Rotationstor ROTATIONSYTOR Rotationsta är en ta som uppstår genom att en plan kurva roterar ett varv runt en given ael i det tredimensionella rummet. Här betraktar vi rotationer runt aeln. Fall 1. En kurva definierad för positiva roterar kring -aeln. i En ta som uppstår då kurvan i planet f (, 0 (eller kurvan f (, 0 i planet roterar kring aeln har ekvationen f ( Rotationstans nivåkurvor är cirklar. I clindriska koordinater r cos, rsin, r, har en rotationsta ekvationen f (r dvs beror endast av r och inte av. ii Omvänt, om en ta har ekvationen i clindriska koordinater som ej beror av,, [ dvs i rektangulära koordinater] då är tans nivåkurvor cirklar (eftersom och därmed är tan en rotationsta. Uppgift 1. Bestäm ekvationen och rita den rotationsta som uppstår då nedanstående plankurva roterar kring -aeln. Kurvorna i a, b ligger i -planet, dvs i planet =0; medan kurvan i c ligger i -planet, dvs i planet =0. a då 1 e, 0 (=0 för punkter i -planet b 3, 0 (=0 c 1, 0 (=0 för punkter i -planet 1 av 8
Rotationstor Lösning: a Vi ersätter med i ekvationen 1 e och får rotationstans ekvation 1 e b Vi ersätter med i ekvationen 3 och får rotationstans ekvation 3 ( En kon med spetsen i punkten P (0,0,3.. c Den här gångenn ersätter vii med i ekvationen 1 och får 1 ( Råtationstans ekvation är alltså 1 (. Kurvan = 1+ roterar kring -aeln av 8
Rotationstor Fall. En kurva definierad för negativa roterar kring -aeln. Låt f ( vara en kurva i planet som är definierad för negativa, dvs för 0, som roterar kring -aeln och bildar en rotationsta. ( Anmärkning. Vi kan inte i det här fallet direkt ersätta negativt -värde med positivt r På grund av smmetri, samma rotationsta uppstår om kurvan g( f (, 0 roterar kring -aeln. Därför har rotationstan följande ekvation g( f ( Uppgift. Bestäm ekvationen och rita den ta som uppstår då kurvan, ( som ligger i planet 1 e, 0 roterar kring -aeln. Lösning: Samma rotationsta uppstår om den smetriska funktionen g ( f ( 1 e, 0 roterar kring -aeln. 3 av 8
Rotationstor Därför har tan följande ekvation 1 e Svar: 1 4 av 8
Rotationstor Fall 3. En kurvan definierad för både negativa och positiva roterar kring - aeln. Låt f ( vara en kurva i planet som är definierad för både negativa och positiva värden. Om kurvan inte är smmetrisk kring aeln [dvs } då uppstår två funktionstor vid kurvans rotation: f ( vid rotationen av f (, 0, f ( vid rotationen av f (, 0 0 5 av 8
Rotationstor Uppgift 3. Bestäm ekvationerna och rita de rotationstor som uppstår då nedanstående kurva ( som ligger i -planet, =0 roterar kring -aeln :, 1 ( =0 i planet 3-0 1 Lösning: Rotationen av, 0 1 Z= + + ger ekvationen f ( Z= - + där 0 1 Rotationen av den delen av kurvan som svarar mot negativa ger tan ( vi ersätter med r dvs med f ( där 0 (eller 0 4 ================================================== Uppgift 4. Rita (skissera följande tor: a b ( e c Lösning: Alla tre funktioner är av tp f ( och är därmed rotationstor. Enklast sätt att skissera rotationstor är att bestämma skärningskurvan mellan tan och en av koordinatplan; (eller genom att substituera =0 ( eller =0. 6 av 8
Rotationstor a Skärningspunkter mellan tan och -planet: och =0 ger Ytan uppstår genom att låta kurvan rotera kring -aeln i 3D-rummet. Alternativt, på grund av smmetrin, kan vi uppfatta att tan uppstår genom att kurvan, 0 roterar kring aeln. 0 Vi ritar tan som en kon med spetsen i punkten P(0,0, b e ( 0 0 e ( e Ytan uppstår då plankurvan e roterar kring -aeln 1 7 av 8
Rotationstor c Ytan uppstår då plankurvan roterar kring -aeln. 8 av 8