Insiuionen för maemaik, KTH 05088 Arbesmaerial 5 för 5B209/25:2/HT05/E.P. 7. Fourierransformen 7.. Informella härledningar av synes- och analysekvaionerna för fourierransformen 7.. Approximaion av godycklig funkion med periodiska funkioner Fourierseriers summa är allid en periodisk funkion, och i sor se varje periodisk funkion kan skrivas som (= represeneras av) en fourierseriesumma. De ligger nära ill hands a söka efer liknande represenaioner för godyckliga icke-periodiska funkioner genom a uppfaa dem som gränsfunkioner för följder av periodiska funkioner med succesiv växande periodlängd. Figurerna nedan illusrerar den idén: x() och x () L 3L/2 a L/2 a L/2 3L/2 x() och x () L a a L/2 L/2 x() = lim x () L L a a Funkionen x() är = 0 uanför inervalle a < < a, men för övrig godycklig. För x L (), den L-periodiska forsäningen av x(), gäller då a lim L x L() = x(). Fourierkoefficienerna ill fourierserieuvecklingen av x L () ges av L/2 c n = L L/2 x(τ) e 2πjnτ/L dτ = Om L >2a = L och enlig synesekvaionen har man a x L () = n = L x(τ) e 2πjτ n/l dτ x(τ) e 2πjτ n/l dτ e 2πjn/L.
Om vi i urycke x(τ) e 2πjτ n/l dτ e 2πjn/L säer n/l = f, så förenklas de ill x(τ) e 2πjf τ dτ e 2πjf = G( ω ). Man får då a x L () = L G n = n L. (7.) Den summa som vi har här är nära släk med Riemannsummorna som används vid definiionen av enkelinegral: G( f ) G(n/L) /L /L /L /L /L /L /L /L 2π/L f En heurisisk olkning av gränsövergången L är a varje erm i summan (7.) svarar mo arean av en rekangel med sidorna L och G n L. Den rekangelarean approximerar arean av mosvarande område mellan G:s graf och f-axeln. Med ökande L blir rekanglarna smalare och smalare och approximaionerna successiv bäre och då L kommer summan a G(f ) d f. Säer man så är G( f) = X(f) e 2πjf och man får n/l X( f) = x(τ) e 2πjf τ dτ, (7.2) x() = X( f) e 2πjf d f, (7.3) (Resonemange ovan mosvaras i ZC av sidan 595, 4.3.) Synesekvaionen (7.3) kan allså sägas urycka en godycklig funkion som en linjär kombinaion (lå vara en oändlig sådan) av harmoniska svängningar e 2πjf. Se på de säe anger analysekvaionen (7.2) den vik, X(f), som frekvensen f [Hz] har i denna linjära kombinaion. Anmärkning: (E mellanspel om variabelval och beeckningar) Vi har ovan använ varvfrekvensen f som frekvensmå. Ofa använder man sig isälle av vinkelfrekvensen ω = 2πf. Variabeln ω får då dimensionen [radianer/s). Analys- och synesekvaionerna för fourierransformen får då en lie annan form: Xrad(ω) = X(ω/(2π)) = x(τ) e jωτ dτ (7.2') och, med anke på a dω = 2π df: 2
x() = 2π X rad (ω) e jω dω. Dea är de i redan inledningen nämnda formelpare (.7) och (.8). Kursboken i Ljud- och vibraionslära, i uppslagsverke β och även ZC använder ω -variabeln, men f-variabeln förekommer ine så sällan i annan lieraur 2. Beeckningarna för de olika ransformerna är råkig nog ine sandardiserade. Här har vi liksom abellverke β val a mosvarande sora boksav får beeckna fourierransformen ill den idsberoende funkionen, som allid beecknas med en lien boksav (X(f) är ransform av x(), T(f) är ransform av y() osv.). (7.3') Andra varianer för beeckning av fourierransformen som också förekommer i lierauren är (x) eller (x) xˆ (ω) eller xˆ (f). I dessa varianer framhävs via operaorerna, respekive ˆ a fourierransformen förvandlar funkioner ( signaler ) ill andra funkioner ( signalens spekrum ). Vill man yerligare poängera den egenskapen kan man skriva.ex för analysekvaionen och för synesekvaionen. x() X(f) X(f) Samma synsä och liknande beeckningar har man ibland för fourierserierna. Analysekvaionen /L c n = /L x() x() e 2πjn/L d, n = 0, ±, ±2, förvandlar signalen x() ill en alföljd c n, n = 0, ±, ±2,. Om den operaionen beecknas skriva kan man x() c n och för synesekvaionen x() = n = c n c n e 2πjn, x(). Man kan resonera sig fram ill formelpare (7.2) och (7.3) på mångahanda vis. E mera direk förfarande som ine går omvägen över fourierserierna skissas i näsa avsni. Den innehåller också en omskrivning av δ-funkionen som är inressan i sig. Men i ZC definieras fourierransformen beklagligvis som X(α) = x(τ) e +iατ dτ, med +ecken i inegrandens exponen (sid 60). Dea gör a X Zill-Cullen (ω) = X Vår varian ( ω)! 2 Bl.a. S3:s kurskompendier i singnaleori och den lilla skära exempelsamlingen som ingår i den här kursen. 3
7..2 Härledning med hjälp av δ-funkionen δ-funkionen som summa av harmoniska vågor M En koninuerlig mosvarighe ill summan e jωk ges av inegralen k = M M d 2M = M e jω d, där man så a säga summerar harmoniska svängningar för alla frekvenser i e viss inervall. M För summan e jωn härleddes i avsni 5.2.2 a man efer gränsövergång M får likheen: n = M e jωn = 2π δ(ω 2πn), (7.4) n = (som är en likhe mellan generaliserade funkioner). n = Lie snyggare blir den formeln om man väljer varvfrekvensen f = ω/2π som variabel. Man får då 3 e 2πjfn = δ(f n), n = n = (7.4') Vi skall se a man har en mosvarande relaion för inegralfalle, e jω d = 2π δ(ω) (7.5) och med varvfrekvensen som variabel e 2πjf d = δ(f). (7.5') Inegralen d 2M kan beräknas med sandardmeoder: För ω 0 är d 2M = e jω M jω = M = ejωm e jωm jω = e jβ e jβ 2j = sin β = sin Mω ω/2 och för ω = 0 får man den konsana inegranden, varför värde blir inegraionsinervalles längd 2M. Säer vi denna ill P, (4 så får vi d P (ω) = sin Pω/2 ω/2, då ω 0 och = P, då ω = 0. 3 Obs sambande δ(ω/a ) = a δ(ω) om a > 0 (sambande (4.6).) 4 Observera analogin med summafalle, där P beecknade anale ermer i summan. 4
Man kan få viss grepp om hur denna funkion beror av sina vå variabler P och ω genom a göra följande observaioner: sin πf Uryck i varvfrekvensen f = ω/2π och för P =, får vi funkionen πf (då f 0) och (då f = 0). Den har sina nollsällen i helalspunkerna 0 och växlar ecken i alla dessa och 0 då f. Funkionen har få e särskil namn sinus cardinalis, förkora sinc: sin πf sinc f = πf, då f 0 och =, då f = 0. (7.6) Dess graf represenerar e slags dämpad svängning: sinc f 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 f sin Pπf sin Pπf För allmännare P får man, efersom d P (ω) = d P (2πf) = πf = P Pπf = P sinc Pf, a dess graf erhålls ur grafen för sinc f genom en areabevarande deformaion av den yp som beskrevs i avsni 2.8 en hopryckning i skalan P i horisonell led och en öjning i skalan P i verikal led. Här kommer en skiss av grafen, där båda frekvensskalorna f och ω är markerade. P d P 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 2π 0π 8π 6π 4π 2π 2π 4π 6π 8π 0π 2π f ω Grafen har för sora P en markan opp i origo och svänger med dämpning. Dess nollsällen ligger i punkerna f = ±/P, ±2/P, ±3/P, (resp. ω = ±2π/P, ±4π/P, ±6π/P, ), d.v.s. all äare med växande P. Den areabevarande skalningen innebär a d P (ω) dω = 2π d P (2πf) df = 2π sinc f df. Värde av dessa inegraler är allså oberoende av P, d.v.s. en konsan. 5
Med meoder som går en bra bi uöver de inegraionsförfaranden som beskrivs i grundkurserna kan man visa a inegralen i de lede längs ill höger =. (5 Vidare gäller a a för alla inervall a α b som ine innehåller ale 0. b d P (ω)dω 0, då P Man kan därför säga a d P (ω) för sora P ycks approximera δ-pulsen 2π δ(ω). Man kan srik visa a de fakisk är så. Man har de exaka sambande: eller, med ω = 2πf och med anke på a 2π δ(2πf) = δ(f), e jω d = 2π δ(ω) (7.5) e 2πjf d = δ(f). (7.5') Alernaiv härledning av analys- och synesekvaionerna för fourierransformen Vi ve enlig (.2) a exponenialfunkionerna e jω är egenfunkioner ill LTI-sysemen, om vi döper pulssvare ill x(), e jω x X(ω) e jω, där X(ω) = x() e jω d. Inegreras dea med avseende på ω, så får man 2π δ() = e jω dω x X(ω) e jω dω. Men efersom insignalen här är en uppskalad δ-puls, så är usignalen e på mosvarande sä uppskala pulssvar: 2π δ() x 2π x(). 5 De primiiva funkionerna ill sinc-funkionen kan yvärr ine uryckas med hjälp av de elemenära funkionerna, så inegraionssambande a x (τ) dτ = x() x(a) är dessvärre ine ill någon nya här! 6
I båda fallen är de fråga om samma usignal, varför 2π x() = X(ω) e jω dω och slusasen blir: Om X(ω) = x() e jω d, så måse x() = 2π X(ω) e jω dω. 7.2 Mer om falning och fourierransform Med falningen, x*y, av vå funkioner x() och y() menas allså funkionen (x*y)() = x(τ) y( τ ) dτ. Man berakar gärna falning som e slags muliplikaionsliknande räknesä. Vi räknar upp några av de vikigase egenskaperna hos falningen. Man känner igen många som analoga med den vanliga muliplikaionen, Falning är e kommuaiv räknesä. Genom a i inegralen subsiuera τ mo τ (genomför dea) och sedan bya plas på fakorerna i inegranden får man x*y = y*x. (7.7) δ-funkionen spelar rollen av en enhe om man muliplicerar, d.v.s falar, med den så händer ingening : (x*δ)() = x(τ) δ( τ) dτ = x(), eller x * δ = δ * x = x. (7.8) Falning är linjär i varje fakor, den så kallade disribuiva lagen gäller: För godyckliga x(), y () och y 2 () sam konsaner a och a 2 gäller Båda leden kan nämligen skrivas x*(a y + a 2 y 2 ) = a (x*y ) + a 2 (x*y 2 ). (7.9) x(τ) (a y ( τ ) + a 2 y 2 ( τ ))dτ. Dea kan uan vidare usräckas ill summor med e godycklig ändlig anal ermer: N N x * an y n = an (x*y n ). (7.9 ) n =0 n =0 7
och, med lämpliga krav på konvergensförloppe 6, så gäller mosvarande också för oändliga serier x * an y n = n = an (x*y n ). (7.9 ) n = Om funkionen y föruom av beror av en yerligare parameer, nedan kallad f, så gäller i samma anda a x() * y(,f) df = x()*y(,f) df. (7.9 ) Båda leden kan nämligen skrivas som dubbelinegralen x(τ) y( τ, f) dτ df. R 2 Sammansäning av LTI-sysem och falningar Om vå LTI-sysem säs efer varandra (seriekopplas), så kommer de sammansaa syseme också a vara av LTI-yp. Man kan fråga sig vilke de sammansaa sysemes pulssvar då kommer a vara uryck i delsysemens pulssvar. Vi reder u dea: Lå delsysemens pulssvar vara x() och y() och de sammansaas vara v(). Skicka in signalen δ() i de sammansaa syseme. Usignal från dea är då v(). Följande diagram visar vad som händer på vägen i delsysemen: v δ() x x() y y() * x() Sammansäningens pulssvar måse allså vara falningen av delsysemens pulssvar Falning är e associaiv räknesä v() = y() * x() = x() * y() Säer man re LTI-sysem med pulssvar x, y och z efer varandra, så spelar de ingen roll i vilken ordning uppbyggnaden sker: Sysemen x y z 6 Preciseras ine här. För alla signaleoreisk rimliga siuaioner är sådana krav uppfyllda. 8
x y z x y z är ideniska. Enlig föregående punk så har man därför (x*y)*z = x*(y*z). (7.0) Övningar: (Nedan beecknar u() he uni sep funcion, dvs. u() = om > 0 och = 0 om < 0.) 7. Beräkna a. e *, b. e * u(), c. e * u( ), d. e *, e. rec () *, f. rec () *, g. rec () * 2, h. rec () * u(), (ria figur!), i rec () * rec (), (ria figur!) j. u() * u(), (ria figur!), k. e * rec (), l {e u()} * e 2, m. e * e j n. e * cos, o. e * sin, p. δ( ) * δ( ). 7.2 Verifiera följande allmänna relaioner (a och b är en godyckliga reella konsaner): a. δ( a) * y() = y( a), och om x() * y() = z() b. x( a) * y() = x() * y( a) = z( a), c. x( a) * y( b) = z( a b), d. x( ) * y( ) = z( ). 7.3 Funkionen x() är sådan a x()d är konvergen. Verifiera följande allmänna relaioner. a. x() * = x()d, b. x() * u() = x()d, och för de fall då x() dessuom är en jämn reellvärd funkion: c. x() * cos (ω ) = X(ω) cos (ω ), d. x() * sin (ω ) = X(ω) sin (ω ), (Ledning: Obs a x() är jämn och reellvärd (om och) endas om X(ω) också är (jämn och) reellvärd.) 7.4 Vilka är relaionerna mosvarande dem i 7.3c och d om x() isälle är en udda, reellvärd funkion? 9
7.3 Transformens egenskaper De allmänna egenskaperna hos den idskoninuerliga ransformen är av samma slag som för fourierserierna ( ). Exempelvis är fourierransformen också linjär: ax() + by() ax(ω) + by(ω) (a och b konsaner) Behöver man ransformera (eller åerransformera) en linjär kombinaion av ermer så räcker de allså a man ransformerar varje erm för sig varefer man linjärkombinerar resulaen. Fourierransformens vikigase egenskaper finns lisade exempelvis i β. Härledningarna är i de flesa fall räframma. Exempelvis inses a om x() är en jämn udda funkion, så är också X(ω) en jämn udda funkion, genom a enlig (7.2) X( ω ) = x(τ) e jωτ ( f ) dτ = By τ mo τ = x( τ) e jωτ dτ = Om x jämn = = x(τ) e jωτ dτ = X( ω ), dvs X är jämn. (a) Dualie Sambanden (7.2) och (7.3) är anmärkningsvär symmeriska ill sin konsrukion, man säger a de är duala: Särskil ydlig blir dea om vi använder varvfrekvensen f som variabel. Analyssambande (7.3 ) illämpa på funkionen X(2π) allså fourierransformen av x med f-variabeln by mo ger a dess fourierransform är X(2π) e 2πjf d = X(2π) e 2πj( f) d = x( f), Om man isälle byer ω-variabeln mo så har man försås en liknande relaion, men fakorn 2π dyker då upp på anna sä. Analyssambande (7.3) ger: X() e jω d = X( ) e j( ω) d = 2π x( ω) De är naurlig a uppräa abeller över funkioner och deras ransformer. Se.ex. i β Dualiesegenskapen ovan kan i sådana abell skrivas: Funkion Transform, ω-var. Transform, f-var. Om x() Z(ω) Z(f) så gäller Z() 2π x( ω) x( f ) Exempel 7.: a. Man vill besämma fourierransformen ill funkionen x() = +2. Direk beräkning via analysekvaionen er sig svår efersom inegranden e jω +2 saknar elemenär primiiv funkion, så ruinmeoderna för inegrallösning går ine a använda. 0
I en abell över fourierransformer (ω-varianen) hiar man dock a e a 2a a 2 +ω2 (om a > 0). Dualiesprincipen ger då (välj a = och lå +ω2 spela rollen av Z(ω)) a + 2 b. I en abell av f-yp hade man isälle hia a Dualiesprincipen ger då a Speciell om a = 2π, d.v.s. den söka ransformen är π e 2π f. e a 2 2π e ω = π e ω. 2a a 2 +4π 2 f2 (om a > 0). 2a a 2 +4π 2 2 e a f = e a f. 2a a 2 +4π 2 2 e a f. π + 2 e 2π f, (b) δ-pulser konsaner Om x() = δ() så är X(ω) = δ() e jωτ dτ = e 0 =. Dualieen (obs δ är en jämn funkion) ger omedelbar a om x() = så är X( ω ) = 2π δ(). Väljer man varvfrekvensen f som variabel på ransformsidan, så får man den lie snyggare ransformen δ(f). I abellform: Funkion Transform (ω) Transform (f). δ() 2. 2π δ(ω) δ( f ) (c) Förskjuning muliplikaion med harmonisk svängning E par duala allmänna egenskaper är Funkion Transform (ω) Transform (f) x() X ( ω ) X(f). e jω 0 x() X (ω ω 0 ) 2. e 2πja x() X ( f a) 3. x( 0 ) e jω 0 X (ω) e 2πjf 0 X ( f) Man har nämligen för fourierransformen av e jω 0 x():
e jω 0 x() e jωτ dτ = x() e j(ω ω 0)τ dτ = X(ω ω 0 ), vilke är påsående i abellen. Påsående 3 är de duala ill (och 2). Kombineras dea med resulae i (b) får man Funkion Transform (ω) Transform (f) 4. δ( 0 ) e jω 0 e 2πjf 0 5. e jω 0 2π δ(ω ω 0 ) 6. e 2πjf 0 δ( f f 0 ) Speciell så gäller för de rigonomeriska funkionerna Funkion Transform (ω) Transform (f) 7. δ( + 0 ) + δ( 0 ) e jω 0 + e jω 0 = 2 cos(ω 0 ) 8. cos (ω 0 ) π (δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )) e 2πj 0f + e 2πj 0f = 2 cos(2π 0 f ) 9. cos (2πf 0 ) (δ( f f 0 ) + δ( f + f 0 ))/2 och (d) Funkion Transform (ω) Transform (f) 0. δ( + 0 ) δ( 0 ) e jω 0 e jω 0 = 2i sin(ω 0 ). sin (ω 0 ) πi (δ(ω ω 0 ) δ(ω + ω 0 )) e 2πj 0f e 2πj 0f = 2i sin(2π 0 f ) 2. sin (2πf 0 ) i (δ( f f 0 ) δ( f + f 0 ))/2 Skalning med fakor a skalning med fakor /a. Tidsreverering frekvensreverering En annan självdual egenskap handlar om vad som sker med skalning av variablerna: Om idsvariabeln skalas om ill a (a > 0), så skalas både ransformvärde och frekvensvariabel om med fakorn /a. Om idsskalan kasas om (idsreverering) så kasas även frekvensskalan om: Funkion Transform (ω) Transform (f) x() X ( ω ) X(f). x(a), a > 0 a X ω a a X f a 2. a x a, a > 0 X(aω) X(af) 3. x( ) X( ω) X( f) Exempelvis gäller för fourierransformen av x(a); x(aτ) e jωτ dτ = Subs aτ = σ, dτ = dσ/a = a x(σ) e jωσ /a dσ = a X ω a. 2
(e) Pulsåg Pulsåg Funkionerna δ( n) har enlig ovan ransformerna e 2πnf. Summerar man dessa, så får man a δ( n) har ransformen n = e 2πjnf = e 2πjnf = Enlig sambande (2) sid 2 i Arb.mar 3 = δ(f n) n = n = n = Funkionen δ( n) är allså sin egen fourierransform (f-varianen)! Om isälle ω väljs som n = frekvensvariabel så får man ransformen δ(ω/(2π) n) = 2π δ(ω 2πn) n = n = Funkion Transform (ω) Transform (f). δ( n) 2π δ(ω 2πn) n = n = δ(f n) n = Sampling vid idpunkerna = nt svarar mo muliplikaion med den generaliserade funkionen δ( nt) = δ(t(/t n)) = δ(a) = δ()/a = T n = n = Transformen för denna funkion är enlig skalningsegenskapen (a = /T): δ(/t n). n = Funkion Transform (ω) Transform (f) 2. δ(/t n) n = 3. δ( nt) n = 2π δ(ω 2πn/T) n = 2π δ(tω 2πn) = n = 2π/T δ(ω 2πn/T) n = δ(f n/t) n = δ(tf n) = n = /T δ(f n/t) n = (f) rec sinc P/2 Inegralen d P (ω) = e jω d, som beräknades avsni 7..2, är också en fourierransform 7, nämligen P/2 den av en funkion som är = i inervalle P/2 < < P/2 och = 0 f.ö., d.v.s. av funkionen rec (/P). Enlig beräkningarna avsni 7..2 så har man: 7 Obs a d P (ω) är en jämn funkion. 3
Funkion Transform (ω) Transform (f). rec (/P) P sinc (Pω/(2π)) P sinc( Pf) Speciell 2. rec () sinc( f) 3. rec (/(2π)) 2π sinc (ω) Dual 4. sinc( P) P rec (ω/(2πp)) P rec (f/p) och 5. sinc (/(2π)) 2π rec (ω) 2π rec (2π f) 6. sinc( ) rec (ω /(2π)) rec ( f ) (g) Seg- och signumfunkionerna E inrikaare problem är a beräkna ransformerna för segfunkionen: och den besläkade signumfunkionen: För kännedom meddelas a man kan visa a u() =, om > 0 sam = 0, om < 0 sign() = {, om > 0 sam = om < 0} = 2u(). Funkion Transform (ω) Transform (f). u() jω + π δ(ω) 2πjf + 2 δ( f) 2. sign( ) 2 jω πj f (h) Muliplikaion falning De komplexa exponenialfunkionerna är, som vi se idigare, egenfunkioner ill LTI-sysemen med fourierransformen för pulssvare som egenvärde. Eller uryck med hjälp av falning: x() * e jω = X(f) e jω, y() * e jω = Y(f) e jω. Låer vi Z(ω) så för ransformen av x() * y(), så har vi (för fix men godycklig ω och variabel ): Z(ω) e jω = (x() * y()) * e jω = Associaiva lagen för falning =x() * (y() * e jω ) = x() * Y(ω) e jω = Y(ω) (x() * e jω ) = Y(ω) X(ω) e jω Division med fakorn e jω ger resulae Z(ω) = Y(ω) X(ω) = X(ω) Y(ω). Falning av vå signaler svarar allså mo muliplikaion av deras fourierransformer! Funkion Transform (ω) Transform (f). (x * y)( ) X(ω) Y(ω ) X( f ) Y( f ) 2. Dual x( ) y() 2π (X * Y)(ω ) (X * Y)( f ) 4
(i) Derivering muliplikaion med variabel Deriverar man analysekvaionen får man där man avläser a derivaans fourierransform = iω X(f): x () = iω X(f) e jω dω Funkion Transform (ω) Transform (f). d d x( ) jω X(ω) 2πj f X(f) 2. Dual x() j För högre derivaor får man mosvarande:. d dω X( ω ) j 2π d df X( f ) Funkion Transform (ω) Transform (f) d n d x( ) (jω) n X(ω) (2πj f ) n X(f) 2. Dual n x() j n d n dω n X( ω ) j 2π n d n df n X( f ) Av särskil inresse är (j) Funkioner med raionella fourierransformer Funkion Transform (ω) Transform (f). Då n helal 0 δ (n) () (jω) n (2πj f) n 2. Då a > 0 e a u() a + jω a + 2πjf 3. och n helal n e a (n )! u() (a + jω) n (a + 2πjf) n 4.Då a < 0 e a u( ) a jω a 2πj f 5. och n helal n e a (n )! u( ) (a + jω) n (a + 2πjf) n 6. sign 2 jω πj f 7. Då n helal n (n )! sign 2 (jω) n 2 (2πj f) n 8. Då a > 0 e a 2a a 2 + ω 2 9. Då a > 0 e a sign 2a a 2 + (2πf) 2 2jω 4j f a 2 + ω 2 a 2 + (2πf) 2 5
Andra raionella funkioner kan man åerransformera genom a kombinera informaionen i abellen med parialbråksuppdelning, linearie och förskjuningsegenskapen (c) ovan: Exempel 7.2 a. Besäm x() så a X(ω) = ω 2 ω 4 + 3ω 2 + 2. Lösning: Nämnaren har nollsällena ω 2 = och ω 2 = 2 och kan därför fakoruppdelas: Parialbråksuppdelning ger ω 4 + 3ω 2 + 2 = (ω 2 + )(ω 2 + 2). ω 2 ω 4 + 3ω 2 + 2 = 2 ω 2 + 2 ω 2 + Låer vi parameern a i (j8) ovan spela rollen av 2 respekive, så ger abellinformaionen a de försa bråke är ransform av 2 2 2 e 2 och de andra av 2 e.man får b. Besäm x() så a X(ω) = x() = ω 2 + 4ω + 5. 2 e 2 2 e. Lösning: Kvadrakompleering av nämnaren ger (ω + 2) 2 +. X(ω) har allså formen Y(ω + 2) där Y(ω) = ω 2 +. Man har då ω 2 + 2 e och via förskjuning (ω +2) 2 + e j( 2) 2 e = x(). c. Besäm x() så a X(ω) = jω 2 5ω 6j. Lösning: På vanlig sä besämmer man nollsällena ill andragradspolynome i nämnaren. De är ω = 2j och ω = 3j. Nämnaren kan därför skrivas j(ω + 2j)(ω + 3j). Parialbråksuppdelning ger Vi får jω 2 5ω 6j = j(ω + 2j)(ω + 3j) = ω + 3j ω + 3j ω + 2j varför X(ω) d. Besäm x() så a X(ω) = ω4 + ω 2 +. e 3 u() e 2 u() ω + 2j. x() = (e 3 e 2 ) u() = e 3 e 2, om > 0, 0, om < 0. 6
Lösning: Nämnarens grad är ine lägre än äljarens. Division med res ger då omskrivningen Enlig (j) och (j8) har man ω 4 + ω 2 + = ω2 2 + ω 2 +. 2 ω 2 +. ω 2 δ () δ() e (Konrollera!) Dea ger a x() = δ () δ() + e. Övningar: 7.5 Besäm fourierransformen med f som variabel av sinc 2 () genom a använda abellen vid (f) ovan och produk-falnings-sambande j. (Se också övning 7.i ovan.) 7.6 a. Härled (j4) genom a kombinera (j2) och idsreverering (d3). b. Härled (j9) genom a kombinera (j2) och (j4). 7.7 Använd ekniken med uppdelning i parialbråk för a besämma funkionerna x() som har följande fourierransformer: a. ω 4 + 5ω 2 + 4, b. ω 2 ω 4 + 5ω 2 + 4, c. jω ω 4 + 5ω 2 + 4, d. j ω 3 + 9ω, e. ω 2 ω 2 + 9. (k) Transform av primiiv funkion Den primiiva funkionen y() = x(τ ) dτ kan ses som en falning: x(τ ) dτ = x(τ ) u( τ) dτ = (x * u)(), Dess ransform är allså X( ω ) jω + π δ(ω) X(ω ) = jω + π X(0) δ(ω ). (l) Sampling med sampelavsånd T (/T)-periodisk forsäning Om en signal x() samplas vid idpunkerna = nt, n = 0, ±, ±2,, så ges (se 4.3, sid 23) mosvarande sampelfunkion av x sampel () = x() δ( nt). n = Efersom enlig (e3) med f som variabel: δ( nt) T δ(f n/t) n = n = 7
och produk svarar mo falning, så är sampelsignalens ransform: X sampel ( f) = X( f ) * T δ(f n/t) = T X(f) * δ(f n/t) = T X(f n/t). n = n = n = Man ser här a om frekvensvariabeln f används på ransformsidan: Funkion Transform (f) x() X(f). Sampling av x() med sampelavsånd T /T-periodisk forsäning av /T X(f) 2. Dual L-periodisk forsäning av x() Sampling av /L X(f) med sampelavsånd /L Med vinkelfrekvensen ω som variabel får man de mindre symmeriska Funkion x() Transform (ω) X(ω) 3. Sampling av x() med sampelavsånd T 2π/T-periodisk forsäning av /T X(ω) 4. Dual L-periodisk forsäning av x() Sampling av 2π/L X(ω) med sampelavsånd 2π/L Vid sampling är allså ransformens värde för en frekvens f (al. ω) proporionell mo summan av värdena av X i de många frekvenserna på avsånde n/t från f (al. 2πn/T). Dessa olika X-värden kan allså ine särskiljas om man bara känner ill X sampel. Exempel 7.3: Vilken är den -periodiska forsäningen av x() = sinc? A direk summera n = Om man isälle noerar a sinc ( n) = sin π( n) π( n) n = er sig som en svår uppgif. sinc rec (ω/(2π)), så usäger sambande (l.4) ovan, a fourierransformen av sinc ( n) är samplingen av 2π rec ω n = 2π med sampelavsånde 2π. Men 2π rec ω 2π = 2π, om < π, 0, om > π, varför sampelvärde för ω = 0, är = 2π, medan alla alla övriga är = 0. 2π 2π rec (ω /(2π)) Vi har allså 4π ω 2π π π 2π δ(ω) 2π 4π n = sinc ( n) 2π δ(ω), 8
efersom 2π δ(ω) så medför dea a n = sinc ( n) = (konsan!) 7.4 Fourierserierna som specialfall av fourierransformen Fourierransformen handhar i princip alla yper av signaler. Fourierserierna däremo handlar bara om periodiska signaler. Man kan då missänka a fourierserieeorin är e speciell fall fourierransformeorin. A så fakisk är falle kan man inse så här: Varje L-periodisk funkion x() är den L-periodiska forsäningen av funkionen: x 0 () = x(), om < L/2, 0, om > L/2. Enlig 4:e punken i abellen i (l) ovan kommer fourierransformen X(ω) a vara samplingen av L X 0(ω) i punkerna ω = 2πn L, n = 0, ±, ±2,, d.v.s. 2π X( ω ) = L X 0(2 πn/l) δ(ω 2πn/L). n = Så när som på en gemensam fakor 2π, så är den n:e koefficienen i dea pulsåg, L/2 L X 0 2πn L = L x() e 2πjn/L d = c n, L/2 ydligen idenisk med den n:e fourierseriekoefficienen för x() Synesekvaionen (7.3) för fourierransformen ger sedan x() = 2π 2π n = cn δ(ω 2πn/L) e jω dω = cn n = δ(ω 2πn/L) e jω dω = = cn e 2πjn /L, n = vilke är synesekvaionen för fourierserier. 7.5 Parsevals relaion för fourierranformer. För signaler x() där x() 2 = x() 2 d är konvergen d.v.s. de som har en (ändlig) oal energi 8 kan man också visa en Parsevalsk relaion. Speciell enkel är den om frekvensvariabeln f väljs på ransformsidan: 8 Alla funkionerna som vi berakar i den maemaiska modellen för signaleorin är ine av de slage. Exempelvis är den oala energin hos konsanerna 0 och hos δ-pulserna ine ändlig och ine heller hos periodiska funkioner i allmänhe. 9
Vekorns längd i kvadra = Summan (läs inegralen) av beloppskvadraerna på koordinaerna X(f), För ω-variabeln får man isälle Exempel 7.4 x() 2 d = x() 2 = För funkionen x() = rec () är normkvadraen (oalenergin) x() 2 = X(f) 2 df (7.4) x() 2 d = 2π X(ω) 2 dω (7.4 ) x() 2 d = /2 /2 2 d =, och vi ve (se 7.3(f)) a X(f) = sinc f. Parsevals relaion usäger då a = X(f) 2 = sinc 2 f df = Efer lie hyfsning (sä πf = τ) kan dea skrivas: sin 2 πf π 2 f 2 df. sin 2 τ τ 2 dτ = π. Övningar: (u() beecknar enhessprånge. Använd gärna abell) 7.8 Beräkna fourierransformerna ill a. e 2( ) u( ), b. e 2, c. δ( + ) + δ( ) d. d d { u( 2 ) + u( 2)}, e. sin (2π + π/4), f. u() e a cos b, a > 0, g. e 3 sin 2, h. a n δ( nt), a <, T > 0, n =0 i. u() e 2 cos 4,.ex. genom a använda resulae från uppgif f. 7.9 Besäm de signaler som har följande fourierransformer a. 2πδ(ω) + πδ(ω 4π) + πδ(ω + 4π), b. c. cos (4ω + π/3). 2 sin 3(ω 2π) ω 2π, 20
7.0 Signalen x() har ransformen X(ω). Uryck följande funkioners fourierransformer i X(ω): a. y () = x( ) + x( ), b. y 2 () = x(2 8), c. y 3 () = x ( 8) 7. Vilka signaler har följande fourierranformer: a. Y (ω) = u(ω ) u(ω 2), (u är enhessprånge), b. Y 2 (ω) = cos ω sin 2ω, c. Y 3 (ω) = n =0 2 n δ(ω n). 7.2 Använd de fakum a e för a besämma fourierransformerna ill: a. e, 2 + ω 2 b. 4 ( + 2 ) 2. (Ledning: Använd dualieen hos.) 7.3 Beräkna (rec ) * (cos 2π + cos ) genom a förs fourierransformera falningen, förenkla resulae och sedan åerransformera. 7.4 Besäm signalen x() om man ve a X(ω ) + X(ω + ) = G(ω), där G(ω ) = 2 om ω < 2, 0, om ω > 2. 7.5 Lå x L () vara den L-periodiska forsäningen av sinc, x L () = n = sinc ( nl). a. Verfiera a x L () = L (konsan) om 0 < L < 2. b. Verfiera a x L () = L + 2 cos 2π L, då 2 < L < 4. (Ledning: Använd samma meod som den i exempel 7.3.) 7.6 E ideal lågpassfiler har den egenskapen a de släpper igenom en signals alla frekvenser ω upp ill en viss nivå L med oförändrade ampliuder, medan de högre frekvenserna ine släpps igenom alls.. a. Om x() har fourierransformen Xω), uryck med hjälp av rec-funkionen ransformen X L (ω) för den filrerade signalen x L (). 2
b. Besäm X L (ω) då x() = e u(). u() = enhessprånge (Heavisides funkion). c. Hur sor andel av signalens energi går förlorad vid filreringen? Ge en formel för dea i de allmänna falle och illämpa den på de speciella falle i b-uppgifen. d. Verifiera a den andelen för sora L approximaiv är = 2 πl för falle i b-uppgifen. e. Vilken är den filrerade signalen för signalen i b-uppgifen? Svare får innehålla inegraler. 7.6. Lie om approximaion av fourierransformer, en orienering I en ideal värld skulle fourierransformen av en signal x() som man vill sudera kunna beräknas enlig sin definiion: X(ω) = x() e jω d. I realieen är x() näsan aldrig hel känd dels kan man kanske ine iaka signalen under hela sin varakighe, dels deekeras signalen ine i koninuerlig id uan bara vid vissa sampelidpunker. Man behöver därför ren allmän göra en analys hur dessa vå inskränkningar (runkering respekive sampling) påverkar möjligheerna a skaffa fram goda approximaioner ill X(ω). Frågesällningen är ine alldeles enkel, så den analysen blir här i sor usräckning informell. I. Trunkering Med hjälp av rec-funkioner kan vi koncis beskriva runkeringar. Om signalen x() klipps av genom a den bara iakas i inervalle P/2 < < P/2, så kan den runkerade signalen xˆp() skrivas xˆp() = x() rec (/P). II. Sampling x() Samplas en signal x() vid iderna = nt, n = 0, ±, ± 2, så kan mosvarande sampelvärden sammanfaas i e pulsåg x( T) x(0) x(t) x( 2T) x( 3T) x(2t) 3T 2T T T 2T xˆs() = x(nt)δ( nt) = n = x() δ( nt), n = som i figuren ovan. Lägg märke ill a xˆs() är produken av x() med en speciell funkion som är oberoende av x() enhespulsåge δ( nt). n = 22
x( 3T) x( 2T) x() x( T) x(0) x(t) x(2t) Samidig kan funkionen xˆt() = T xˆs() för små T uppfaas som en slags approximaion ill x(). Man har nämligen för godyckliga inegraionsinervall (se figuren): 3T 2T T T 2T T xˆs() d = T x(nt) δ( nt) d = T x(nt) Riemannsumma x() d. Dea kan olkas som a medelimpulsena för de båda signalerna x() och xˆt() överenssämmer väl över godyckliga inervall (om T är illräcklig lie). III. Trunkering och sampling I mera realisiska modeller för uppmäning av signaler både samplar och runkerar man. Om signalen samplas vid de 2M + idpunkerna = nt, n = 0, ±, ±2,, ±M, så kan mäningarna beskrivas av pulsåge där P får så för runkeringsinervalles längd, M xˆt,p () = x() T δ( nt), n = M P = NT, där N = 2M + är anale sampel. När de gäller den formelmässiga beskrivningen har vi sammanfaningsvis: Exaka signalen x() I. Trunkerad signal ˆxP() II. Samplad signal ˆxT()/T x() P/2 P/2 P x() xˆp() = x() rec (/P) III. Trunkerad och samplad signal x() 3T 2T T T 2T 3T x() xˆt() = x() T δ( nt) n = n = 0, ±, ±2, (Oändlig summa) ˆ xt,p()/t x() M x() xˆt,p () = x() T δ( nt) = n = M MT T T MT P P = NT, N = 2M + M = T x(nt) δ( nt), n = M n = 0, ±, ±2,, ±M. (Ändlig summa) 23
Fourierransformerna för xˆp(), xˆt() och xˆt,p () kan missänkas approximera fourierransformen för x() i varje fall om P är illräcklig sor och T är illräcklig lie. Sambanden ovan kan användas för a närmare analysera hur paramerarna T och P påverkar de hela. För dea är de nyig a hålla följande faka i minne. 9 Fall I. Fel från runkering x() y() X(f) * Y(f), x() * y() X(f) Y(f), δ( a) e 2πjaf T δ( nt) δ(f n/t), n = n = rec (/P) P sinc (Pf). Man har xˆp() = x() rec (/P) Xˆ P(f) = X(f) * P sinc (Pf) = X(f ϕ) P sinc Pϕ dϕ. En heurisisk olkning av urycke för ransformen kan se u så här: Nyssnämnda falning kan ses som a man ersäer X(f) med e glidande medelvärde där funkionen P sinc P(ϕ) anger vilken vik man ger de funkionsvärde i punken som ligger ϕ enheer ifrån f. (0 Efersom P sinc P(ϕ) för sora P väsenligen är 0 bara i närheen av ϕ = 0, så kommer man då a bilda e slags mycke lokala medelvärden grafen för Xˆ P(f) blir en blurrad varian av grafen för X(f). På grund denna medelvärdesbildning kan felen förvänas bli sörre i punker där X(f) varierar krafig än i punker där X(f) är relaiv konsan. Efersom /P är e må på bredden hos huvudloben hos viksfunkionen dess nollsällen närmas origo är ±/P kan man via den parameern få en uppfaning om hur nära vå frekvensoppar kan få ligga för a de efer medelvärdesförfarande forfarande skall gå a känna igen. Sorheen /P as som e ingenjörsmässig må på frekvensupplösningen. P P sinc Pf Om man exempelvis vill mäa upp frekvensen hos en on med en önskad noggrannhe på 0,0 Hz så bör mäningens varakighe åminsone vara borå /0,0 = 00 sekunder. Nollsällen: ±/P, ±2/P, ±3/P, 9 Vi föredrar här a använda varvfrekvensen f i sälle för vinkelfrevensen ω, f = ω/(2π). 0 Obs a vi ve a P sinc Pϕ dϕ = sinc ϕ dϕ =. 24
Fall II. Fel från sampling Här har vi xˆt, () = x() T δ( nt) Xˆ T(f) = X(f) * δ(f n/t) = n = n = = X(f n/t). n = Dea beyder a Xˆ T(f) exak är den /T-periodiska forsäningen ill X(f). För bandbegränsade signaler (sådana där X(f) = 0 uanför någo ändlig frekvensinervall f < B) kan man för illräcklig sora värden på /T ( 2 B) exak rekonsruera X(f) ur summan X(f n/t). Man har ju a X(f) = Xˆ T(f) för f inom bande och = 0 uanför. n = För signaler som ine är bandbegränsade, men där spekre avar snabb mo 0 då f ±, så har man isälle a X(f) Xˆ T(f), för måliga f. De felakigheer man får då, härör från ermerna X(f n/t), n 0, i summan. Man kan allså för e viss f-värde uifrån enbar Xˆ T(f) ine skilja på X(f):s värden i de olika frekvenserna f n/t, n = ±, ±2,. Dea är den s.k. aliaseffeken. Denna blir åerigen förusa a X(f) avklingar snabb mo 0 mindre ualad ju mindre sampelavsånde är. Sampelinervalle T kan enlig dea väljas genom a man förs besämmer en bandgräns B ovanför vilken signalens frekvenser kan försummas, sedan ar T < /(2B). Fall III. Fel från runkering och sampling Den approximaion ill x() man i dea fall arbear med är M x() xˆt,p () = x() T δ( nt), där P = (2M + )T = NT. (2 n = M Man åsadkommer de urycke genom a man förs muliplicerar x() med rec P () (d.v.s. bara berak- ar signalen i idsinervalle P/2 P/2) och sedan muliplicerar med T δ( nt), (d.v.s. samplar med sampelinervalle T) eller vice versa. Falningssasen ger då a xˆt,p () X(f) * P sinc Pf * δ(f n/t) n = n = Xˆ T,P(f) åsadkoms allså uifrån X(f) genom en medelvärdesbildning (falningen med P sinc Pf ) åföljd av en /T-periodisk forsäning (falningen med δ(f n/t)) eller vice versa. Vi har vidare a n = Exempelvis kan man illse a energiandelen, X(f) 2 df / f > B under någon godagbar gräns. 2 Noera a N allid är e udda helal i dea sammanhang. X(f) 2 df, som ligger uanför bande håller sig 25
M M xˆt,p () = T x(nt)δ( nt) Xˆ T,P (f) = T x(nt) e 2πjnTf, n = M n = M Som approximaion ill fourierransformen X(f) får vi allså försa hand dea summauryck för Xˆ T,P(f). Sorheerna P (runkeringsinervalle) och T (sampelavsånde) väljer man lämpligen enlig principerna beskrivna i de båda fallen ovan. Med anke på a upplösningen är av sorleksordningen /P är de rimlig a beräkna summan bara för frekvenser i sampelpunker på avsånde /P från varandra,.ex. f = k/p, k helal. Och efersom aliaseffeken kan göra sig gällande för frekvenser f > /(2T) = N/(2P), så bör k väljas så a k /P < N/(2P) = (2M + )/(2P), dvs. k < M. Man har allså a beräkna de N summorna M Xˆ T,P(k/P) = T x(nt) e 2πjnk/N, k = 0, ±,, ±M (3 n = M vilka sedan jänar som approximaioner ill X(k/P). Denna procedur ransformerar ydligen alföljden x(nt), n = 0, ±,, ±M ill alföljden Xˆ T,P(k/P), k = 0, ±,, ±M. Proceduren, borse från fakorn T: M X[k] = x(nt) e 2πjnk/N, k = 0, ±,, ±M, N = anale ermer i summorna, n = M går under namne den diskrea fourierransformen (DFT:n). DFT:n sora beydelse ligger i, a den kan beräknas med e ändlig anal räkneoperaioner. De är denna ransform som i prakiken beräknas när man bearbear samplade och runkerade signaler i maskinell i daorer. De andra båda fourierransformerna (FT, FS) kräver a man beräkningar oändliga serier eller inegraler. Dessuom förusäer de a man känner signalen under koninuerlig id, vilke man i realieen aldrig gör. I realisiska fall är ale N mycke sor 00 000 eller mera är inge ovanlig varför räknearbee ändå kan bli beydande. En vikig innovaion gjordes för ine så länge sedan (Cooley och Tukey, 965). Man konsruerade en beräkningsalgorim för DFT:n Fas-Fourier-Transform som gör de möjlig a nedbringa anale nödvändiga räkneoperaioner avsevär: Använder man ransformaionssambande i DFT:n rä upp och ner, så behöver man göra N s muliplikaioner för varje koefficien, d.v.s. sammanage N 2 muliplikaioner. Cooley och Tukey unyjade en omskrivning av ransformaionssambanden, som för de fall a N = N N 2, gör de möjlig a komma undan med N (N + N 2 ) muliplikaioner. Bäs fungerar algorimen om N är en 2-poens. Anale muliplikaioner blir då (högs) 2N log 2 N. För N = 024 = 2 0 exempelvis, kräver en rak-upp-ochner -beräkning i allmänhe fler än 0 6 muliplikaioner, medan FFT behöver högs 2 024 0 2 0 4 en besparing på närmare 98%! (4 3 Obs a Tk/P = k/n. 4 Den Cooley-Tukeyska omskrivningen är dock ine alldeles ny, den unyjades redan under 800-ales försa hälf i andra, men besläkade sammanhang av Gauss. 26
Svar ill övningarna: 7.. a. 2, b. e, c. e, d. 2, e.. f., g. 2 + 2, h., om > /2, + /2, om /2, 0, om < /2, i., om, 0 annars, j. om 0, = u(), 0, om < 0, k. (e /2 e /2 ) e, l. e 2, m. e j, n. cos, o. sin, p. δ( 2). 7.4 x() * cos (ω ) = i X(ω) sin (ω ) och x() * sin (ω ) = i X(ω) cos (ω ). (Obs a x() är udda och reellvärd (om och) endas om X(ω) är (udda och) imaginär, d.v.s. har realdel = 0.) 7.5. f, om f ; 0 annars. 7.7 a. 6 e 2 e 2, b. 6 e + 3 e 2, c. d. 8 (e 3 ) sign, e. δ() 3 2 e 3. 6 e 2 6 e sign, 7.8 a. e jω 2 + jω, b. 4 e jω 4 + ω2, c. 2 cos ω d. 2jsin ω, e. π {e jπ/4 δ(ω 2π) + e jπ/4 δ(ω + 2π)} = π {( j)δ(ω 2π) + ( + j)δ(ω + 2π)} 2 (Ledning: sin (α + π/4) = 2j (e jπ/4 e jα e jπ/4 e jα ).) a + jω f. (a + jω) 2 + b 2, (Ledning: Transformer.ex u() e a och cos b, enlig falningsegenskapen är svare /(2π) falningen av dessa ransformer. Obs också a x() * δ( a) = x( a).) g. 3i 9 + (ω 2) 2 9 + (ω + 2) 2. (Ledning: Transformera e 3 och sin 2 var för sig, använd sedan falningsegenskapen med falningen på ransformsidan.) h. i. a e jωt. (Ledning: Transformera ermvis. Man får en geomerisk serie som kan summeras.) (2 + jω) 2 6 ((2 + jω) 2 + 6) 2. (Ledning: Derivera på ransformsidan.) 7.9 a. + cos (4π), b. e 2πj rec(/6). (Ledning: Givna ransformen = 6 sinc (3(ω 2π )/π.) c. 2 ( e πj/3 δ( 4) + e πj/3 δ( + 4) ). 27
7.0 a. Y (ω) = 2 cos ω X( ω), b. Y 2 (ω) = 2 e 4jω X(ω/2), c. Y 3 (ω) = ω 2 e 8jω X(ω). 7. a. y () = 2π e3j/2 sinc (/(2π)) = e3j/2 sin /2 π. (Ledning: Y (ω) = rec (ω 3/2).) b. y 2 () = (δ( + 3) δ( 3) + δ( + ) δ( ))/(4j). (Ledning: Använd.ex. Eulers formler.) c. y 3 () = π 2 e j 7.2 a. 4jω ( + ω 2 ) 2, b. 2πjω e ω. 7.3 2 sin (/2) cos. (Obs a sinc = sinc ( ) = 0 och a sinc (/(2π)) = sinc ( /(2π)) = 2 sin (/2).) 7.4 2 π sin. (Obs a G(ω) = 2 rec (ω/4). E mellanresula: 2 x() cos = 4 π sinc (2/π).) 7.6 a. X L (ω) = X(ω) rec (ω/(2l)). b. X L (ω) = + jω rec (ω/(2l)). c. L X(ω) 2 dω L X(ω) 2 dω respekive 2 π arcan L = 2 π arcan L. d. Använd.ex. MacLaurinuvecklingen: arcan s = s + O(s 3 ). Sä s = L i denna. e. x L () = x() * L L π sinc π = L π 0 = L π e e τ sinc Lτ π dτ = π e e τ sinc e τ sin Lτ τ L( τ) π dτ. dτ = L π e ( τ) sinc Lτ π dτ = 28