Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som begränsas av =, = och =, medelst a) snittning, b) clindriska skal. a) Vi ritar först upp området i planet och rotationskroppen. Vi snittar nu upp kroppen S längs -aeln. Volmen av ett snittelement är d Volmelementet som uppstår när ett horisontellt element roteras kring - aeln är Totala volmen är d π d ( ) π d. ( ] ) d = π 5 5/ = π( ) 5 = 5 π. d d π () d = π 4 d. () Totala volmen fås som d π 4 d = 5 π.
7..6 Finn volmen av kroppen som uppstår då det ändliga området R som begränsas av = och = roteras kring a) -aeln, b) -aeln. b) Vi använder samma snittning längs -aeln som i a-uppgiften och roterar sedan snittelementen kring -aeln så att vi får clindriska skal. d Vi ritar först upp det plana området R. Snittelementets volm är a) Eftersom begränsningskurvorna är givna i formen = () är det enklast att snitta i -led och låta varje element sedan rotera kring -aeln. Volmen ges av d π d π d ( ). }{{}}{{} tvärsnitt höjden ] ( 3 ) d = π 3 3 4 4 = π( 3 ) 4 = 6 π. 7..8 Finn volmen av kroppen som uppstår då det ändliga området R som begränsas av = + sin, =, = och = π, roteras kring Volmen av ett snittelement ges av a) -aeln, b) -aeln. Den totala volmen är d π d π( ) d d π = π( 4 ) d. d = = ] ( 4 ) d = π 3 3 5 5 = π ( 3 ) 5 = 5 π. Vi ritar först upp området R. π = = sin +
a) Eftersom begränsningskurvorna är i formen = () är det enklast att snitta längs -aeln. Volmen av ett snittelement ges av d ( π( + sin ) π ) d = π(sin + sin ) d. Den totala volmen blir d π (sin sin ) d ] π = π 4 sin cos ( = π π ( ) ( )) = π + 4π. b) Vi använder clindriska skal. Volmelementet blir Den totala volmen är d π ( + sin ) d = π sin d. d π sin d ] π = π sin cos ( ) = π π ( ) ( ) = π. Vi snittar i -led och roterar varje element kring linjen =. Då blir snittelementets volm lika med Den totala volmen är d π d π( ) d = π ( ( + 4 ) ) d = π( 4 ) d. d π ( 4 ) d = = π ( 3 5 ( 3 + )) 5 = 4 5 π. d = = = ] 3 3 5 5 7..6 Finn volmen av den kropp som uppstår då en cirkulär disk roteras kring en av sina tangentlinjer. 7.. Finn volmen av den kropp som uppstår då området roteras kring linjen =. Låt oss placera disken i talplanet så att -aeln blir en av diskens tangentlinjer. Vi kan också se till att diskens mittpunkt hamnar i punkten (, R), där R är diskens radie. Vi ritar upp området. = En cirkel med radie R och mittpunkt i (, R) har ekvationen + ( + R) = R = R ± R.
Dessa två kurvor är 7.. En kropp är m hög. Dess tvärsnittsarea på höjden m ovanför basen är 3 m. Bestäm kroppens volm. = R + R = R R Vi ska nu räkna ut volmen som fås då området mellan dessa kurvor roteras kring -aeln. Vi snittar längs -aeln. Snittelementets volm ges av Den totala volmen ges av d π ( R R ) d π ( R + R ) d = 4πR R d. R d 4πR R d. R För att bestämma en primitiv funktion substituerar vi = R sin θ, R 4πR R d = { = R sin θ; d = R cos θ dθ } R = 4πR / π/ R R sin θ R cos θ dθ / = 4πR 3 cos θ dθ = { formeln för dubbla vinkeln } π/ / ] π/ = πr 3 ( + cos θ) dθ = πr 3 θ + sin θ π/ = πr 3( π + ( π + )) = π R 3. π/ Om vi inför en -ael i höjdled med = vid basplanet så kan kroppens tvärsnittsarea skrivas A() = 3. Kroppens totala volm får vi genom att integrera upp tvärsnittsarean från = till =, Volm = A() d = = 3 3 = 6. 3 d = ] 3 7..3 Bestäm volmen av en kropp med höjd och vars tvärsnitt på höjden z ovanför basplanet är en ellips med halvalar z och z. En ellips med halvalar a = z och b = z har arean A(z) = πab = π z z. Detta ger att volmen av kroppen fås av integralen Volm = A(z) dz = πz z dz = { s = z ; ds = z dz } = π = π π ] s ds = 3 s s = π 3. s ds
7..5 En kropp är 6 fot hög. Dess horisontella tvärsnitt vid höjden z ovanför basplanet är en rektangel med sidor + z fot och 8 z fot. Bestäm kroppens volm. För att bestämma derivatan deriverar vi det implicita sambandet mellan och i uppgiftsteten, Enligt uppgiftsteten är tvärsnittsarean på höjden z fot över basplanet lika med A(z) = ( + z)(8 z). = 3( ) = 3 Dessutom är kvadrerad i båglängdsformeln ( ), ( ). Kroppens volm får vi genom att integrera upp tvärsnittsarean från z = till z = 6, Volm = = 6 6 A(z) dz = 6 ( + z)(8 z) dz ] (6 + 6z z ) dz = 6z + 3z 3 6 z3 = 6 6 + 3 6 3 63 ( 6 + 3 3 3) = 3 kubikfot. 7.3.4 Bestäm längden av kurvan = ( ) 3 från (, ) till (, ). ( ) = 9 4 ( ) 4. Högerledet kan vi förenkla genom att åter använda det implicita sambandet, Båglängden blir = 9 4 ( ) 4 ( ) 3 = 9 4 ( ). + ( ) d = + 94 ( ) d = = { t = 9 4 5 4 ; dt = 9 4 d } = 4 9 = 4 9 3 t ] 3/4 t = 8 3 7( 8 3/4 3 ) = 3 7 t dt 3 8 7. 9 4 5 4 d Om vi löser ut ur kurvans ekvation får vi = ±( ) 3/. Kurvan består alltså av två kurvstcken som är funktionsgrafen till () = +( ) 3/ respektive () = ( ) 3/. Vi är bara intresserade av det kurvstcke som innehåller punkterna (, ) och (, ), och det är () = +( ) 3/. Båglängden av kurvan = () från = till = ges av formeln + ( ) d. ( ) 7.3.8 Bestäm längden av kurvan = 3 3 + från = till =. 4 Längden av kurvan ges av formeln + ( ) d. För att kunna räkna ut integralen behöver vi :s derivata, = 4 ( ) = ( 4 ) = 4 + 6 4.
Kurvans längd blir alltså + 4 + 6 4 d = 4 + + 6 4 d. Nu råkar det vara så att uttrcket under rottecknet är en kvadrat, Båglängden blir alltså 4 + + 6 4 = ( + 4 ). + d = 4 3 3 ] 4 = 59 4. Båglängdsintegralen blir e + e d = e e ] a = ( e a e a ( ) ) = (ea e a ). Anm. Om vi räknar med de hperboliska funktionerna så blir räkningarna lite kompaktare + ( ) d = { = sinh } = + sinh d = { den hperboliska ettan: cosh sinh = } ] a = cosh d = sinh = sinh a = (ea e a ). 7.3. Bestäm längden av kurvan från = till = a. = e + e Längden av kurvan ges av formeln där Alltså är = e e ( = cosh ) + ( ) d, ( ) = e + e. 4 + 4( e + e ) d = e + + e d. Här har vi, liksom i förra uppgiften, turen att observera att uttrcket under rottecknet är en kvadrat, 7.3. Bestäm arean av den ta som uppstår då kurvan = mellan = och =, roteras kring -aeln. Arean ges av formeln där () =. Alltså är A = π = 4 π 7 A = π + ( ) d, + 4 d = { t = + 4 ; dt = 8 d } = 6 π(7 7 ). t dt = 6 π t ] 7 t Anm. Etraproblem: Vad blir arean om kurvstcket istället roteras kring -aeln? e + + e = (e + e ).