Kapitel 29 Allmän relativitetsteori 29.1 Bakgrund och postulat Inledning Den speciella relativitetsteorin grundar sig som bekant på den speciella relativitetsprincipen och postulatet om ljusfartens invarians. Denna teori gäller i en viss klass av referenssystem, inertialsystemen. Men den enda oberverbara skillnaden mellan inertialsystem och andra referenssystem är att materiefördelningen i universum har en matematiskt enklare beskrivning i inertialsystemen. Bland annat skulle då materiens tröghet inte vara en inneboende egenskap (Machs princip). Detta inspirerade Einstein till att försöka finna en teori som inte är begränsad till inertialsystem. Detta lyckades inte och har fortfarande inte lyckats till fullo men ledde till en ny gravitationsteori, den så kallade allmänna relativitetsteorin. Ekvivalensprincipen Experimentellt har likheten (ekvivalensen) mellan trög och tung massa belagts med hög noggrannhet. Om vi antar att denna gäller exakt så kommer mekaniska fenomen att beskrivas på samma sätt i ett fritt fallande referenssystem som i ett inertialsystem åtminstone lokalt. Einstein postulerade en generalisering av detta så att alla fysikaliska fenomen förutom gravitation lokalt beskrivs av den speciella relativitetsteorin. I ett accelererande referenssystem beskrivs alla fysikaliska fenomen lokalt som i ett gravitationsfält och omvänt. 274
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori En ny gravitationsteori En allmän relativitetsteori kommer att innefatta en gravitationsteori, en generalisering av Newtons teori, och gravitationen kan inte beskrivas inom ramen för den speciella relativitetsteorin. Vi leds till en ny beskrivning av gravitationen där inertialsystemen inte intar en särställning. Detta har inte helt uppfyllts men teorin visar sig kunna matematiskt formuleras på ett sätt som gäller i alla koordinatsystem, allmän kovarians. Hur allt utom gravitationen påverkas av gravitationen följer av ekvivalensprincipen. Det kommer att visa sig att rumtidens geometri är väsentlig i sammanhanget. Icke-euklidisk geometri Vi börjar med ett exempel, bestämning av geometrin i ett roterande referenssystem S. Vi låter detta representeras av en cirkulär skiva, som roterar med vinkelhastigheten ω relativt ett inertialsystem S 0. Figur 29.1: Roterande referenssystem. Antag att en observatör på skivan mäter omkretsen genom att lägga ut måttstockar. Dessa rör sig i sin längdriktning relativt S 0 men ligger i vila relativt S. De är därför kontraherade med lorentzfaktorn 1 ω 2 R 2 /c 2 reltivt S 0. Men omkretsen i S 0 är 2πR eftersom radierna rör sig vinkelrätt mot sin längdriktning och alltså inte kontraheras. I S är därför omkretsen/radien = 2π/ 1 ω 2 R 2 /c 2 > 2π. 275
Speciell och allmän relativitetsteori Allmän... Alltså är geometrin i S icke-euklidisk. På liknande sätt kan man inse att klockor i S inte kan synkroniseras som i speciell relativitetsteori. Som matematisk modell för rumtiden kan alltså minkowskirummet inte användas globalt. En modell skulle då kunna vara en differentierbar mångfald som lokalt ser ut som minkowskirummet. Mera exakt: Tangentrummet är i varje punkt ett minkowskirum. Det finns alltid en positivt definitiv metrik, dl 2 = γ αβ dx α d β och man kan visa ([75], s 39) att det finns en indefinit metrik också, ds 2 = g ab dx a dx b där g ab lokalt kan transformeras till diag(1, 1, 1, 1) i fyra dimensioner. Ekvivalensen leder nu till motsvarande vid närvaro av gravitation (dvs i princip alltid) och lokalt ska g ab definieras av ds 2 = dl 2 c 2 dt 2, där dl och dt är avstånd respektive tidsdifferenser mellan närbelägna händelser, uppmätta med måttstockar och klockor i vila i fritt fall i ett lokalt inertialsystem. Invariansen av ds 2 medför att g ab är ett tensorfält, den metriska tensorn. Godtyckliga koordinater kan användas för detta och vi ska formulera en gravitationsteori vars ekvationer är allmänt kovarianta. Vi försöker att, som den enklaste möjligheten, formulera en teori där metriska tensorn fullständigt beskriver gravitationsfältet. Det visar sig att detta är möjligt och den resulterande teorin är Einsteins allmänna relativitetsteori. Denna är, trots namnet, bara är en gravitationsteori, något som Einstein också påpekade. Man kan fråga sig varför en sådan teori behövs. Det fanns, möjligen med ett undantag planeten Merkurius banrörelse, inget experiment och ingen observation som stred mot Newtons teori. Men ekvivalensen mellan trög och tung massa visade att även i referenssystem som accelererar relativt ett inertialsystem, nämligen system i fritt fall, kan naturlagarna se likadana ut som i ett inertialsystem åtminstone lokalt och för mekaniska fenomen. Gravitationen leder till att naturlagarna bör formuleras så att ekvationerna blir kovarianta under allmännare koordinattransformationer än lorentztransformationen. Samtidigt indikerar ekvivalensprincipen hur dessa ska formuleras. I ett fritt 276
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori fallande, lokalt inertialsystem ska fysikaliska fenomen förutom gravitationen beskrivas som i ett inertialsystem, alltså enligt speciell relativitetsteori, i frånvaro av gravitation. En lämplig koordinatransformation kommer då att ge ekvationer som visar effekten av gravitationen på andra fenomen. Enligt ovan bör också en matematisk modell ge ett samband mellan gravitation och geometri. I närvaro av gravitation kan vi vänta oss icke-euklidisk geometri och närmare bestämt bör en modell för rumtiden vara en differentierbar mångfald med indefinit metrik, ett pseudoriemannskt rum. Som enklaste möjligheten väljer vi som Einstein en modell där geometrin fullständigt beskriver gravitationen, närmare bestämt bestäms gravitationen av metriska tensorn g ab (x). Vi behöver finna en beskrivning av (A) fysikaliska fenomen, bl a partiklars rörelse uttryckt med hjälp av metriska tensorn, (B) fältekvationer för gravitationsfältet, dvs ekvationer för metriska tensorn. (A) rörelseekvationer för testpartiklar (även ljus) i gravitationsfält: d 2 x a ds 2 + dx b dx c Γa bc ds ds = 0 Motivering: Ekvationen är en tensorekvation och gäller alltså allmänt om den gäller i ett koordinatsystem. I ett lokalt inertialsystem övergår den i d 2 x a /ds 2 som beskriver en testpartikels rörelse i frånvaro av gravitation. Enligt ekvivalensprincipen gäller då ekvationen i närvaro av gravitation i ett godtyckligt koordinatsystem. Detta innebär att världslinjerna är geodeter i rumtiden. (B) Gravitationsfältet alstras av massa och energi. Fältekvationerna bör vara differentialekvationer för g ab (x) och innehålla en beskrivning av massoch energifördelning. Dessa har även betydelse som randvillkor. För ett gravitationsfält i vakuum bör fältekvationerna endast innehålla g ab (x) me- 277
Speciell och allmän relativitetsteori Allmän... dan mass- och energifördelningen kommer in som randvillkor. Newtons teori bör erhållas som en första approximation. 29.2 Fältekvationerna alternativt R ab 1 2 g abr = κt ab (29.1) ( R ab = κ T ab 1 ) 2 g abt (29.2) där T = T a a (Einstein 25/11 1915 [32]). Motivering: Eftersom metriska tensorn antas ge en fullständig beskrivning av gravitationsfältet bör ekvationerna endast innehålla funktionerna g ab förutom en beskrivning av den gravitationsalstrande materien. De bör också vara tensorekvationer för att garantera allmän kovarians samt differentialekvationer. Det sistnämnda gäller för alla ekvationer som beskriver fält och det vore svårt att föreställa sig något annat. En konsturktioner beroende på kröknigstensorn verkar rimlig. I. För rent gravitationsfält. I frånvaro av gravitation, dvs i ett minkowskirum, gäller R a bcd 0 men att kräva detta i närvaro av gravitation går för långt. Dels bör ju rumtiden vara krökt dels är antalet ekvationer för stort, 20 st medan metriska tensorns komponenter bara är 10. Ett näraliggande alternativ är att bilda en linjärkombination, vilket ger ett svagare villkor. Ett enkelt sätt är att kontrahera vilket ger ekvationen R ab = 0. Riccis tensor har 10 komponenter och ekvationen är en tensorekvation så kravet på allmän kovarians är uppfyllt. Ekvationerna blir då andra ordningens partiella differentialekvationer och linjära i andraderivatorna. Man kan visa att valet av ekvationerna R ab = 0 som uppfyller de angivna villkoren inte är så godtyckligt som det kan se ut; se [175], kapitel 7. 278
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori II. För gravitationsfält i närvaro av materia: Ett naturligt val är att relatera R ab till energi-impulstensorn T ab som är en tensor av samma slag som Riccis tensor och liksom denna symmetrisk. Den beskriver materiens egenskaper, bl a energitätheten som borde ha betydelse för gravitationsfältet; jfr Newtons teori där massan bestämmer fältet. Ett tänkbar möjlighet vore R ab = κt ab där κ är en konstant som väljs så att den fysikaliska dimensionen blir rätt och Newtons teori erhålles i första approximation; detta behandlas i nästa avsnitt. Emellertid är R ab ;b = 1 2 gab R/ x b (kontraherade Bianchiidentiteten) medan T ab ;b bör vara noll (energilagen i lokalt inertialsystem). Om man lägger till en term i högerledet som dels är en symmetrisk tensor, dels beror på g ab och T ab så skulle fältekvationerna kunna ha formen R ab = κ(t ab + kg ab T) där T = T a a och k är ytterligare en konstant. Bianchis identiteter leder till k = 1/2 och vi får ekvation (29.2). Kontraktion ger ( R a a = κ T a a 1 ) 2 δa at eller R = κ(t 2T), dvs κt = R (δ a a = 4) och insättning av detta i (29.2) ger ekvationenerna (29.1). Det finns ytterligare en möjlighet, nämligen att lägga till en term Λg ab i högerledet, där Λ är en konstant. Vi tar upp detta i kapitel 34 och 36. Speciellt för ett rent gravitationsfält då T ab 0 ger de allmänna ekvationerna (29.1) och (29.2) naturligtvis de tidigare nämnda vakuumfältekvationerna som ett specialfall. R ab = 0 (29.3) som i speciell relativi- Ekvivalensprincipen T ij tetsteori. = xr x i x s x j T rs, Trs Fältekvationerna har inte entydiga lösningar, givet randvillkor, förrän koordinatsystem har fastlagts. Detta betyder att man effektivt bara har sex 279
Speciell och allmän relativitetsteori Allmän... ekvationer för de tio funktionerna g ab, något som också följer av Bianchis identiteter eftersom dessa är fyra till antalet. Detta fördröjde publiceringen av fältekvationerna med 3 år eftersom Einstein till att börja med såg detta som en brist. Men det är helt i sin ordning. Den allmänna kovariansen gör att man från varje lösning kan generera nya lösningar genom en koordinattransformation men dessa beskriver samma fysikaliska situation. 1 Genom att lägga på koordinatvillkor motsvarande fyra ytterligare ekvationer får man tio ekvationer och entydiga lösningar. Fältekvationerna kan också härledas ur en variationsprincip. Speciellt är vakuumfältekvationerna R ab = 0 ekvivalenta med δ gr d 4 x = 0. Detta behandlas i kapitel 37 där gravitationsfältets energi studeras. 29.3 Newtons teori som en första approximation Energi-impulstensorn har den fysikaliska dimensionen energitäthet och Riccis tensor har dimensionen längd 2. Detta medför att konstanten κ bör vara ett dimensionslöst tal gånger Gc 4 eftersom inga andra konstanter ingår i den allmänna teorin; konstanter i specifika energi-impulstensorer är en annan sak. För att bestämma proportionalitetskonstanten kräver vi att Newtons teori ska följa ur Einsteins teori som en första approximation. Betrakta fallet att den gravitationsalstrande massan befinner sig inom ett begränsat område. Det kan antas att koordinater kan införas som är approximativt kartesiska på stora avstånd och att en tidskoordinat t kan införas som på stora avstånd är lika med den tid som visas av synkroniserade klockor. Antag vidare: 1. svagt fält 2. långsamt varierande fält (Newtons teori ej tidsberoende) 3. testpartiklars hastighet c. Vi ska visa att detta fastlägger konstanten κ. 1 Detta kan uttryckas som att teorin är lokalt gaugeinvariant i likhet med kvantfältteorin; se [175], s 111-113. Några andra texter om gaugeteorier är [277], [12] och [176]. 280
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori Sätt g ab = η ab + h ab där h ab 1 (x 4 = ct). Härav följer att g ab = η ab + k ab där k ab h ab. I först ordningen i h och k ger detta Γ a bc = g ar [bc,r] η ar [bc,r] = 1 2 ηar (h br,c + h cr,b h bc,r ) Speciellt: Geodetisk ekvation: Γ a 44 1 2 ηar h 44,r 1 2 ηar g 44,r d 2 x a ds 2 + dx b dx c Γa bc ds ds = 0 dx a ds = dxa dt dt ds dx a { ds = dxa dt 0 om a = 1, 2 3 dt ds ±i om a = 4 ds dt = v 2 c 2 ±ic Endast Γ a 44 behövs! d 2 x a ds 2 Γa 44 = 0 d 2 x a ds 2 = dt ( ) d dx a dt ds dt dt ds = d2 x a dt 2 ( ) 2 dt + dt ds ds d dt = d2 x a ( dt 2 1c ) 2 + dt d ds dt ( ) dt dx a ds dt ( ) dt dx a ds dt 281
Speciell och allmän relativitetsteori Allmän... Alltså d2 x a ds 2 1 c 2 d 2 x a dt 2 för a = 1, 2, 3. d 2 x dt 2 c2 2 g 44 (29.4) Detta är Newtons rörelseekvationer i 1:a approximation om vi identifierar gravitationspotentialen V Newt = c2 2 g 44 + konstant; jfr nedan. Fältekvationerna, 1:a ordningen i h ab : R ab = x b Γs as + x s Γs ab = 1 ( har 2 x b x s + 1 ( har 2 x s x b = 1 { hsr 2 x b x a + h sr x a h as x r + h br x a h ab x r h as x r x b Speciellt: R 44 = 1 2 h 44 2 x σ x σ = 1 2 2 g 44 ) ) η sr η sr h br x s x a + h } ab x r x s η sr I vakuum (rent gravitationsfält) ger fältekvationen R 44 = 0 approximativt Allmänt(ej nödvändigtvis vakuum): 2 g 44 = 0 (29.5) µ 00 0: T 44 = c 2 µ 00, övriga T ij = 0, T = T a a = T 44 och fältekvationen R 44 = κ(t 44 1 2 g 44T) ger approximativt 1 2 c2 2 g 44 = 1 2 κc4 µ 00 (29.6) Eliminering av g 44 mellan (29.4) och (29.6) ger Newtons ekvationer för en testpartikels rörelse i ett gravitationsfält om κ = 8πG/c 4 och då är 282
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori V Newt = c2 2 (g 44 + 1). Konstanten κ och c 2 /2 bestäms av att potentialen går mot noll långt från den gravitationalstrande materien. Anm: κ är ej bestämd av teorin. Vi kan inte kräva mer än att κ kan väljas så att Newtons teori följer i en första approximation. 29.4 Sfäriskt symmetriskt gravitationsfält Betrakta först, för att finna en ansats, ett approximativt kartesiskt koordinatsystem. Definiera polära koordinater genom x 1 = r sin θ cos ϕ, etc. Metriken måste vid sfärisk symmetri vara en funktion av dvs av x 2 = r 2, : xd x = r dr, d x 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 dϕ 2 ), t, dt Alltså r, dr, dθ 2 + sin 2 dϕ 2, t, dt ds 2 = A(r,t) dr 2 + B(r,t)(dθ 2 + sin 2 dϕ 2 ) + C(r,t) dr dt + D(r,t) dt 2 Transformation: (r ) 2 = B(r,t) Vi antar att t beroendet i koefficienterna kan transformeras bort om fältet är statiskt. Ansats: ds 2 = a(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 dϕ 2 ) b(r)c 2 dt 2 En mer detaljerad och stringent motivering ges i nästa del av den här boken. Koordinaterna betecknas nu x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = ϕ, x 4 = t varvid 283
Speciell och allmän relativitetsteori Allmän... Γ a bc = a 0 0 0 g ab = 0 r 2 0 0 0 0 r 2 sin 2 θ 0 0 0 0 bc 2 1 g ab för i = j = g ab 0 för i j 1 g aa,c om a = b (ej summa över a) 2 g aa 1 2 g bb,a g aa om b = c a (ej summa över a, b) 0 om a b c a Γ 1 11 = a 2a [ = / r] R ab = Γ s rb Γr sa Γ s rsγ r ab + x b Γs as x s Γs ab = Γ s rb Γr sa Γ r ab (ln g),r + (ln g),ab x s Γs ab (se ekvation (28.21)). Icke-försvinnande R ab för a = b. 29.5 Schwarzschilds lösning Sfäriskt symmetriskt fält i vakuum, R ab = 0. R 11 = b 2b b 2 4b 2 a b 4ab a ar = 0 R 22 = rb 2ab ra 2a 2 + 1 a 1 = 0 R 44 = b 2a + b 2 4ab + a b 4a 2 b ar = 0 284
Allmän... Speciell och allmän relativitetsteori (R 33 = R 22 sin 2 θ.) 2 Första och sista ekvationen ger ba + ab = 0, dvs ab = konstant. Alltså eftersom a, b 1 då r. ab = 1 Tillsammans med andra ekvationen får vi ra = a(1 a). (b = a /a 2 ). Integrering ger a = Alltså ds 2 = dr2 1 2m r 1 1 2m/r där m är en integrationskonstant. + r 2 (dθ 2 + sin 2 dϕ 2 ) c 2 ( 1 2m r ) dt 2 Bestämning av m: Jämför med newtonska gravitationspotentialen V = GM r. V = 1 2 c2 (g 44 + 1), g 44 = 2V c 2 1 enligt avsnitt 29.3. Här förutsätts x 4 = ct så att g 44 = (1 2m/r). Härur 2m kallas för schwarzschildradien. 2m = 2GM c 2. Anm 1: Man kan visa att vid sfärisk symmetri i vakuum kan metriken alltid transformeras till Schwarzschilds (Birkhoffs sats). 2 Kollat med Maxima [272], ett fritt datorprogram med en lättanvänd tensordel speciellt utformad för användning inom allmän relativitetsteori. 285