Mekanik FK2002m. Potentiell energi och energins bevarande

Relevanta dokument
Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse II

Mekanik FK2002m. Repetition

Mekanik FK2002m. Kinematik i flera dimensioner

Mekanik HI Andreas Lindblad

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

Module 6: Integrals and applications

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

Mekanik FK2002m. Rotation

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Mekanik FK2002m. Vektorer

12.6 Heat equation, Wave equation

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Vågrörelselära och optik

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

Svar och anvisningar

Laboration 2 Mekanik baskurs

Laboration 2 Mekanik baskurs

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

STORSEMINARIET 3. Amplitud. frekvens. frekvens uppgift 9.4 (cylindriskt rör)

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss.

" e n och Newtons 2:a lag

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

I stötuppgifterna bortser vi från den impuls som yttre krafter ger under själva stöttiden.

Det här ska du veta. Veta vad som menas med kraft och i vilken enhet man mäter det i. Veta vad som menas motkraft, bärkraft, friktionskraft

Repetitionsuppgifter i Fysik 1

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft.

Mekanik Föreläsning 8

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Tentamen. TSFS 02 Fordonsdynamik med reglering 20 oktober, 2008, kl

Svar och anvisningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057).

Arbete Energi Effekt

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Repetition Mekanik, grundkurs

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Lösningar till övningar Arbete och Energi

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

WALLENBERGS FYSIKPRIS

Tentamen Fysikaliska principer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

WALLENBERGS FYSIKPRIS

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

SF1625 Envariabelanalys

Ord att kunna förklara

Tentamen i dynamik augusti 14. 5kg. 3kg

Repetition Energi & Värme Heureka Fysik 1: kap version 2013

Möjliga lösningar till tentamen , TFYY97

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Sammanfattning hydraulik

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

4. Deformerbara kroppar och fluider [Pix-SE, IR-11]

# o,too 26L 36o vq. Fy 1-mekaniken i sammandrag. 1 Rörelsebeskrivning (linjebunden rörelse) )-'f* 1.1 Hastighet och acceleration, allmänt

MEKANIKENS GYLLENE REGEL

Rörelsemängd. Rörelsemängdens bevarande

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

När du har arbetat med det här ska du kunna: förklara vad som menas med en rörelse genom att ge exempel på hastighet, acceleration och fritt fall.

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av

Inlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B

Rörelsemängd och energi

mg F B cos θ + A y = 0 (1) A x F B sin θ = 0 (2) F B = mg(l 2 + l 3 ) l 2 cos θ

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen

Tentamen i delkurs 1 (mekanik) för Basåret Fysik NBAF00

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Grundläggande energibegrepp

Kollisioner, rörelsemängd, energi

Instuderingsfrågor Arbete och Energi

1. Ge en tydlig förklaring av Dopplereffekt. Härled formeln för frekvens som funktion av källans hastighet i stillastående luft.

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Module 1: Functions, Limits, Continuity

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

= + = ,82 = 3,05 s

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.

Rep MEK föreläsning 2

Transkript:

Mekanik FK2002m Föreläsning 7 Potentiell energi och energins bevarande 2013-09-13 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6

Introduktion Idag ska vi behandla potentiell energi. Har att göra med konfigurationen av system i vilka objekten påverkar varandra med krafter. T.ex. relaterat till avståndet mellan två föremål som dras till varandra p.g.a. gravitationen. Lägesenergi. Eller relaterat till deformationen av ett elastiskt objekt. Elastisk energi. Ska också titta på applikationer av energins bevarande. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 6

Arbete och potentiell energi v Förra gången tittade vi närmre på det arbete som utförs av gravitationen på ett föremål som kastas upp i luften. d F g F g Gravitationen utför ett negativt arbete då föremålet färdas uppåt (gravitationenen minskar föremålets kinetiska energi). Nu kan vi konstatera att denna kinetiska energi omvandlas till gravitationell potentiell energi hos systemet som utgörs av föremålet och jorden. F g v 0 Då föremålet färdas nedåt gäller det omvända - gravitationskraften överför potentiell energi hos systemet till kinetisk energi hos föremålet. SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 6

Arbete och potentiell energi Kallar ändringen i gravitationell potentiell energi för U. Relaterar till arbetet W genom: U = W Denna relation mellan potentiell energi och arbete gäller också för andra typer av system, t.ex. det med en kloss och en fjäder. Då fjädern dras ut utför fjäderkraften ett negativt arbete på klossen. x positive negative F x F s d Denna energi överförs till potentiell energi i systemet som utgörs av fjädern och klossen. 0 x x SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 6

Konservativa och icke-konservativa krafter Betrakta ett system som består av två eller fler objekt. En kraft verkar mellan ett partikel-liknande föremål i systemet och resten av systemet. När systemets konfiguration ändras, utför kraften ett arbete W 1 på det partikel-lika föremålet. Energi överförs mellan föremålets kinetiska energi och någon annan typ av energi i systemet. När konfigurationsändrigen är den omvända är också energiöverföringen den omvända. Kraften utför ett arbete W 2. Om sambandet W 1 = W 2 alltid är uppfyllt så är kraften en konservativ kraft. Gravitationskraften och fjäderkraften är båda konservativa. Om sambandet inte allid är uppfyllt är kraften en icke-konservativ kraft. Friktionskraften är icke-konservativ. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 6

Konservativa och icke-konservativa krafter Följande test visar om en kraft är konservativ eller inte: - Låt kraften verka på en partikel som rör sig i en sluten bana (kommer tillbaka till sin slutposition). - Kraften är endast konservativ om den total energi som den överför till och från partikeln är noll. Det totala arbetet som utförs av en konservativ kraft på en partikel som rör sig i en sluten bana är noll. En viktig konsekvens av testet med den slutna banan är: Arbetet som utförs av en konservativ kraft på en partikel som förflyttar sig mellan två punkter beror inte av vägen som partikeln tar. SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 6

Konservativa och icke-konservativa krafter 1 b 1 b a a Förflyttning runt en sluten bana resulterar i att arbetet är noll. 2 För en konservativ kraft resulterar alla möjliga vägar till samma utförda arbete. 2 W ab,1 +W ba,2 = 0 W ab,1 = W ab,2 Viktiga resultat eftersom många komplicerade problem nu kan förenklas. Byt bara från en komplicerad till en enklare väg! SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 6

Uttryck för den potentiella energin Om en konservativ kraft utför ett arbete W så ändras den potentiella energin med U: Arbetet kan skrivas som U = W (1) W = xf x i F(x)dx (2) Genom att kombinera Eq. (1) och Eq. (2) får vi: U = xf x i F(x)dx (3) SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 6

Då F(x) är gravitationskraften får vi: U = yf Uttryck för gravitationell potentiell energi y i ( mg)dy = mg[y] y f y i = mg(y f y i ) = mg y (4) Det är egentligen bara meningsfullt att prata om ändringar, y, i den potentiella energin. Men ibland underlättar det att definera en potentiell energi U relativt en viss referensnivå U i, enligt: Om vi väljer U i = 0 och y i = 0 får vi: U U i = mg(y y i ) (5) U = mgy (6) Den gravitationella potentiella energin hos i ett system somutgörsavenpartikelochjordenberorbarapåpartikelns höjd relativt referenspositionen (y = 0). SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 6

Problem 8 A q.50 kg snowball is fired from a cliff 11.5 m high. The snowball s initial velocity is 16.0 m/s, directed 41 above the horizontal. (a) How much work is done on the snowball by the gravitational force during its flight to the flat ground below the cliff? (b) What is the change in the gravitational potential energy of the snowball-earth system during the flight? (c) If the gravitational potential energy is taken to be zero at the height of the cliff, what is its value when the snowball reaches the ground? SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 6

Uttryck för elastisk potentiell energi Om F(x) istället är fjäderkraften får vi: U = xf x i ( kx)dx = k xf x i xdx = 1 2 k[ x 2] xf x i = 1 2 kx2 f 1 2 kx2 i (7) Om vi väljer viloläget (U i = 0) för fjädern (x i = 0) som vår referensposition får vi: U(x) = 1 2 kx2 (8) SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 6

Problem 1 What is the spring constant of a spring that stores 25 J of elastic potential energy when compressed 7.5 cm? SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 6

Den mekaniska energins bevarande Den mekaniska energin E mec hos ett system är summan av den potentiella energin U och den kinetiska energin K hos de ingående objekten: E mec = K +U (9) Anta att systemet är isolerat (dvs inga externa krafter verkar på systemet) samt att endast konservativa krafter verkar inom systemet. Då en konservativ kraft utför ett arbete W på ett objekt i systemet överförs energi mellan objektets kinetiska energi och systemets potentiella energi enligt: K = W (10) U = W (11) SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 6

Den mekaniska energins bevarande Kombinerar vi Eq. (10) och Eq. (11) får vi: K = U (12) Skriver vi om Eq. (12) som K 2 K 1 = (U 2 U 1 ) får vi K 2 +U 2 = K 1 +U 1 (13) Detta visar att den totala mekaniska energin är bevarad. I ett isolerat system där bara konservativa krafter verkar kan den kinetiska och potentiella energin ändras, men derassumma,denmekaniskaenergine mec,ändrasinte. En annan formulering är: E mec = K + U = 0 (14) SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 6

Problem 15 In Fig. 8-33, a runaway truck with failed brakes is moving downgrade at 130 km/h just before the driver steers the truck up a frictionless emergency escape ramp with an inclanation of θ = 15. The truck s mass is 1.2 10 4 kg. (a) What minimum length L must the ramp have if the truck is to stop (momentarily) along it? (Assume that the truck is a particle and justify that assumption.) Does the minimum length L increase, decrease or remain the same if (b) the truck s mass is decreased and (c) its speed is decreased? SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 6

Beräkna kraften från energin Vi vet att ändringen i den potentiella energin ges av integralen av kraften: U(x) = xf x i F(x)dx För att gå åt andra hållet och erhålla kraften från energin konstaterar vi att U(x) = W = F(x) x Löser vi it F(x) och låter x gå mot noll får vi: F(x) = du(x) dx Test: stoppa in U(x) = 1 2 kx2 vilket med derivering ger F(x) = kx. SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 6

Potentiella energikurvor I en graf av U(x) som funktion av x kan vi få kraften F(x) som lutningen, med ett minustecken. SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 6

Potentiella energikurvor Den totala mekaniska energin E mec är en horisontell linje. Subtrahera U från E mec för att få K. Eftersom K inte kan vara negativt så kan partikeln aldrig röra sig till vänster om x 1. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 6

Potentiella energikurvor Vid x 1 är K = 0, men F > 0, så partikeln stannar inte vid x 1 utan vänder. Alltså är x 1 en vändpunkt. Om E mec =4 J får vi en vändpunkt mellan x 1 och x 2. Dessutom har alla punkter till höger om x 5 K = 0 och F = 0, så partikeln är i vila. Kallas för ett neutralt jämviktsläge. Om E mec =3 J har vi två vändpunkter. Dessutom är K = 0 och F = 0 vid x 3. Kallas för ett instabilt jämviktsläge. Om E mec =1 J är partikeln fast vid x 4 (negativt K om den flyttas det minsta). Kallas för ett stabilt jämviktsläge. SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 6

Problem 38 Figure 8-47 shows a plot of potential energy U versus position x of a 0.200 kg particle that can travel only along an x axis under the influence of a conservative force. The graph has these values: U A = 9.00 J, U C = 20.00 J and U D = 24.00 J. The particle is released at the point where U forms a potential hill of height U B = 12.00 J, with kinetic energy 4.00 J. What is the speed of the particle at (a) x = 3.5 m and (b) x = 6.5 m? What is the position of the turning point on (c) the right side and (d) the left side? SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 6

Arbete utfört på ett system av en extern kraft Vi har hittills pratat om arbete som något som utförs av en kraft i ett isolerat system. Kan också ha en extern kraft som verkar på ett system. Arbete är energi som överförs till eller från ett system genom att en extern kraft verkar på systemet. Positivt arbete: energi överförs till systemet. Negativt arbete: energi överförs från systemet. För ett system som består av mer än en partikel kan den externa kraften ändra även t.ex. den potentiella energin hos systemet, så arbete-rörselseenergi-teoremet ( K = W) gäller inte. SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 6

Arbete utfört på ett system av en extern kraft Utan friktion: Med friktion: W = K + U = E mec En kraft F drar en kloss en förflyttning d längs x-axeln. Hastigheten ökar från v 0 till v. En kinetisk friktionskraft f k verkar mellan klossen och golvet. v0 v F f k x d SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 6

Arbete utfört på ett system av en extern kraft Newtons andra lag i x-led ger: F f k = ma (15) Eftersom kraften är konstant är också acelerationen det, så: Löser vi ut a och stoppar in i Eq. (15) får vi: v 2 = v 2 0 +2ad (16) Fd = 1 2 mv2 1 2 mv2 0 +f k d = K +f k d (17) Om klossen t.ex. rör sig uppför ett lutande plan kan vi också ha potentiell energi, så ett mer generellt uttryck är: Fd = E mec +f k d = E mec +E th (18) där E th är värmeenergin (friktionen genererar värme). Fd är arbetet W utfört av den externa kraften på kloss-golv-systemet, så: W = E mec +E th (19) SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 6

Problem 44 A horizontal force of magnitude 41.0 N pushes a block of mass 4.00 kg across a floor where the coefficient of kinetic friction is 0.600. (a) How much work is done by that applied force on the block-floor system when the block slides through a displacement of 2.00 m across the floor? (b) During that displacement, the thermal energy of the block increases by 40.0 J. What is the increase in thermal energy of the floor? (c) What is the increase in the kinetic energy of the block? SARA STRANDBERG P. 24 FÖRELÄSNING 6

Energins bevarande Den totala energin E hos ett system kan bara ändras med den mängd energi som överförs till eller från systemet. Med total energi menas mekanisk energi, termisk energi och andra typer av intern energi (som vi inte diskuterat ännu). W = E = E mec + E th + E int (20) Denna lag har vi inte räknat fram, utan den bygger på experimentella resultat. SARA STRANDBERG P. 25 FÖRELÄSNING 6

Energins bevarande Om ett system är isolerat från sin omgivning, kan ingen energiöverföring ske till eller från det. Den totala energin E hos ett isolerat system kan inte ändras. Genom att sätta W = 0 kan vi skriva: E mec + E th + E int = 0 (21) SARA STRANDBERG P. 26 FÖRELÄSNING 6

Problem 53 In Fig. 8-50, a 3.5 kg block is accelerated from rest by a compressed spring of spring constant 640 N/m. The block leaves the spring at the sping s relaxed length and then travels over a horizontal floor with a coefficient of kinetic friction µ k = 0.25. The frictional force stops the block in distance D = 7.8 m. What are (a) the increase in the thermal energy of the block-floor system, (b) the maximum kinetic energy of the block, and (c) the original compression distance of the spring? SARA STRANDBERG P. 27 FÖRELÄSNING 6

Externa krafter och intern energiöverföring En extern kraft kan ändra den kinetiska eller potentiella energin hos ett objekt utan att utföra ett arbete på det objektet. För även om inte någon energi överförs kan kraften överföra energi från en typ av energi till en annan inom objektet. Exempel: En isprinsessa i vila trycker ifrån mot räcket på rinken och åker på så vis bakåt över isen. Hennes kinetiska energi ökar pga att en extern kraft F från räcket verkar på henne. Men kraften överför inte energi frn räcket till henne. Istället är det en intern energiöverföring (biokemisk energi i hennes muskler omvandlas till kinetisk energi). SARA STRANDBERG P. 28 FÖRELÄSNING 6

Effekt En mer generell definition på medeleffekt en den vi angav förra gången är: P avg = E (22) t På samma sätt blir momentaneffekten P avg = de dt Effekt är alltså ett mått på hur snabbt en energiöverföring sker. (23) SARA STRANDBERG P. 29 FÖRELÄSNING 6

Sammanfattning Arbete kan inte bara ändra den kinetiska energin utan också den potentiella energin hos ett system ( U = W). Den potentiella energin kan beräknas enligt U = x f x i F(x)dx. För en konservativ kraft gäller W ab,1 +W ba,2 = 0 och W ab,1 = W ab,2. I ett isolerat system där bara konservativa krafter verkar är den mekaniska energin är bevarad: E mec = K + U = 0 Om en extern kraft påverkar ett system är arbetet den energi som den externa kraften överför till eller från systemet. För ett system gäller W = E = E mec + E th + E int dvs energin kan bara ändras med den mängd energi som överförs till eller från systemet. För ett isolerat system gäller E mec + E th + E int = 0 Effekt definieras som P = de/dt. SARA STRANDBERG P. 30 FÖRELÄSNING 6