Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Relevanta dokument
Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.

Fö relä sning 2, Kö system 2015

2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem

Tiden i ett tillstånd

TILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Markovprocesser SF1904

Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få


Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

a) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Performance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904

Performance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

Föreläsningsanteckningar köteori

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904

Markovprocesser SF1904

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

Optimering av ett kösystem på IKEA Kungens Kurva

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Modellering och kundprocessanalys av kösystem på Vapiano Sturegatan

Optimering av ett patientflöde inom svensk veterinärvård

Extrauppgifter - Statistik

INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

P =

e x/1000 för x 0 0 annars

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Resursplanering - att använda ledtider som parameter vid bemanning av företag i drift

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Problemsamling i Sannolikhetsteori

Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Tentamen i matematisk statistik, TAMS15/TEN (4h)

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Simulering av ett Multi-skill callcenter Med varierande genomsnittlig betjäningstid beroende på agenters kunskapsnivå

Extrauppgifter i matematisk statistik

Lycka till!

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Föreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori. Jan Grandell

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

Utdrag ur TAMS15: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Händelsestyrd simulering. Inledning. Exempel

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

Blandade problem från elektro- och datateknik

Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan) Alla frågor som nns i uppgiftstexten är besvarade

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Network Management Säkerhet Performance QoS Köteori. Jens A Andersson

Kontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)

Tentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Tentamen i statistik och sannolikhetslära för BI2 den 27 maj 2010

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

TNSL011 Kvantitativ Logistik

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Transkript:

Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna λ eff. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare. Problem. Antag att vi kan modellera ett system som ett M/M/2-system med en köplats. Det kommer kunder med intensiteten 3 s. Det tar i medeltal sekund att betjäna en kund. (a) Rita Markovkedjan för systemet. (b) Bestäm P (spärr). (c) Bestäm medelantal upptagna betjänare. (d) Bestäm utnyttjningen av varje betjänare. 2. Ett kösystem betjänar kunder. Det finns två betjänare och en köplats. En kund som inte betjänas eller väntar i kön skickar jobb till systemet med intensiteten s. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde s. (a) Bestäm tillståndsfördelningen (det vill säga alla p k ). (b) Bestäm medelantal kunder i kön. (c) Bestäm P (spärr). (d) Hur mänga kunder betjänas i medel per sekund? 3. I ett upptagetsystem finns det 3 betjänare. Ett jobb blir färdigbetjänat efter en exponentialfördelad tid med medelvärde sekund. Till systemet finns källor anslutna. Varje källa skickar jobb i enlighet med en Poissonprocess med intensiteten 2 s om det inte finns något jobb från källan i upptagetsystemet. Om det finns ett jobb från källan i upptagetsystemet skickar källan inte några jobb. (a) Vad blir P (spärr) för detta system? (b) Vad blir medelantal upptagna betjänare i detta system? (c) Hur många jobb avvisas i medeltal under en timme?. Lös följande uppgifter för ett M/M/-system med ankomstintensitet λ s och betjäningsintensitet µ s. (a) Antag att systemet är tomt vid tidpunkten t = 20. Beräkna sannolikheten att det vid tidpunkten t = 22 har anlänt minst en kund till systemet. (b) Antag att en kund lämnar ett tomt system efter sig. Hur lång tid i medel befinner sig systemet i detta tomma tillstånd?

5. Vi har ett upptagetsystem med 00 betjänare där Erlangfördelningen antas gälla. Mätningar visar att alla betjänarna var upptagna i sammanlagt 72.3 sekunder under en timma. Under denna timma var exakt 99 betjänare upptagna under sammanlagt 82.2 sekunder. Uppskatta ρ = λ/µ under denna timma. 6. För ett M/M/-system, beräkna medeltiden i systemet för kunder som inte kommer till ett tomt system. Lösningar. (a) Markovkedjan blir (b) Vi använder snittmetoden för att beräkna p k. Ekvationerna blir 3p 0 = p p = 3p 0 3p = 2p 2 p 2 = 3p 2 = 9p 0 2 3p 2 = 2p 3 p 3 = 3p 2 2 = 27p 0 Vi bestämmer p 0 genom att summan av alla sannolikheter ska vara = ( p 0 + 3 + 9 2 + 27 ) = p 0 = 6 Eftersom ankomstintensiteten inte beror på i vilket tillstånd systemet befinner sig så blir P (spärr) p 3 = 27 6 (c) Medelantal upptagna betjänare blir λ eff E(X) = λ( p 3 )E(X) = 3 (d) Utnyttjningen av varje betjänare blir medelantal upptagna betjänare antal betjänare 2. (a) Tillståndsdiagrammet ser ut så här ( 27 ) = 02 6 6.7 = 5 6 0.85 2

Tillståndsekvationerna blir p 0 = p p = p 0 3p = 2p 2 p 2 = 6p 0 2p 2 = 2p 3 p 3 = 6p 0 Att summan av sannolikheterna ska vara = ger Således är p 0 = + + 6 + 6 = p 0 = p = p 2 = 6 p 3 = 6 (b) Vi använder definitionen av medelvärde. Den ger E(N) = 3 kp k = + 2 6 + 3 6 = 3 = 2 k=0 Medelantal kunder som finns i betjänarna är E(N s ) = 2 k= kp ( i betjänarna) = p + 2 (p 2 + p 3 ) = 28 Slutligen får vi medelantal kunder som väntar i kön E(N q ) = E(N) E(N s ) = 2 28 = 6 Man kan också direkt räkna ut medelantal kunder i kön på följande sätt: E(N q ) = 0 P (0 kunder i kön) + P ( kund i kön) = p 3 = 6 (c) P (spärr) blir λ 3 p 3 p 3 3 k=0 λ = = 3 kp k p 0 + 3 p + 2 p 2 + p 3 3

(d) Antalet kunder som betjänas per sekund är detsamma som λ eff. Vi får 2 λ eff = λ k p k = p 0 + 3p + 2p 2 = 28 k=0 3. (a) Markovkedjan ser ut så här Vi ställer upp tillståndsekvationerna. Det ger p = 8p 0 2p 2 = 6p p 2 = 3p = 2p 0 3p 3 = p 2 p 3 = p 2 3 = 32p 0 Vi bestämmer på vanligt sätt p 0 : P (spärr) blir p 0 = + 8 + 2 + 32 = 65 λ 3 p 3 2p 3 3 k=0 λ = = 8 kp k 8p 0 + 6p + p 2 + 2p 3 27 0.30 (b) Medelantal upptagna betjänare är p + 2 p 2 + 3 p 3 = 52 65 2.3 (c) Varje sekund avvisas i medel λ 3 p 3 kunder, så medelantalet avvisade kunder under en timme blir 3600 λ 3 p 3 350. (a) Sannolikheten att det har anlänt minst en kund är lika med sannolikheten att tiden till nästa ankomst är mindre än två sekunder. Eftersom ankomstprocessen är en Poissonprocess så är tiden till nästa ankomst alltid exponentialfördelad med intensiteten λ. Sannolikheten att tiden till nästa ankomst (kalla den X) är mindre än två sekunder är P (X 2) = F X (2) = e λ 2 (b) Eftersom ankomstprocessen är en Poissonprocess så är tiden till nästa ankomst alltid exponentialfördelad med medelvärde λ

5. Antag att p k är sannolikheten att det finns k kunder i systemet. Då gäller p k = ρk /k! 00 i=0 ρi /i Men p k är också den andel av tiden som det finns k kunder i systemet. Det innebär att p 00 = ρ00 /00! 00 i=0 ρi /i = 72.3 3600 Vi dividerar Lite hyfsning ger nu p 99 = ρ99 /99! 00 i=0 ρi /i = 82.2 3600 p 00 = ρ00 /00! p 99 ρ 99 = 72.3 /99! 82.2 ρ 00 = 72.3 82.2 ρ 88 6. Vi använder beting för att lösa denna uppgift. Låt T vara tiden som en kund tillbringar i systemet. T är då en stokastisk variabel. Eftersom detta är ett M/M/-system så vet vi att E(T ) = µ λ Låt oss nu betinga på att systemet är tomt respektive icke tomt. Det vi vill beräkna är E(T ej tomt). En kund som kommer till ett tomt system börjar omedelbart att betjänas och då blir medeltiden i systemet detsamma som medelbetjäningstiden dvs Dessutom vet vi att och E(T tomt) = µ P (tomt) = p 0 = ρ P (ej tomt) = p 0 = ρ Formeln för att ta bort beting ser ut så här i detta fall E(T ) = E(T tomt)p (tomt) + E(T ej tomt)p (ej tomt) Nu sätter vi in allt vi redan känner till. Då får vi Lite algebra ger sedan att µ λ = ( ρ) + E(T ej tomt)ρ µ E(T ej tomt) = 2ρ ρ2 λ( ρ) 5