Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod. Problem, nivå A. En enkel televäxel kan modelleras som könätet i figuren nedan. Systemet består av stycken M/M/-system med oändlig kö. Nod i har betjäningsintensiteten i. När ett jobb har blivit betjänat i nod, fortsätter det till nod med sannolikheten α. Med sannolikheten α fortsätter jobbet till nod. Jobb som kommer till könätet kommer alltid till nod i enlighet med en Poissonprocess med intensitet =0. Låt dessutom α =0.7, =5, =0samt =5. (a) Vilken belastning har noderna? (b) Bestäm medelantal jobb i könätet. (c) Bestäm den totala medelväntetiden i köer för ett godtyckligt jobb.. Antag att vi har modellerat ett system med hjälp av könätet nedan. Könätet består av fem noder varav fyra stycken har oändligt köutrymme (,, och 5). Nod 4 är ett upptagetsystem med tre betjänare. Alla betjäningstider är exponentialfördelade med medelvärde / i för delsystem i. Kunder ankommer enligt två Poissonprocesser med intensiteterna och. Låt =4s, =s, = =5s, =8s, 4 =s, 5 =6s och α =/. (a) Bestäm medelantal kunder i var och en av de fem noderna. (b) Bestäm medelantal kunder som spärras per sekund i nod 4. (c) Bestäm medeltiden i systemet för de kunder som inte spärras. (d) Hur lång är medelväntetiden i köerna för en godtycklig kund? α 4 α 5
. Ett system modelleras som ett könät med tre noder. Nod och är M/M/- system, och nod är ett upptagetsystem med betjänare. Betjäningstiderna i de tre systemen är exponentialfördelade med medelvärdena x, x respektive x. Alla kunder som kommer till systemet går först till nod (ankomstintensitet ). När en kund är färdigbetjänad i nod fortsätter den med sannolikheten β till nod och med sannolikheten β till nod. Efter betjäning i nod eller lämnar kunden könätet. Låt = 4 per minut, x = 0 sekunder, x = 0 sekunder och x =0sekunder samt β =0.. (a) Rita könätet (b) Vad blir ankomstintensiteten till nod respektive nod? (c) Bestäm medelantal kunder i nod respektive nod. (d) Bestäm hur många kunder som per minut avvisas från nod. (e) Bestäm medeltid i systemet för en kund som får full betjäning. (f) Bestäm den tid som en kund som får fullständig betjäning tillbringar i systemets köer. 4. Ett könät består av två noder. Nod är ett M/M/-system och nod är ett upptagetsystem med betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärdena x respektive x. Alla kunder som kommer till könätet anländer till nod med intensiteten. När de är färdigbetjänade där så fortsätter de med sannolikheten α till nod och med sannolikheten α lämnar de könätet. En kund som är färdigbetjänad i nod eller avvisas där lämnar könätet. Antag att =per minut, x =0sekunder, x =60sekunder och α =0.. (a) Bestäm ankomstintensiteten till nod. (b) Bestäm P (k jobb i nod och k jobb i nod ). (c) Bestäm medelantal jobb i nod. (d) Bestäm sannolikheten att ett jobb som kommer till nod avvisas. (e) Bestäm medelantal jobb i nod. (f) Bestäm den avverkade trafiken i nod. (g) Bestäm hur många jobb per minut som i medeltal blir färdigbetjänade i nod. Problem, mer avancerad nivå (B och C) 5. Kunder kommer enligt en Poissonprocess till ett upptagetsystem med en betjänare. De kunder som får betjäning fortsätter till ett kösystem med en köplats och en betjänare. Antag att betjäningstiderna i bägge noderna är exponentialfördelade med medelvärde sekund. Medeltiden mellan ankomsterna är sekund. (a) Beräkna medelantalet kunder i nod och nod. (b) Beräkna medeltiden som en kund som betjänas i nod tillbringar i nod. (c) Är antalet kunder som finns i nod och nod oberoende av varandra?
Lösningar. (a) Belastningen på ett kösystem är detsamma som den avverkade trafiken. Här har vi bara M/M/-system, så vi kan helt enkelt beräkna ρ = / för noderna i könätet. Först beräknar vi i = ankomstintensiteten till nod i.vi får Nu får vi = =0 = α =7 =( α) = ρ = = 0 5 = ρ = = 7 0 ρ = = 5 (b) Vi börjar med att beräkna medelantal jobb i könätet för var och en av noderna och sedan summerar vi. Antag att N i är medelantal kunder i nod i. Vi kan använda den vanliga formeln för medelantal kunder i ett M/M/- system, vilket ger N = ρ = / ρ / = N = ρ = 7/0 ρ 7/0 = 7 N = ρ = /5 ρ /5 = Det totala antalet kunder i könätet blir nu N = N + N + N = 6 + 4 6 + 9 6 = 5 6 (c) Vi betraktar alla könätets köer som ett enda system och använder Littles sats. För att göra detta måste vi först beräkna medelantal kunder som köar i hela könätet (N q ). För nod i gäller N qi = N i N si = N i ρ i där N qi är medelantal kunder som väntar i kön i nod i och N si är medelantal kunder som betjänas, dvs den avverkade trafiken i nod i. Det ger N q = N ρ ρ ρ = 5 6 4 6 7 0 5 = 58 5 Medeltiden som en godtycklig kund väntar i köerna blir då N q 0.9 s
. (a) Vi får ρ = = 4 5 N = ρ ρ =4 ρ = = 5 N = ρ ρ = ρ = = + = 4 N = ρ ρ = ρ 4 = 4 4 = α 4 = N 4 = ρ 4 ( E (ρ 4 )).58 ρ 5 = 5 5 = ( α) 5 = N 5 = ρ 5 ρ 5 = (b) 4 E (ρ 4 ) 0.84 (c) Vi låter T i vara medeltiden i nod i.vihar T = N = T = N 0. T = N =0.5 T 4 = 4 =0.5 T 5 = N 5 =0.5 5 En kund som inte spärras kan ta följande vägar genom systemet Väg A : 4 VägB: 5 VägC: 4 VägD: 5 Antag nu att Y = tiden som en kund som inte spärras befinner sig i könätet. Då gäller E(Y tar väg A) =T + T + T 4 = E(Y tar väg B) =T + T + T 5 =.75 E(Y tar väg C) =T + T + T 4 =. E(Y tar väg D) =T + T + T 5 =.08 Låt nu Λ i vara medelantal kunder som tar väg i. Då får vi Λ A = α( E (ρ 4 )).05 4
Vi får då Λ B = ( α). Λ C = α( E (ρ 4 )).05 Λ D = ( α) 0.667 P (tar väg i) = Λ i Λ A +Λ B +Λ C +Λ D Sedan kan vi ta bort betinget och få E(Y )= E(Y tar väg i)p (tar väg i).7 i {A,B,C,D} (d) Låt W vara den totala medelkötiden för en godtycklig kund. Littles sats medför att W = N qtot + Där N qtot är det totala medelantalet köande kunder i könätet. Om N qi är medelantalet köande i nod i så får vi N q = N ρ =. N q = N ρ 0.67 N q = N ρ =.5 N q4 =0 N q5 = N 5 ρ 5 0.67 vilket medför att N qtot 5.88 och slutligen W 0.98 s. (a) Könätet ser ut så här β β (b) Om i är ankomstintensiteten till nod i så får vi = β =0.8 min =( β) =. min 5
(c) Vi kan räkna på nod och som om de vore M/M/-system vilket ger ρ = x =4 0 60 N = ρ = ρ ρ = x =0.8 0 60 =0.4 N = ρ ρ = (d) Medelantal avvisade per minut blir E (ρ )=. E (. 0 60 ) 0.69 (e) Det finns två vägar genom systemet, väg A som går från till och väg B som går från till. Tiden som en kund tillbringar i de olika noderna är T = N =0.5 T = N 0.8 T = x = Medelantal kunder som betjänas under en minut är för nod och = ( E (ρ )) för nod. Således blir medeltiden i systemet för en godtycklig kund som betjänas färdigt (T + T ) + +(T + T ) +.0998 (f) Medeltiden som en kund tillbringar med att vänta i nod i är W q = N ρ = W q = N ρ = W q =0 På samma sätt som vi får i f-uppgiften får vi att medeltiden som en godtycklig kund som betjänas tillbringar med att vänta i köerna är W q = (W q + W q ) + +(W q + W q ) = W q + W q + 4.8 60 min + 4. (a) = ( α) =.4min (b) Eftersom vi har en Poissonprocess ut från nod så kommer antalet kunder i systemen att vara oberoende av varandra. Det ger P (k,k )=ρ k ρ k /k! ( ρ ) +ρ + ρ /+ρ /! 6
(c) N = ρ = ρ (d) E (ρ )=E (.4) 0.7 (e) ρ ( E (ρ )).76 (f) Se e-uppgiften. Avverkad trafik är ju detsamma som medelantal upptagna betjänare. (g) ( E (ρ )).76 min 5. (a) Vi börjar med att rita upp en Markovkedja som beskriver systemet. Vi låter tillstånd ij betyda att det finns i kunder i upptagetsystemet och j kunder i väntsystemet. Då får vi Markovkedjan nedan. Använder vi flöde-in flöde- 00 0 0 0 ut-metoden på denna Markovkedja och utnyttjar att = =så får vi ekvationssystemet p 00 = p 0 p 0 = p 00 + p p 0 = p 0 + p 0 p = p + p 0 p 0 = p + p p = p 0 Om vi också använder oss av att summan av alla sannolikheter måste vara så ger ekvationssystemet p 00 = 5 4 p 0 = 5 4 p 0 = 8 4 p = 4 p 0 = 4 p = 4 Definitionen av medelvärde ger sedan N = (p 0 + p + p )=0.5 N = (p 0 + p )+ (p 0 + p )=.75 7
(b) Först måste vi beräkna. För att göra detta använder vi ett trick. Vi kan beräkna medelantalet kunder i nod :s betjänare dels med Littles sats, dels med definitionen. Om vi gör det får vi = (p 0 + p 0 + p + p ) = 4 Nu kan vi använda Littles sats, vilken ger att medeltiden i nod blir N = 4 (c) Nej, vi har inte oberoende. Om vi till exempel sätter p i (k) =sannolikheten att antalet kunder i nod i är k så är p 00 p (0)p (0) vilket innebär att vi ej har oberoende. 8