MATEMATISKT BEVIS AV ANTAGANDEN I SPIRALFLÄKT RAPPORT AV Bengt-Olof Drugge

Relevanta dokument
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

FÖRSLAG PÅ ATT ÖKA PRODUKTIONEN OCH SÄNKA ENERGI FÖRBRUKNINGEN I BANDUGNSVERKET

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Kvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Mekanik SG1108 Mekanikprojekt Dubbelpendel

Grundläggande aerodynamik, del 3

Laboration 2 Mekanik baskurs

PRÖVNINGSANVISNINGAR

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Svar och anvisningar

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse

Vågrörelselära och optik

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Ordinära differentialekvationer,

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Kulstötning. Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu

Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

6 Derivata och grafer

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU)

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Matematik D (MA1204)

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

Mekanik KF, Moment 2. o Ingenting händer: T! = T! o Den blir kortare: T! =!! o Den blir längre: T! = 2T!

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

KOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,

Information Coding / Computer Graphics, ISY, LiTH. Integrationsmetoder

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

TENTAMEN HF1006 och HF1008

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Inlämningsuppgift 4 NUM131

NpMa4 Muntligt delprov Del A vt 2013

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Ordinära differentialekvationer,

2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x

ANDREAS REJBRAND Elektromagnetism Coulombs lag och Maxwells första ekvation

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

Betygskriterier Matematik E MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

3 differensekvationer med konstanta koefficienter.

Aerodynamik - Prestanda

Kapitel extra Tröghetsmoment

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

KINETISK TEORI och Boltzmannekvationen

Fotoelektriska effekten

Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan

WALLENBERGS FYSIKPRIS

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Två gränsfall en fallstudie

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING

NpMaD ht Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

1 Cirkulation och vorticitet

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kinetik. Föreläsning 1

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

6.5 Effektbehov för oaccelererad planflykt

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

Numeriska metoder för ODE: Teori

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

SF1625 Envariabelanalys

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

Trigonometriska funktioner och deras derivata

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Vecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

Transkript:

MATEMATISKT BEVIS AV ANTAGANDEN I SPIRALFLÄKT RAPPORT AV Bengt-Olof Drugge 1998-02-24 1

INLEDNING I rapporten Spiralfläkten (1993-03-28) så hänvisar jag till ett par antaganden för att konstruera Spiralfläktar. Dessa är: (a) Genomströmningshastigheten i en centrifugalfläkt med konstant genomloppsarea kan inte överskrida maximal periferi hastighet hos fläkthjulet. (b) Maximal genomströmningshastighet uppnås i de fall där tangentalhastigheten vid början av vingen är minst lika stor som den radiella hastigheten, där vingen formas enl ekv (4) och hastighetsskillnaden mellan tangentalhastigheten är minst lika stor som den radiella hastigheten Vingarna i fläkten skall överlappa varandra. Jag avser med detta bevis, visa att åtminstone antagande (a) gäller. 2

TEORI När gas strömmar genom en centrifugalfläkt så antas idag genomströmningen av gasmängden kunna variera oändligt vid raka vingar på fläkthjulet, allt i enlighet med Euler-Head teorin. Jag menar att detta är omöjligt och avser presentera en modell som påvisar detta. För enkelhetens skull behandlar jag en centrifugalfläkt med raka vingar. När luft strömmar genom en centrifugalfläkt så är det enligt min mening cenrifugalkrafterna i fläkten som ger upphov till den radiella strömningshastigheten. Det vill säga när jag startar upp centrifugalfläkten med en konstant rotationshastighet så sker en acceleration av luften efter den raka vingen, tills luften når ett jämviktsläge och genomströmningen förblir konstant. Detta förlopp kan beskrivas enligt differentialekvationen: (1) r =k^2*r r är centrifugalaccelerationen. k är rotationshastigheten. r är radien på fläkten. Den allmänna lösningen på denna differentialekvation är: (2) r=b*e^(-k*t)+a*e^(k*t) Vi har alltså med ett begynnelsevärdes problem att göra. Vi vet i det här fallet att hastigheten på luften, vid början av fläkt vingen är noll och centrifugalaccelerationen vid slutet av fläktvingen är: (3) a=k^2*r1 a = accelerationen vid slutet på fläkthjulet. k = rotationshastigheten r1 = ytterradien på fläkthjulet. Vi behöver alltså veta första och andra derivatorna av ekv (2) för att bestämma variablerna A, B och t. Dom är: Första derivatan. (4) r =-B*e^(-k*t)*k+A*e^(k*t)*k Andra derivatan (5) r =B*e(-k*t)*k^2+A*e^(k*t)*k^2 3

Vi vet nu att ekvation (3) är lika med ekvation (5). Man kan även visa att konstanterna A och B i detta fall är r/2. Där r varierar från 0 till r1. Löses denna ekvation så kan accelerations tiden bestämmas. Och den blir: (6) t=log[(r1+sqrt[-r^2+r1^2])/r]/k Insätts ekv(6) i ekv(4) och A=B=r/2 så varierar hastigheten enligt: (7) r =-k*r^2/(2*(r1-sqrt[-r^2+r1^2]))+1/2*k*(r1+sqrt[-r^2+r1^2]) r = radien där luften startar sin acceleration Om vi nu låter r gå mot 0 så blir ekv(7): (8) r =k*r1 Här ser vi alltså att hastigheten på luften inte kan överskrida maximal pereferihastighet hos fläkthjulet (k*r1) enligt min ovan nämnda modell. Gäller dessa antaganden så inses att oavsett hur jag formar vingarna så kan jag inte överskrida k*r1, detta gäller då alltså även för framåt böjda vingar. 4

BEVIS AV ANTAGANDE (a) ENLIGT ENERGI METODEN (20050114) Vi vet att centripetalkraften varierar enligt: (1) F=m*^2*r Integrerar vi ekv(1) med avseende på r så får vi centrifugalenergin: (2) W=m*^2*r^2/2 Den kinetiska energin är : (3) W=m*v^2/2 Sätts ekv(3) = ekv(2) och v löses ut så får vi: (4) v= *r Här ser vi att den radiella hastigheten inte kan överskrida max periferihastighet hos fläkthjulet enligt energi modellen. Inom fläktteorin så hävdar man att man kan få en större genomströmnings hastighet Hos fläkthjulet vid framåt böjda vingar än ekv(4). Men jag visar här att det inte är möjligt enligt energi lagarna. Därför kommer fenomen som stöt att bli mycket stor vid framåtböjda vingar. Och jag visar därmed att flödet har en max punkt där det inte kan nå längre. I fläktteori så antas flödet kunna variera oändligt vid raka och framåtböjda vingar. Gör man så att man vinklar bladen tilläckligt mycket bakåt så når man börvärdet och maximalt teoretiskt flöde nås. Och max verkningsgrad ligger då på mitten av kurvan. Bengt-Olof Drugge 5