rzHKJLZLZJVTSIiYOQJ<d]JuizJVTSIHKlmnZJVXl iqd:[]v wtozv ryjuvzlk`qoqlmnz_s7nzqn}lxjm7jl (agvxf]iÿs^lzlpwqs!x^sivxl L JiŸrzVXS]_pLZlmnR_!_^S^LXS]HK`]dz (wqsivksiitx^[iipltnuagefv itfsozrzrzlx[]vt_plxjvd]juiz`]m S^LRLagefVZozLXnX[IdfS J Qlmn}LXJiqnZJižSx7itfS:d]VXoziqOq[IM7izJuicƒ PJLU[IV{xtlK_fLXlKdIL SILRLF^LZJuVZlKdfJi7iz`]LZJVTS:OQJi!`]r(JVTS^LZlKx^S<SfnRr(J_pLZJui!Sx*OQJLRLTSQ ÑR¾qVZ`fMÉS rqnzqvtwz`]hk`fd]lmvs]hfr(jvtnrr(juvlzlkx]j] psfnznzlkm7l HmSILZlK`]i lmn `frzry`pnrj O:LZ`:S]nXnR`QvlmSILZlK`]ic I wqlkvtw lmn LTSI_fJi SfnUS*nZl M7rqH J VXJHmS^LXl `fi!`]a\nrlkm7lkhmsivxl¹l}`]v v`]iplzlkdfozl L}7WYJL} JuJi`fWQÊ}JuvLXn{LXwqS^LkSIVXJ `]VU lkhkh W(Juv`]M7J _tiz`^ icƒ Ò bj\lmsid]jlpsiiyogˆksivtvlmsq ªu ]«f Qƒ ~ PJ<ag`fVRLTnZ[ILRLXJVu ÑZ¾zVX`]M LZwzJrY`flKifLPÌa xtlkj ÌaUnXvlKJiqvJI nroyvtw S]nXnR`QvlmSILZlK`]izlmnRL JM7r(JVXlmvlmnZMÌlmn<vTwqSIVTS]vLZJuVZlmnRLZlmv<`]a{r(`fnZl LZlKxtlmnRMž wzlmvtw {SIipLLX` VXJuOQoYvJ nxvlkjuiqvj LX` SPnRJuVZlKJ ncìanº abs]vlxn ¹ºI wqlkvtw<s]vzj ¼qVTn}LM7JVXJHK VXJuv`]VTOQJuO S]iqOLXwzJiËOQJ nzvvzlkw(juogwpgm7jusiiyn `]asyrzozvxj HKS]izd]oYSId]J:v`fiqn}LXl LZoQLXJuOWtGSžnZtifLTS^ GS]iqO SnZJM*S]ipLZlmvnknZoqvTw S]nkLXwqS^L OQJxfJHK`]r(JuOŸlKiËHK`]d]lmv:SIiqO M*SILZwzJuM*S^LXlKvunƒ Ò kvzl LZlK_fJiGM7`]L r(`fnzl LZlKxtlKnZM7Ji []V L}QOQHKl dqƒîj\lmsidfjl7`qvtw ˆkS]VXvlmS]n:n}LTFIiqOQrqoziz_pL UxtlKHK_]JL7[IV7_^S]VXS]_fLT[IVXlmn}s LXlKnZ_pLage]V\dfJizJLZlmnR_ JrzlmnRLZlKM7`]HK`]dfl& u[iv\silrl _toziqnz_^sirc fizeqoqx^[iiqoqlkdfwzjl\`qvtwpê}oqn}lxl ¼q_^S^LZlK`fi:[]V _f`]iqnrlzvxoz_plzlkx^s LXl HKHcnZl iyiqsilzozvuƒ nxnzl M7lKHmS^LXlK`]i!age]VXoQLXnX[^LZLZJV S]H H LTnZF~JLRL nzozwqê}ju_plƒ7 JLRLXS[]Vkiq[IVTS~VXJHmSILZJVTS^LPLZlKHKHwpoqV j\lms]d]jl*`qvtwîˆksivtvlmsÿlz`fhk_s]v7wyjud]vxjrzr(jl Ñ abs]_flxozm:ò gagqnrlk_^sihklmnr_plu JM7rql VXlmnR_pL:JHKHKJV*SIizs iqsilt ƒ\œ\siv#ê}jp`fwqnrjuvzxfjvxwqsivzl agjuiz`]m7jui*agefvzoqltnz[ilrlxjv{x^sivtnrjuwzhkl xtizlkizdk`qvtwyjižsxphm[fnrizlkizd<sx OQJL nz`]mènz_^sihkhz`fwqnrjuvzxfjvts]nƒã amlxjvtnr`fm x^sivtnrjuwzhklkxpiql iqd]jingêr[]h x:[iv oziyoqjvtn}lt[ihkhmö M7JuipLXSIHmS nxvtwzjm*s]ioqltsii xplkhk_^s*xtl lkiplzj:_s]igagefvxnrlxf!x^fiv `fm7d]lkxtizlkizd g`qvtw OQJLZLXSž[IVkJLZL<rqnZp_f`]H s `fd]lmnr_plpabsi_plzozm~ [IV<OQJL ÌagVTFIiz_f`]M7HKlKdILUS^LZL OzJL<nR_fJVkJiŸLZ`fHK_piql iqdzƒ à LZLPÑ abs]_plzozm:ò[]v JuiGozizlK`fiŸSxOQJL lkizizjuwqfihkhnr`fmj tlzvtsiwqjvts]nagvtfiiÿ`]wqê}ju_plzjl `QvTwŸOzJiag`fVZM nr`fmìnrozwzs Ê}Ju_fLXJL~S]ipx^[]iqOQJV7nZ`]M iqetozx[]iqoqlkdil7lkiqnrlzvxozm7jipl:luvzjud]lmnrlzvxjvxl iqd]jinƒ J nznxs nzvtwzjum*sii nz`]m SIitx^[IiqOzn<_S]iËiqS^LXozVXH lkd]lzxtlmn x^sivtssxgm7juv JHKHKJV M7lKiqOQVXJ7SIHKHKM*[IipLP`QvTw `]WzÊ}J_pLZlKxpL nzhmsidz zxtlkhk_]jldfjvoqlxvztm7m7j age]vujuiž_px^s]iflxl LXS^LXlKxSx^SIVXlmS^LZlK`fizJVu pm7juiž_px^s]h l LTS^LZlKxpL[]V OQJL Jui OQlmnRLZlKiz_pLZlK`finR`fMÌM*F]nRLZJ:d]efVXSfnƒ PJLZLXSnRLXF]VkS]HKH¹LTnZF*l\M7ÌLTnZSILXn LZlKHKHVXJiŸJM7rzlKVXlmnRMž JamLZJVTnZ`]M _poqiqnr_^s]ryjuvs]h H LTnZF lkiplzjp[]v OQlKVXJ_pL SxtHm[]nRLXS `QvTw*_]`frzlKJVTS]OQJ] ]oqltsii*jui!nrlx[iiyoqlkdil dfjizjuvzjuvxsfo*n}lxvzoq_flxozvlnjuiyoqizlk`]i~m7juhkhks]i*`]wzê}j_pl`tvtwžnzozwqê}j_pluƒ 33É9<5<2~9 43 U@ D ;9 <D; N9:3 34 7>9 à LZL*J QJM7r(JHnZ`]M VXJagJuVZJuVXSfn SxËj\lmSIdfJL `QvTwψkSIVTvlmS[]V WqSIVXizJLTnage]VTn}LTFIJHmnZJ~Sx OQJL agqnzl _^S]H lmnz_^sgw(jdfvzjurzryjl~lxvzqvt_(ƒè *OQJŸtizdfnRLXS F]HmOQVXS]VZiYSŸoqrzrQabS^LZLXS]V!WqS]VZi J Qlmn}LXJiqnZJi SxžLXVZQvT_JiYOzS]nRL l\oqj J QJM7r(JH OzFyOQJ:agQnRlmnZ_fLk_^SIi `]WqnZJVXx]JuVXS*Ji VZJ SI_pLZlK`]iN cnz`]m OzF Jui nrlxf]hmvthkl iyoqjvphk[]m7iqsiv JLZLSxpLZVXQvT_l\MkÊ}oz_M7`pnZnXSQƒ*ÆUeQOQx^[]iqOQlKdfSy`QvTwGLXlKH HKVT[]vT_tHKlKdfS xtlkhkh _f`]v age]vks^lzl OQJLRLXS!nR_^S]H Hwq[IiYOzS~[]VUage]VPWqSIVXizJL{ÑRwqFIVTOQwzJLZJiQÒ wq`fn OzJL nr`fm LXVZQvT_]JuV #SId]JuipLZJi( `QvTw:ÑRMkÊ}oz_twzJLXJitÒ wq`fnoqjlusiiyoqvxs<age]vxjm*f]h JL gvxjus]d]jiplxjiy ƒ PJiziYS rzvxlkiqvlkr _thm[]ozn iqs^lxozvxh lkd]lzxtlmn lkiplzjl`fvxoc /ozlz`]m M7e]Ê}H lkdfjiylozjl abs]hkhozf~wqf]oqs*`]wzê}j_plzjuig[ivph lk_^s #nr`fm OqFGnRLXFIH LZVXQvT_]JuV rqfÿn}ltfihg Tƒ <OQJžnRJuiqSIVXJ7abSIHKHKJi LXVZ`fV WqS]VZiqJL:Oz`tvT_ËSILRLx^S]VZ_fJi LXVZQvT_*JuH HKJuVÑRM7ÌLTn}LTFIiqOpÒPS]HKHKn age]vxj_f`]m7m7juvƒ x]ji:lqoqjuiziqsplzlmoqlkdps FIHmOQJuVwYSIVWqSIVXizJLJuioqrzrQabS^LZLZizlKizdk`fM S^LZL\JLRLL}tizdfVZJ{`]WzÊ}J_pL _f`]m7m7jv S^LRL{Hm[IM7iqSkJLRLOÊ}ozrqS]VZJkSxpLZVXQvT_l/M7`fnXnXSIic pm7ji*oqltsiiys^lrl[iiqipo~_poqiziqs ag`]vzs M:ozHKJVTSOQJLuƒ iflxj agefvzvt[iilqfihmoqjvxi agjum LZlKHKHpnbÊ}o:`tvTwJLZL\wqSIHKxpLF]VW(e]V#ÊRSIVOQJS^LZL d]vts]oqjuvxs `QvTw7_tx^SIipLZl ¼qJuVXSPJ /J_pLZJuic QnR`fM SILRL nrlxf]hkvth lkiqozjvxi LZVXQvT_]JVÑ}M:QvT_]JLwqF]VRLRÒrYFkM7`fnXnZS]ic ÑRM7lKiqOQVXJ!wqF]VRLRÒyrqF JLRL~nRL}QvT_]JnR_tozM7rqHKSfn}L `QvTw Ñ}HKl LZJyd]VTSIiziQÒ!rqF Ji LXoziziÏLZVT[]nZ_tlKxSzƒ 72

76 PJiqiqSËd]VTS]OzJVXl iqdz \d]juiz`]mðvzj$qj_plzlkx S]WqnRLZVTSI_pLZlK`]iN d]efv OzJL~JuM7JHKHKJVZLZlmO M7eIÊ}HKlKdIL<agefV WYSIVXizJLS^LZLagefVXnRLXF:S^LZL{OzJLM7lKiqn}LTS LXVZQvT_]JL abs]_flxlmnr_pl{_s]i~x^sivts<r(`fnzl LZlKxpL `QvTw~lKipLZJ iz`fh H&ƒ PJiGiqS^LXozVZHKlKdfS d]juizjvtsihklmnrjuvzlkizdfji7nz`]méagefh Ê}JV []V S^LZL x^siv#ê}j `]WQÊ}Ju_fL []d]juvunrlkižiqs^lxozvxh lkdps ÑRMkÊ}oz_twzJL}Ò JHKHKJVÑ}wqF]VXOzwzJLRÒX tm7ji~ozjp`fwqnrjuvzxfjvts]oqjx^s]vzlms^lxlk`]izjuvziqspagefvz_thmsivts]nwqs]vxs nr`fm _f`]m:wzlkiqs^lxlk`]izjuv Sx*VXJuSIdfJipLZJuVSx~`]HKlK_S MkÊ}oz_twzJL`QvTwžSId]JuipLZJVSx*`fHKl _^S xplk_plƒ ¾efVSILRL{age]VTn}LTF LXVZQvT_ M*F]nRLZJPM*SIi*JuM7JHKHKJVZLZlmÖ Wql HmOzS nrlkd Jui~ozrqrQabS^LZLZizlKizd Sx<Ñ}M7`]LRs _tvts^amlrò JuH HKJuVPM7`]LXnRLXFIiYO/ƒy t`fmíxtl\wqs]v nrjlrl<wzhms]iqozs]nkoqjlrltsžage]vtn}l lkwz`fr M7J OGMkÊ}oq_pwqJL `QvTwÏwqFIVTOQwzJL nzf S^LZL~OQJL*[]V7Ji n}lts^lzlmnz_ëjdfjiqnz_^sir nz`]mðxs]vzlkjuvxs]v<agvtfiiïvzj SId]JuipL LZlKHKH VXJuS]d]JuifLuƒ Æ [IV~WqSIVXizJL!WYefVbÊRS]V*d]VTS]OQJuVXS OQJL!`fWqnRJuVZxfJVTS]OQJyM7ÌLTn}LTFIiqOzJL*`QvTwÎnRJuV!SILRL OzJLkxS]VZlKJuVXS]V`tvT_QnXF7M7JuOGSId]JuipLZJinZ_]JuV JuiGrzVX`QvJunXnUdfJiz`fM VZJ$qJ_pLZlKxžSIWqnRLZVTSI_pLXl `fiynxf SILRL7OQJLZLXSžÑ}M7`]LXnRLXF]iqOpÒ*WYefVbÊRS]VoqrzrQabS^LZLXSfn:nZ`]M Jui bnzjm7l s} Jud]JiYnR_^SIrNƒ OQJLZLXS nrlxsfoqlkozmðoqrzrqabs^lzlxsfn*oq`qvt_ VXJHmS^LXlK`]izJui nr`fmðlkitx]juvxn O/ƒ x(ƒ n~s^lrl!jlrlyn}ltsivx_fl LXVZQvT_ wqe]v nxsim7m*s]i M7J O nzx^sidil7m7`]lxnrlxfiiyo `QvTw xtlkvj!xfjvtnzş # VTSQ ngê}o F]V*`QvTw JuH x^s M*FIiYS]OQJuV W(JunZ_tVZlKxfJV\OQJLnZ`]M S^LRL Ñ}M7`pnZnXSIi:wqF]H HKJuVJuM7ÌL M7lKiqOzVZJ{`]M xtlk_flxji*[]v L}tizd]VXJJamLXJVTnR`fM OzJižd]efVJLRLPO^Ê}ozrqSIVXJkwqFIH¹ÒR Tƒ PJLk[IVUlKipLZJkagefVZVT[IižlFIHmOQJuVZi!LZlK` LZlKHKHNJuH x^s7f]v nr`fm WYSIVXizJLUdfJiz`fMpLRLXJVXHKl dpsivxjps]wqs nrlzvtsi_plxl `fiž_s]ižagvzlkdfe]vtsnzlkd agvxf]iwyjuvz`tjiyoqjlpsxžoqlkvxj_plu`]wqnzjvxx]juvzwysivts W(JxtlmnrqF LXVZQvT_ps x^s]vzlms^lxlk`]izjuvn`qvtẅ W(e]V#ÊRSIVage]VTn}LTF OQJuM nr`fm nrtm7m7jlxvzlmnz_^s{wq[iiqozjhmnrjuv #¾zV LXl ` FIV`QvTw<agJM M*F]iqS]OzJVu ÑR PJiGLZVXQvT_]JV wqf]vxozs]vzjnzf!m7`fnxnzs]im*f]nrlzj:n}ltf~jum7ìlkm7jvrò} /M7JuipLRLXJVXH l s dpsivxj<n}lxjd*filzjvtnrlxfivuƒ¾efvxnrlum*f]nrlzj OQJuinRJuM7lKS]_pLZlKx^S<rzVX`QvJunXnZJiS^LZLÑ}M7`]LXnRLXF^ÒPJVTnZ[ILRLTS]n SxOQJLkS]_pLZlKx^S lsilrlñ}vxjr(jhkhkjvtsòt YO/ƒ x(ƒ n age]v WqSIVXizJLPS^LZLÑ}LZVXQvT_S*ozrzrqFIL}ÒnZ`]M JLZLknZx^SIV ryf LZVXQvT_]JL7agVTFIiÎS]d]JuifLXJicƒ ÆP[]nRLXSËnRLZJd [IV~SILRL~dfJizJuVXS]H lmnzjvtsgoqjlrlts LZlKHKH OQJabS]HKH OzF LXVZQvT_fJL lkiplzj<[]v OQlKVZJu_pLU`]WqnZJVXx]JuVZWqS]VRLu z`qvtwnrhkoqlxh lkdfji~lnzlknrlxs:wqs]iqos^lzl agefvxnrlxf7silrlpoqjl M7J O izeqoqx^[iiqozl dfwzjl M*F]nRLZJx^SIVTS HKlK_pwqJL\M7JHKHmSIiwq[IiYOQJHmnZJ`tvTw7VXJuS]_pLZlK`]ic po/ƒ x(ƒ»n M7JuHKHKS]i LXVZQvT_`tvTw7M7`]LRLXVZQvT_( IJamLXJVTnR`fMÈM*S]i:S]iziqSIVTn\nZ_tozHKH J{nX[^LRLTS OQJLJiqSk`fWQÊ}J_pLXJL lyvzefvzjuhknzjiƒ PJiqiqS:age]VTn}LTFIJuHKnZJ iyf]n{lkiplzj age]vxvx[]i~lf]hmoqjvxi~juh x^s LZlKHKH/LZ`fH x*f]vƒ\ PJ<nRlmnRLXS LZVXJ<n}LXJdfJiž[IV L}QOQHKlKdfS:J tjum7ryjuhnrqf f ^ qš ^ : f ( Z % KŠ m p p ^ PnR`fM nz_]juvrqf7jiwqe]d]vxj izlkx^f7[ii Ozl VXJ_pLTSJuM7rzlKVZlmnZ_^S<`]WYnRJuVZx^S^LXlK`]izJuVƒ j\lmsidfjlusiiysihkqnrjuvxsfoqj qjuvxs7s]iqoqvts:_]`]iyn}lxvzoz_plxl `fizjv ryf H lk_tiqs]iqoqjpnx[^lzlƒ PozWzlKiqnZ_tl }ªu f zª S]iqSIHKQnRJuVXS]VUrqFyJLZL agvxs]m7dff]izdfnzvzlk_plunz[ilrl qjuvxs!m7jv Sx^SIiqvJVTS]OQJ M*SILZJuM*S^LZlmnZ_^S nxvtwzjum*siic tnr`fm M*SILZJuM*S^LZlmnZ_ lkiqoqoz_plzlk`fic frzvxjuozl _^SILZHK`]dfl _ `QvTw7agoqiz_pLZlK`]iqnRs W(JdfVZJurzr(JLƒŸœ\SIV `QvTwËJui nr`fm wysiv<agefvxnze]_pl<hm[ivtsyoqllkiqozoz_plzlk`]i wqs]v<abf^lzljlrl L}QOQHKlKdIL J QJM7r(JHNrqF nz_tl HKHKiqSfOQJi*M7JuHKHKS]i7M*S^LXJM*S^LXlmnR_ `QvTw!_f`]dfizl LZlKx7nRx^FIVXlKd]wzJLƒ\¾e]VUOQJ YJunRLXS nrlzoyoqjiplzjuv HKl dfd]juvoqjui:nrlzefvxnrlxs nrx^f]vzlkd]wqjlzjui<lqsilrlage]vtn}ltf `QvTw:WYJuxtlKnXS ngêr[]h x^s l iyoqoz_plzlk`]iyn}s nrlzjud]jl /M7J OzSIiOzJLkVZJuifL M*S^LXJM*S^LXlmnR_pLlKifLXJ ¼qiziYn iqfis df`]iynrx^fivxlkd]wzjl wq[]v tl}7wqs]v M*S]i7age]VTn}LTF^LZL agefvxnrlxf]v M*S]i*`QvT_tnXF Tƒ P`]dfizl LZlKxpL _tvt[x]juvozjlrlts<oq`qvt_ Jui7Jiz_^S]rqnRoqH JuVZlKizd Sẍ W(JdfVZJurzrYJL\lKM7rzHKl _^SILZlK`]i `QvTw Ji d]juizjvtsihklmnzjvzs lkizd*sx~agoziz_plzlk`fiqnrw(jdfvzjurzr(jl nxf7s^lrlpjižagoziz_plxl `fiž_s]id]j Juil M7rqH lk_^s^lxlk`]i*nz`]m x^[]vxoqj] nxsiml\ji~l iplxjvxiqsihklmnrjuvzlkizdpsẍ rzvx`qvjunxnzji*s^lzl\agvtfii7ji~rzvz`fry`pnrl LXl `fiqnzx[]vxo<agoziz_plzlk`fi nz_^sirqs:juiylkm7rzhklk_^s^lxl `fiqnzx[]vxö agoziz_plxl `fi Tƒ 2 3; N9 ž; c3 U@C5<D5 <;Ë57>? 329?y; N35 4; LZL:nRLZoqOzJVTSžJLRL:nRQnRLZJM Sx_toziqnZ_^SIrËlnRlKiËnRHKoQLXHKl dpsq cjltsiwzhkjuvxsfoqj:ag`]vxm [IV<agVXF]i OQJi rynrt_]`fd]juizjlxlknz_^s oqlzdpfiizdpnrrqoziz_plzjuiîx^sivx_]ji agvxoz_plzwysivzl!jhkhkjv!lkiflxvzj nznxsiipluƒè JuHmn~HKozVTSIV M*S]i nzlkd!`fmím*s]ilzvx`]v<silrl OQJL<dfF]VkSILRL nrlzoqozjvts!jlrlnxf]oqsiiplknzqn}lxjm oqlxs]i VXJagJuVZJuiqn LXlKH HLZ`fH _tizlkizd7`qvtwgnzozwqê}ju_pl c`qvtwgoqjhmnp_^siigoqjl ljlzlknxf]oqsiiplps^ QlK`]M*SILZlmnZ_fLUnRLXSfOQlKozM nzj ozl nz`]m `]M _toziqnz_^sir(ji _^S]i VZJ OQoqvJVTS]nkLXl HKH Ji nzjvxlkj7h `fd]lmnz_sžnxs^ltnrjuvƒ &h][]m age]v:oqji HK`fd]lmnR_^S:r(`fnZl¹LXlKxplmnZM7Jicƒ œ\sfonr`fm nz_^sihkhnd]efvxsfnu[ivpsihkh LXnXF:SILRLkn}LXoqOQJVTS7xfJVX_fL}tdfJižnR`fM 73

77 S]ipx^[]iqOznage]VUSILRLJVXwqF]H HmS _poqiqnr_^s]ryjuic zlkiziqsiižoqjui!ag`fvzm*s]hklknzjvts^ltnƒ à QJM7rqH JL7`]M LXVZQvT_ luage]vxvxs SxQnRizl LZLZJL xtlmnzs]v:ryfglxvzjžl}qoqhklkdfsÿn}lxjd luw(jdfvzjurzrqnrs oqlxx]j vt_phklkizdfjic `QvTw JiÏSx j lks]d]jl `QvTw ˆkSIVTvlmS]n<wpoqxpoYOtLZJ nrjuv:[]v:silrl7oqjunxnzsg`qvt_tnxf[]v L}QOQHKlKdfS*abS]nZJV l xfjlxjiqnz_^sir(jiqnkwzlmnrlz`fvzlmnz_s~oqlzxfjuvt_thklkizdzƒ7 Jui age]vtn}lts!abs]nzji _^SIi _^SIHKHmS]n agefvjuig m Z Rš Š{nR`fM½_S]VXS]_pLX[IVXlmnRJuVXSfn Sx Jiy_]`]iYvJipLXVXSILZlK`]i7rqF! m Z f q $% %¹ Jud]Jizs nz_^sir(jv bo/ƒ x(ƒ npjdfjiqnz_^sir(jv m / # JLZL `fwqê}j_pl `tvtwgjd]juiqnz_s]ryjuv nz`]m lkiplzj []VPdfJizJuVZJuHKHKS oqltsiiënzryj vlkjhkhms age]v JLRL<JuiqOzSyage]VXJM*F]HJHKHKJV Ji JiqOzSyagefVZJLZJuJHmnRJ Tƒ OzJiziqSyabSfnkozrzrQs LT[]vT_Qn`]WQÊ}Ju_fLTn{`]HKlK_^S JdfJiqnZ_^SIr(JVu tm7jui!wy[iiqoqjuhmnrjuv W(JLXVXS]_fLTS]n{nZ`]M nzryj vlmsih abs]h HY`QvTw~abF]V JuiqOzS]nRLHK`]_^SIHmS<JuHKH JuVSfO~wq`tvs#agefVZ_tHmSIVXlKizdfS]Vƒ PJi iqs^lxozvzhklkdfsÿagvtfidpsii `]M x^s]vragefv~iqf]d]ìlžnr_fjv!`tvtwîagvxf]dfsii `]MC_^SIoqnXSIHKl LZJL~VZefV JuM7JHKHKJVZLZlmOVXJHmS^LXl `fizjv #7 % %¹ I `]WzÊ}J_pL LZVTSIiqnRag`]VXM*S^LXlK`]izJuVUagVTFIi JLZL LZlKHKHmn}LTFIiqOLZlKHKH JLZL S]iziqS^L~nXSIML `]VTnZS]_tnXnXSIM:WqSIiqO `tvtwï_]`fiqnrlzvxoz_plzlk`]izjuv7sx itfs JdfJiqnZ_^SIr(JV7`QvTw gm7jizs LTSIHmSf `fwqê}j_pld]jiq`]m½nzffozsiiys VZJuHmS^LZlK`fizJVuƒ g OzJi~Juizd]JuHmnR_^S LZJ tlzjiysiitx^[iiqoqn\wq[]v `fvxoqjl Ñ}LZVTSIiqnRag`]VXM*S^LXlK`]iqn}Ò l(wyjl}tozjhmnrjui~sx S^LRLLƒ J /ƒt_]`fmwzlkizjuvxs oqltnzs]d]`fv l(jlrl{m*s^lxjm*silzlmnr_pl W(Jxtlmnage]VS^LZL _]`fiqnrlzvxozjvts iqfidfìl\itplrlnz`]m M*SIi lkiplzj{abf]v d]juiz`]m Ji*nZlKM7rYJuHzozrzrqVX[]_pizs lkizd Sx OQJL LZlmOQlKdpSIVXJ_^[]iqOzSQƒ PJLRLTS lkm7rzhklmvjuvxs]vjui!si_plxl xtl LZJL fnz`]m lkiplzjp[]v ozrqryjuipwysiv l `fvxoqjlñrvzjuhms^lzlk`fitòx I`QvTw~nRLXF]V l/nbêr[ihkx^s x]juvz_fjl l/m7ìltnzsilxn\lzlkhkhys^lzl_f`]iqnrlzvxozjuvxsuñzv`fvzvxjunzry`fiqs OQJuiqvJ n ÒT Ocƒ x(ƒ»n7s^lrl*hm[]iz_^sgnxsim7m*sii absi_plxs d]juiz`]m ÊR[]M age]vxjhmnzjvuƒ» PJiziYSGabSfn _^SIHKHmS]n Oz[]VRagefVage]V m gš Š qƒ Æ []VUOQJunXnXSkÑ}LZVTSIiYn}ag`fVZM*SILZlK`]izJuV}Ò{wqSIVoqrzrQLX[fvT_pLXn{_^SIiOQJ nznxs lnrlki!lzozvvxjhms^lxjvts]n LZlKHKH x^sivtsiiyoqvxskryf<ji~wze]dfvzjizlkx^fq QOz[]V M*SIi7M7`QOQl ¼qJuVXS]V\n}LXVZoq_fLXozVXJi7agefV S^LZLk fž f # # ] Z bl izag`]dfsp OzJunXnZS nz`]mð`fwqê}j_pl7l nzlki LXozVƒ b PJLRLTSË[IV7`QvT_QnZFGL}trzlmnR_pL age]v7m*silzjum*s^lzlk_( Oz[]V M*SIi Luƒ J /ƒ\dffiv:agvtfiiïs^lrl*nrlzoqozjvtsltsih& LXl HKHVZJuHmS^LZlK`fizJVM7JHKHmSIiËOQJunXnXSGlag`fVZM Sx dfvzozrqryjuv LZlKHKH^LZVTSIiYn}ag`fVZM*SILZlK`]izJuVYnZ`]M d]vxozrzrzwq`]m7`]m7`fvr¼(nrm7juvynz`]m ltnzl i LXozV[]VN`]WQÊ}Ju_pLƒ ¾e]H ÊROzS]_pLZlKd]Jui*_^SIHKHmS]nOQJLZLXSage]VUOQJui Z I zš q % % abs]nzjicƒ j SIVXJHKHKJHKHKJiPLZlKHKHfOQJrqnZt_]`]HK`fd]lmnR_^S LZJu`]VXl JuVZiYSUnR`fM SIiqS]H QnZJVTSIVclKiqOQlKxtlmOQJiYnc_toziqnZ_S]rqnRs oqlxx]j vt_phklkizd [IV:L}QOQHKl dqƒ ˆ Juiz`]M VZJ$qJ_pLXl x S]WqnRLZVTSI_pLZlK`]i l iplxjvxiqsihklmnrjuvxsfnkwyjud]vxjrzŗ `QvTw wqs]iqoqhklkizdfs]vunr`fmitfs7`fwqê}j_plkrqf*juigwzefd]vxj izlkx^fqƒ J nznxs*`fwqê}j_plk_^siigl nzlkižlzozv nrlzoqots JuVXSfnnXF S^LZL\xtlQd]Jiq`]M agefvxnrl JM7rzlKVXlmnR_kSIWqnRLZVTSI_pLXl `fï `fwqnrjuvzxfjvtsivjd]juiqnz_s]ryjuv wz`fn OzJunXnZSz nz`]mnzjuozs]igl nrlkilxozvk_^siigm*s]izlkrzozhkjvts]n{dfjiz`fm M7JipLXS]HKS `fryjuvxsilzlk`]iqjv `qƒ nƒ xyƒ< PJiziYS rzvx`qvj nznwqs]vjm7jhkhkjvzlzlmolzx^f:xtlk_flxlkdfs<_f`]iqnzj_txfjiqnzjvuƒ PJiyage]VTnRLXS:[IVUS^LZLoQLZxfJuvT_tHKl iqd]ji Sx WYJud]VXJrzrË`QvTw _toziynr_^sir(jv:[ivx[fnrjuiplzhklkd]ji _]`fiplzlkitozjvxhkl d!l M7JuizlKizd]Jui SILRLLZlmOQlKdfS]VZJ _toziqnz_^sir(jvu [IiqOqSžagVXF]i OQJžSIHKHKVXS!LXlKOzl dps]nrlzj7izlkx^fijuvziysq wzjhmsžlxlkozjië¼qiqiqn _tx^sivu abs]nrll `fm ag`]vxm*s^l (LZVTSIiYn}ag`fVZM7JuVXSILPnR_tlmvT_(ƒ POzJL M*S^LXJM*S^LXlmnR_^S*[]M7izJL [IV OQJLRLXSyM:QvT_]JLPL}ps OQHKlKdILuƒU P`]ipLZlKitozJVXHKlKd wysivuwq[]vlkiflxj OzJižM*S^LXJM*S^LXlmnR_^S<M7JuizlKizd]Juicƒ\ trzvtfiizdfxplmn znriqs]wzw oqlxx]j vt_phklkizd_^sii ag`]vzlrabsivtsiiyoqj!nz_]j]ƒ» È JLRLTSŸnRLXF]VlnRLXSIVX_ _]`]iyn}lxvxsfn}l<lxlkh H Lƒ J /ƒ kozwziyn OQlmS]H Ju_pLZlmnR_^S{M7`QOQJuH H& M7Jï `QvT_QnXFLZlKHKHpj`frzr(JVTniq`]VXM*S^LZlKx^Sage]VXJunZ_tVZlKxtizlKizdpSIVc`]M SfvvJrQLZs S]WzHmS xfjlzjuiqnz_s]rzhklkdfs<m7jlz`qoqjuvƒ PJLPS]iqOQVTS [IVUS^LZLUJamLXJVTnR`fM OQJuiziqSLZlmOQlKdfS]VZJ _toziqnz_^sir ¼qiqiqnU_tx^SIVUnZ_]JuVUlKifLXJ OQJ LZVXJkL}trYJuVZiYS7Sx!SIWYn}LXVXS]_fLXlK`]i~ln}LXVZlK_pL{LZozVX`]VTOQizlKizdq zoqlxs]iž_s]i []dfs VXozM½nZS]M LXlmOQlKdILƒÅPWzÊ}J_pL agvtfii*jui7lzlmoqlkdpsivxjiql x^f wysiv dfjiz`fmì ŠTŠ # %¹ b I l izage]vxh l s x^s^ltn l/jui~n}lxe]vxvzjpn}lxvzoz_plxozv znz`]m l/nrlki7lxozv wysiv ]Ž ] # #7 u f X Š\age]V{S^LZL VXpM7M*S OzJunXnZSzƒ ˆ Juiz`]M nzlki!lkiziqjunzh ozlzizlkizd<loqjl nrlzefvzvxj nzqn}lxjm7jl{nz_]juvê}oyluƒ J (ƒyvzj OzSIiyJiy`]MLZ`fH _tizlkizd Sx `]WQÊ}Ju_pLZJiN O/ƒ x(ƒ»n ryfji lkiflxvxsis&iql x^fyjiqh lkd]l<`^xs]ic M7Ji nxsimlzlmoqlkd]l _^SIi OQJ!HKlK_QnR`fM e^xtvxl dps `]WzÊ}J_pLrqF7OQJiqiqS:izlKxFLXVXS]iqn}ag`fVZM7JuVXSfn\`QvTwyVZJuHKSILZJuVXSfn\rqF Jui!lKipLZJuVRs izlkx^fqƒ D y4<2 {9 <2y; 9 2 É8~3 >9 D;2 à LZL J QJuM7rYJuHnR`fMÉoQLXVZJ OznUSx~j lks]d]jl{`qvtwˆksivtvlms:[ivus]h dfjwzvtsiiyn oqlxx]j vt_phklkizdqƒ LZLPSIizs x^[iiyozs W(`]_Qn}LT[x]JuV\nR`fMÈJuVXnX[^LZLZizlKizd age]v LXS]H# p`qvtw7l iplxjwqsivtsklmn}lt[ihkhkjlage]v JLRLWYJ n}lt[iml LXSIH 74

78 ozlxsiižlnztmw(`]hklmnz_w(jl}qoqjuhknzjpage]vjlzl SIHKHKM*[IipL\LTSIH& q[ivjlrlu_thmsivzlj tjum7ryjuh/rqf7siwqnrlzvtsi_ps LXlK`]icƒ }vt_]jkoqj n}lx`m7lkiqoqvxjuwqs]iqoqhms]ozjpsihkdfjwzvtsii7oziyoqjv{hmfiizd LZlmO*JuiqOzSfn}L`]M½Ju_txSILZlK`]iYn}s HKepnRizlKizdq YM7J OnRr(Juvl ¼q_^S*HKefnZizlKizdfS]VLZlKHKHnZrYJ vl ¼q_^S*rzVX`]WqH JuMž YxtlKHK_]JL []VP_^S]VXS]_fLT[IVXlmn}LXlKnZ_pL agefv lkiplzvts^absfnrjuiÿ`^x^siinƒž¾e]vtnrl<rqf ª s&lxs]hkjlkwyefvbêrsfoqj7m*sii HKJLTSžJamLZJuV M7JuV d]jiqjvxjhkhms M7JLZ`QOQJuV7`tvTw nrlx[ihkhmsžagvtfidf`]v `]M J QlKnRLZJuiqn SxËHKefnZizlKizdfS]Vƒ SIdfVXS]izd]J!WYefVbÊRSfOQJn}LT[IHKHmS M7JuVS]HKH M*[]iziqS agvtfidf`]v `fm½jdfjiqnz_^sir(jv`]m HKefnZizlKizdfS]V LZlKHKHqLXVZJ OÊ}Js`QvTw*a»ÊR[]VXOQJud]VTS]OznZJ_ps x^silzlk`]izjuv \SILRL VZJ OQoqvJuVXSGJ_tx^S^LXl `fizjv<lzlkhkh Juiz_tHKS]VZJ7HKepnRWqS]VXSz `QvTw SILRL wzl LRLTSVXJHmS^LXl `fizjv M7JuHKHKS]i~HKefnZizlKizdpSIV\LXlKH HcVXJuOzoqvJuVXSfOQJkJ_tx^S^LZlK`fizJV`QvTwOQJ ozvtnrrqvzoziqd]hklkdfsqƒ\ QFfOzSIiqS:agVTFIdf`]V []VL}trzlmnZ_^Sage]Vl iplxjvzabs]nzjicƒäs]oqvtwti ^`QvTw<nRJuiqSIVXJ ˆkSIoYnZn ^WYefVbÊRSfOQJ nrlzoqozjvts{lzvtsiiqnrag`]vxm*s^s LXlK`]izJuV `QvTwr(JVXMoQLTS^LXl `fizjvm7juhkhks]i!x^s]vzlmsiwqh JuV{`tvTwGlˆkS]oqnZn absihkhm7jhkhmsiiy_]`tj *vlkjuiflxjv l_px^sfoqvxsilzlmnz_s ag`]vxm7jvuƒ ngêr[]h x^s x]jvx_]jldfjv{jiy_tx^s]oqvts^lxlknz_ag`]vxm n}lxoqoqjuvxsfo~sx~ˆksioynzn M7J O!OzJ _]`]M7r(`fnZl LZlK`]iYnRHmSIdpS^VwqSIiOQJ¼qizlKJVTS]OzJI QJižSIW(JHmnZ_7d]VXozrzrcƒ ÆP[IV{OQJunXnXS nrlz`]vts M*SILZJM*SILZlK_]JuVxS]VnXF<iY[IVTS S^LZL ozrqrqlx[fvt_s d]vxozrzrzw(jdfvzjurzr(jl Qx^SIVZs agefv<lx`]dgoqjl:ozfgnzfhmf]izdylzlmo lkiziqsii OzJLRLTSžabSI_pLXlKnZ_pLnZ_]JuOqOQJ œ\s]vragefv _toziqoqj!oqj~lkiplzj LTS!OzJLUÑ}HKlKHKHKSn}LXJdIÒnR`fM _tvt[xqoqjunt ¾e]VZabS^LZLXS]VZiqSfn nztizrzoziz_pl [IV S^LRL OQJL absi_plxlknz_plplkiplzj []VJLRL:H l LXJLnRLZJudGl_]`]dfizl LZlKxM7JuizlKizdž³ ˆkSIoqnXn SId]VTSIiqd]JI ÄSIoYvTwp `QvTw SIiYOQVXSG[IV OzJ nzlmn}lts VZJurzVZJ nrjuiplxsiiplxjvxiqs age]v!l iplxjvx`]r(jvts^lzlk`fizjhkhmsžabs]nzjinƒ EF]izdfS J QJM7r(JHPxplmnXSIV SILRL OQJL<[IVkJi HmFIizdyrzVX`tvJunXnPSILRL<Juiz_^SIrqnZozHKJVTS*OQJ:LZVTSIiYn}ag`fVZM*SILZlK`]izJuV nz`]mínrlzoqozjvts]n l OzJiÏl iplxjvx`]r(jvts^lzlk`fizjhkhms7absfnrjui `QvTw ozv7oqjumðnz_s]rqs`fwqê}j_pl7nr`fm _^SIi n}lxoqoqjvts]nlnrlkd nbêr[ihkx^sqƒ JL x^siv agefvxnrl ˆkSIHK`flKnnZ`]M LX`]d OQJLRLXS n}lxjdz p`qvtw:wqlknrlz`fvzlkjui ag`]vzlxnx[^lzlzjv\nzjuoqsii rqf nxsim7m*s nx[^lzl d]juiz`]m nroqvuvj nznzlkxslxvxs]iqn}ag`fvzm*silzlk`]iqjvu pjuiz_^sirqnzozhkjvxlkizdfs]v QSIWqnRLZVTSI_pLXl `fizjv `QvTwž`]MLZ`fHK_piql iqdfsivuƒ Ã\LRL*SIiziYS^L J QJM7r(JH{[IV:M7J_^SIiql _fjiqn<oqlzxfjuvt_thkl iqdžagvxf]i VXlmn}LXÌLXJHKJunkLXlKH H{ÆUJu {LZ`ficƒ iqoqjuv7mqvt_]jl HmFIizdGLZlmO lwqlknrlz`fvzlkjuiëxs]v VXlKnRLZ`]LZJuH J n ozrzrzabs^lrlxizlkizdfs]v `]M _tvz`frzrqs]vxn VXe]VXJHmnZJUagefVZwq[]VXnZ_^SIiqOzJI plzvxìlxn{silrluoqjkm7junrljhkjm7juiflt[ivtsk`]wqnzjvxx^s^lxl `fizjv xtlknxsiv{s^lzluoqj [IV LXÌLTSIH LkagJHmSI_pLZlKdpSQƒÀ ozv<_^sii OQJLZLXSž_f`]M7M*S*nZlKdp ²VTS]Ozl¹LXlK`]izJuH H LagefVZ_tHmSIVTS]nPOQJLZLXSžM7JuO SILRL OQJuiŸM7`QOQJuVZiYS*x]JLZJuiqnR_^S]rzHKl dps M7JLX`tOzJiŸ[]izitoŸlKipLZJ:x^SIVkoQLXx]JuvT_tHmS]O`tvTw S^LZL agefvxnrl ˆkS]HKl HKJu`:`QvTwwYSIiqnPJamLXJVZage]H ÊRSIVXJ<d]VXoziqOqS]OQJ:nRlKiqS LXJ`fVZlKJV rqf*jum7rzlkvzlmnz_s:`fwqnrjuvzx^silzlk`]izjuvƒ LZLOQJuiziqSžlKiqnZl _pl nr_tozhkhkjlxsnxfžhkf]izd!lzlmo [IV<OQ`QvT_ŸnZx^FIVZL<S^LRL agefvxnrlxfž`qvtwÿage]vzabs^lzlxsivxiqs M7JuiqSIV S^LRL{OQJLZLXS l iplxj [IV wzjhms nxsiizizlkizdfjicƒe`qoqjvxi7ag`fvxnz_tizlkizdkxplmnxsiv\`qvt_qnxf S^LRLVZJ OzSIi ryf*ª Ç s#ltsihkjlx^siv OzJi~OQJ OQoz_pLZlKx^SkM7JLX`QOQJi7x^[IHYoQLZxfJuvT_tHmS]O/ƒ t`]m j\lms]d]jl\`qvtw~ˆks]vxvlks M7J O*LX`]VXVwtozM7`]V{oQLZLZVXtvT_fJVOQJL ²{wzJ HK`]izdJx]`fHKoQLZlK`]i:agVX`]M VZlmnRLZÌLXHKJLZ`LZwzJ nzjxfjiplzjujiplzw~vjiplzoqvz ] tlmn izìl OQozJ{LX` LZwzJOQl *vozh LXl J nnlxwzjusiozlzwz`fvxnlkitx]`]hkxfjuoklki<lxwzlmn nrhk`^ ËrzVX`QvJunXnM7lKd]wpL wqsxfj wqs]ožlkiv`fitxplkiqvlkizd LXwzJM*nZJHKxfJunÌa LXwzJ S]OzxS]ipLXSIdfJun`]a J QrYJuVZlKM7JuiQs LXSILZlK`]i!`]V`]aLXwzJkagVZoql¹LZagozHKizJunXnÌaLZwzJ wttry`]lzwzjlzlmvs]hcoqjuoqoyv LZlKxfJ M7JLZwz`QO/ƒ iplxj wzjhkhkjvuˆksihklkhkj`<juhkh JuVÀ oztd]juiqnx]juvzl ¼qJuVXSfOQJ lngêr[]h x^sx]juvz_fjluoqj rzvxlkiqvlkr(jv{nr`fm OzJLZ`fd nr`fmðd]vxoziqozhk[]d]dpsiiqoqj]ƒî 7OQJi M7JuizlKizd]Jui x^siv VZlmnRLZ`]LZJHKJ njum7rzlkvzlk_fjvuƒ ÀPSIi ozlzd]lmvt_ agvxf]i d]juizjvxjhkhmsg`fwqnzjvxxsilzlk`]iqjv7`]mcs^lzl!_tvx`]rzrqs]v7absihkhkjv~`tvtw agefvxnze]_plxjnrj OzSIi W(JunRLX[]M7M*S wpoqv\oqjabsihkhkjvdfjiz`fm HK`]d]lmnZ_^SUVXJunZ`]izJuM*SIizd M7JuOoQLZdpFIizdpnRrqoziz_pL agvxf]i xplmnxnzs M7JLXSIagtnZlmnR_^SGrzVZlKiqvlKrYJuVƒ LRL~nZHKoQLXnXS^LTnRJuVZiqSŸ[IV:LZ`]LXS]H¹L gagtnzlk_^sihklmnr_plt <`]VXlKM7H lkdpsynzr(jhmsiv lkizdfji VX`]HKH lkoqjlyjurzlmn}lxjm7`]hk`fd]lmnr_^snzqn}lxjm VXlmn}LXÌLXJHKJun xfjvx_sfoqjiƒ kvxsiamlzjui wz`fnyoqj VXlKd]`fVZepnZS HK`fd]lmnR_^S VXJunZ`]iqJM*SIiqd]Ji*LZxtlKizdfS]V wz`fiz`]m S^LRL SfvvJrQLXJVTSOQJuMžƒ PJiqiqS lkiplzvtsir(jvxlk`qö _^SIVTSI_pLT[IVXlKnZJVTS]nJuizHKl d]l age]vzabs^lzlxsivxiqs<sx Jui~nZS]M7M*SIitWzHmSIiYOQizlKizd Sxiq`]VXM*S^LZlKx^S bsilrl iqf]d]ìlñ}m*ffn}lxj<x^sivtsò rqf!jlzl xplmnxn}lknz[ilrl U`QvTwabS]_pLZozJuH HmS7rYF]nRLXFIJuiQs OzJicƒ PJunXnZSžrqnZJoYOQÌs&age]VXoQLXnX[^LZLZizlKizdpSIV `QvTwËrqnRJuoqOQ`]s&`fM7eIÊ}HKlKd]wzJLZJV l iqizjwq[]v<n}lx`]vtsžwyjs dfvx[]iqnzizlkizdfs]v agefv*xtl HK_^S rzvx`]wzhkjm nr`fmð_^sii nrlzoqoqjuvxsfn7`qvtwïage]v*x^s]o nz`]m SIiqnZJun7x^S]VXS M7e]Ê}HKl d]lƒ*ã LZL:S]iziqS^L<J QJM7r(JH\oziYOQJV<M7Ju_^SIizlK_]Juiqn oqlzxfjuvt_thklkizd![]v<wtozv kjrqh JuV HKtvT_ps SfOQJunagVXl dfe]vtsnrlkdagvtfiï ozrzrqabsilrlziql iqd]jï `]M S^LZLrzHmSIiqJLZWYSIiz`fVZiqS\ÑRM*F]nRLZJÒx^S]VXSPvlKVZ_tozHm[]VXSzƒ 75

79 PJi wzlmn}lx`]vxlmnr_^s oqlxx]juvt_thklkizd]juinr_fjuozoqj:sihkh LXnXF7lKipLZJ dfjiz`fmjigage]vz¼qizlkizd!sxžm7jlz`qoqjin oqltsiižd]juiz`]m½juiyage]vt[iiqoqvxlkizdsx!oqjlujurzlmn}lxjm7`]hk`fd]lmnr_^spvxs]mxfjvx_]jlƒ PJL:S]iqOQVTSžn}LXJd]JL l ozlzx]j vt_th lkizdžnz_]juoqoqj7d]juiz`]m JiË`]M ag`f_toqnrjuvzlkizd~agvxf]i _px^s]h l LXJL LXl HKH _tx^siiplzl LXJLƒy¾efV VXlmn}LXÌLXJHKJun `QvTw wqsiiqn<jamlzjuvragefh ÊRSIVXJ abs]h HKJuV Jui n}lxji rqfždfvzoziyo Sx nzlkil iqizjw(`tjiqoqj iqs^lxozv `QvTwOQJ agpvts7juh JuM7JipLZJuiqnUS]WqnR`fHKoQLXS:JdfJiqnZ_^SIr(JVuƒ LRL _txs]iplzl s ¼qJuVXSylKizizJuWq[IV JuM7JHKHKJVZLZlmOS^LZLÊR[IM agefvxsz N`tvTw agefvxnrl OzFž_^SIi M*SIi VXJHmS^LXJVTS*`]WzÊ}J_pL LZlKHKH x^sivtsiiyoqvxszƒ ˆkSIHKlKHKJ`ÊR[]M age]vtoqj LZlmOznZl iplxjvxxs]hkhy`qvtwn}lxvx[fvt_]`fv oziyoqjvagvxl LRLabS]H HlKnRLX[]HKH JL agefv SILRL _f`]iqvjiplzvxjvts!nzlkdžrqfžozizlk_^syjiqnz_tl HmOzS!`]WzÊ}J_pLƒÆUJu {LZ`]iËnXFIdSILRL OQJL x^siv nxsim7m*s VXJHmS^LXlK`]ikM7JHKHmSIi Jui:nRLZJuï `QvTwUÊ}`fVXOQ_tHKÌLXJLnR`fM lznr`fhknzqn}lxjm7jlm7jhkhmsiiê}`]vtoqjui`qvtwnz`]hkjuicƒ QFfOzSIiYS ÊR[IM age]vxjhmnzjv{[ivl}trzlmnz_^s agefv lkiplzjuvrabsfnrjuic z`qvtwxpl_^siiž`qvt_tnxf ÊR[IM agefvxs:m7j O!J ts JuM7rzHKJL{`^xS]i!`fMÉWqS]VZiqn{ozLZx]J vt_th lkizdsx*jiyozrzrqabsilrlxizlkizd7`]m½lxvzqvt_(ƒ 4; 3; 9 D8*3 k3 {4 4 D {4 j\lms]d]jl{l}qvt_qn{m7jiqs:s^lzlpoqjl nr`fm OQVXlKx]JVrzVX`QvJunXnZJižSx~SIWqnRLZVTSI_pLXl `fi~rqf:`fh lk_^sizlkxf]jvu JuH HKJuV{OzJ<`]HKlK_^S lkiplzvts^sx zlkiflxjvzs\`qvtw!lxvxs]iqnrabs]nzjvxiqs:`^xs]ic Y[]VUJižlKizizJuWY`tJiYOQJ<e]iYnR_^SIiž`QvTw lkiplzvxjunxnrjpwz`fn{xfjlxjiqnz_^sirqnzm*siiziqjic znxfx[]hcnr`fméwz`fn{wysivxizjlu qs^lrluwql¹lzlxs nzh ozlzhklkdfs `fvxnxsi_fjv LXl HKH/wq[]iqOQJHmnZJV{`QvTwyOq[IVXM7JuO*JLRL nze]_^siiyoqjkjamlzjuv Ñ}iqetOzx[]iqOQlKd]wqJLZJuV}ÒTƒ n ag`fv LZwqJ!nZoqvvJunXnRlKx]J SIiYOŸoqH¹LXlKM*S^LZJ¼qiqS]HKl¹LXlKJun Ìa{LZwqJ*rzVX`tvJunXnkHKJuS]Ozl iqd agvz`fm LXwzJ<lKipLZVTS:LZ`~LZwzJl iplxjv S]iqOyLZwzJuiLZ`*LZwzJ LZVTSIiqn H Jux]JuHKn QLZwqJSIiYnR JV nrjujm*n LZ` W(JPabS]lKVZHK :`]Wtxtl `foqn izjul¹lxwzjvlxwzj M*S^LXwzJM*SILZlmvlmSIi:iz`fV LXwzJ<vTwzlKHmO S^LSžvJuVRLTSIlKi H Jux]JuH\SIVXJ:Jux]JuV<nZSILZlmn}¼YJuOŸ l¹lxw nzlkm7rzhkž`]wqnzjvxxtl iqdys]iqo OQlmn}s v`^x]juvzlkizd: g wzlmvtw M7JuS]iqnlKipxfJipLZlKizdPLZwql iqdfnt T SIL JuSfvTw:nRLXS]d]JI ]LZwzJ nrlzvxlkx]j LZ` S^LRLTSIlKi!LZwzJ ÑRVZJ S]nZ`]iqn}ÒUag`]V wys^l{lzwzju *¼qiYO/ƒ gj\lms]d]jlus]iqoyˆks]vxvlms~ª ]«] p Tƒ x]ji `fm OQJLRLTSUnRtizJ ncx^sivtsnzs]ipl/³ [x]juipxfjlxjiqnz_^sirqnzm*[iiknr`fm nx[idfjvnnzl d{x^sivts{r(`fnrs l LZlKxtlmn}LXJVOQVZlKxQnSx<Ji ozrqrqlx[fvt_s]vzdfhm[]oê}jnr`fm nriysivtsivxjnzrzvxl iqd]jvozv JLRL\lKizVXJ_tVTSx rqfks^lzl nze]_^s7nzh ozlzhklkdfs nzx^sivu[]is^lrlp_poqiziqs VXJuOQoqvJVTS]nLXl HKHcJuirzVZ`QvJunXnSx~wttrY`]LZJunRag`]VXM:ozHKJVXl iqd `QvTw!abSIHmnRlK_^S^LXlK`]i:³[]VUOQJLagefVe^x]JVZLZJ vt_tiqs]o7lkiplzj _thmsivzlwtozvuoqjlrlts _S]iSIVXd]ozM7JuifLXJVTS]n oqltsiisilrlpliqfidf`]ižm*fiis]rzryjuhkh JuVXS LZlKHKHNM7J OtageQOzOzS7nRLZVXoz_pLZozVXJVu YxtlKHK_SfnJ Qlmn}LXJiqnÊ}oGj\l s S]d]JLM7ÌLTnZSILRLXJnZlKdzƒj FkSIiziYS^L\n}LT[IHKHKJP bj\lmsid]jlª /LTSIHmSIVj\lmSIdfJL`]M wtozv\s]iqsihkqnzjvsx S]H HKM*[]iziqSPM7J_^SIizlmnZM7JV l boqjlhk`fd]lmnr_^sp NLT[Iiz_^S]iqOQJL{M7JuO iqetozx[]iqoqlkd]wqjl `QvT_QnXF age]v`fnxn agvtfii OQJL\rYnRt_]`fHK`]d]lmnZ_^S`]M7VTF]OQJLLXl HKHzOQJL\WzlK`]HK`]dflmnR_^SQ M7JuO:SIiqS]HKtnZJVSx<izJuVZxQnZQn}LXJM7JLuƒ œ\s]vuoqjlzlxs VXJunZ`]izJuM*SIizd nz_tozhkhkjpw(ìlzlziqs [IVlKipLZJk_tHmSIVZLƒ j\lmsidfjl `tvtw ˆkSIVTvlmS7ozrqrYJuwqFIHKHKJV nrlkd~wtozxtoqoqnzs]_phklkd]juižxplmoozjrzvx`qvj nznzjvknr`fmnr_fjvu lkiz`fmìlkiqoqlkxtlkozji JHKHKJVkx]JLZJiYnR_^SIrYnR_f`]HKHKJ_pLZlKx]JL /xtlko `QvTw age]v<ozlzx]j vt_th lkizdžsx_toziqnz_^sircƒ œ\s]vzl agvtfii_f`]m7m7jv OzFžOQJi d]jum7jiqnxsim7m*s _toziynr_^sir(jin `QvTwGl\xtlKHK_]Juid]VTS]OG[]V OQJiziYS nz`qvlmsih L\_]`fiqnRLZVXozJVTS]Oq Ÿ #hf[im agefv OQlmnZ_toqnZnZlK`]izJui `]M x^s]o*jlrlabsi_plzoqmé[iv`^xs]icƒ <¾e]VZabS^LZs LTSIVXiqS*W(JVXe]VkOQJLZLXSyJiYOzS]nRL plxh lkd]l /d]jiq`]m WzH&ƒ S!OQlmnR_toqnXnZl `fizji`fmrqnzjoqoq`]s#agefvzozlxnx[^lrlzs izlkizdpsiv nz`]m `^x^siin p`qvtw*jui~_]`fvrlêr[im age]vxjhmnzjm7jhkhmsii:wtozv oqrzrqabs^lzlzizlkizdfji*`fm _pvx`]rqrqsivtn VXe]VXJHmnZJ~wz`pn7OQJd]VXJ_tlmnR_^SŸVZJ nrr(j_plxl xfj!_tlkizj nrlmnz_s¼qhk`fnzìagjuvziqsgrqfx]juvz_^sfoqjun Sx OQJui VZJs HKlKd]lKefnXS{`QvTẅ ¼YH `pnr`]¼ynz_sp_]`fiplzj tlxjicƒã\izhklkdil Ã\izdpn}LXVZefM }ª ] ]«p nz_tlkh Ê}JuVj lks]d]jlryf S]iqOQVTS nrlx[]h HKJuiM7JHKHmSIiJM7rql VXlmnR_( /nr`qvlms]h`qvtwghk`fd]lmnr_tm*silzjm*silzlknr_ _toziqnz_^sirc Oz[IV OQJuiŸnZJiqS]VZJ] LXVZ`]LXn SILRLkOQJiG[]VU_]`fiqnRLZVXozJVTS]OžSxyxS]VbÊ}J l iyoqlkxplmo/ Yl iplxj rqf*iqf]d]`]lpnz[ilrlp[]v df`toql}tvt_thklkdzƒ PJiziYS oqlzvxjuoqiql iqd:nxsi_tiqsfnoz`tvt_~wz`fn{j\lms]d]jl{`qvtwˆksivtvlmsqƒ à LZLSIiqiqS^L\W(JdfVZJurzr:nZ`]MÈj\lmSIdfJL HmFIiqSfOQJagVXF]i:Wql `fhk`]d]lki x^siv\nbêr[ihkxtvxjd]hkjuvzlkizd< brqfkjiqs dfjhmnr_^sñrju±pozlkhkl WqVXSILZlK`]itÒR Tƒc¾e]V\j lks]d]jl\xs]v OQJLRLXS OQJi7lKipLZJuVZiqSkS]izrqS]nXnZizlKizd nr`fmènz_]juoqoqj ltjlzllzlkhkhknrlxf]iqo Sx ÌÊR[]MxtlK_pLNJamLXJVrqS]nXnXSId]Jui agvtfiï Jui`fVZdpSIizlmnXS^LX`]VXlKnZ_{izlKx^FQ ]Oz[]VnZozWQÊ}Ju_ps LXJLUx^SIV{x^[IHNS]izrqS]nXnXS^L tlxl HKH/Jiywzefd]VXJ Oz[]VSIizrqSfnZnZizlKizdfJi~[]V{nX[IM7VXJIƒ\ t`fméxtlnnrjlrl`^x^sii 76

80 []V:OzJLRLTSGJui _]`fiqnrlzvxoz_plzlkxgabsfn OqFHm[IVTSIiqOzJ*nR_fJV:d]Jiq`]M VZJ$qJ_pLZlKx SIWqnRLZVTSI_pLXl `fiënr`fm dfjvozrzrzwz`^x LXl HKH\itpS_]`fd]izl LZlKx^Syn}LXVZoz_pLXozVZJuVƒŸjS]VXS]HKH JuHKH Jui[IVwq[IV L}tOzH lkd]l LZlKHKH LZJu`]VXl i `fm OQJui!( Z ] #7 % TŽ % m p IŠ I ( nz`]m xs]vxs]iqoqj OQJuiyiql x^f:oz[ivm*s]i~juiqozs]nrlum7juo wiêr[ihkr!_^s]i!hkefnxs<rqvz`fwzhkjm `QvTw~LTS LXlKH HcnZlKd it *_toziqnz_^sirc ^Ê}oqnRLUe^x]JuV iql x^f]i!oz[]vlkiqozl xtlmoqjui W(JwY[IVTnR_^SIVPSIHKH L ngêr[]h x!`qvtwnr`fm S]H H LTnZF:lKipLZJ<WzlmOQVTSIV{LXlKH Hip!age]VTnRLXFIJuHmnRJ]ƒ{ PJi_f`]iqnRLZVXoz_ps LXlKxSz ]`]r(jvts^lxlkxs WzlKHmÖ Sx _toziqnz_^sir(ji7nr`fm j\lmsidfjl SIVXd]ozM7JuifLXJVTS]OQJ age]vu ]Oz[IV JLRL nxvtwzjm*s M*Ffn}LXJUS]vT_f`]M7M7`QOQJVTS]nage]VS^LZL SIizrYS]nXnZSfnLZlKHKHzitfSkrzVX`]WzHKJuM JHKHKJV `fm LX`]HK_^S]OQJW(Jd]VXJrqrc []ViYS^LZoqVZHKlKdILXxplmn/`QvT_QnZFUVZJuHKSILZJuVXSfO LXlKH HpW(Jd]VXJrqrYJL{!( KŠ $#7 %¹ X I KŠ) f Q m ( f grqfpjizdfjhmnz_s ÑRJrqlKnRLZJuM7`]HK`]dflmvSIHt`fWqn}LTS]vH J n ÒR `QvTw~_f`]i Yl _plxji*m7juh HmS]i T ] Z "!!YŠ$ %¹ k`qvtw T I X "!!YŠ ] Y b I G ¹ÑZv`fiqvJurQL lkm*sidfj Ò VXJunZrYJu_pLZlKx]JUÑZv`]iYvJrzL OQJ¼qiql¹LXlK`]itÒR Tƒ Q`]M PozWzlKiqnZ_tŸ Rªu ] qª ozlrlzvxqvt_]juv{ozjl ÑTÅPizJ vs]i~lxwzlkiz_7ìavxj qj v LZlKxfJPSIWYn}LXVXSfv LZlK`fi~S]n LZVXtlKizd LX`:LZJHKHcoqn{ wys^l iqjjuoqn LZ` wysirzr(ji7 wzjuvzj S]nLXwzJUÌLXwzJV izìlxl `fiqn S^LZLZJuM7rQL LZ`<J QrzHmSIlKï wt l L OQ`tJ n izìluƒ Ò PLRLXJVXH lkdpsivxjjui~rqs]vxs]hkh JuHKHtnZ`]M½ PozWzlKiqnZ_tLTSIVozrzr~[]VOzJi~Jux]JuifLXozJHKHmS Hm[Iiz_fJi7M7JH s HmS]iyF:JiYS7nRlmOzS]i~Jiq_S]rqnZozHKJVXl iqd `QvTwyF7S]iqOQVTSnZlmOzSIižOQlmnRLZlKiz_pLZlK`]iqJi*M7JuH HmS]i X ] Z!!YŠ `QvTw!/ Z ŽX T Q ) Q qš f!(ƒ<à SIi nrr(j_tozhkjuvxs]v S^LZLPrzVTSI_pLZlmnZ_!e^xtizlKizd7_^S]iage]VXM*F*nZozWQÊ}J_pLXJL SILRLkJiz_^S]rqnRoqH JuVXS JLRLkWYJud]VXJrzrN cnxf*silrlkrzvz`qvjuoqozvx_toziqnz_^sir(jiizeqoqx^[iiyoqlkd7age]v oqlragefvxs]iqs OzJL7rqF OQJLZLXS nz[ilrl _S]i dfj~ozrqrzwz`^x LZlKHKHJi O^Ê}ozrqSIVXJyWYJud]VXJrzrqnZ_toziqnZ_^SIrcƒ plxjd]jl*[iv agvtfii*ozjlrltskhkl¹lxjllzlkhkhzs^lzl\lxs]hmsp`fm `fh lk_^sš ^ TŠ % Š q T qoz[]v l iplxvxs]izlkxf]ï l(oqji x]jlzjuiqs nz_^sirzhklkdfs oqlzxfjuvt_thklkizd]jui7`^xs]iynzx^sivtsiv{m7ìls^lzlu_toziziqs M*S]izlKrzozHKJVTSk`QvTwy`fWqnZJVXx]JVTS `fwqs Ê}Ju_pL \M7Ji lkiplzj~silrl VXJHmSILZJVTS!`tvTwË`fVXOziqSOQJMžƒ LZLkÑR`]VTOQiqSÒ7[IV Ê}o age]v e^xtvxlkdil nr`fm iy[im7iplxn`^x^siic QJLRLJdfJLUnZvTwqJM*Sk³ JLRLWzHmSIiYO*M*FIiqdfS nz`]m½w(jwqe^xtn agefvm*silzjum*s^lzlmnz_^s VXJunZ`]iqJM*SIiqdzƒÀ ozvpozjunxnzs7nxvtwzjm*s]ic q`qvtwnzryj vlkjhkh L{OzJVTS]nozrqrz_]`fM*n}LU`QvTwoQLXx]JuvT_tHKlKizdz []V*VXJHmS^LXJVTS]OQJ~LZlKHKH{Lƒ J /ƒ OQJM7JuV7xplmOzS #7 #7 KŠ) ] ] #!q zš ag`fvzm:ozhkjvts]oqjysx Æ lmnzn #ÆUlmnZnU`tvTwh]JiqnZJi Ç fç []VJiSIiziYSIiyagVXF]dfS:nR`fM xf`]vxjplkiplzvxjunxnzs]ipl{silrluoqlxvzj OzS l OzJLXS]H Ê ƒ PozWzlKiqnZ_tPlKitx^[IiqOzJVJuM7JHKHKJVZLZlmO nxsimlzlmoqlkd]lcsilrle^xpiql iqd [x]jui _S]i<x^SIVTSUnZ_SfOQHKlKdIL rqf nxf nz[ilrlus^lzl OQJLU_^S]i!W(J_tVT[^amLXS:`QvTw*agefVXnRLX[]VZ_^S:nZFx^[]HYagJuHmSI_pLZlKdfSnR`fM½_]`fVZVXJ_pLXS ozrzrqabsilrlzs iql iqdfsivuƒ LRL!M*SIiÏl iyn}lt[im7m7jv:m7juo LXJ`]VXlKJVXiqSŸ`]MÐVXJ YJ_pLZlKx SIWYn}LXVXS]_fLXlK`]i W(JL}QOQJuV OzJunXnRoQLX`]M l iplxjžsilrl*sihkhlkiplzjuh HKJu_fLXozJHKH x]jvx_qnzs]m7wzjl:m7juo izeqoqx^[iiqozl dfwzjl7nz_]jv7dfjiz`fm JuiGOQlKVXJ_pL{LZlKHKHK[]M7rzizlKizdy gx^sivxj<nrlkd7m7j OQx]JLZJižJuH HKJuV`fM7JuOQxfJLXJiY {SxyOQJunXnZS JuHKH JuVUSIiqOzVXS rqvzlkiqvl r(jvuƒ nzpiqizjvxwzjl\w(jwqe^x]jv OQJL lkiplzj{x^sivts SIoQLX`]M*S^LXlmnR_pL ^Hm[^LZL JHKHKJVJiqn\iqS^LXozVZHKlKdIL agefv*n}lxoqoqjuiflxjv7lm*silzjm*silzlk_ÿsilrl7oqlzage]vts OzJunXnZS n}lxjdqƒ iyozf M*F]nRLZJyM*SIic `fm M*SIi lkiqnrlx[]m7m7jv{m7juoozji_]`fiqnrlzvxoz_plzlkxtlknrlzlmnz_^s<nrtizjuirqf7_toziqnz_^sirc (LZVXÌLTnUOQJLRLXS~OQVXS*xplmnXnZS _f`]iqnzj_txfjiqnzjvuƒes]i:m*ffn}lxjnr_^sirys agefvzozlxnx[^lrlxizlkizdfs]vagefv nrlzoqoqjuiplzjv\silrl\oqlzage]vts OQJ_]`fiQs nrlzvxoz_plzlkx^skn}lxjdfjic fsilrl lkiqnzrzlkvzjuvxsus]_plzlkx _]`fiqn}lxvzoq_flxlk`]i<`qvtw VZJ$qJ_pLXl `fi<e^x]juvj Qlmn}LXJVTSIiqOQJ nxvtwzjum*sii age]v SILRLnZ_^SIrqSžitpSQƒy PJL¼qiziqn x^[ih Oz`tvT_ŸlKifLXJ7iqFIdf`]i oziqozjvxxplmnzizlkizdfnxnz_]`]hms nz`]mðl iplxj!juvz_^[iiqizjv7s^lzl7m*sii M*Ffn}LXJ!wYSagefVXnRLXFILRL LZlmOQlKdfS]VZJ~WYJud]VXJrzr age]v*s^lzl7_poqiziqs LXlKH HKdf`tOz`]d]efVXS nzlkd~itfsz /`QvTw OQJL `fsxqnzjlzl `fmm*siig_^s]h HmS]V OQJLkagefVÑZnXvTwzJM*S^Ò JuHKH JuV iqfis dfìls]iziqsil \nzfvzj nr`fizjm*s]izd!`fm SILRL:xplmnXnZSžnRLZVXoz_pLZozVXJVM*F]nRLZJ ¼qiqiqS]n<ab[IVTOQlKdfSylKiziqSIi nrlzoyoqjiplzjuiž_s]iž_]`]iyn}lxvzozjuvxsnrr(juvl ¼q_^SitpS _^SIižHm[^LZLWqH lcjuižh Ju_7M7JuO!`]VTO/ƒ À ozv OQJiqiqS*_f`]iqnRLZVXoz_pLZlK`]inZ_^SIHKHdpF7LXl HKH[IV `tvt_qnxf*juiagvtfidfs~nr`fm _^S]iŸOQJuWqS^LZLZJVTS]nƒ PJL*[]V S]HKH¹LXlmOŸHm[ILRL:SILRL*nZJ!itfSGVZJ OznZ_S]r `QvTw w^êr[]hkrzm7juoqjuh nz`]m JLRL*nRHmS]dfn abs]_plzìlxozmžƒ iqoqjuv ²{œ< iqn`qvtwxtlmoqju`]iqnlzlmoqlkdpsq ^`QvTwlKipLZJagozHKH LnXFPLZlmOQlKdfSz ^WqSIVXiqOQ`fM wpthkhms]oqj nozjunxnzs nz`]m OQJuiÏÑZnRHKoQLXHKl dps H epnriql iqd]jiqòyrqf OQlKx]JVTnZJrYJ OzSIdf`]d]lmnZ_^S rzvz`fwzhkjmžƒ iqoqjvxxtlmnrizlkizd nz_tozhkhkj<rqf~s]hkhks:izlkx^fijuvpnz_]jd]jiq`]m ²{œUs nz[]iqoqizlkizdpsivujuh HKJuVUxtlKOzJ`]_^SfnRJLRLZJuVƒ JuOznZ_^SIr(Ji WqH lkv\jlrl nzhmsidpnnñrnziqsi_fj`fl H¹Ò nz`]m HKefnZJV\SIHKHmSPrzVZ`fWzHKJMž ]`QvTw agvtfidpsii7[iv\`fmèlkiplzjuozjlxnxsim7m*s nz_]juv M7JuO OzSILZ`]VXi:lKOqSIdzƒœ lq_^s]i:iy[im7iqsk tjtm7`fozv j SIr(JVZL nz`]mèoziqoqjuv «sn`qvtww(e]v#êrsii ryfy s&lxs]h JL S]VZW(JLTS]OQJ:M7JuOŸOzS^LX`]VTnRrzVTFI_fJL Åkˆ<Å `QvTwGwY[xtOqS]OQJ S^LZLkWYSIVXiGWq[fn}L _^SIi agefvxnrlxf_]`]iyvjrzl iq[iv:oqj~_^s]i SIHKd]`fVZl LXM7lKnZJVXS*OQJuM dfjiz`fm SILRLnZ_tVZlKx^SOzSILZ`]VXrzVX`]dfVXS]Mžƒ PJLZLXS [IdfJVu FILZM7lKiqnRLZ`]iqJage]Ve^xfJVZLZJ vt_piys]o/ lkoqsidulkiplzj nxsim7m*sittwzjlxjiqnw(jwqs]dzƒ tlzvxl _pl 77

81 rzvx`]wqh JuMWYS]nZJVTS]O oziqoqjuvzxtlmnzizlkizd Sx<`fH lk_^sunzhmsid wqsiviqsilzozvxhkl d]lzxtlmnnzlkï rzhms^ltn IM7Jui:[]VH lk_^s iqsilzozvxhklkdil lkiplzj S]H JuiqS nxsihklkd]dfe]vtsiiqozjiƒ PJL [IV `QvT_QnXF*xtlK_fLXlKdIL S^LRL<FILZJVXlKd]JuiGnRHmF~abS]nRL<S^LRL j\lms]d]jltn g`qvtwÿj lks]d]jl `QvTwˈkSIVZs vlksfnx USxtnZlK_pLUxS]V SILRLkWYJ nr_tvxlkxs7ozjž % % # q / # ] I q KŠ #7 nz`]m[]vplkitx]`fh xfjvts]oqj ll izs LXJHKHKJ_pLZozJuHKHtLXSIiq_]JxfJVX_QnZS]M7wzJL`QvTw7lqWzlKHmOzSIiYOQJL Sx:_toziqnZ_S]rcƒ\ˆ Jiz`fMÈWzH&ƒ»Skj\lmSIdfJL `QvTw ˆkS]VXvlKSfn nzs]m L PozWzlKiqnZ_tQn<J QJuM7rYJuH nrlxfiv:oqjl:_thks]vrl SILRL OQJunXnZSM7J_^SIizlmnZM7JVkLXl HKHmF^LXJV Jui M:QvT_]JL agvtsim7dff]izdfnzvxl _žsiiysihkqnpsxlkiplzjuhkh Ju_pLZozJuH H LUxfJVX_tnXSIM7wqJL [IiqOzSyozrqrŸLXlKH Hwzefd xfjlzjuiqnz_s]rzhklkdyiql x^fzƒÿ QF]OzS]i x]juvz_qnxsim7wzjl<[iv JuM7JHKHKJVZLZlmOM7J O izeqoqx^[iiqozl dfwzjl<lkiplzjuvzin `QvTw7OQJUM*S]izlKrzozHmS^LXl `fizjvnr`fmènz_]juv\[iv\m7juifltsihmsqƒ x S^LZL\l iqhk[]vziql iqdz ^HKl _^S iqsilzozvxhkl d]lnz`]m SILRL ag`fvxnz_tizlkizd7m*f]nrlzj xs]vxs~oqjlu (LXlKH HnRlKiiqSILZozV [IV krqf~d]vxoziqosxžoqjig`]r(jvts^lzlkx^s SfnRr(J_pLZJuiSx!_toziYnR_^SIrG`tvTwžLT[Iiz_^S]iqOQJI /_^SIixtllKifLXJ OQVTS7JiGJipL}QOQlKd*nRHKoQLTnZSILXnƒUÃ\izHKlKdIL Ã\iqdfnRLZVXe]MÉ }ª ] f«f WYJLZ`]iYS]OQJ{j\lmSIdfJL`QvT_tnXF S^LRLÑZSI_pLZlKxtl LZJLlKipLZJ{nR_^SIHKHtozrzrzabS^LRLTS]n S]H H LZage]V nziq[xpl<nr`fmìjitwqs]vrlkm*siitozjuh H L wqsiiqozhks]iqoqj:oqlxs]iëoqjl<`fm abs^lrlts]oqj:`qvt_qnzf!vzjuiplkm7juiplxsihms S]_fLXlKxpl LXJLZJuV}ÒTƒ\ QF:_S]iž`tvT_QnXF<LXVXSfOQl LZlK`]iqJHKHmS age]vxjhm[]nzizlkizdfs]v\x^sivts SI_pLZlKx^S `QvTwžr(JVZag`]VXM*S^s LXl x^sz qxtl HK_fJL{agVXS]M7wqFIHKHmnSx! `QOzOË Ç qd]juiz`]m S^LRL OQJ abfivpfiwzefvxs]vzjuiysilrl VXJ qju_plzjvts e^xfjv*nzl i Jud]Ji _toziqnz_^sirc Ul agvtfidps]nx[^lrltsÿnzlkiqs n}ltfiiqozrzoziz_plzjuv~`qvtw S]vT_f`]M7M7`QOQJVTSGnZlKiqS M7JuifLTSIHmS nrlzvxoz_plzoqvzjuv agefvus^lzlul iqizjabsilrlxs:itfsw(jd]vxjrqrcƒ iysihkqnrjuiw^êr[ihkr(jv `fnxnksihkh LXnXF7S^LRL age]vtnrlxfyoqj_f`]iqvjrqlxozjhkhms `QvTwG_f`]d]iql¹LXlKxS7nZx^FIVXlKdIs wzjlzjuv nr`fméozrzryn}ltfivlnoziyoqjvxxtlknzizlkizdfjic znziqsivtsivxj []iysilrluoqlxmtiziyslnrr(juvl¹¼y_s:vxj_f`]m s M7JuiqOzS^LXlK`]izJuV<SxGxtlmnZnXSžoziqOQJuVZxtlmnZizlKizdfnRag`]VXM7JVuƒ*œ l{nrjuvsilrl:nxsim7m*synzxf]vzlkdfwzjlxjv wqs]v e^xfjvxxpoqizizl LXn `]M`QvTw`]MÍl dfjioziyoqjv<oqjuigm*[]iqnr_thklkdfs:wzlmnrlz`]vxlkjicƒ LRL<nXFx^[IH VXlKnRLZ`]s LXJHKJun nz`]m ÆUJu {LZ`fic kjurzhkjv:`qvtw ˆkS]oqnZnabS]M7HKSILlUnXSIM7M*SGM7e]VX_]JVu oqlxs]i S^LRL agefvxnrl _toziziys^l oqlzl}qozsm7efiqn}lxjv ozv:oqlmnrrysivts^lxs!agjuiz`]m7juic []V JuiË_[]HKHKS!LXl HKH\WYF]OQJ7agefVZoqiqOQVTSIi `QvTw!age]VZLZVXefnRLXSIiNƒ <DD5<4 ª]ƒ h]s]m7junc {SIHmOQ lkic f / Ž b %Q I ( t bžt %!/ Z b ^ qš m G % ^ $%¹! # q ^Œ m G / Ž b %/ Š Œ]ŽT z % Z ]Œ* besfvm7lkhkhmsii~ä `]M7rqS]itI zæuju \`fvz_ª «] ] p Ç ƒã O ozwql iynr_t ( k UJ qj v LZlKxfJ Wqn}LXVXSfv LXl `filki OQx^S]iqvJ OŸESILZwzJuM*S^LXlKvuSIH²{wzlKiz_ps l iqdz \ PSxtlmO ²S]HKHP b UJuO/ƒ T ^ ^ /ŽX T G z $# bžt %/ Q m I m p khkot JVu P`]VZs OQVZJ vtwplkª ] qª ƒ VXizJ*Ã\izdpn}LXVZefMž <j\lmsidfjlxn<d]jiqjlzlmnz_^s!jurzlmn}lxjm7`fh `fd]l& VXizJ7Ã\izdpn}LXVZefM b UJuO/ƒ T $#7! ŽT Z b ^ # tlzoqoqjuiplzhkl LRLZJuVXSILZozVu NoziYOŸª ] f«f qƒj`fozh zw(vt_fj7 b J O/ƒ» %¹ Š %¹ f ] I ( #¾z`]VXozMž q plx`tvt_twz`fhkmªu ]«ƒue`]dfjiqnæulmnznn`tvtw<àiê}dps]sivtokhijuiqnrjuic : #'!z (ŽT X # $#7 % m t ^ Y Ots OzSIiziqJHmnRJ nznrl}tvzjuhmnrjuiqn LXJM*SIwamLZJunZJVXlKJ izvuƒªu«z efryjuizwqsim7i Ç fç zƒ hij SIï j lks]d]jl`qvtw `fhks]iqoq`pˆks]vxvlmsq ^ ŠTŒ]ŽT z X p / Š KŠP ^ / z KŠ I Œk Rš /Ž b /ŽX &Ä `]HKozM:WzlmS izlkx]juvxnzl L}j\VXJunXn qæuj \`]VX_ª ]«] p tƒ hij SIi:j\lmSId]JL &U ( bž!/ KŠ $# %¹ Z ]Œ< &Ä `fhkozmwqlksuizlkx]juvxnzl L}Pj VZJ nzn fæuju \`fvz_ ªu «zƒuejhklmnznxs7 `QOzO/ Îl LXizJunXnkS]nPjS]VRLXlmvlKrqS^LXlK`]ic LZwzJ NJ v LXozVZJ:²{wzJuSILZVXJSfn tl LXJ ag`fv ES^LXwzJM*SILZlmvS]H JSIiqO `fiqoqjuv I z! T I q m p }š! G z $# bžš Ç Kª Ç " 78

82 Utvärdering av experimentkurs i analys för brand. Carl Olsson 15 februari Bakgrund Sedan några år tillbaka pågår en debatt om de ökande problemet med bristande förkunskaper i matematik på universitet och högskolor. En rad undersökningar (se t.ex. [1] - [8]) har pekat på detta och problemen som det medför fick högskoleverket i uppdrag att utreda och analysera dom förkunskapskrav i matematik som ställs inför högskolestudier i Matematik. I slutrapporten [5] konstaterar man bla. att, bland de studenter som börjar på tekniska och naturvetenskapliga utbildningar finns tydliga brister i både räknefärdighet och matematisk mognad, förkunskapsnivån hos åtskilliga studenter är så svag att det blir svårt att tillgodogöra sig undervisningen. Man pekar även på att undervisningen i matematik vid högskolor inte är anpassad till den nuvarande situationen. För att komma till rätta med problemen föreslår man bl.a. att innehållet i de grundläggande kurserna i matematik bör ses över. När detta görs bör man ta hänsyn till olika typer av matematisk kunskap eller kompetenser. Man beskriver tre typer av matematisk kunskap, teori, metodkunskap och tillämpningar. Det finns inga motsättningar mellan dessa, utan i stället bör de utvecklas parallellt med varandra och stärka varandra. Matematiska institutioner har traditionellt sett varit bra på att förmedla den matematiska teorin och inte lagt så stor vikt vid metodkuskap och tillämpningar. En mer utvecklad modell för matematiska kompetenser ges i [9]. Här identifierar man åtta kompetens områden som skall hunna användas för organisera matematikinlärning. Kompetenserna delas in i två grupper: Att fråga och svara i, med, om matematik: Tankegångskompetens Problembehandlingskompetens Modelleringskompetens Resonemagskompetens Att hantera matematikens språk och redskap: Representationskompetens Symbol och formalismkompetens Kommunikationskompetens Hjälpmedelskompetens Kompetenserna är besläktade med varandra och överlappade. Man kan inte enbart tillgodogöra sig enstaka kompetenser utan inlärningen bör ske så att kompetenserna stärker och kompletterar varandra. 79

83 2001 gjorde Högskoleverket en ny utredning (se [7]) där man bla. konstaterade att ett av de allvarligaste problemen är enligt många universitetslärare den stora spridningen i kunskaps- och färdighetsnivå hus nybörjarna och att de flesta nybörjare har bristande kunskaper i elementär algebra. Våren 2003 tillsatte regeringen en särskild matematikdelegation med uppdraget att utarbeta en handlingsplan med förslag till åtgärder för att förändra attityder och öka intresset för matematik och utveckla undervisningen. I sitt betänkande [8] konstaterar man att nybörjarstudenternas förkunskaper och studievanor i genomsnitt blivit sämre, vilket kräver en förändring av undervisningsmetoderna. Man menar också att man bör ta större hänsyn till de olika kompetenserna och inte som idag att i allt för hög grad endast förmedla den matematiska teorin. Exempel på färdigheter som behöver förstärkas är, strategier för att analysera begrepp och behandla problemställningar, kommunicera resultat och göra rimlighetsbedömningar. I [6] konstateras åter igen att problemet med studenternas förkunskaper växer och att arbetet för att motverka detta inte har getts tillräckligt stora resurser. Även har diskuteras matematiska kompetenser. Man menar att om mer kraft lades på att utveckla kurser med de olika kompetenserna i åtanke skulle detta bidra till att utveckla matematiken till ett naturligt verktyg för studenterna. Man skriver bla. i sin avslutning Studenternas förkunskaper avtar och har nu nått en nivå där det finns luckor i kunskaper om och färdigheter i den elementära aritmetik som introduceras i grundskolans årskurs 1-6. Matematiklärarna på högskolor och universitet lägger ner stort arbete på att förnya undervisningen och anpassa både till studenternas förkunskaper och det moderna samhällets krav. Arbetet har ofta gjorts på individuella initiativ och utan extra resurser. Långsiktiga och systematiska satsningar saknas. Det är nu nödvändigt att göra bestående insatser och förändringar. 1.1 Erfarenheter från LTH och andra högskolor Både vid LTH och vid andra tekniska högskolor utsätts nybörjarna för test av olika slag. Vid LTH har sedan 1997 alla nybörjare fått skriva ett färdighetstest några veckor in i läsperiod 1. Eftersom de olika programmen läser grundkurserna i olika ordning förekommer två typer av test, ett för dom som börjar med analys och ett för dom som börjar med linjär algebra. Figur 1 visar andelen studenter som får rätt på testet. Dom studenter som har mellan 15 och 20 rätt kan få 0.5 poäng extra på tentan för att klara godkänt. Man ser att resultaten på analys testet visar en nedåtgående trend mellan 1997 och 2000 sedan tycks resultatet ha stabiliserat sig. För linjär algebra testet syns ingen sådan trend. Detta kan eventuellt förklaras med att för linjär algebra krävs inte samma förkunskaper som för analysen. Dessutom är det färre studenter som skriver linjär algebra testet an analys testet. De år som testen har givits har det varit mellan 263 och 500 studenter som skrivit analystestet och mellan 60 och 132 som skrivit linjär algebra testet. Uppgifter från en rad andra lärosäten tyder på samma problem. På Chalmers har man sedan 1973 gett samma diagnostiska prov. Fram till 1993 var resultaten relativt konstanta, men 1994 inleddes en nedgång som sedan har fortsatt. På KTH har man sedan 1997 gett samma test. Där kan man sammanfatta utvecklingen under den tid som 80

84 Figur 1: Resultat från färdighetstesten i analys (grå) och linjär algebra (svart) från provet givits i tre steg. Under de tre första åren låg den genomsnittliga lösningsfrekvensen i stort sett konstant på ca 55 %. De tre följande åren minskade resultatet med nära 10 procentenheter och sedan dess har nivån varit relativt konstant kring 45 %. Problemen med de minskade förkunskaperna har man försökt åtgärda på olika sätt. Exempelvis har man i Linköping infört en obligatorisk förberedande kurs på 4 poäng. På LTH har man erbjudit ett antal propedeutiska kurser. Mest omfattande har M-kursen varit. Här har studenterna efter ett diagnostiskt test erbjudits timmar undervisning i gymnasiematematik. 2 Experimentkurs i analys för brand En arbetsgrupp vid Matematik LTH tog 2004 fram ett förslag till förändring av de inledande kurserna i Matematik och på höstterminen 2005 inleddes försöksverksamheten på Brand med en ny kurs i analys. Den nya kursen i analys är en del i ett försök att utveckla en omarbetad version av grundkurserna som skall göra övergången mellan gymnasiet och högskolan lättare. Istället för dagens 8 poäng (4p Analys1 + 4p Analys2) läser brand 11 poäng uppdelat i två delkurser om 5 respektive 6 poäng. Utökningen består av att grundläggande begrepp tas upp betydligt mer och att man går långsammare fram speciellt i början av kursen. Arbetsgruppen identifierade ett antal problem som man har som mål att förbättra med den nya kursen. Räknefärdighet. Stor vikt skall läggas vid att undervisa med inriktning på förståelse. Exempelvis skall studenterna förstå vad som händer när man sätter tal på samma bråksträck, för att det inte skall råda några tveksamheter när det gäller bråkräkning vilket är fallet för många av dagens studenter. Logiska resonemang, strukturerat tänkande. För att träna logiskt tänkande skall man använda sig av geometri. På gymnasiet presenteras geometrin som en samling fakta utan några inbördes sammanhang. Eftersom studenterna har sett delar 81

85 av innehållet tidigare kan man då fokusera på de logiska sammanhangen och få studenterna att tänka strukturerat. Samtidigt som man lägger tyngdpunkten på den logiska strukturen får man en möjlighet att repetera en del trigonometriska och geometriska resultat som t.ex. klotets volym, som många studenter idag är osäkra på. Kursen går inte längre innehållsmässigt än vad gymnasieskolan gör däremot skall mer arbete läggas på förståelse. Kommunikation. För att träna matematisk kommunikation ges ett antal inlämningsuppgifter. Uppgifterna kan lösas gruppvis, men skall redovisas muntligt och skriftligt för en lärare. Lärarens uppgift är här att påpeka logiska brister, ofullständiga resonemang och att tillsammans med studenten reda ut oklarheter. Problemlösning. Stor vikt läggs vid att träna studenterna i problemlösning. Detta menar man passar bra in i geometriblocket. Man försöker att lägga mer tyngd på att inte bara förmedla teorin utan att även träna sådana saker som kommunikation och strukturerat tänkande. I termer av Niss- Jensen [9] är den stora skillnaden mot dom nuvarande kurserna att man försöker införa kommunikations och resonemangskompetenserna. Framför allt kommunikationen är något som saknas i de nuvarande grundläggande kurserna. Dessa tränas bla. genom inlämningsuppgifterna. Eftersom uppgifterna skall redovisas muntligt för en lärare får man träning på kommunikation samtidigt som man får öva på bevisföring. Man försöker även stärka några andra kompetenser som idag inte får så stort utrymme. För att stärka tankegångs- och problemlösningskompetensen vill man använda sig av geometrin. Genom att man går igenom geometrin grundligt får man möjlighet att studera de matematiska strukturerna (axiom, definition, sats, bevis). Eftersom mycket av geometrin är känd från gymnasiet är förhoppningen att studenterna skall ha lättare att ta till sig de matematiska begreppen. Ett exempel på hur geometrin kan användas för att betona den matematiska strukturen är att man formulerar några enkla axiom som tex. Genom två punkter går det att dra en rät linje. Eftersom detta är något som upplevs som självklart av de flesta får man här tillfälle att visa vad ett axiom är utan att man behöver fundera så mycket på vad just detta axiom säger. Genom geometrin får man även tillfälle att stärka problemlösningskompetens. Eftersom själva geometrin ofta upplevs som relativt lätt kan man koncentrera sig på proceduren att ställa upp problemen matematiskt. För att stärka symbol och formalism kompetensen har man lagt in ett nytt kapitel med övningsuppgifter som bla tränar användning av ekvivalenspilar, < >-tecken och dylikt. Här finns också ett antal uppgifter för att träna den rena räknefärdigheten. För att ytterligare träna räknefärdigheten lägger man större vikt vid det introduktions kapitel som redan idag finns i kursliteraturen men som oftast gås igenom mycket snabbt. Man har ett extra övningstillfälle i veckan där man bara tränar räknefärdighet, man hinner därför räkna i stort sätt alla de övningsuppgifter som finns i introduktionskapitlet. Dessutom har man ett särskilt test med med idéer hämtade från det nuvarande färdighetstestet. Testet är dock obligatoriskt, och måste därför skrivas för att få godkänt på kursen. Det ges i läsvecka 3 och man kan därefter skriva om det en gång i veckan. Arbetsnamnet för testet under utformningen var matematiskt körkort och i brist på bättre förslag har detta sedan hängt med. Kursen läggs upp så att den färdighetsövande delen tar stor plats i början och trappas därefter ner. Man strävar efter att hålla räknefärdighetsdelen åtskild från resten av kursen eftersom vissa studenter redan har den räknefärdighet som behövs. För att de inte skall tråkas ut skall de därför veta vilken undervisning som de behöver gå på. 82

86 Från programledningens sida är målet framför allt att den ökade färdighetsträningen skall hjälpa studenterna att klara av fortsättningskurserna bättre. Man är bland annat intresserad av att öka genomströmningen på kursen i fler dim. Just av denna anledning finns ett avsnitt om analytisk geometri där man exempelvis behandlar cirkeln, ellipsen, hyperbeln och parabeln. Tanken är att om man har sett detta tidigare är man mer förbered för flerdimkursen. Om försöket faller väl ut är tanken att försöka få fler program än brand att läsa samma kurser. 3 Resultat För att få en uppfattning om hur väl kursen har levt upp till sina mål presenterar vi dels en enkätundersökning där studenterna själva har fått bedöma sin förmåga och dels tittar vi på tenta resultatet. Som referens grupp har vi valt studenterna på I-programmet. Detta eftersom dom har ungefär samma betyg från gymnasiet. I och Brand läser dessutom grund kurserna i samma ordning nämligen Linjär algebra i läsperiod 1 och analys 1 i period Enkätundersökning Enkäten utformades av Stefan Diehl. Den innehåller sex olika delar, kunskapsdeklaration, färdighetsdeklaration, det matematiska körkortet, redovisningsuppgifter, allmän inställning och övriga synpunkter. För att ha något att jämföra med skickade vi ut en modifierad version till I-studenterna. Eftersom vissa moment inte ingår i den gamla kursen strök vi vissa frågor som inte var relevanta. Dessutom bör man ha i åtanke att på brand delades enkäten ut i läsvecka 4 men på I inte för än läsvecka 6. Kunskapsdeklarationen innehåller frågor om de fyra olika momenten plan geometri, trigonometri, rymdgeometri och analytisk geometri. Dessa igår i kursen och undervisas till viss del på gymnasiet. Studenterna ombads bedöma hur pass säkra de är på de olika momenten och hur säkra de var innan kursen börjat, genom att ange ett värde mellan 0 och 5, där 5 betyder mycket säker. Figur 2 visar skillnaden mellan säkerheten före och säkerheten efter och medelförändringen på de olika momenten. Eftersom varken rymdgeometri eller analytisk geometri ingår i kursen finns inga I-staplar i de två undre diagrammen. Plan geometri ingår egentligen inte i någon större utsträckning i den gamla kursen, men eftersom man använder det i stor utsträckning i övningsuppgifter och det förutsätts att man kan det så har vi tagit med den frågan i I-versionen av enkäten. Störst förändring verkar ha skett på analytisk geometri delen. Jämfört med I syns en större upplevd förbättring i framför allt plan geometri, vilket inte är förvånande eftersom detta gås igenom grundligt. I färdighetsdeklarationen finns samma typ av bedömningsfrågor som ovan, men här handlar det om räknefärdighet, logiska resonemang och bevisföring samt problemlösningsförmåga. Även här får studenterna bedöma hur pass säkra de är på de olika momenten och hur säkra de var innan kursen börjat. Figur 3 visar resultaten. Här verkar den största skillnaden vara att på brand anser man sig ha förbättrats mer inom logiska resonemang och bevisföring. Nästa del innehöll två fritextfrågor om idén och utformningen av körkortet respektive redovisningsuppgifterna. På frågan om körkortet var de flesta positiva. Av de 41 svarande anser 4 att det är onödigt att repetera gymnasiekunskaperna. Dessutom skrev 6 st att körkortet borde vara en separat kurs innan både analysen och algebran och att det inte borde vara obligatoriskt. Några typiska på svar är 83

87 Figur 2: Kunskapsdeklaration. Skillnaden mellan säkerheten före och efter (Bi grå, I svart). Bra. Jag hade ett behov av att träna räknefärdigheten och tvingades därmed till det. Principen är bra! men inte sätta kravet G för att få genomföra tentan... Lite larvigt. Man har ju bevisat sina kunskaper 100 ggr tidigare. På frågan om redovisningsuppgifterna var svaren i allmänhet lite mer negativa. Av dom svarande var det 11 som upplevde det som onödigt och tidskrävande. Någon ifrågasatte meningen med att träna på att bevisa saker, men de flesta verkade ändå nöjda. Några exempel på kommentarer är Eftersom bevis uppgifterna lätt blir lite flummiga var det bra att gå på djupet med en sådan uppgift. Bra att muntligt lära sig redovisa matte. Men av princip tycker jag att det är onödigt och tidskrävande i ett redan pressat schema. Den vi har haft var ganska trevlig. Bra redovisningssätt att man kan resonera med en handledare. Nästa del del handlade om hur roligt och viktigt man tycker ämnet är och vad man tyckte före kursen. Även här var skalan 0-5. Figur 4 visar resultaten. Sista frågan var om studenterna hade några övriga synpunkter på kursen. Det var inte så många som svarade, men dom synpunkter som fanns var bla. att man ville ha utdelade föreläsnings anteckningar. 84

88 Figur 3: Färdighetsdeklaration. Skillnaden mellan säkerheten före och efter (Bi grå, I svart). 4 Tentamensresultat. På tentan i december hade Brand ett antal uppgifter gemensamma med övriga program. Eftersom Brand och I skrev ungefär lika bra på linjär algebra tentan kommer vi här att använda I som referens grupp. Det skall dock sägas att även tidigare år har I och Brand skrivit lika bra på linjär algebran men Brand har haft väsentligt sämre resultat på analysen. Detta brukar ofta förklaras med att många av brandingenjörerna inte kommer direkt från gymnasiet och därför inte har lika färska mattekunskaper. Eftersom analysen kräver mer förkunskaper blir då resultatet lite sämre. För att kunna jämföra antal valdes slumpmässigt lika många I studenter som antalet skrivande på brand nämligen 42 st. Nedan görs en jämförelse av de gemensamma uppgifterna. Eftersom poängbedömningen för olika fel kan skilja något mellan de olika programmen har vi gått igenom varje uppgift, karakteriserat de vanligaste felen, räknat på hur ofta de förekommer och hur allvarliga de är. Jämförelsen är därför inte helt objektiv. I tabell 1 visar vi även antalet studenter som fått noll respektive full poäng på de olika uppgifterna. Uppgift 1a) handlade om att lösa en ekvationen x 2 + x x = 0. Svårigheten är naturligtvis att hantera absolutbeloppet genom en uppdelning i två fall exempelvis x < 1 och x 1. Uppgiften gick ungefär lika bra på I och Bi. De vanligaste felen är att något blir fel med intervalluppdelningen och att man inte plockar bort falska rötter. Uppgift 1b) var en test på hantering av logaritmer. Det handlar om att lösa en ekvation innehållande logaritmuttryck. De vanligaste felen här är att man hittar en falsk rot 85

89 Figur 4: Allmän inställning till ämnet (Bi grå, I svart). och att man gör något fel på logaritmlagarna. Uppgiften gick väsentligt mycket sämre för Bi än I. Bland Bi var det 15 st som tog med en falsk rot och 13 som gjorde fel på logaritmlagarna. Motsvarande siffror för I var 6 och 8. Att göra fel på logaritmlagarna skulle kunna tillskrivas för lite övning men att ta med en falsk rot antyder att förståelsen brister, vilket är allvarligt eftersom ett av målen med kursen är att få en ökad förståelse. Uppgift 1c) gick ut på att lösa sin 2x 2 sin 2 x = 0. Det vanligaste sättet att lösa uppgiften är att använda formeln för dubbla vinkeln och sedan faktorisera ut sinx. Uppgiften har gått mycket bättre på I. Den största orsaken är att många på Brand dividerar bort faktorn sinx och missar därmed lösningarna kπ. På både I och brand förekommer felaktiga omskrivningar av typen sin 2x = 2 sinx men i något större utsträckning på Brand. Båda felen antyder att förståelsen inte har blivit bättre. tan 2x Uppgift 2a) handlade om gränsvärden. Man skall beräkna lim x 0 x genom att sin x överföra på standardgränsvärdet lim x 0 x. Här har det gått ungefär lika bra för I och Bi. Resultatet blev lite sämre för Bi eftersom dom i regel har fått avdrag för formella fel direkt man medan på I får avdrag när det blivit lite för många formella fel vilket ofta blir i 2c). Detta på verkar även siffrorna i tabell 1. Uppgift 2b) var samma som i 2a), fast x π/2. Här går det alltså att stoppa in π/2 direkt. Resultatet blev ungefär det samma på båda programmen. Uppgift 2c) var ännu ett gränsvärde, den här gången lim x + e x ( 1 + e 2x e x ). Här lyckades I mycket bättre eftersom de flesta på brand inte verkade veta att man skall multiplicera med konjugatet. På I var det 37 av studenterna som gjorde detta men på Brand bara 19. Siffrorna i tabell 1 påverkas lite till I s nackdel eftersom I oftare får avdrag för formella fel här. Uppgift 3a) gick ut på att beräkna asymptoter till en rationell funktion. Uppgiften gick marginellt bättre för Brand eftersom fler I studenter missat att kontrollera gränsvärdena då nämnaren går mot noll. Uppgift 3c) var att bevisa logaritmlagen log a st = log a s + log a t. Den vanligaste lösningen är att visa att a log a st = st = a log a s+log a t. (1) 86

90 Uppgiften gick bättre på Brand och dessutom var rättningen lite hårdare på Brand. En skillnad mellan programmen var att på I förekommer oftare cirkelbevis. På I hittade vi 7 fall av cirkelbevis medan på brand endast 2. På I visade ofta studenterna en av likheterna i (1) men lyckades inte slutföra beviset. Den största källan till poängavdrag var på bägge programmen att man inte försökt lösa uppgiften. Uppgift 4a) var en övning på räkning med komplexa tal. Man skulle lösa ekvationen (iz + 1) 3 = 8. Även här lyckades I bättre. Det vanligaste felet är att man tar tredje roten ur på båda sidor och på så sätt missar 2 lösningar. Detta förekommer på både brand och I men är vanligare på brand. På brand hittade vi 18 fall och på I 13. Felet är allvarligt på så sätt att man får bara en lösning till en tredjegradsekvation utan att reagera vilket vittnar om att förståelsen inte har förbättrats. Uppgift 6a) var ett test på problemlösningsförmågan. Det gällde först att komma fram till vad man skall göra, nämligen att hitta den punkt på halvcirkeln x 2 + y 2 = 100, y > 0 som har en tangent som går igenom punkten (25,0) och sedan utföra detta. Uppgiften gick ungefär lika bra för brand som för I. Det skall dock sägas att brand har ej tillgång till derivata vilket gör att man är hänvisad till geometriska resonemang med trianglar. Därför blev ofta lösningarna på I annorlunda mot lösningarna på brand. Uppgift Full poäng Bi Full poäng I Noll poäng I Noll poäng Bi 1a) b) c) a) b) c) a) c) a) a) Tabell 1: Antal studenter med noll respektive full poäng på de olika deluppgifterna. Det är svårt att dra några långtgående slutsatser från tentaresultatet. Eftersom vissa uppgifter var gemensamma har man på dessa varit tvungen att ge tentan ett traditionellt utseende, där det i de flesta fall är symbol- och formalismkompetens som testas. I många fall är det fråga om att kunna en algoritm för att lösa en uppgift. Detta är något som man inte lagt ner så stor tid på i experimentkursen, utan man hoppas istället att den ökade förståelsen skall kompensera för detta, vilket det inte har gjort fullt ut. Man kan dock säga ett par saker framför allt när det gäller symbol- och formalismkompetens. Formalismen har verkar i stort inte blivit bättre. Framför allt syns detta om man studerar gränsvärdesuppgifterna där både I och Brand har gjort ungefär samma formella fel. Dom gemensamma uppgifter som testar symbolkunskap har gått generellt sämre på brand. Bland annat har hanteringen av trigonometriska funktioner och logaritmer varit bristfällig. En orsak skulle kunna vara att dessa moment har fått hållas nere till förmån för de andra mer grundläggande momenten. En annan skulle kunna vara att 87

91 kursen har blivit för stor, så att man inte hunnit ta till sig hela innehållet. Dock skall det sägas att på de icke gemensamma uppgifterna har det gått bättre. Exempelvis fanns en uppgift som gick ut på att ange alla ekvivalenser mellan tre utsagor. Detta har gått mycket bra vilket antyder att man i viss mån lyckats förbättra den grundläggande symbolformalism kompetensen. Det som gått bättre på brand än I är framför allt bevisuppgiften som mest testar resonemangskompetensen. Det fanns även en icke gemensam bevisuppgift som gick ut på att bevisa korda satsen. Denna har gått bra vilket antyder att man lyckats förbättra resonemangskompetensen. Intressant är att detta stämmer överens med resultaten från enkäten. Ett av de områden som brand upplever att dom har förbättrats mer än vad I upplever att dom har gjort är just logiska resonemang och bevisföring. Det som talar emot detta är två ganska vanliga fel på brand nämligen, att man missar lösningarna sin(x) = 0 på uppgift 1b) och att man tar tredje roten ur på båda sidor i 4a). Detta vittnar om bristande förståelse för ganska grundläggande saker. I uppgift 6a) testas även problemlösningsförmågan. Uppgiften gick bra både på brand och I. Har är det svårt att dra några slutsatser eftersom de olika programmen har olika lösningsmetoder att tillgå, men man kan konstatera att relativt många har lyckats tolka problem texten och lyckats fundera ut vad som skall göras. Vad gäller kommuninkationskompetensen är det min uppfattning att lösningarna på Brand i allmänhet är utförligare än på I. Detta är dock något som inte syns i poängbedömningen utan min helt subjektiva bedömning. Rättarna delar dock den uppfattningen. Man kan som sagt inte dra så långt gående slutsatser i den här utvärderingen. En bättre utvärdering skulle behöva göras på längre sikt. Förhoppningen att fokuseringen på grundläggande saker skall hjälpa studenterna vid fortsättningskurser skulle man kunna utvärdera genom att jämföra resultaten i fortsättningskurserna, exempelvis i fler dim., med tidigare årskursers resultat. Man skulle också kunna tänka sig att man frågar lärare i fortsättningskurser om de upplever någon skillnad mot tidigare års studenter. Referenser [1] Brandell Gerd. Förkunskaper och studieresultat i matematik hos Luleås civilingenjörsstudenter. Didaktik och tillämpningar, vol 4, nr 1, [2] Brandell Lars. Matematikkunskaperna 2005 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen på KTH. KTH [3] Brandell Lars. Matematik för fortsatta studier. Stockholm [4] Johansson Bengt. Förkunskapsproblem i matematik? Göteborgs universitet [5] Räcker kunskaperna i Matematik? Högskoleverket [6] Nybörjarstudenter och matematik. Matematikundervisning under första året på tekniska och naturvetenskapliga utbildningar. Högskoleverket [7] Utvärdering av matematikutbildningar vid svenska universitet och högskolor. Högskoleverket [8] Matematikdelegationen. Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens. Statens offentliga utredningar SOU 2004:97 [9] Niss Mogens, Højgaard Jensen Tomas. Kompetencer og matematiklæring. Uddannelsesstyrelsen temahæfteserie nr

92 En för alla - alla för en Samarbete och inlärning i matematisk modellering Magnus Oskarsson och Fredrik Kahl Sammanfattning Huvudmålet med denna uppsats är att undersöka hur undervisning i form av grupparbeten med individuella handledare fungerar i matematik. Vi har valt att begränsa vår studie till kursen Matematisk modellering som ges till förstaårsstudenter på LTH:s civilingenjörsprogram Π - Teknisk matematik. Vid samarbetsinlärning finns det en del didaktiska begrepp och problemställningar som är naturliga att diskutera. Vi kommer i denna uppsats mer specifikt att undersöka begrepp såsom Funneling vs anti-funneling, Conjecturing atmospehere, Assent-Assert, samt Scaffolding, och deras roller specifikt i kursen i matematisk modellering. Syftet är att ta reda på om de positiva effekterna som beskrivs i litteraturen med samarbetsinlärning verkligen uppnås på denna kurs. Vårt huvudsakliga underlag till uppsatsen har varit en enkät till alla handledare i kursen, samt intervjuer med två erfarna handledare. Resultaten indikerar att samarbetsinlärning har många förtjänster gentemot traditionell undervisning. 1 Introduktion Samarbetsinlärning är en relativt sällan förekommande form av undervisning i matematik på högskolan. Traditionellt domineras undervisningen av föreläsningar i kombination med räkneövningar. Hur kommer detta sig, kan man undra. I litteraturen kan man finna många positiva erfarenheter och effekter av att lägga upp undervisningen baserad på samarbetsinlärning. Enligt Mason [16] så ger undervisningsformen en bra grund för vetenskaplig debatt och ett gott klimat för förmodanden. Man lär studenterna att kommunicera på ett öppnare sätt och på så vis kan man förstå hur studenterna tänker och var svårigheterna ligger. 1.1 Bakgrund På Matematikavdelningen, Lunds Tekniska Högskola (LTH) ges med få undantag kurser i formen föreläsning och räkneövning. Ett undantag är kursen i matematisk modellering för Π1. Kursen är uppbyggd kring grupparbeten med fyra personer. Varje grupp ska utföra tre projekt under en period av sju veckor. Första projektet får de cirka en vecka på sig att genomföra, andra projektet två veckor och det sista projektet är lite mer omfattande och tar ungefär fyra veckor att utföra. Alla projekt redovisas skriftligt och projekt två och tre även muntligt. Varje grupp har en egen handledare som även rättar och ger feedback på arbetena. Grupperna har indelats av kursansvarig. Syftet med kursen är att lära sig matematisk modellering. Stor tonvikt läggs vid att kunna ta vagt (eller felaktigt) formulerade problem och forma om dem (modellera dem) matematiskt så att allt blir precist och förståeligt. Kursen innehåller även viss träning i rapportskrivning, rapportgranskning, muntlig presentation, opponering och användning av matematikprogram såsom Matlab. Hösten 2005 är fjärde gången kursen ges på LTH. Sammanlagt är det 11 grupper med lika många handledare, totalt alltså drygt 40 studenter som deltar. Förutom projekten ingår fyra föreläsningstillfällen och två laborationer i Matlab. Se appendix B för exempel på projekt. 1.2 Mål och syfte Huvudmålet med denna uppsats är att undersöka hur undervisning i form av grupparbeten med individuella handledare fungerar. Vi har valt att begränsa vår studie till kursen Matematisk modellering som ges till förstaårsstudenter på LTH:s civilingenjörsprogram Π - teknisk matematik. 89

93 Figur 1: Samarbete och matematik. Syftet är att ta reda på om de positiva effekterna som beskrivs i litteraturen med samarbetsinlärning verkligen uppnås på denna kurs. Jämfört med traditionella undervisningsformer är det en relativ dyr kurs med många personer inblandade för all grupphandledning. Vid samarbetsinlärning finns det en del didaktiska begrepp och problemställningar som är naturliga att diskutera. Vi kommer i denna uppsats mer specifikt att undersöka följande begrepp och deras roll specifikt i kursen i matematisk modellering: Funneling vs anti-funneling. Conjecturing atmospehere. Assent-Assert. Scaffolding. Dessa begrepp beskrivs utförligare i avsnitt Metod Vårt huvudsakliga underlag till uppsatsen har varit en enkät till alla handledare i kursen, hösten Enkätfrågorna och svaren finns återgivna i appendix A och dessa frågor och svar är analyserade i avsnitt 3. För att uppnå våra mål har vi strukturerat frågorna i tre grupper för att ta reda på: 1. Hur fungerar kommunikation mellan handledare och grupp? 2. Hur fungerar kommunikation och arbete inom gruppen? 3. Hur fungerar undervisningsformen? Metodiken vi tillämpar är alltså en kombination av empiri genom enkäten och teori genom att tillämpa kända begrepp och modeller samt jämföra med tidigare erfaranheter i litteraturen. Vidare har vi valt att intervjua två handledare. Dessa båda handledare har haft kursen mer än en gång. Vi har ställt mer ingående frågor kopplade till begreppen i avsnitt 2. En annan värdefull källa till information är våra personliga erfarenheter från kursen. Första författaren är en utav de 11 handledarna och andraförfattaren är kursansvarig och föreläsare. Vidare har vi båda lång erfarenhet av matematikkurser, framförallt som studenter och doktorander, men även som kursansvariga. Trots denna kunskapsbas är materialet begränsat. Det är svårt att dra långtgående slutsatser på ett så litet material. Vidare har vi märkt att grupperna inte är homogena - olika studenter har olika bakgrundskunskaper. Dessutom är det svårt att bedöma hur studenterna utvecklas under en så kort period. En annan begränsning är att enkäterna speglar handledarnas åsikter och erfarenheter. 90

94 En annan begränsning är att vi inte går in på genusperspektivet. I materialet finns indikationer på att grupper med minst en kvinna generellt sett fungerar bättre och är mer engagerade. Dock har vi inte följt upp detta spår, då andelen kvinnor (ca en fjärdedel av studenterna) är relativt liten. 1.4 Ordlista Vi har valt att arbeta med svenska översättningar av engelska begrepp. Här följer en sammanställning av de engelska begreppen och den svenska översättningen. Assent and assert - Bifalla och bedyra Cooperative/Collaborative learning - Samarbetsinlärning Funneling - Lotsning Scaffolding - Jagstöttning The zone of proximal development - Utvecklingszonen 2 Samarbetsinlärning Vid undervisning av stora klasser av studenter sker den mesta undervisningen genom föreläsningar. Detta passar en del studenters inlärningssätt. Om man använder indelningen av inlärningstyper enligt Gilley [8] så finns det sju inlärningstyper: print, aural, visual, interactive, haptic, kinesthetic och olfactory. Enligt Gilley är det främst typ aural och print som föreläsningar är direkt lämpade för. Övriga kan få problem med att bearbeta och behålla kunskapen från föreläsningar, se [9]. Olika studenter har olika inlärningsmetoder och det är viktigt att undervisningsformen passar den enskilda studentens inlärning. Samarbetsinlärning är ett alternativ till föreläsningsundervisning, som kan passa många studenter som har problem med traditionella undervisningsformer. Det finns ett antal undersökningar som visar många positiva effekter av samarbetsinlärning jämfört med föreläsningsundervisning, se t ex [3, 7, 10, 11, 15, 19, 6]. Vad är då samarbetsinlärning? Cooper, McKinney och Robinson definierar i [2] samarbetsinlärning som en strukturerad, systematisk instruktionsstrategi, där små grupper arbetar tillsammans mot ett gemensamt mål. I [4] ger Davidson fem skäl till samarbetsinlärning: 1. Små grupper ger en social stödstruktur för inlärning av matematik. Små grupper ger ett forum för att ställa frågor, diskutera idéer, göra misstag, lära sig lyssna på andras idéer, ge konstruktiv kritik och summera slutsatser skriftligt. 2. Matematikproblem kan ofta lösas på flera olika sätt. Dessa kan utforskas och diskuteras av gruppmedlemmar. En grupp studenter kan ofta lösa svårare problem än de enskilda studenterna på egen hand. 3. Matematikämnet innehåller många upphetsande och utmanande idéer som kräver diskussion. Diskussioner i små grupper ger många möjligheter för att undersöka intressanta problem, kreativt tänkande, utforska öppna problemställningar samt lösa problem av icke rutinkaraktär. 4. Att lära sig matematik i grupp är roligt för studenterna, och upplivande och engagerande för matematiklärare. 5. Det finns en stark forskningsbas för samarbetslärande inom matematik, som demonstrerat positiva effekter på studenters åstadkommanden, självförtroenden, grupprelationer, utvecklande av social kompetens och social acceptans, se [5]. Liknande tankar finner man hos Cooper och Mueck, som i [3] ger sex punkter som är avgörande för samarbetsinlärningens förtjänster: 1. Alla i gruppen är ansvariga för övriga gruppmedlemmars inlärning. 2. Uppgifterna som skall lösas är till för inlärning och inte för att avgöra betyget på kursen. 91

95 3. Studenter delas in i lag på ett bra sätt. 4. Läraren fungerar som handledare, inte som en expert som förmedlar kunskap. 5. Fokus ges åt social kompetens, då studenter måste samarbeta. 6. Studenter övas i verbal problemlösning. Det finns även logiska kopplingar mellan samarbetsinlärning och effektiva inlärningsstrategier som finns beskrivna i kognitions- och inlärningslitteraturen. Dessa strategier inkluderar sådana koncept såsom självövervakning, upprepad och varierad kontakt med materialet som skall läras, externa kopplingar till materialet och utanförliggande idéer, samt övning med feedback, [18]. Det finns många svårigheter och fallgropar med samarbetsinlärning, och många fel man kan göra, se t ex kapitel tre i [16]. Detta är kanske anledningen till att man ofta undviker denna typ av undervisning och istället använder säker föreläsningsmetodik. Vi kommer i de följande avsnitten beskriva en del didaktiska begrepp som är relevanta för samarbetsinlärning och handledning. 2.1 Lotsning När man skall förklara ett begrepp för studenter och dessa inte förstår är det naturligt att försöka få dem förstå genom att ställa frågor, men det finns svårigheter med detta, se [16]. Det är t ex lätt att, när en student inte förstår eller inte kan svara på en ställd fråga, omformulera frågan till en som är lättare att svara på. Att förenkla frågeställningen på något sätt. Detta fortgår tills det att studenten kan svara på frågan. Detta begrepp kallas för lotsning eller funneling på engelska. Det engelska begreppet myntades av Bauersfeld i mitten av 90-talet, se [1] men begreppet lotsning användes redan på 70-talet i Sverige, se [12]. Problemet med lotsning är att studenten kanske kan svara på flertalet enkla frågor men sammanhanget undgår henne, och ingen inlärning eller verklig förståelse för problemet har åstadkommits. Även om lotsning är vanligare i traditionell undervisning med räkneövningar kan man tänka sig att detta fenomen även kan uppstå vid handledning av en grupp. 2.2 Gott klimat för förmodande och vetenskaplig debatt Att ha en öppen atmosfär med utrymme för antaganden och förmodanden som kan diskuteras i en grupp är väldigt viktigt enligt många källor. Att studenter känner att de kan ställa frågor i en grupp, om saker de inte förstått samt att man inte bara presenterar en lösning när man är säker på att det är rätt, utan att det snarare kan tolkas som en öppning för vidare diskussion av problemet är också viktigt. Kopplat till detta begrepp är vad Marc Legrand i [14] kallar för vetenskaplig debatt eller débate scientifique. Han menar att det är viktigt att sänka ner studenterna i en matematisk kultur, där man kommer fram till resultat genom att göra förmodanden, bevisa eller motbevisa dessa eller förändra dem, tills det att man kommit fram till en lösning. Liknande ideér hittar man i Imre Lakatos Proofs and refutations [13]. Lakatos var inspirerad av Karl Poppers teorier vilket också avslöjas av kopplingen i titel till Poppers Conjectures and refutations [17]. 2.3 Bifalla och bedyra Det finns en stor skillnad mellan att bifalla och att bedyra något, jmf. assent-assert, [16]. Att lyssna och att hålla med om förklaringar och koncept är väldigt enkelt utan att man riktigt förstått. Likaledes är det enkelt att på en föreläsning i sitt eget sinne bifalla det som sägs och invaggas i en tro att man förstått. Det är ofta först när man sätts i situationen att själv förklara eller bedyra koncept, som man blir medveten om man förstått eller inte. Det kan vara svårt att få studenter att undvika fällan med att bifalla utan att behöva bedyra. Här kan man tänka sig att det finns fördelar med grupparbete och samarbetsinlärning, jämfört med traditionell föreläsningsundervisning. 92

96 2.4 Jagstöttning Jagstöttning, eller Scaffolding, är en process som beskriver hur en person A kan underlätta eller hjälpa inlärningen hos en person B som skall lära sig något. Om person B är ovan vid företeelsen, eller om företeelsen ligger bortom förmågan hos henne, kan person A hjälpa till genom att person B utför/lär sig de saker som är greppbara, och sen fyller person A i, eller underbygger med det som fattas. Underbyggandet inkluderar att fånga intresset, att reducera valmöjligheter, att upprätthålla målinriktning, tydliggöra kritiska eller svåra aspekter hos uppgiften, kontrollera frustration samt att visa på framkomliga vägar, se [21, 22]. Enligt Vygotskys teori om utvecklinszonen, the zone of proximal development, överförs kunskap genom interaktion med mer kunniga personer. Vygotsky beskriver i [20] utvecklingszonen som the distance between the actual development level as determined by independent problem solving and the level of potential development as determined through problem solving under adult guidance or in collaboration with more capable peers. Detta indikerar att samarbetsinlärning kan underlätta inlärningen hos svagare studenter genom interaktion med starkare studenter i gruppen. Grupparbete och samarbetsinlärning ger ett naturligt tillfälle för interaktion mellan starka och svaga studenter. 3 Enkätresultat I appendix A finns den utdelade enkäten återgiven. Vid varje fråga finns även ett histogram över svarsfrekvenserna. Det fanns även möjlighet att ge fritext-kommentarer vid varje fråga. Svaren lämnade till dessa kommer att avhandlas i det som följer. Enkäten delades ut till alla handledare vid årets kurs i matematisk modellering. Vi fick tillbaka svar från tio av elva handledare. Fråga 1 till 3: Handlar om hur ofta och hur möten mellan handledare och gruppen sker. Man kan direkt se att antalet handledningstillfällen har låg spridning bland handledarna. Ungefär en gång i veckan träffar man sina studenter och ungefär en gång i veckan mejlas man vid. Det verkar inte vara så att de studenter som är svagare tar initiativ till fler möten. En handledare har kommenterat att ett möte per vecka inte räckte till det mer omfattande projekt 3. Några handledare har även kommenterat att de givit utrymme för fler tillfällen, men studenterna har hellre velat arbeta i gruppen. Fråga 4: Vid diskussion mellan handledare och grupp kan man notera att enligt Fråga 4 är det fler grupper där bara en student är aktiv än grupper där alla är aktiva. En handledare har kommenterat att mötet ofta sker med en student i taget. Fråga 5 och 6: Ställer frågan hur engagerade studenterna är och om hur mycket problem studenterna har med att utveckla sina modeller. Av svarsfrekvenserna till Fråga 5 och 6 är det tydligt att det är olika nivå på grupperna. Båda dessa frågor har ganska stor spridning. Grupper med svårigheter att modellera är ungefär lika många som grupper utan större problem. Detta gäller även i viss mån engagemanget för uppgiften. Dock verkar en majoritet vara mer positiva än negativa. De kommentarer som kommit i Fråga 5 har handlat om de mindre engagerade grupperna: I år upplevde jag studenternas motivation som svagare än förr. De vill nog mest få det avklarat bara. Kommentarer till Fråga 6 avspeglar den stora skillnaden mellan grupperna: I uppgift 3 kom de ingen vart utan handledning. De har arbetat mycket självständigt och verkar klara uppgifterna ganska lätt. Fråga 7: Alla handledare är enligt svaren övertygade om att undervisningen fungerar väl, eller i några fall mycket väl, för modelleringskursen. Fråga 8: Studenterna är enligt svaren på denna fråga överlag ganska bra på att förklara sina modeller. Någon har kommenterat att de är bättre muntligt än skriftligt. En handledare menar att när studenterna väl kommit fram till något kan de förklara vad de gjort. Dock menar en annan handledare att även om de kan förklara sin modell, har de ibland modellerat fel saker. 93

97 Fråga 9: Undrar hur många i gruppen som verkar arbeta aktivt med uppgifterna, och av svaren tyder det på att de flesta i gruppen arbetar med problemen. I ett fall har det angivits att bara en verkar jobba, men där finns en kommentar om att det kanske är två. En kommentar som framkommit är att även om alla arbetar med projektet finns det en uppdelning så olika studenter arbetar med olika delar av projektet. Fråga 10: En stor majoritet av grupperna verkar vara intresserade av att lösa uppgiften själva. Ett fåtal gånger, totalt sett, har grupperna enligt Fråga 10 velat ha lösningar serverade. En kommentar från denna fråga är: De tycker nog att de är ganska duktiga. Fråga 11: Handlar huruvida det är problem med att vara handledare, och inte i övrigt vara involverad i kursen. Enligt de flesta är detta inget problem. Några anser att en del mer koordination hade varit bra. De kommentarer som framkom var: OK, men min grupp har inte aktivt sökt upp mig för att diskutera projekten. Inga direkta problem, skulle kunna vara att man inte känner till vad de lärt sig på föreläsningarna. Det går utmärkt. Det fungerar bra. Uppgiften för handledaren är tydligt ställd och lätt att genomföra. Kunde kanske varit mer koordination. Mycket bra. Bra. Det skulle kännas bra att ha lite mer koll på vad de lär sig utanför projekten, men det fungerar ändå. Bra, så länge man får information om vad de förväntas göra. Fråga 12: Handlar om vad studenterna har mest problem med. Det är ganska spridda kommentarer, men modellering och rapportskrivning är något som flera tar upp. Ta tag i det och jobba. De har varit lite osäkra på hur man skall uttrycka sig i en rapport, men verkar inte ha några stora problem med något moment. Inga, självgående grupp. Möjligtvis att hålla datum. Skilja på modell och analys. Koppla matematiska begrepp till problemformulering. Oroade över att inte veta hur göra. Att modellera dvs välja relevanta variabler och samband. Skriva rapporten, men med lite hjälp blir även den bra. Komma igång, definiera och modellera problemet, lösa problemet. Matlabprogrammering Planering av arbetet samt presentation av projekten (både skriftligt och muntligt). Fråga 13: Ställer frågan om kursen skiljer sig från tidigare år. Det är inga stora skillnader enligt kommentarerna. Kanske att det finns en tendens i svaren att studenterna har blivit något svagare. Inte speciellt mycket. Den grupp jag hade 2003 var mer aktiv och lättare att få kontakt med. Inte nämnvärt. Kursupplägget känns likt, kanske att jag har en svagare grupp än vad jag haft tidigare. Kursen är sig lik, men det är nya studenter. I år upplevde jag studenternas motivation som svagare än förr. Kursen i sig verkar rulla bra. Jag som handledare har blivit bättre (=äldre dvs mer erfaren). Pi 04 och Pi 05 ungefär lika bra, Pi 03 något bättre och Pi 02 mycket bättre. Inte märkbart. Förutom att uppgifterna kastats om. Min grupp är väldigt annorlunda i år. Förra året jobbade de på bra men var inte jätteduktiga. Den gruppen jag har nu är slapp men de är ganska duktiga när de väl försöker. 94

98 4 Intervju Vi har valt ut två handledare (nedan kallade handledare A och B) för att ställa ytterligare frågor. De båda handledarna är insatta i didaktiklitteraturen och därmed har vi kunnat ställa frågor där didaktiska begrepp ingår till skillnad mot med enkätfrågorna. Vidare har båda handledarna varit inblandade i kursen en gång tidigare. Intervjuerna ledde till en hel del diskussion och därför är det mer relevant att här redovisa vilka diskussionspunkter vi berörde och vad som framkom under dessa samtal. Vad är ditt generella intryck av gruppen i år och gruppen du har haft tidigare i år? A: Både gruppen i år och tidigare har varit medelstarka grupper. B: Gruppen tidigare var väldigt duktig, men i år är gruppen något svagare. Vad upplever du som de största problem gruppen har? A: Generellt sett har de haft små problem; De har varit självständiga och engagerade. De har haft egna idéer och arbetat med problemen tillräckligt. B: Den tidigare gruppen var duktiga och engagerade, så inga större problem där. Men med gruppen i år är det annorlunda; De försöker lösa uppgifterna, men fastnar relativt omgående. De har inte varit jätteengagerade. Ser du tendenser till lotsning? A: Inga tendenser. B: Gruppen i år har behövt en hel del hjälp med att dela upp projektproblemen i mindre problem. Dock har det inte funnits någon känsla av lotsning. Tidigare gruppen hade snarare det motsatta problemet; De hade problem att begränsa uppgiften och det krävdes en del styrning. Gott debattklimat - uppnås det? A: Jadå, i viss mån. De vågar fråga om allt möjligt. Problemen som givits har fungerat bra detta för ändamål. B: Ja, mycket bra, åtminstone mellan handledare och grupp. När de arbetar själva kan jag inte uttala mig om de har öppna diskussioner. Den tidigare gruppen bollade mycket idéer. Leder undervisningen till beteenden som bifalla och/eller bedyra? A: Snarare bedyra, men det är osäkert om det gäller alla i gruppen. De kan vara så att somliga i gruppen mer bifaller än bedyrar. Rapportskrivandet leder till att de måste kunna förklara sina modeller och förstå vad de gjort. B: Såsom kursen är upplagd går det ej att godta fakta. Undervisningsformen tvingar studenterna till ett bedyrabeteende eftersom de måste redovisa både muntligt och skriftligt. Dock har årets grupp varit dåliga på att ta till sig kommentarer givna på rapporten. Jagstöttning - fungerar gruppen som undervisare? A: Jag har haft relativt homogena grupper och ingen student som utmärkt sig i gruppen, så jag har inte upplevt att eleverna undervisar varandra. B: Tidigare gruppen jag hade var det definitivt så. De var också mycket intresserade av problemen. I år har gruppen mer tenderat att dela upp arbetet för att så effektivt som möjligt klara av uppgifterna. 5 Diskussion och analys Vi kommer i detta avsnitt att försöka sammanfatta och analysera intrycken från enkäterna och intervjuerna. Vi har valt att dela upp analysen i olika delar. Dels hur kommunikationen fungerar mellan handledare och grupp, dels hur den fungerar inom gruppen. Vi har även tittat på undervisningsformen allmänt. Vi kommer i dessa avsnitt att försöka koppla analysen till de didaktiska begrepp som avhandlats tidigare. 5.1 Kommunikation mellan handledare och grupp Kommunikationen mellan handledare och grupp avhandlas i huvudsak av fråga ett till fyra i enkäten. Man kan direkt se att antalet handledningstillfällen har låg spridning bland handledarna. I avsnitt 5.4 visas att det sker fler möten om studenterna har problem med modelleringen. Det finns också en känsla både hos författarna, och hos de intervjuade handledarna, att det är viktigt med regelbunden handledning, och att ett handledningstillfälle i veckan är i underkant. Det verkar enligt fråga fyra vara ganska bra diskussion, där många i gruppen deltar. Det finns dock ett antal grupper där det mest är en gruppmedlem som deltar aktivt i diskussionen. I ett fall beror detta på att handledaren oftast har träffat en student i taget. 95

99 Enligt de två intervjuerna är det ett bra klimat för öppna diskussioner under mötena. Det bollas idéer och ställs frågor. Hur väl ett gott debattklimat uppnås, verkar också mycket kopplat till hur engagerade studenterna är. Att rapportskrivandet och mötena med handledare leder till att studenterna måste sätta sig in och kunna förklara sina modeller och metoder, framgår ganska tydligt av både enkäter och intervjuer. Här ser man att studenterna verkligen tränas i både muntlig och skriftlig kommunikation, vilket inte är så vanligt i traditionell undervisning. Det verkar definitivt vara så att det finns ett större inslag av bedyra-beteende jämfört med föreläsningsundervisning. 5.2 Kommunikation och arbete inom gruppen Arbetet inom gruppen är förstås svårt att bedöma, utan att fråga studenterna själva. Bedömningen av arbetet kommer här att grunda sig på handledarnas uppfattning av arbetet från handledningstillfällena. Fråga fyra till sex samt åtta till tio berör frågor om kommunikationen och arbetet inom gruppen. Enligt svaren deltar alla studenter i diskussioner och alla grupper är alltfrån måttligt till mycket engagerade. Det tyder på ett gott debattklimat även inom gruppen. Vad gäller jagstöttning, dvs huruvida studenterna hjälper varandra eller inte, är det svårare att klarlägga. Grupperna verkar generellt sett samarbeta bra och ofta delar de upp arbetet inom gruppen. Men det är osäkert om de verkligen lär av varandras olika erfarenheter. Enligt en av de intervjuade handledarna, så fungerar en homogen grupp bättre än en alltför heterogen kunskapsmässigt. 5.3 Undervisningsformen Fråga sju, elva och i viss mån tio, tolv och tretton berör frågor om undervisningsformen i sig. Alla handledare är positiva till kursen och tycker i allmänhet att den fungerar väl. Det stöds också av intervjuerna. Studenterna får träna på kommunikation, modellering och självständigt tänkande i högre grad än i andra matematikkurser. Det innebär dock inte att man helt slipper lotsningsfenomenet. Studenterna har behov att problemen delas upp i mindre delproblem och riskerar därmed förlora den översiktliga förståelsen. Detta kompenseras i sin tur med kommunikationsdelen vilket tvingar studenterna till förståelse. En möjlig konsekvens av att studenterna måste behärska och förstå sina modeller, åtminstone utifrån ett handledarperspektiv, är att kvalitén eller djupet på modelleringskunskaperna upplevs som grunda. Detta skulle också kunna förklaras med många svaga grupper vilket flera handledare påpekat. Det skall dock sägas att detta är en kurs som ges till studenter i början av sin utbildning, med varken djupa eller breda kunskaper i matematik. 5.4 Övergripande Vi har undersökt korrelationerna mellan svaren till frågorna på den utdelade enkäten. Enligt denna undersökning kan vi förkasta att frågorna är okorrelerade med signifikans i åtta fall. Det skall dock sägas att det statistiska materialet är ganska svagt, då vi endast har tio enkäter att utgå ifrån. Den starkaste korrelationen uppvisas mellan fråga fem och sex. Alltså att engagerade studenter verkar ha mindre problem med modelleringen. Det är alltså viktigt att ha en atmosfär där studenterna trivs med uppgifterna, och tycker det är roligt att arbeta med dem. Kopplingen till en bra atmosfär syns också i att fråga fem korrelerar med fråga fyra, alltså när alla i gruppen är aktiva blir engagemanget större. Det är förstås så, att när alla är aktiva, upplever handledarna att gruppen är engagerad. Hur aktiv gruppen verkar vara enligt handledaren undersöks av fråga fyra och nio. Det frågas om studenternas engagemang i fråga fem. Hur väl studenterna modellerar, och hur mycket problem de har, avhandlas i bl a frågorna sex, åtta och tio. De många korrelationerna mellan dessa grupper av frågor stöder kopplingarna mellan en öppen atmosfär, ett gott debattklimat och entusiastiska grupper med lite problem att modellera. Att det finns en korrelation mellan att inte vilja ha lösningar serverade och att inte ha problem med modelleringen, är dock kanske föga överraskande. Det finns en negativ korrelation mellan hur mycket problem studenterna har med modelleringen och hur ofta man träffar sin handledare. Det verkar ju naturligt att om man har problem, behöver man mer handledning. Huruvida detta är ett resultat av att studenterna aktivt söker upp handledaren när de får problem, 96

100 eller om handledaren upptäcker att det är problem, och tar initiativ till fler möten, framgår dock inte av enkätunderlaget. 6 Sammanfattning och framtida arbete Huvudmålet med denna uppsats var att undersöka hur undervisning i form av grupparbeten med individuella handledare fungerar i matematik. Syftet var att ta reda på om de positiva effekterna av samarbetsinlärning, som beskrivs i litteraturen, verkligen uppnås på kursen i Matematisk modellering. Sammanfattningsvis kan vi konstatera att flera av de positiva effekter som beskrivs i didaktiklitteraturen faktiskt stämmer väl in på omdömena av kursen i Matematisk modellering, från ett handledarperspektiv. Dessa effekter är inte så vanliga i traditionella former, såsom föreläsningsundervisning med övningar. Gott klimat för förmodande och vetenskaplig diskussion styrks av både enkätsvar och intervjuer. Bedyra dominerar istället för bifalla. Redovisning av arbetet, både muntligt och skriftligt, ger studenterna ett bedyrabeteende. Däremot ifrågasätter många handledare den vetenskapliga och kvalitativa nivån hos studenterna. Lotsning förekommer visserligen fortfarande. Vissa grupper har svårt att komma igång och behöver hjälp att dela upp problemet i mindre delproblem och måste lotsas av handledaren mot en lösning. Jagstöttning har varit svårt att fastlägga med vårt begränsade material. För att klarlägga i vilken utsträckning det sker så behöver man mer direkta uppgifter från studenterna. Det räcker inte med handledarnas perspektiv, eftersom en grupp i allmänhet visar upp en enad front utåt. Vår huvudsakliga slutsats är att samarbetsinlärningen fungerar väl på kursen i Matematisk modellering, vilket vi förankrat genom att applicera och koppla välkända didaktikbegrepp på denna kurs. Det finns en hel del framtida arbete för att fördjupa undersökningen om hur väl samarbetsinlärning fungerar i allmänhet, eller specifikt på kursen i Matematisk modellering. För att dra ytterligare slutsatser, än de vi gjort i denna artikel, krävs mer omfattande undersökningar. Dessa skulle definitivt inkludera frågor till studenterna, genom t ex enkäter eller intervjuer. Punkter som skulle vara intressanta att studera är utvecklingen av studenterna från projekt ett till tre. Och även att undersöka hur mycket av faktisk modelleringskunskap som studenterna har lärt sig. Referenser [1] H. Bauersfeld. Theoretical perspectives on interaction in the mathematics classroom. In R. Biehler, editor, The didactics of mathematics as a scientific discipline. Kluwer, Dordrecht, [2] J. Cooper, M. McKinney, and P. Robinson. Cooperative/collaborative learning: Part ii. The journal of staff, program and organizational development, 9(4): , [3] J. Cooper and R. Mueck. Student involvement in learning: Cooperative learning and college instruction. Journal on excellence in college teaching, (1):68 76, [4] N. Davidson. Cooperative learning in mathematics: A handbook for teachers. Addison-Wesley, [5] N. Davidson and R. Dees (Eds.). Cooperative learning research in mathematics, Monograph series of the Journal for research in mathematics education. National Council of techers of mathematics, [6] A Dunkels. Contributions to mathematical knowledge and its acquisition. PhD thesis, Mathematics, Lulea University of Technology, [7] J. Garfield. Teaching statistics using small-group cooperative learning. Journal of statistics education, 1(1), [8] D.V. Gilley. Personal learning styles: Exploring the individual s sensory input processes. PhD thesis, University of Tennessee,

101 [9] J.L. Higbee, E.J. Ginter, and W.D. Taylor. Enhancing academic performance: Seven perceptual styles of learning. Research teaching in developmental education, 7(2):5 10, [10] D.W. Johnson, R. Johnson, and K. Smith. Cooperative learning: Increasing college faculty instructional productivity. In ASHE-ERIC Higher education report 4. George Washington University, [11] D.W. Johnson, G. Maruyama, R.T. Johnson, D. Nelson, and L. Skon. Effect of cooperative, competitive and individualistic goal structures on achievement: a meta-analysis. Psychological bulletin, (89):47 62, [12] W Kihlborn. Elevernas arbetsmiljö. (pump-projektet, rapport no 12), Göteborgs universitet, pedagogiska institutionen [13] I. Lakatos. Proofs and refutations. Cambridge university press, [14] M. Legrand. Débate scientifique en cour de mathématiques. In Reperes IREM, No. 10, Topiques Edition, [15] R.C. Magel. Using cooperative learning in a large introductory statistics class. Journal of statistics education, 6(3), [16] J.H. Mason. Mathematics teaching practice. Horwood Publishing, [17] K. Popper. Conjectures and Refutations. Routledge, 5th edition, [18] M. Pressley and C.B. McCormick. Cognition, teaching and assessment. New York: HarperCollins, [19] R.E. Slavin. When does cooperative learning increase student achievement? Psychological bulletin, (94): , [20] L.S. Vygotsky. Mind in society: The development of higher psychological processes. Cambridge, Ma: Harvard University press, [21] D. Wood, J. Bruner, and G. Ross. The role of tutoring in problem solving. Journal of child psychology and psychiatry, (17):89 100, [22] D. Wood and D. Middleton. A study of assisted problem solving. British Journal of Psychology, (66): ,

102 Appendix A: Enkät med svarsfrekvenser I följande frågor ringas in det påståendet som mest stämmer överens med vad du tycker. Ge gärna ytterligare kommentarer och synpunkter. 1 Hur många gånger träffar du dina Fler studenter personligen per vecka? Svar: 2 Hur många gånger sker korrespondens Fler via mejl/telefon per vecka? Svar: 3 Handledaren tar initiativ till möte. Aldrig Ibland Ofta Alltid Svar: 4 Hur många i gruppen deltar aktivt Ingen En Några Alla vid diskussionerna? Svar: 5 Studenterna är engagerade i Inte alls Svagt Ganska Mkt uppgifterna. Svar: 6 Hur mycket problem har studenterna Mkt stora Ganska stora Små Inga alls med att utveckla sin modeller? Svar: 99

103 7 Hur fungerar undervisningsformen Inte alls bra Inte bra Väl Mkt väl för denna typ av kurs? Svar: 8 Studenterna kan förklara Mkt dåligt Ganska dåligt Ganska bra Mkt bra sin modell. Svar: 9 Hur många i gruppen verkar arbeta Ingen En Några Alla aktivt med uppgifterna? Svar: 10 Studenterna vill ha lösningar Flera ggr Några ggr En gång Aldrig serverade till problem. Svar: 11 Hur fungerar det att bara vara handledare i kursen och inte vara involverad i den övriga delen av undervisningen på kursen? Fri text: 12 Vad har studenterna mest problem med? Fri text: 13 Om du haft kursen tidigare, hur skiljer sig årets kurs från tidigare år? Fri text: 100

104 Appendix B: Projekt i Matematisk modellering, 2005 Här följer listan på föreslagna projekt i kursen matematisk modellering 1, lp2, Projekt 1. Projekt 1 är identisk för alla projektgrupper. Projektet redovisas skriftligt. 1. Språk. Hur kan man modellera text av ett visst språk, t ex svenska? Antag att man vill dechiffrera text, som i inlämningsuppgift 1 i programmeringsteknik: I uppgiften gjorde man uttömmande prövning och skrev ut alla möjliga dechifreringar av texten. Hur kan man automatiskt verifiera vilken text som mest liknar sin modell. Projekt 2. Som projekt 2 finns det två olika projekt. Man får inte välja. Projekt med udda gruppnummer gör projektet Minska Miljöslitage. Projekt med jämna gruppnummer gör projektet Springa eller gå? Projektet redovisas både skriftligt och muntligt. Till presentationen utses en opponentgrupp som granskar projektet. Både rapporten och den muntliga presentationen granskas. 1. Minska miljöslitage. Ett företag har tre fabriker i Sverige som har olika produktionsförmåga. På åtta orter i landet finns ett antal grossister som har olika stort behov av dessa produkter. Transporterna mellan fabriken och grossisterna påverkar miljön. Antag att det är stora mängder som skall transporteras. Hur ska man modellera miljöpåverkan? Hur ska man planera transporterna för att minimera effekterna på miljön? 2. Springa eller gå? Vi är ute på promenad en sommardag. Vädret var fint när vi gav oss av men nu börjar regnet falla och vinden tilltar. Än så länge har vi skydd av träden längs vägkanten men när vi kommer till det öppna fältet kan vi inte undgå regnet. Ska vi springa så snabbt som möjligt över fältet eller är det kanske bäst att gå? Projekt 3. Slutprojektet är olika för alla grupperna och är generellt sett lite mer avancerade och omfattande än projekt 1 och 2. Nedan följer rubrikerna på dessa projekt. 1. Konkurrerande arter 2. Fårslakt 3. Förkylningsbacillen 4. Förarlösa truckar 5. SuDoKu 6. Färddator och GPS i bilen 7. Vågen 8. Korvkiosken 9. Välj rätt kö 10. Busstrafik 11. Ishockeybanan 101

105 ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ½ ÖÙ Ö ¾¼¼ ÌÓÑ È Ö ÓÒ ÖÑ Ø Ñ Ø Òº ÒÒ ÙÔÔ Ø Ý Ø ÖØ ÐÐ ØØÙÒ Ö ÙÖ ØÓÖ Ð Ö Ý¹ ÒÚ Ø ÓÖ Ø ÐÐ ØÙ ÒØ Ö ÚÖ Ø ÖÑ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö Ø Ò Ö Ø Ð ½ Ø Ñ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÖÑ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ø Ð ÖÑ Ø Ñ Ø Òº ÁÒÐ Ò Ò ÒÙÒ Ö Ò Ò ÓÑ ÙÖ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÒÚÒ ÖÙÒ ÙÖ ÖÒ Ú Ñ ¹ Ø Ñ Ø ÄÌÀÖ ÓÚ º Ö ØØ Ö Ú ÑÒÒ Ò ÒÚÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÒÚÒ Ó Ø ¾ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ø ÓÖ Ò ½¼ ºÌ ÓÖ Ò Ö ØØÙÖ ÔÖÙÒ ÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ñ Òº ÒÐ Ø ÒÒ Ø ÓÖ ÙØ Ö ØØÚ Ö ØÝ ÚØÚ Ð ÖÚ Ð ÒÑÒ ÖØ ØÓ ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ý Ø ÐÐ Ö ÒÚÒ Ò Ò ÒÑÒ ÖØ Øº ÖØ Ø ÒÓ Ø ØØÚ ÖÑ Ò ÒÚÒ Ú ÒÔ Ö ÓÒ ØØÚ Ø Ý Ø ÙØ Ö Ò ØÖÙÑ ÒØ Øº Ò ØÖÙÑ ÒØºÎ Ö ØÝ Ø ÓÑ ØØ Ý Ø Ö ÑÐÙØ ÒÒ ÓÒ Ò Ý ØÒ Ò Ø ÐÐ ÒÔÖÓ ÙÒ ÖÚ Ð Ò ÒÔ Ö ÓÒÐÖ ØØ ÒÚÒ ÖØ Ø ÒØ ÐÐÒ ÓØ ÐÐ Ö ÐÚ Ô Ö Ò ÒÚÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ò ØÖÙÑ ÒØ ÐØÙÖ ÔÖÙÒ º ÒÒ ÔÖÓ Ú ÖØ Ó ÔÚ Ö Ú ÖØ Ø Ò ÒÒ Ó Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ÖÒ Ò Ò Ö ÑØ ÒÚÒ Ö Ò Ø Ö ÙÒ Ô ÖÓ Ö Ø Öº ÒÔÖÓ ÓÑÐ Ö Ö ÑØ ÐÐ Ô Ò Ø Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ø ØÚ ÐÐ ÑÑ Ò Ò ÐÐ Ö Ó ÐØ Ñ º ØØ ÒØ Ñ Ò Ò Ò Ú Ø ÐÐ ¹ ÔÐ Ò Ö Ó Ö Øº ØØ Ñ ÓÑÖ Ñ Ò ÑØ Ö Ö Ò Ú Ö ØØ Ó Ð ØÖ ÙÚÙ Ð ÙÔÔ Ø Ö Ö Ò Ú Ò ØØÑ Ð Ö Ö Ò Ú Ò ØØ Ö ØÚ ÐÐ ÒÑ ÒØ Ð Ð Ò Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ø ÒÑÒ Ñ ºË Ñ Ø Ö ØÑ ÒØ Ð ÓÑÐ Ö ÓÑ ÒÚÒ Ö Ò ØØ ØØ Ö ÖÙ Ú ÖØ Ø Ò Ò ÒÓÑÓÐ ÓÖÑ Ö ÚÙÒ ÖÚ Ò Ò ºÌ ÐÐ ÓÑ Ø Ò Ú ØØ Ñ ÖÓÖ Ú Ó Ð Ó Ò Ú Ù ÐÐ ØÓÖ ÖºÀÙÖ ÓÐ ØÓÖ ÖÒ ÔÚ Ö ÖÔÖÓ ¹ Ò Ú Ð Ò Ñ Ø Ô ÖÓÖÔ Ò Ô Ö Ó ÖØ Ø ÒÓ Ò Ó Ð ÓÒØ ÜØ Ú Ð Ò Ñ ØÙÔÔ ÓÑÑ ÖºÌÚØÝÔ Ö ÚÔÖÓ ÖÖÚ Ö ÑÑ ÒÖ ØØ Ñ Ö Ú Ö Ò Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ó Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð Ö Ò º ÖØ ¹ Ø Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ÖÒ Ò Ò ÖÔÚ Ö Ö ÒÚÒ Ö ÒÒÖ ÒÒ Ô Ö ØØ Ñ º ÒÒ ÔÚ Ö Ò ÖÒ ÖØ Ø Ò ÐÐ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò ºÁÒ ØÖÙ¹ ÖØ Ø ØÓ Ú ØØÓÑ ØØ ÒÚÒ Ò Ò ØØÖ Ø Ö ÖØ Ø Ò Ú Ð¹ Ô ØØ Ñ ÐÐ Ö Ò ØÖÙÑ ÒØ ÐÓÖ ØÖ Ö Ò º Ò Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð ÓÖ¹ Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ö ÒÔÖÓ Ú Ð Ò ÒÚÒ Ö Ò Ô Ö ØØ ØØ ØØ ÒÚÒ Ð Ö º ÒÐÖ Ö Ø Ú Ø ØÒÖ ÒÒ Ö Ö ÐÔ Ó ØÝÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ 102

106 ØÖ Ö Ò Ò ÒÚ Ö ÔÓÐ Ò Ú Ö ÖØ Ø Ø Ò ØÖÙÑ ÒØ Ø ÐÐ Ö ÒÚÒ Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò ØÖÙÑ ÒØ Øº ÓÑÖ Ö Ö ÖØ ÐÐ Ò ÖÖ µ Ø ÓÖ Ø ÖÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ø Ò ÓÐ Ø ÖÒ ÖÙ Ñ ¹ ØØ Ò Ö Ô ÔÖÓ Ð ÑºÀÖÚ Ð ÙÖ Ð ÖÌÖÓÙ ÑÓÐ ØÝÔ Ö ÐÐ Ö ½ Ö Ò Ò º ÔÓØØ Ö ØµÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÒºÎ ÖÓ Ò ÚØÝÔ ÖÒ ÒÒ Ø Ò ÚÚ Ö ÖÒ Ö Ö Ö ØØ ÑØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ð ÒÑ Ø ÙÒ Ô ÒÚÒ Ö ÇÐ ØÙ ÒØ Ö Ö Ö Ö ØØ ÒÚÒ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø ÑÔÓÐ ØØ Ö Ó ØØÚ ÖÔ Ö Ö Ö ØØ Ú ÔÖ ÒØ Ö ºÌ ÓÖ Ø ÖÒ Ö Ö ÖØ ÜØ ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÐ ØÓÐ Ò Ò Ö ÓÑÑ Ø ÙÒ Ô Ó Ò ÐÓ Ö ÓÑ Ú º Ê Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ö Ö Ö ØØ Ò ÑØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒÑ Ô ÔÔ ÖÓ Ô ÒÒ º Ö ¹ Ö Ö ÐÙØ Ø Ö ÓÑÑ Ø ÙÒ ÔÓ Ú ÐÐ Ö Ò Ú ºÃÖÙ Ñ Ö Ò Ö Ö Ö ØØ Ò ÑØ ÙÒ ÔÑ Ñ Ò Ö Ò Ö Ö Ö ÖÙÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ñ Ø ¹ ÙÒ Ô ÒÓ Ö Ñ ØÐÐ Ö Ú ÒÓÑ ØØ Ò ÑÐ Ö Ø Ð ÖÔ Ø ÓÑ Ú º ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ò Ò ÑØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÒ ÐÐ ÐÐÓÖ Ñ Ö Ð Ö ÓÑÑ Ø ÙÒ ÔÓ ÓÒØÖ Ø Ö ÓÑ Ú ºË ÓÐ Ø ÖÒÚ ÐÐ Ð Ø ÒØ Ò ÑØ Ò ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ö Ö ØÖÙ ØÙÖ Ö Ò ÐÝ Ó Ö Ñ ØÐÐ Ö Ú ÒÓÑ ØØ ÓÔ Ö Ò Ö Ú º Ò ØÙ ÒØ ÓÑ Ö Ø ÖÑ ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ò Ø Ø ÔÚ ÚÖ ¹ Ø Ö Ò Ö ÓÔÔÐ Ø ÐÐ Ý Ø Ñ Ø ÒÚÒ Ò º Ò Ö Ú Ö ÒØ ÙØ Ö ÒÒ ÐÙØ Ò ÒÚ Ö Ò Ó Ñ Ð Ø Ö ØÙ ÒØ Ò ØØ Øع À Ò Ö Ö Ö Ø Ð Ö Ö ÔÔ Ñ Ø Ñ Ø ÒºÁ Ö ÓÒ Ö Ö Ö Ú Ö ÓÑ ØØ Ñ ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ø ÓÖ Òº Ö ØØ ÒÚÒ ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý¹ Ø Ñ Ú Ö ÒÚÒ Ö Ò ØØ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ñ ºË Ñ ØÙØ Ö ÚØÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ò Ó ÒÑ ÒØ ÐºÌ ÐÐ ÒØ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ô ÖÓÑ ÙÖ ÒÚÒ Ö Ò Ò Ñ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ø Ø Ö Ð¹ Ð Ø ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø Ó Ø ÐÐ ÒÑ ÒØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð Ö ÒÚÒ Ö Ò Ö Ú ÒÑ Ø Ñ Ø ÓÑÐ Ö ÓÑ Ò Ò Ø Ú Ò¹ ØÖÙÑ ÒØ Øº Ö Ú Ö Ñ Ò Ö ØØÑÒ Ú ÚÖ Ø Ö Ò ØÙ ÒØÑ Ø ÖÚ ÒÚÒ Ò Ø Ú ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÖÖ Ö Ú ØØ ÒÑ ÒØ Ð ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ò Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ñ ØÐ ÖÔ ÒÐ Ö Ò ÚÒ ÒØ Ò ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ Òº ØØ ØÚ Ò Ö ØÙ ÒØ Ò ØØÖ Ú Ö ØØ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ñ Ñ ØÙ ÒØ ÒÙÔÔÒÖ Ò ØØÖ Ö Ø Ð Ö Ò ÓÑÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Òº Ö ÓÔÔÒ Ò Ú µ Ò Ð Ò ØØ ÒÑ ÒØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÙØÚ Ð ØÚ ÐÐ ËÓÑ Ü ÑÔ ÐÔÒ Ö Ò Ö Ò ØÙ ÒØ Ò Ø Ø ÔÒÑÒ Ö Ö Ú Ö Ð Ò ÒÒ Ø Ë ÐÐÒ Ñ ÐÐ ÒÓÐ Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ú ÑÑ Ó Øº Ö Ø ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ÒØ Ö ÐÐÒ ÔÚ Ö Ð ÖÓ Ô Ö Ñ Ø¹ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ÖÒ Ò Ò ÖºËÝ Ø Ñ Ø Ò ÒØ ÐÚÙØ Ö ÙÐй Ö ÖºËØÙ ÒØ ÒÑ Ø Ö Ö ÐÚ ÐÐ Ö Ô ÒÒ ÐÐÒ Ó Ö ØØ ÙÒÒ Ö ØØ Ñ Ø ØÙ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÒ Òº ØÙ ÒØ Ò Ú Ö Ø Ü ÑÔ ÐÚ ÒØ Ú Ö ÙÔÔ Ò ÖØ ØØ ËÚÖ Ø Ö ØØ Ú Ö Ø ÐÐÚ Ð ÓÖØ Ö ÙÔÔ Ø Ö ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ÐÑÔ Ö º ØÒ ÙÔÔ Ø ÖÙØ Ò ÒÚÒ Ö ÒÑ Ø Ú Ö Ø ØÝÖ Ý Ø Ñ Øº s 4 = 1 2 sº 103

107 Ò Ö ØÔ Ò Ø Ö Ö Ò Ò Ö ÓÑÐ Ö ÓÑ ØØÖ ÙÐØ Øº ÒÐ Ò Ò ÝÒÔ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÖÓÐÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÖÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ ÙÖÙ ÒØ Ö Ø ÒÚÒ Ö Ú ÒØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ø ÓÖ ÒÙع ÒØ Ö ÒÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ø ÖÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ñ ÒºÁ ÖØ ÐÒ Ö Ú Ö Ò ÝÒÔ ÒÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ü ÑÔ ÐÔ ÙÖ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÒÚÒ¹ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ø ÐÐ Å ¹ÔÖÓ Ø Øº Å ¹ÔÖÓ Ø ØÚ Ö ØØ ÔÖÓ Ø ËØÓÖ Ö Ø ÒÒ Ò ÓÑ Ø Ö ØØÖ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÒÔ Ýѹ Ò Ò ÚºÈÖÓ Ø Ø ÒØ ÓÖ Ø ÖÙÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ñ ÒÓ Ý Ø Ø ÐÐ ØØ Ö Ö Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ú ÓÒ Ø ÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ ÖÒ ºÅ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒÑ Ò ÒÔÖÓ ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙØ Ú ÖÒÖ ÖÙÔÔµ Ö Ø ÖÑ ÒÙÔÔ ØÓ Ñ Ø ÙØÚ Ð ÒÝ Ö Ö ØØÐ ÒÒ º Ò Ó Ò Ø Ú ÓÒÐ ØÖÒÖ Ò Ò Ú ÓÑÑ Ö ÓÒØ ØÑ Ò ÓØ Ö Ú Ð Ø Ò Ú Ò Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÖØ ÐÐÖ Ð Ø ÐÐ Ö ØÖ ÑÓØ Ø º ØØ Ö Ò Ú Ò ØØÓÑÔÖ Ú ØØ Ó Ò Ø Ú Ñ Ó Ò Ö Ô ØØ ºÈ ع Ø ØØÐÖ Ò Ú ÒÒ ÓØÒÝØØºÅ Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÒÑ Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ú Ö Ø Ò ØÒ Ò Øº ØØ Ö Ñ Ö ÓÑÚ Ø Ø Å ¹ÔÖÓ Ø Ø Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ð Ñ Ú ØÒ ÓÑ Ò Ö Ñ Ø Ó Ö ÖÑ Ò Ö Ò Ö ØØ Ð ÑÑ ÓÖØ Ñº Á ÖÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ ØØ Ü ÑÔ Ð ÖÒØÚÐ Ø ÓÒ Ö Å ¹ÔÖÓ Ø Ø Ú Ð Ø ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ö Ö ÔÔ Ø ÝÑÔØÓØ ÖÑ ÐÔ Ú Ò ØÓÖº ÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ Ö Ú ÖÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ñ ÙØ Ò ÔÙÒ Ø ËÇÄÇ¹Ø ÜÓÒÓÑ Ò ºÁËÇÄÇ¹Ø ÜÓÒÓÑ Ò Ð Ö ØÒ Ò Ø ÝÖ Ò Ú Ö Ò ØÖÙ ØÙÖ ÐÐØ ÑÙй Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÐØ Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐØÓ ÙØÚ Ø ØÖ Øº Ø Ò ØÖÙ ØÙÖ ÐÐ ØÒ Ò Ø ÒÖ Ø Ö Ô ÒÓ Ò Ø Ò Ô Ø Ú Ö ÑÐ Ø ÖØÒ Ò Ø Ñ Ò Ø ÑÙÐØ ØÖÙ ÙÖ ÐÐ ÒÖ Ø Ö Ô Ö Ô Ø ÖºÊ Ð Ø ÓÒ ÐÐØØÒ Ò ÖÖ Ð Ø Ó¹ Ò ÖÑ ÐÐ ÒÓÐ Ó ØÓ ØÙØÚ Ø ØÖ Ø ØÒ Ò Ø ÒÚ Ò Ò Ö ¹ Ð Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖºÎ Ò Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ò Ò ØÙ ÒØ ÖÒ Ò ØØ ÐÐ Ð Ø ÓÑÚ ÖØ Ð Ó ÓÖ ÓÒØ ÐÐ ÝÑÔØÓØ Ö ÓÑ ÝÑÔØÓØ ÖÒ Ø ÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Òx x 1ºËØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ö ÙÒØ ÓÒ Òx x 1Ñ ØÓÖÒ Ñ ÚÖ Ø ÐÐ ÖÓ Ö Ñ ØÓ Öº ÒÒ Ð Ú Ö Ø Ø Ð Ö Ö ÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ ÓÑÑÙÐØ ØÖÙ ØÙÖ ÐкÁ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÚÒ Ò ÙÒ Ô ÖÓÑ ÝÑÔØÓØ ÖÓ ÙÖ ÙÒ Ö Ñ ØÓÖ Ô ÙÒ Ø ÓÒ Òx x3 1 x 2 1 ÓÑ Ö ÝÑÔØÓØ Ö ÓÑÚ Ö ÒÖÚ ÖØ Ð ÐÐ Ö ÓÖ ¹ ÓÒØ ÐÐ ºËØÙ ÒØ ÖÒ Ú Ö Ô Ö Ö ÓÖ ÓÑÙØ ÖÒ Ö ÙÒ Ô Ò Ú Ð ÑØ ÐÐ ØØÙÔÔØ ÝÑÔØÓØ Ö Ú ÓÖ ÓÒØ ÐÐ»Ú ÖØ Ð ÖÖ ØÖº Á Ò Ú ÐÙØ Ò Ö ÒÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ Ò Ò Ñ Ö Ò Ö ÐÐ ¹ Ò Ø ÓÒ Ö ÝÑÔØÓØÒ Ò ÖÚ ÖØ Ð Ó ÓÖ ÓÒØ ÐÐ ÓÑ Ö Ò Ò Ø ÐкÌÒ Ò Ø ÒÒ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ö ÓÑ ØÚ Ö Ò Ú ÖÒ ËÇÄÇ¹Ø ÜÓÒÓÑ Òº ÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒÑ Ò Ö ØØ ØÚ Ø ÒØ Ö Ø ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÖÔ ÖÑ ÒÙØ Ò Ø ÓÑ Ö ÐÚ º Ñ Ò Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÓÑ ØØÑ ØÓÖÒ Ö Ø Ñ ÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÖÐÖ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑÓ Øº Ð Ö Ò Ø Ö ØØÔ ØØÑ Ò Ò ÙÐÐØÓ ÒÚÒ ÖØ ØØ ÙÒÒ ÒÚÒ ØØ ØÓÖ Ð ¹ Ö Ý Ø ÑÑ Ø ØÙ ÒØ Ò ÒÚ Ö Ú Ð Ö Ò Ø Ö Ú ÖÈ Ö 104

108 Ó ËØ Ý ºÈ Ö Ó ËØ Ý Ð ÖÙÔÔ Ò Ð Ö Ò Ø Ò ØÚ Ð Öº Ò Ö Ø Ð Ò Ú Ò Ð Ö Ò Ø ÒÖ ØÙ ÒØ Ò ÖÑ ØØ ÙÒÒ ÖÙØ ÚÚ Ð ÒØÝÔ ÐÐ Ö ØÖÙ ØÙÖÖ ÙÐØ Ø Ø Ú Ò Ö Ò Ò ÖºËØÙ ÒØ Ò Ö Ü ÑÔ ÐÚ ÙÒÒ ÖÙØ ØØÔÖÓ Ù Ø Ò ÚØÚÔÓÐÝÒÓÑÖ ØØÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ú Ð Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Öº Ø Ö ÓÑ ØÓÖ ÒÚÒ Ö Ò ÒØ Ö Ò Ð ÙÖ ØÓÖÒÙØ Ö Ö Ò Ò ÖÒ Ö ÒÒ Ò ÔÚ Ø Ö ØØ ØÙ ÒØ Ò ÙÒÒ ÙÔÔØ Ð Ö Ò Ò Ö ÓÑ ÒÒ ÙØ ÖÑ ØÓÖÒºÈ Ö Ó ËØ Ý Ð ÖÙÔÔ ÒÒ ÖÑ ØÖ Ð Ö ÖÑ Ò ØØ ÒÒ Ò ÓÒÚ Ò¹ Ø ÓÒ ÖÓ ÖÙÒ Ð Ò Ò Ô Ö ÖÑ Ò ØØÙÔÔØ Ó ÒÒ Ò ØÖÙ ØÙÖ ÖÓ ÖÑ Ò ØØÙÔÔØ Ú Ø Ò Ô ÖºÅ ÖÑ Ò ØØ ÒÒ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÖÓ ÖÙÒ Ð Ò Ò Ô ÖÑ Ò ØÙ ÒØ Ò Ò¹ Ø Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ö ÓÑÐ Ö ÓÑ Ð Ö ÙØØÖÝ ÔÔ ÔÔ Ö Ó ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Øº ØÖ Ü ÑÔ ÐÚ Ú Ø Ø ØØ ØÙ ÒØ Ò Ö Ò Ø ØØabÖ Ò ÓÖØ ÓÖÑ Öa bó ØØ ØØ Ñ Ø Ö Ú a b ØÓÖ Ð ¹ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ ØºÅ ÖÑ Ò ØØÙÔÔØ Ó ÒÒ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ö Ú ØÙ ÒØ Ò ÖÑ ØØ ØØ ÓÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÑ ØÓÖ ÖØ ÐÐ Ð Ö Ùع ØÖÝ º ÒÒ ÖÑ ÖÚ Ø Ö ØØ ÙÒÒ Ö Ø Ñ ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ô ØØ Ø ÚØ ØØÑ ÒÈ Ö Ó ËØ ÝÔ ØÖÓ ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ò ÐÔ ØÙ ÒØ Ö ØØ ØØÖ Ö ØÓ ÙÔÔØ ØÖÙ ØÙÖ Öº ÖÑ Ò ØØÙÔÔØ Ú Ø Ò Ô Ö Ò Ö Ô Ö ØÙ ÒØ Ò ÖÑ ØØÙÔÔØ Ò Ô Ö Ð Ö ÙØØÖÝ ÓÑÖÖ Ð Ú ÒØ Ö ØÔÖÓ Ð Ñ ØÙ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐ ÐÐ ØÑÒ ÖÐ º Ì ÐÐ Ò Ò Ö Ð Ò Ú Ò Ð Ö Ò Ø Ò Ö ÖÑ Ò ØØÚÜÐ Ñ ÐÐ ÒÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Öº ÒÒ ÖÑ ÓÑÑ ÖØ ÐÐ ÒÚÒ Ò Ò Ü ÑÔ Ð¹ Ú ÒÖ ØÙ ÒØ ÒÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ØÓ Ö ØºÁ Ò ÓÖ Ò Ò ÖÈ Ö Ó ËØ ÝÚ Ø ØØ ØÙ ÒØ Ö ÓÑ Ö Ø ÖÑ ØÓÖ Ð ¹ Ö Ý Ø Ñ ÓÖØ Ö Ú Ò Ò ØØÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ Ö ÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Öº Ð ÖÙÔÔ ÒÒ ÖÑ ØÚ Ð Ö ÖÑ Ò ØØ Òݹ Ø ÑÑ Ò Ö Ó Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÑØ ÖÑ Ò ØØ ÒÝØ ÑÑ Ò Ö Ó ÒÙÑ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÖºÈ Ö Ó ËØ ÝÑ Ò Ö ØØ ØÖÚ Ø Ø ØØÐÖ Ö Ò ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò ØÓÒ Ö ÓÚ ÒÒÑÒ ÖÑ ÓÖÒ ÓÑÙØ Ö Ò Ð Ö Ò Ø ÒºÈ ØØ Ò ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÒÚÒ Ö ØØÐÖ ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ ØØÖ ÙØÚ Ð ÖÑ ÓÖº ØÖÚ Ø Ø ØØ ÐÖ Ö ÒÔÚ Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ØØ ÖØ ÐÐÚ Ò ØØ ÐÐØ ÒÚÒ Ò Ð ¹ Ö Ò ØØ ÐÐ ØØÖ Ø Ö Ú Ö ØØÙØØÖÝ ØÝ Ð º Ö Ò ÓÖ Ò Ò Ú Ø ØØÐÖ Ö Ò Ò Ø ÓÑÑ ØØ ÒÓÑ ØØÔÐ Ø ÓÒ ÖÒ ÐÐØ ÐÚ ÒÚÒ Ò Ð Ö Ò ØÓ Ú ÙÖ ØØ Ö Ö º ÒÑ Ö Á Ö Ú ÖÅ Ö ÚÓÖ ÒÓÑ ØØÒÝØØ Ö ÔÔÔ ÖÙÒ ÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ú ÌͺÁ ÒÒÝ ÙÖ Ò ÒÖ Ø Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÒÔ Ö Ø Ð Ö Ö ÒØ Ö º ÒÚ Ø Ð Ú ÙÖ ÒÖ ØØÅ ÔÐ ÒÚÒ ÒÓÑ Ò ¹ ÚÐ Ö Ð Ò Ò Ö ÚÒ Ò ÖÓ ÔÖÓ ØÙÔÔ Ø Öº ÒÒÝ ÙÖ Ò ÖÐ ØØØ ÐÐ ØØÖ Ö ÙÐØ Ø ÖÒ ØÙ ÒØ ÖÒ ºÅ Ö ÚÓÖ Ò Ö ÒØ ÙÔÔÐ ÚØ ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ø Ð Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÑÖ Ø ØÖÓØ ØØÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ö ÓÒ ÒØÖ Ö Ø Ñ Ò Ö Ô ØØ º Ø Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ø ÚÅ ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ Ö Ò Ò ÖÒ Ö Ò Ò Ö Ø Ú ØÚ ÒØ ØØ ÙÖ ØÓÖ Ð Ú Ö ØØÖ Ò Ò ÓÑ ÖÓÖÔÅ ÔÐ Ñ Ò ØÚ Ö ØØ ØÓÖ ÖÑ Ö Ñ Ò Ò ÒÚÒ 105

109 ÙÒ ÖÚ Ò Ò Òº Ø ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÓÑ ÒÚÒ Ú ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÄÌÀÖ ÒÚÒ Ò Ò ÚÑ ÔÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÒÚ Ñ ÔÐ ºÈ ÖÙÒ ÙÖ ÖÒ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÄÌÀ ÒÚÒ Ñ ÔÐ Ô Ö ÑغÁ ÙÖ Ö Ú Ð Ñ ÔÐ ÒÚÒ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ö ØØ Ñ ÙÒ ÒØ Ö Å Ø Ñ Ø ÄÌÀ ÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ö Ò Ø Ò ÒÓÑÒ Ö ØÓÖÐ ÓÖ ¹ ÙÔÔÒÓÐ ÑÐ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Òº Ø Ö ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒØ ÓÑÑ Ö ÓÒØ Ø Ø ÓÒ Öº ØØ ÙØ Ö Ò ÖÒ Ò Ò ÖÔÚ Ð ØØÑ ÔÐ Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ñ Ñ ÔÐ ÙÒ Ö ÐÒ ÙÒ ÖÚ Ò Ò Ø ÙØÚ Ð Ö ÒØ Ò Ö Ø Ö ØØ ÒÚÒ Ñ ÔÐ Ø ÐÐÖ Ð ÑÒ Ö ØØÑ ÔÐ ÙÒÒ ÒÚÒ Ö ØØ Ü¹ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ó ÙÒ Ö Ñ Ö ÔÔÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ Ö Ú Ö ÓÑ º º½ Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Á ÙÖ Ò Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ö ÓÑÑ ÖØÚ ØÓÖÐ ÓÖ ¹ Ø ÓÒ ÖÑ Ñ ÔÐ º Ø Ö ÓÑ ØØ Ö ÒØ ÙÖ Ò ØÙ ÒØ ÖÒ ÒØ ÖÚÒØ ÒÚÒØÑ ÔÐ ÖÙØ Ú Ö ÖÑÝ ØØ Ñ Ø ÒÚÒ Ö ØØÐÖ ÙØÑ ÔÐ º Ò Ö Ø Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ò ØÖÚ ÒØÐ ÒÙØ ÐÙØ Ò Ú ØØÔÐÓØØ ÓÐ ÙÖ¹ ÚÓÖÓ ÝØÓÖºËØÙ ÒØ ÖÒ ÖÐ ÚÐØÒ Ò Ð ÐÚ ÙÖÙ ÒØ ÑÝ Ø ÙÖ ºÂÑ ÖÑ ÙÖ º Ö ÒÒ ÒÐ Ò Ò ÙÔÔ Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ö Ø Ñ Ö ÐÚ ØÒ Øº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö ØÚ Ð Ò Ò Ö Ö Ú ØÓÖÖÓÐ ÖÙغ Ö ÖØ ÐÐ Ö Ò Ö Ò Ò ÖºÁÙÔÔ Ø Ò ÙÖ¾ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÖ Ò Ò Ö Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ö Ö Ú ØÓÖÓ Ú Ö ÙÖÑ ÔÐ Ò ÒÚÒ¹ ÙÖ½ ÍÖ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ö ØØ Ò ÓÒÑÒ Ò Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÖÒ ØØÑ ÐÐ ÒÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ð ÑÑ º¾ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø ÐÖØ ÓÑÑ ÔÐ ÒÑ ØÓ Ò ÖÒ ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ ÒÚÒ ÙÖ ºËØÙ ÒØ ÖÒ ÙÔÔÑ Ò ØØ ÒÐ Ø Ö Ú Ò Ñ ÔÐ ¹ ÓÑÑ Ò ÓÒ ÐÖØ ÖÚ Ò Ö Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÐÐ Ò ÙÒÒ ÒÚÒ ÒÒ ÓÑÖ Ö Ò º 106

110 ÙÖ¾ ÍÖ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÐÝ ØØÐÖ ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ ÔÐ Ó ØØÚ Ñ ØØÑ ÔÐ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ñ ÔÐ ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ ÒÚÒ ÖÑ Ø Ö ÙÖ ÍÖ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ ÙØ Ö ÑÒ Ö Ò Ò Ö ÓÑ Ö Ò ÒÝØÒ Ò Ø ÐÐ ÙÖ ÒºÆ ÓØÒÝØØ ØÓ ÐÐ Ö Ò Ö ÝÒ ØØ Ò Ö ÒØ ºÁ ÙÖ ÒÒ ØØ Ü ÑÔ Ð ÖÒ ÒÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÒÒ ÙÖ ºËØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÖØ ÐÐÙÔÔ Ø ØØÐ Ò Ö ÙÔÔ Ø Ö ÖÒ ÚÒ Ò Ø Ø Ñ ÐÔ ÚÑ ÔÐ º ÚÒ Ò ÖÒ ØÖ ØØ Ö Ò Ò Ö Ò Ð µ ÙÑÑÓÖº Æ ÓÒ ÙÔ Ö Ø Ò Ú Ö Ñ ØÖ ÒØ Ò ÚÒ º Ö Ø ÓÒ ÙÔÔ ØÚ Ö Ö ØØÑ ÔÐ Ò ÒÚÒ ÖÙÔÔ Ø Ö Ú ÒÒ ØÝÔº ÚÒ Ò Ö Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ø Ö Ö Ò Ø Ö Ò ÒÒ ÒÒ Ð Ó¹ ËØÙ ÒØ ÖÒ Ú Ö Ö Ö Ú Ò ÙÑÑ Ò Ñ ÔÐ Ó Ö Ò Ú Ö Øº ÙÖ ÍÖ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ 107

111 Ú Ö ÒÖ º Ö ØÐÐÒ Ò Ú ÙÖ Ò ÓÑÔÐ Ü ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ò ÓØ ÓÑ Ò Ú Ö ØÑÐ Ò ÚÖØ ØØ Ö ØÐÐ Ô Ò Ò º Ò Ö ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ ÑÔ ÐÔ ØØ ÒÒ ÙÖ ºÀÖ ÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ò ¹ Ä ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ ÒÚÒ Ó Ö ØØ Ö Ø Ð Ö Ö ÙÐØ Øº ØØ Ü¹ º ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ ÙÖ ÍÖ ØÓÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ ØØ ÓÑ ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ º Ü ÑÔÐ Ø ÖÒ ÙÖ Ú Ö ØÙ ÒØ Ò ØØ Ñ ÔÐ Ò ÒÚÒ Ö ØØÖ Ò Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓ Ö Ú ØÓÖºËÓÑ Ô ØÐÐÒ Ò Ö Ò ÖÚ Ú Ö ÓÒ Ö ÚÑ ÔРк ØØ Ö ØÙ ÒØ ÒØ ÐÐ ÐÐ Ä ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ñ ÔÐ ÙÖ ÒÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ ÒÚÒ ÔÐ Ò Ò ØØÖ Ø Ö Ú Ö ÙÖ Ø ÒØÐ Ò Ú Ö Ú Ð ØÑÓØÚ Ö Ö Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ¹ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ö Ó ØÙ ÒØ Òº ØØ Ú Ö Ö ÖÑ Ò Ô ØÙ ÒØ Ò ÐÖ Ò Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ò ÖÚ Ð Ö Ó Ö Ö Ú Ò ØØ ºË ÐÐÒ Ò ÖÖ ØØ Ò Ö Ø Ò ÖÑ ÒÐ Ö Ó Ñ ÔÐ ØÐÐ Ø Ö Ó ØÙ ÒØ ÒºËØÙ ÒØ Ò ØÚ Ò Ó ØØÖ Ø Ö Ô ÑÑ Øغ ÃÙÖ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ó Ý Ø ÑØ Ò Ð Ö ÖÒ ØÖ ¹ º Ð Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ó Ý Ø ÑØ Ò Á ÙÖ ÒÒ ØØ Ü ÑÔ ÐÔ ÙÖÑ ÔÐ ÒÚÒ Ö ØØÚ Ö º ØÐ ØÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÐÐ ØÐ Ø ÓÒ Ð ºÁÐ Ø ÓÒ Ð Ò ÒÒ Ó Óѹ Ø ÐÐ Ò Ö Ö ØÓÖÑ Ñ ÔÐ º ÐÐ ÚÒ Ò Ö ÙÖ ÒÖÙØ ÓÖÑ ØØ ØÙ¹ Ø ÓÒ ÐÐ ÙÖ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ¾ ºÁ ÒÒ ÙÖ ÖÚ Ö ØÙ ÒØØ ÐÐ Ò ÒØ ÖÒ Ö Ø Ö ÖÙÔÔ ÖÓÑ ÝÖ Ñ ÙÔÔ Ø Ö ÒÐ Ø ØØ ÖÚ Ö Ð Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ö ÖØ ÐÐÚ ØÙ ÒØ ÖÒ ØÒ Ó Ú Ö ÙÔÔÑÖ ÑÑ ÔºÈ ØØ ØØÓ ÒÓÑ ÜÔÐ Ø Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ð Ö Ö ÙÖ ÑÐ ÒÔ ØØØÝ Ð Ø ØØ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ Ú Ð Ø ÖÑ Ö ÙÔ ÒÐÖÒ Ò Ô Ø Ð¾ ºÍÔÔ Ø ÖÒ Ð ¹ ÙÖ Ö ÐÐØ ØÙ ÒØ ÖÒ Ò Ø ÖÖ Ú Ò ØØ ÒÚÒ Ñ ÔÐ Ú Ö ÖÙÔÔ Ø Ö ÚÑ ÔÐ ¹ ÒÚÒ Ò Ò Ò Ö Ú ØÚ ÒØ ØØÙØ ºÆ Ò Ð Ö ÓÑ Ü ÑÔ Ð ÚÑ ÖÙÒ Ö Ò ÖÖ ØÖ Ò ÒÚÒ º Ø ÓÒ Ð ÒÖÙØ ÓÖÑ Ö ØØ ØÙ ÒØ ÖÒ ÒÚÒ ÚÑ ÔÐ ºÁ ÒÒ Ê ÙÐØ Ø ÒÔ ÙÖ ÒÖ Ó ¾ Ñ Ò Ú Ð Ò Ö ØØ Ö ÒÓÖ 108

112 ÙÖ ÍÖ ØÓÖ ÚÒ Ò ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ Ò Ö ÙÖ Ö ÙÖÐ Ø ÓÒ Ð Òº ÙÖ ÍÖ ØÓÖ ÚÒ Ò ÃÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ ÔÐ Ò Øº ØØ ÐÑÔ Ö ÚÐ Ö ÒÙÒ Ö Ò Ò Ñ ØÓÖ Á ÙÖ Ó ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÔÔ Ø Ò ØØ Ñ ÔÐ ÙÒ Ö ÓÐ ØÝÔ Ö Ú ÙÖ ÍÖÐ Ø ÓÒ Ð ½ 109

113 Ú Ò ÙØ Ò ÔÚ Ö ºËØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÐÚ ØÒ Ø ÒÙÔÔ ØØÒ Ò Ø Ö ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ ÐØØ ÒÚ Ö Ö ÓÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÓ ÓÒ Ö Ø ÙÖ ÙÖ¹ ÙÖ ÍÖÐ Ø ÓÒ Ð ¾ ÓÑÚ Ð Ò ØÝ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ö Ö ÙÖÚ Ò ÙØ Ò Ó Ö Ö Ö Ø Ñ ØÚÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ú ÙÖÚÓÖ ÓÑ ÓÑ ØÖ Ó ØÓ Ð Ò Ò ¹ ÑÒ ÖØ ÐÐ Ú Ø ÓÒ Öº ÚÒ Ò Ò ØÖ ÖÓ ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÔÔ ØØÒ Ò ÓÑ ØÝ Ð Ò ÚÔ Ö Ñ Ø ÖÓ ÐÐÒ ÒÑ ÐÐ ÒÚ Ö ÐÓ Ô Ö Ñ Ø Öº Ú ÒØÙ¹ Ò ÙÔÔ ÓÚØ ÐÐ Ò Ö Ú Ò ØØ Ú Ð Ø ØÖ Ö ÒÐÖÒ Ò Òº ÐÐ Ñ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ö ÐÐ ÖÓØ ÐÐÖ Ð Ø Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ô Ö ÖÚ Ð Á ÙÖ½¼Ö ÒÙÔÔ ØØ Ö Ú Ò Ú Ð ÒÐØ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ö ÙÒ ¹ ÙÖ½¼ ÍÖÐ Ø ÓÒ Ð ÙÔÔ Ø ÒÖ ÑØ Ö Ò ÙÖ Ö Ö ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÒØ ÓÑÔÐ Ü ºµËØÙ Ò¹ Ø ÖÒ Ö ÖÔ ØØ ÓÒ Ö Ø ØØ ØØ Ö ÐРغ Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÙÔÔ ØØÒ Ò Ö ÓÑ ØØ Ò ÖÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÑÒ ÖÖÔ ØØ Ú ÐÐÚ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ð Ñ ¹ 3)º ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÒØ Ô ØØÖ ÑÐ Ø ØØ ¹ Ò Ö ÒÓÑ Ò Öº Ø ÓÒ Ò(x, ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ñ ÒØ Ò ÒØÐ Ò ºËØÙ ÒØ ÖÒ Ö ÐÚ ØÒ ØÙÒ Ö ÙÖ ÁÙÔÔ Ø Ò ÙÖ½½ Ö ØÙ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ö ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒÐÓ ÐØ Ò 2º Ä Ö Ò Ö ÖÑ ÙÔÔÑÖ ÑÔ ØØ ÙÖ ÒÙÖÚ Ð Ò y) (x + 1)(y Ò Ö Ô Ð R Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÖÓ ÖØ ÐÐ ÐÐ ØØ Ô Ò Ó ÙÔÔ ØØÒ Ò Ú Ú Ø Ò ÒØÐ Ò ÖÓ Ö Ú ØÓÖÖº 110

114 Ù ÓÒ ÙÖ½½ ÍÖÐ Ø ÓÒ Ð Ö ØØ ÖÒ Ø ÐÐ ÖØ Ð Ö ÓÑÖ ÓÚ Ø ÒÒ ÙÔÔ Ø Ö ÐÐ Ñ Ò ÑØ Ø ØØ Ò Ö ØØ Ø ÖÑ Ø Ö ÓÑ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ ÒÐÑÒ Ø ÐÐ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ø Ð ÖÑ Ø Ñ Ø Òº ØØ Ö Ò Ô Ø ÓÑ ÒØ ÒÚÒ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÒÖ Ø ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÐÐ ØØ ØÓÖ Ö Ú Ñ Ø Ñ Ø ÄÌÀºËÓÑ Ü ÑÔ Ð Ò ÙÖ ÒÑÒ º Ø Ö Ö Ú Ö Ú Ø ÓÑ ØÖ Ò Ð Ò Ò ÒÙØ Ò ØØØÒ ÔÑ Ø Ñ Ø Ò ÓÑ ÔÙÒ Ø Ö Ø Ð Ö Ò ØÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ØÙ ÒØ ÖÒ Ö Ö ºÅÒ ØÙ Ò¹ Ð Ö ÓѺËØÙ ÒØ ÖÒ ÐÖ Ö ÓÔÔÒ Ò Ú Ñ ÔÐ Ô ØØ ØØ Ñ Ò Ø Ò Ö ØØ ØØ ÑÒ ÐÐÖ Ø Ò ØÙ ÒØ ÖÒ ÐÖ ÙÒ ÖÐ Ó¹ Ä ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ ÖÓ Ø ÙÔÔ Ý ØØÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ Òº ØÖ ÖÑ ØÚ ÑÓÑ ÒØ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ú Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ö Ñ Ö ÓÑ ØÙ ÒØ ÖÒ Ñ Ð Ø ØØ Ò Ö Ø Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø Òº ØÖ ÝÒ ØØ ÒØ ÒÚÒ Ò Ö Ñ Ð Ø Ö ØÓÖ Ð Ö ¹ ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÚÖ ÓÑ Ô ØØ ØØÖ ØØ ÙÒ ØØÐ Ú ÙÔÔØ ÐÐÒ ÑÒ Ø Ð ÓÖ Ø ÓÒ ØÚ ÐÐ ÓÑ Ð ÓÖ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ò Ö ØÖ Ø º Ð Ö Ú Ú¹ Ý Ø Ñ Ö ØØÐÖ ÙØ Ö Ø Ð ÖÑ Ø Ñ Ø ºÄ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ ØÓÖ Ö Ò Ò ÖÒ ÙÖ Ò Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ö Ó Ý Ø ÑØ Ò Ö Ö Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ö ÒÙØ ÓÖÑ º ØØ ÖÚ Ø Ø ØÝ ÓÑÅÓ Ó ÂÓ Ò ÓÒ Ö Ú Ö ØÚ Ø Ö ÒØ Ú ØÙ ÒØ Ò ÖÔ ÖÑ ÒÙØ Ò Ø ÓÑ ÒÒ Ö ÐÚº Ò Ò ÖÒ Ö Ò ØÓÖ ØÖ ÒÝØØ Ò Ú Ö Ò ÒØÐ ÑÓÑ ÒØ Ò Ñ Ö ÒÓÑ ØØ ÓÔÔÐ ÝÒ ÒØÖÝ ÒØ ÐÐØ Ò Ú Ö Ñ Øº ÔÙÒ Ú Ö Ø ØÓ ÓÐÓÖ Ñ Ò ØÖ ÒØ ÚÖØ ØØØÒ Ò Ö Ü ÑÔ Ð ÓÑ ÒÚ Ö Ø ÐÐÒÝØØ Ö ØÙ ÒØ ÖÔÙÒ Ú Ö Ø ØÓ ÓÐÓÖºË ÐÐÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ø ÓÒÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒÖ ØØ Ü ÑÔ ÐºÀÖ ÒÒÑÒ ØØ Ö Ø¹ Ø Ö Ò Ú ÒÒ ÙÔÔ Ø Ò Ö Ø Ñ Ø ÒÑ Å ÔÐ Ñ ØØ Ò Ö ÚÓÑÚÒ ÅÒ Ú Ü ÑÔ Ð Ö Ú Ö Ø ÖÙÔÔ ÙÔÔØÖ Ö Ö ÓÔÔÒ Ò Ú µ ÒØ Ø ÒÓÑ ÐÐÒ ÒÑ ÐÐ Ò Ú Ø ÓÒ ÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ñ Ò ÙÒ Ô ÒÓÑ ØØ Ñ Ø Ò Ö ÔÓÐ ØØ ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø Ò º ØØ Ö ØÖÑÓØ ÓÑ Ö Ú Ö Ø ÖÙÔÔºÁÚ Ö Ö Ò Ò ØÖÙÑ ÒØ Ö Ò Ñ Ö ÙÐØ Ö ÐÙØÐ Ò ØØ Ö ØØ Ö Ò Ø ÖÑÒ Ñ ÓÖÐÖ Ò Ö Ø Ò Ú Ö ÒØ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÑ Ò Ö ÙØÚ Ð Ò ÒÑ ÒØ Ð Ø ØØ Ò ¹ ÙÒ Ô Ò Ú Ð Ø ÖÚÒ Ò Ú Ö ØØ ÒÚÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ý Ø Ñ Ó ÖÑ Ð Ø Ö Ö ÒÐÖÒ Ò Ú ÒÚÒ Ò Ø Ú Ò º ØØ ÙØÒÝØØ Ö º Ú Ñ Ø Ñ Ø ÄÌÀÑ Ò ØÓÑÚÒ ÓÑ Ö Ú Ö Ö Ú ÖÓÑÙØÒÝØØ Ð Ø Ò 111