Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr 6 Visa med ett lämpligt exempel att lg6 + lg3 lg18 Uppgift nr 7 Skriv talet 79 i potensform med talet e som bas A/ exakt. B/ avrundat till tresiffrig noggrannhet. Uppgift nr 8 10 y 0 Uppgift nr 9 Visa med ett lämpligt exempel att lg2 + lg6 lg12 Uppgift nr 10 10 y 0,001 Uppgift nr 11 Tiologaritmen för ett tal är 0. Vilket är talet? Uppgift nr 12 Skriv talet 63 i potensform med talet e som bas A/ exakt. B/ avrundat till tresiffrig noggrannhet. Uppgift nr 13 lg x 4 Uppgift nr 14 Beloppet 8600 kr har på ett sparkonto ökat till 11589,84 kr. 3,8%? Uppgift nr 15 638 8x 514 Uppgift nr 16 10 y 00000 Sid 1
Logövningar Uppgift nr 17 Visa med ett lämpligt exempel att lg6 + lg7 lg42 Uppgift nr 18 Tiologaritmen för ett tal är -4. Vilket är talet? Uppgift nr 19 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca 54200 personer år 1985 till ca 66100 personer år 1988. Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 1991 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr 20 520 3z 538 Uppgift nr 21 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca 56600 personer år 1980 till ca 58900 personer år 1988. Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 2001 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr 22 Beloppet 2200 kr har på ett sparkonto ökat till 2573,69 kr. 4,0%? Uppgift nr 23 Huvudräkna lg70 - lg7 Uppgift nr 24 37 y 93 Uppgift nr 25 Skriv lg12 - lg4 som en logaritm Uppgift nr 26 Givet funktionen f(x) e x Beräkna f(-2) med hjälp av Uppgift nr 27 Beloppet 6100 kr har på ett sparkonto ökat till 8025,79 kr. 7,1%? Uppgift nr 28 Ange derivatan till y e x Sid 2
Logövningar Uppgift nr 29 Skriv talet 87 i potensform med talet e som bas A/ exakt. B/ avrundat till tresiffrig noggrannhet. Uppgift nr 30 Givet funktionen f(x) e x Beräkna f(-1) med hjälp av Uppgift nr 31 Givet funktionen f(x) e x Beräkna f(4) med hjälp av Uppgift nr 32 Beloppet 6000 kr har på ett sparkonto ökat till 9797,75 kr. 5,6%? Uppgift nr 33 16 y 40 Uppgift nr 34 Givet funktionen f(x) e x Beräkna f(1) med hjälp av Sid 3
Uppgift nr 1 (10-2 0,01) Svar: y 0,01 Uppgift nr 2 Svar: 3 (Logaritmlagen lga + lgb lg(a B) ger lg200 + lg5 lg(200 5) lg1000 3 Uppgift nr 3 (10 lg 71 ) z lg 70 10 z lg 71 lg 70 z lg 71 lg 70 z lg 71 lg 71 Svar: z lg 70 lg 71 lg 70 lg 71 ( 0,997) Uppgift nr 4 Eftersom lutningen i alla punkter på kurvan y e x är lika med y-koordinaten för punkterna och derivatan (y') enligt definitionen är lutningen, gäller alltså för funktionen y e x att y' y e x. Svar: y' e x Uppgift nr 5 Svar: lg125 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 6 Multiplikationen 6 3 18 kan skrivas 10 lg6 10 lg3 lg18 När två tal med samma bas multipliceras, adderas exponenterna. 10 lg6 + lg3 lg18 Talen i båda leden är lika. Baserna är lika (10). Alltså måste exponenterna vara lika. lg6 + lg3 lg18 [Kan skrivas som en regel lga + lgb lg(a b)] Uppgift nr 7 Svar: A/ 79 e B/ 79 e 4,37 Uppgift nr 8 (10 2 0) Svar: y 2 ln 79 Uppgift nr 9 Multiplikationen 2 6 12 kan skrivas 10 lg2 10 lg6 lg12 När två tal med samma bas multipliceras, adderas exponenterna. 10 lg2 + lg6 lg12 Talen i båda leden är lika. Baserna är lika (10). Alltså måste exponenterna vara lika. lg2 + lg6 lg12 [Kan skrivas som en regel lga + lgb lg(a b)] Uppgift nr 10 (10-3 0,001) Svar: y -3 Uppgift nr 11 (10 0 1) Svar: Talet är 1. (Det finns även så kallade naturliga logaritmer. Vet man vilken typ av logaritm det gäller, räcker det att säga logaritmen för talet.) Uppgift nr 12 Svar: A/ 63 e B/ 63 e 4,14 Uppgift nr 13 (10 4 000) Svar: x 000 ln 63 Sid 1
Uppgift nr 14 Räntesats 3,8% ger förändringsfaktor 1,038. 8600 1,038 x 11589,84 8600 så att 1,038 x blir ensamt i VL) 1,038 x 11589,84 8600 1,038 1,3477 10 x lg 1,038 lg 1,3477 x lg 1,038 lg 1,3477 lg 1,3477 lg 1,038 förräntat sig i cirka 8 år. Uppgift nr 15 (10 lg 638 ) 8 x lg 514 10 8 x lg 638 lg 514 8 x lg 638 lg 514 8 x lg 638 8 lg 638 Svar. x lg 514 8 lg 638 lg 514 8 lg 638 ( 0,121) Uppgift nr 16 (10 6 00000) Svar: y 6 Uppgift nr 17 Multiplikationen 6 7 42 kan skrivas 10 lg6 10 lg7 lg42 När två tal med samma bas multipliceras, adderas exponenterna. 10 lg6 + lg7 lg42 Talen i båda leden är lika. Baserna är lika (10). Alltså måste exponenterna vara lika. lg6 + lg7 lg42 [Kan skrivas som en regel lga + lgb lg(a b)] Uppgift nr 18 (10-4 0,0001) Svar: Talet är 0,0001. (Det finns även så kallade naturliga logaritmer. Vet man vilken typ av logaritm det gäller, räcker det att säga logaritmen för talet.) Uppgift nr 19 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år 1985. Då är t 3 år 1988 (1991 är t6) 66100 54200 e k 3 Dividera båda sidor med 54200 och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e 0,1984878 e k 3 k 0,0661626 Formeln igen med t 6 A 6 54200 e 0,0661626 6 Svar: Antalet är 80600 inv. Uppgift nr 20 (10 lg 520 ) 3 z lg 538 10 3 z lg 520 lg 538 3 z lg 520 lg 538 3 z lg 520 3 lg 520 Svar. z lg 538 3 lg 520 lg 538 3 lg 520 ( 0,335) Sid 2
Uppgift nr 21 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år 1980. Då är t 8 år 1988 (2001 är t21) 58900 56600 e k 8 Dividera båda sidor med 56600 och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e 0,0398321 e k 8 k 0,0049790 Formeln igen med t 21 A 21 56600 e 0,0049790 21 Svar: Antalet är 62800 inv. Uppgift nr 22 Räntesats 4% ger förändringsfaktor 1,04. 2200 1,04 x 2573,69 2200 så att 1,04 x blir ensamt i VL) 1,04 x 2573,69 2200 1,04 1,1699 10 x lg 1,04 lg 1,1699 x lg 1,04 lg 1,1699 lg 1,1699 lg 1,04 förräntat sig i cirka 4 år. Uppgift nr 23 Svar: 1 (Logaritmlagen lga - lgb lg A B ger lg70 - lg7 lg 70 7 lg10 1) Uppgift nr 24 (10 lg 37 ) y lg 93 10 y lg 37 lg 93 y lg 37 lg 93 y lg 37 lg 37 Svar: y lg 93 lg 37 lg 93 lg 37 ( 1,255) Uppgift nr 25 Svar: lg3 (Differensen mellan logaritmerna för två tal är logaritmen för talens kvot dvs lga - lgb lg a b ) Uppgift nr 26 blir y om x är -2? ) Svar: f(-2) 0,135 Uppgift nr 27 Räntesats 7,1% ger förändringsfaktor 1,071. 6100 1,071 x 8025,79 6100 så att 1,071 x blir ensamt i VL) 1,071 x 8025,79 6100 1,071 1,3157 10 x lg 1,071 lg 1,3157 x lg 1,071 lg 1,3157 lg 1,3157 lg 1,071 förräntat sig i cirka 4 år. Uppgift nr 28 Eftersom lutningen i alla punkter på kurvan y e x är lika med y-koordinaten för punkterna och derivatan (y') enligt definitionen är lutningen, gäller alltså för funktionen y e x att y' y e x. Svar: y' e x Uppgift nr 29 Svar: A/ 87 e B/ 87 e 4,47 ln 87 Uppgift nr 30 blir y om x är -1? ) Svar: f(-1) 0,368 Sid 3
Uppgift nr 31 blir y om x är 4? ) Svar: f(4) 54,598 Uppgift nr 34 blir y om x är 1? ) Svar: f(1) 2,718 Uppgift nr 32 Räntesats 5,6% ger förändringsfaktor 1,056. 6000 1,056 x 9797,75 6000 så att 1,056 x blir ensamt i VL) 1,056 x 9797,75 6000 1,056 1,6330 10 x lg 1,056 lg 1,6330 x lg 1,056 lg 1,6330 lg 1,6330 lg 1,056 förräntat sig i cirka 9 år. Uppgift nr 33 (10 lg 16 ) y lg 40 10 y lg 16 lg 40 y lg 16 lg 40 y lg 16 lg 16 Svar: y lg 40 lg 16 lg 40 lg 16 ( 1,330) Sid 4