TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel: Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8 eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi, linjal, gradskiva Omfattning och betygsgränser: För betyget P krävs 12p. Slutbetyget på kursen ges av poängsumman från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha avklarats med betyg P. Poäng Betyg 24 28 E 29 34 D 35 40 C 41 46 B 47 52 A Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Lycka till!
Du som klarat av KS1 hoppar över problem 1 och 2 Problem 1. (2p) Förenkla så långt möjligt x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 Problem 2. (2p) Lös ekvationen 1 2x + 3 4x + 5 6x = 3x Du som klarat av KS2 hoppar över problem 3 Problem 3. (2p) Beräkna sidan markerad med x Du som klarat av KS3 hoppar över problem 4 Problem 4. (2p) Lös ekvationssystemet 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 Följande problem räknas av samtliga Problem 5. (2p) Lös ekvationen x 1 = x 3 Problem 6. (2p) Läs av de tre vektorerna i figuren (endast heltal), summera dem och bestäm r för resultanten r. 1 KTH STH
Problem 7. (2p) Bestäm samtliga x-värden för vilka 12+x x 2 > 0 Problem 8. (2p) En rät linje går genom punkterna ( 2, 2) och (2,10). En annan går genom punkterna (0,9) och (5, 1). Bestäm linjernas skärningspunkt. Problem 9. (2p) Lös ut a ur 2a+b a+c = d Problem 10. (2p) En sjö, vars area är 9.6 km 2, avbildas på en karta i skalan 1 : 200000. Hur stor area upptar sjön på kartan? Problem 11. (2p) Om en andragradsfunktion f(x) vet man följande Symmetrilinjen är x = 1 f(0) = 16 f(x) har ett nollställe för x 1 = 4. Avgör om f(x) har ett minimum eller maximum och bestäm koordinaterna för denna punkt. Problem 12. (2p) I en rektangel ABCD har man dragit diagonalen AC. BE, som är vinkelrät mot diagonalen AC delar denna i två delar, AE och EC, av vilka den ena är dubbelt så lång som den andra. Bestäm arean av rektangeln, då BE är 5 cm. Problem 13. (2p) En rektangels omkrets är 88 cm. Bestäm hur mycket rektangelns area ökar om man adderar 5 cm både till längden och bredden. 2 KTH STH
Du som klarat av KS1 hoppar över problem 1 och 2 Problem 1. (2p) Förenkla så långt möjligt Lösning: x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 Svar: 2y x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 ()2 (x y)() (x y) 2y Problem 2. (2p) Lös ekvationen Lösning: 1 2x + 3 4x + 5 6x = 3x 1 2x + 3 4x + 5 6x 12x ( 1 2x + 3 4x + 5 6x ) = 3x = 12x 3x 6+9+10 = 36x 2 x = ± x 1 = 5 6 x 2 = 5 6 25 36 Svar: x 1 = 5 6, x 2 = 5 6 Du som klarat av KS2 hoppar över problem 3 Problem 3. (2p) Beräkna sidan markerad med x Lösning: Antag att den inritade höjden i triangeln är y cm. tan53 = y 45 y = 45 tan53 I nästa steg får vi Svar: 93 cm sin40 = x = 45 tan53 x 45 tan53 sin40 x 92.90 1 KTH STH
Du som klarat av KS3 hoppar över problem 4 Problem 4. (2p) Lös ekvationssystemet 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 Lösning: Vi startar med att förenklar ekvationerna 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 2x+2y 6x+3y = 11 6x+3y x y = 11 4x+5y = 11 5x+2y = 11 och går vidare med additionsmetoden 5( 4x+5y) = 5 11 4(5x+2y) = 4 11 Svar: x = 1 och y = 3 20x + 25y = 55 20x+8y = 44 33y = 99 y = 3 5x+2 3 = 11 5x = 5 x = 1 Följande problem räknas av samtliga Problem 5. (2p) Lös ekvationen Lösning: x 1 = x 3 x 1 = x 3 ( x 1 ) 2 = (x 3) 2 Vi testar rötterna Svar: x = 5 x 1 = x 2 +9 6x x 2 7x+10 = 0 x = 7 2 ± 49 4 40 4 x = 7 2 ± 3 2 x 1 = 2 x 2 = 5 x = 2 V.L. 2 1 1 H.L. 2 3 1 V.L. H.L. x = 5 V.L. 5 1 2 H.L. 5 3 2 V.L. = H.L. 2 KTH STH
Problem 6. (2p) Läs av de tre vektorerna i figuren (endast heltal), summera dem och bestäm r för resultanten r. Lösning: Vi läser av de tre vektorerna summerar dem v = (2,6) u = ( 2,4) w = (6 2) r = v+ u+ w (2,6)+( 2,4)+(6, 2) (2 2+6,6+4 2) (6,8) och bestämmer resultantens längd Svar: r = 10 l.e. r = 6 2 +8 2 10 Problem 7. (2p) Bestäm samtliga x-värden för vilka 12+x x 2 > 0 Lösning: Vi startar med att ta reda på funktionens nollställen 12+x x 2 = 0 x 2 x 12 = 0 x = 1 2 ± 1 4 + 48 4 x = 1 2 ± 7 2 x 1 = 4 x 2 = 3 Då koefficienten framför x 2 -termen är < 0 vet vi att kurvan y = 12 + x x 2 har ett maximum. Eftersom det finns två nollställen betyder detta att 12+x x 2 > 0 då 3 < x < 4. Svar: 3 < x < 4 3 KTH STH
Problem 8. (2p) En rät linje går genom punkterna ( 2, 2) och (2,10). En annan går genom punkterna (0,9) och (5, 1). Bestäm linjernas skärningspunkt. Lösning: Vi bestämmer de två linjernas ekvationer. Den första linjen har k = 10 ( 2) 2 ( 2) 12 4 3 Vi bestämmer m-värdet genom att sätta in den första punkten och får 2 = 3 ( 2)+m m = 4 och vi kan skriva den första linjen ekvation y = 3x+4. Den andra linjen har k = 9 ( 1) 0 5 10 5 2 Här vet vi genom punkten (0,9) att m = 9 och vi kan skriva ekvationen y = 2x+9. Skärningspunkten får vi genom att lösa ekvationen 3x+4 = 2x+9 5x = 5 x = 1 Genom den första linjens ekvation får vi så y-koordinaten y = 3 1 + 4 7 Svar: (1,7) Problem 9. (2p) Lös ut a ur Lösning: Svar: a = dc b 2 d 2a+b a+c 2a+b a+c = d = d 2a+b = d(a+c) 2a+b = da+dc 2a da = dc b a(2 d) = dc b a = dc b 2 d Problem 10. (2p) En sjö, vars area är 9.6 km 2, avbildas på en karta i skalan 1 : 200000. Hur stor area upptar sjön på kartan? Lösning: Vi vet att 1 km 2 är 1000 2 m 2 och att 1 m 2 är 100 2 cm 2. Då vet vi att 9.6 km 2 är 9.6 1000 2 100 2 = 96000000000 cm 2. Då areaskalan är 1 : 200000 2 får vi svaret genom Svar: 2.4 cm 2 96000000000 200000 2 2.4 4 KTH STH
Problem 11. (2p) Om en andragradsfunktion f(x) vet man följande Symmetrilinjen är x = 1 f(0) = 16 f(x) har ett nollställe för x 1 = 4. Avgör om f(x) har ett minimum eller maximum och bestäm koordinaterna för denna punkt. Lösning: Vi vet att f(x) har två nollställen och att de ligger på samma avstånd från och på var sin sida om symmetrilinjen. Vi kan då bestämma det andra nollstället. x 1 1 = 1 x 2 4 1 = 1 x 2 x 2 = 2 Vi kan nu delvis bestämma f(x) = k(x + 2)(x 4). k får vi genom f(0) = 16 som ger k(0+2)(0 4) = 16 8k = 16 k = 2 Nu har vi hela funktionen f(x) = 2(x+2)(x 4) 2x 2 4x 16. Med en positiv x 2 -koefficient vet vi att f(x) har ett minimum och att detta minimum ligger på symmetrilinjen, x = 1. f(1) = 2 1 2 4 1 16 18. Svar: Minimipunkten är (1, 18) Problem 12. (2p) I en rektangel ABCD har man dragit diagonalen AC. BE, som är vinkelrät mot diagonalen AC delar denna i två delar, AE och EC, av vilka den ena är dubbelt så lång som den andra. Bestäm arean av rektangeln, då BE är 5 cm. Lösning: ACD = CAB. BCA är komplementvinkel till ACD. Så även ABE vilket betyder att EBC = CAB. Därmed är ABE BEC. Antag att EC = x. Då är AE = 2x. Vi får då 5 2x = x 5 ger x = 5 2. Rektangelns diagonal är då 3 5 2 och tjänstgör som bas i ABC med höjden 5. Rektangelns area är då Svar: Arean är 53 cm 2 2 3 5 2 5 2 75 2 53.03 5 KTH STH
Problem 13. (2p) En rektangels omkrets är 88 cm. Bestäm hur mycket rektangelns area ökar om man adderar 5 cm både till längden och bredden. Lösning: Antag att rektangeln har bredden b och längden l. Antag att rektangeln har arean a 1 innan ökningen och a 2 efter ökningen. Vi vet också att 2b+2l = 88. Vi tecknar nu de båda areorna b l = a 1 (b+5)(l+5) = a 2 b l = a 1 b l+5b+5l+25 = a 2 b l = a 1 b l+5(b+l)+25 = a 2 Från 2b + 2l = 88 får vi b + l = 44. Vi substituerar nu b h = a 1 och b + l = 44 i den andra ekvationen och får b l+5(b+l)+25 = a 2 a 1 +5 44+25 = a 2 a 2 a 1 = 245 a 2 a 1 är just skillnaden i arean. Svar: 245 cm 2 6 KTH STH
Generella riktlinjer för tentamensrättning Varje beräkningsfel (Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar) Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling Prövning istället för generell metod Felaktiga antaganden/ansatser Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt Om = saknas (t.ex. => används istället) Om = används felaktigt (t.ex. istället för => ) Teoretiska uppgifter: Avrundade svar Tillämpade uppgifter: Enhet saknas/fel Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok) -1 poäng -2 poäng eller mer - samtliga poäng - samtliga poäng -1 poäng eller mer Riktlinjer för specifika uppgifter 1. - 2. Anger ej definitionsmängd -0p Kollar ej att erhållna lösningar är tillåtna -0p Varje saknad lösning -1p 3. - 4. Ett variabelvärde rätt, sedan fel -1p 5. Anger ej definitionsmängd -0p Prövning saknas / Formellt felaktig prövning -1p Varje saknad lösning -1p 6. Varje felavläst komposant / koordinat -1p Korrekt resultant, sedan fel -1p 7. Bestämmer bara nollställena till V.L. -2p Svarar x < 3 samt x > 4-1p Svarar x < 3 eller x > 4-2p Svarar med -1p/uppgift 8. Korrekt uttryck för båda linjerna, sedan fel -1p 9. 10. Räknar som om areaskalan är 200000-2p
11. Svarar att det är en maximipunkt -1p Fel värde på k -1p 12. Förkastar ej negativa x-värdet -1p Rätt x, sedan fel -1p? 13. Antar numeriskt värde på bredden eller längden -2p Antar att området är kvadratiskt -2p