Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Måndag den 4 januari 008, kl. 8.30-.30 i M-huset. Examinator: Mats Granath, 77375, 0708938077, mgranath@fy.chalmers.se Hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Termodynamiska tabeller (utdelade), ett A4 blad ( sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 0 poäng. Poäng från dugga och inlämningsuppgift kan ge maximalt 8 extra poäng. För godkänt krävs 30 poäng. Lösningar: Finns på kurshemsidan efter tentans slut. Rättningsgranskning: Drop-in granskning hos examinatorn, rum O709B. Uppgift Svaren till dessa behöver inte motiveras..5 poäng per uppgift. A) För en enatomig klassisk idealgas ges energin per atom av a) hω E b) R c) kt d) (3/)kT B) En gas tillförs värme under konstant tryck och expanderar från jämviktstillstånd () till jämviktstillstånd (). Ändringen i entropi ges av a) S = (C p/t )dt b) S = 0 c) S < 0 d) S = P dv C) Givet ett system i termisk jämvikt vid temperatur T som har kvantillstånd i med energier E i. Vad representerar följande uttryck: e E i/kt / i e E i/kt a) Tillståndssumman b) Sannolikhet att systemet har energi E i c) Väntevärdet av energin d) Systemets entropi D) Entropin för is ges vid låga temperaturer av s k ln(3/) per vattenmolekyl. Hur många tillgängliga tillstånd finns uppskattningsvis för en bit is med en mol vattenmolekyler? a) (3/)N A b) (3/) N A c) (3/) N A k d) N A ln(3/)
Uppgift En behållare innehåller en viss mängd vatten i jämvikt vid ett tryck och temperatur sådant att vattnet befinner sig i den kritiska punkten. Behållaren som är tät och har konstant volym lämnas sedan för sig själv i ett normaltempererat rum (0 o C) tills dess att termisk jämvikt med omgivningen uppnås under givna förhållanden. Hur stor volymandel av vattnet är då gas respektive vätska? (0p) Uppgift 3 Ett system består av N oberoende kvantmekanska delsystem. Varje delsystem har två energinivåer med energi ɛ och ɛ där den första energinivån är unik medan den andra är tvåfaldigt degenererad. a) Beräkna energin för systemet som funktion av temperatur. (6p) b) Beräkna systemets värmekapacitet som funktion av temperatur. (4p) Uppgift 4 I ett ångkraftverk strömmar ett vattenflöde av 0kg/s genom en turbin. Innflödet i turbinen består av överhettad ånga vid P =5MPa och T =500 o C och utflödet av mättad ånga (gas och vätska) vid T =35 o C med en kvalitet (massandel gas) på 95%. a) Beräkna turbinens effekt Ẇut givet att värmeförluster kan försummas. (4p) b) För en adiabatisk process gäller från andra lagen s = s s 0 där s och s är entropin per kilogram av flödet före och efter turbinen. Visa att flödet är irreversibelt genom att beräkna s och s. (p) c) Den teroetiskt (från andra lagen) maximala effekten under givna temperatur- och tryckförhållanden ges av en reversibel process. Antag P, T och T enligt ovan, vilken kvalitet ska ångan i utflödet ha för att processen ska vara reversibel. (p) d) Beräkna den isentropiska verkningsgraden, η isen. Denna ges av kvoten mellan effekten för den verkliga irreversibla processen (a) och effekten för den ideala reversibla processen (c). (p)
Uppgift 5 För att ta hänsyn till växelverkan mellan atomerna i en gas kan tillståndsumman för en enatomig gas skrivas: där a och b är konstanta parametrar. Z(V, N, T ) = ( V Nb N )N ( mkt πh )3N/ e N a V kt, a) I vilka fysikaliska enheter anges parametrarna a och b. (V ges i m 3, kt ges i J, etc.) (p) b) Härled van der Waals tillståndsekvation från uttrycket för tillståndsumman, dvs. beräkna trycket P som funktion av temperatur T och specifik volym per atom v = V/N. (3p) c) Beräkna genomsnittsenergin per atom. (3p) d) Visa att i gränsen a = 0 och b = 0 återfås tillståndsekvationen och energin för en enatomig klassisk idealgas. (p) Uppgift 6 Betrakta en allmän process under vilken en konstant mängd av en klassisk idealgas går från ett jämviktstillstånd med tryck P och volym V till ett annat jämviktstillstånd med tryck P och volym V. Gasen kan antas ha konstanta värmekapaciteter C p och C v. a) Beräkna ändringen i gasens entropi, S S, utryckt i termer av ovan givna storheter. (4p) b) Antag att processen är adiabatisk men irreversibel. Visa att då gäller P V γ > P V γ, där γ = C p /C v > (4p) c) Ett exempel på en irreversibel adiabatisk process är fri expansion där en gas expanderar ut i vakuum (V > V ). Bekräfta att denna uppfyller utrycket P V γ > P V γ. (OBS! denna uppgift kan du göra även om du inte gjort uppgift b.) (p) 3
Lösning Tenta 0804, Termodynamik och statistisk fysik, FTF40 Uppgift d,a,b,b Uppgift Massan är bevarad liksom volymen. Ur tabell fås specifika volymer: i kritiska punkten v c = 0.00355m 3 /kg och vid 0 o C v f = 0.0000m 3 /kg och v g = 57.79m 3 /kg. Massan för en fas ges av m = V/v, alltså för masskonservering V/v c = V g /v g + V f /v f = V g /v g + (V V g )/v f där V är totala volymen. Vi söker volymandelen V g /V vilket kan lösas ut som Uppgift 3 V g /V = /v c /v f /v g /v f = 0.68 Beräkna för ett delsystem, eftrsom oberoende adderas energi och värmekapacitetet, dvs E = Nɛ och C V = Nc v. Tillståndsumman ges av Z = e βɛ + e βɛ. a) Energin b) ɛ = Z (ɛ e βɛ + ɛ e βɛ ) = ɛ + ɛ e β(ɛ ɛ ) + e β(ɛ ɛ ) c v = dɛ dt Uppgift 4 = kβ dɛ dβ = kβ ( ɛ (ɛ ɛ )e β(ɛ ɛ ) + e β(ɛ ɛ ) ɛ + ɛ e β(ɛ ɛ) ( + e β(ɛ ɛ ) ) ( (ɛ ɛ ))) = (ɛ ɛ )(ɛ + ɛ e β(ɛ ɛ) ɛ e β(ɛ ɛ) ) kt ( + e β(ɛ ɛ ) ) a) Arbete ut ges av entalpiändringen. Ur tabell h in = 36.4kJ/kg, h ut,gas = 563.3kJ/kg och h ut,liq. = 46.68kJ/kg. Effekten ges av Ẇ ut = ṁ(h in (xh ut,gas + ( x)h ut,liq. ))kj/s = 4.9MW b) Ur tabell s in = 5.959kJ/kgK, s utgas = 8.353kJ/kgK och s ut,liq. = 0.5053kJ/kgK. Ändringen i entropi (per kg av flödet) är s = (xs utgas + ( x)s ut,liq. s in )kj/kgk =.005kJ/kgK > 0 c) Lös s = (xs utgas + ( x)s ut,liq. s in ) = 0 för x vilket ger x = s in s ut,liq. s utgas s ut,liq. = 0.6950
d) För kvalitet enligt c fås effekt Ẇut,isen. = 6.7MW vilket ger verkningsgrad Uppgift 5 η isen = Ẇut/Ẇut,isen. = 0.54 a) b V dvs m 3, a V kt dvs m 3 J (Använd dessa för dimensionskoll på deluppgift b och c) b) c) P = F V T = kt ln Z V T = kt N V Nb kt N a V kt = kt v b a v E = ln Z β = kt ln Z T = kt 3N = 3 NkT N a V T kt N a V kt d) För a = b = 0 får vi från deluppgift b och c: P = kt/v och E = 3 NkT. Uppgift 6 a) Ändring i entropi mellan två jämviktstillstånd är oberoende av väg. Vi delar in processen i två reversibla delsteg: ) ändra trycket vid konstant volym från V, P, T = P V /(νr) till V, P, T = P V /(νr); ) ändra volymen vid konstant tryck från V, P, T till V, P, T = P V /(νr). Ändringen i entropi ges för en reversibel process av ds = dq/t, dvs ds = C v dt/t och ds = C p dt/t för respektive steg. ds = T T C v dt/t + C p dt/t = C v ln(t /T ) + C p ln(t /T ) T T = C v ln(p /P ) + C p ln(v /V ) b) För en adiabatisk (dq = 0) irreversibel process gäller ds > 0. Från a fås alltså C v ln(p /P )+C p ln(v /V ) > 0 dvs ln(p /P )+γ ln(v /V ) > 0 eller ekvivalent ln( P P )( V V ) γ > 0, vilket ger ( P P )( V V ) γ >. c) För fri expansion är energin konstant (inget arbete eller värme) vilket för idealgas innebär konstant temmperatur. Alltså har vi P V = P V. Vi skriver P V γ = P V V γ > [V > V, γ > V γ > V γ ] > P V V γ = P V V γ = P V γ VSV.