2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

Relevanta dokument
2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

2. Find to the differential equation 2y + (y ) 2 = 0 the solution whose graph at the point with the coordinates (1, 0) has the tangent line x + y = 1.

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

2. For which values of the parameters α and β has the linear system. dy/dt x + y

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

2. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = 3 x 2 and y = x + x.

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

Tentamen i matematik. Högskolan i Skövde

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

12.6 Heat equation, Wave equation

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

1. Beräkna determinanten

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0

Lösningsförslag, version 1.0, 13 september 2016

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum

Module 6: Integrals and applications

7 n + 8 n 3 2n. converges or not. Irrespective whether the answer is yes or no, give an explanation

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

Module 1: Functions, Limits, Continuity

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 31 May 2016, 8:00-12:00. English Version

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

Isometries of the plane

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version

Module 4 Applications of differentiation

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00. English Version

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Lösningsförslag: Preliminär version 8 juni 2016, reservation för fel! Högskolan i Skövde. Tentamen i matematik

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

Preschool Kindergarten

Adding active and blended learning to an introductory mechanics course

Kursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

F ξ (x) = f(y, x)dydx = 1. We say that a random variable ξ has a distribution F (x), if. F (x) =

DVG C01 TENTAMEN I PROGRAMSPRÅK PROGRAMMING LANGUAGES EXAMINATION :15-13: 15

English Version. Number of sold cakes Number of days

Transkript:

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Eaminer: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA36 Differential Equations, foundation course Date: 06-08-6 Write time: 5 hours Aid: Writing materials, ruler This eamination consists of eight randomly ordered problems each of which is worth at maimum 5 points. The pass-marks 3, 4 and 5 require a minimum of 8, 6 and 34 points respectively. The minimum points for the ECTS-marks E, D, C, B and A are 8, 0, 6, 33 and 38 respectively. Solutions are supposed to include rigorous justifications and clear answers. All sheets of solutions must be sorted in the order the problems are given in.. Find, in terms of a power series in, the general solution of the differential equation y + 6 y = 0 in a neighbourhood of 0. Specify eplicitly the terms up to order 9 of the series solution.. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, ) and which otherwise is given by the linear system ( ) ( d/dt = y ). dy/dt In sketching, the following approimations might be of value to know: e / 0.6, e 0.37, e 3/ 0., e 0.4, e 5/ 0.08, e 3 0.050 3. Solve the differential equation (y 3)y = (y ) with y() = and y () = 3, and specify the interval of eistence of the solution. 4. The differential equation (y ) d + ( y) dy = 0 has an integrating factor which only depends on. Find an equation on the form y = f() for the solution curve that includes the point with the coordinates (e, 0). 5. Find, for > 0, the general solution of the differential equation y y 0y = 3. 6. Classify, for all β 3, 0, the stationary point (origin) of the system ( ) ( ) d/dt 3 + β = y. dy/dt + βy 7. Temperature changes in a thermometer are assumed to be described by Newton s cooling/warming law. A feverish person has with the help of such a thermometer measured its own body temperature to be 39 o C. What does the thermometer read two minutes after the fever measurement if it shows 33 o C one minute after the fever measurement and if the room temperature is o C? It is considered reasonable to suppose that the thermometer s small etent and the corresponding negligible heat content not substantially disturb the temperature of the surrounding medium (the person s body and the air respectively). 8. Solve the initial-value problem y(0) =, y (0) = 3, y (t) 8y (t) + 6y(t) = δ(t 7), where δ is the Dirac delta function (distribution). Om du föredrar uppgifterna formulerade på svenska, var god vänd på bladet.

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA36 Differentialekvationer, grundkurs Datum: 06-08-6 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Skrivdon, linjal Denna tentamen består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maimalt 5 poäng. För godkänd-betygen 3, 4 och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 8, 6 respektive 34 poäng. För ECTS-betygen E, D, C, B och A krävs 8, 0, 6, 33 respektive 38. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Bestäm, uttryckt i en potensserie i, den allmänna lösningen till differentialekvationen y + 6 y = 0 i en omgivning till 0. Specificera eplicit i serielösningen termerna upp till och med ordning 9.. Bestäm en ekvation för och skissa den kurva som börjar i punkten P : (3, ) och i övrigt ges av det linjära systemet ( ) ( d/dt = y ). dy/dt I skissandet kan följande approimationer tänkas vara av värde att känna till: e / 0.6, e 0.37, e 3/ 0., e 0.4, e 5/ 0.08, e 3 0.050 3. Lös differentialekvationen (y 3)y = (y ) med y() = och y () = 3, och specificera eistensintervallet för lösningen. 4. Differentialekvationen (y ) d+( y) dy = 0 har en integrerande faktor som bara beror av. Bestäm en ekvation på formen y = f() för den lösningskurva som inkluderar punkten med koordinaterna (e, 0). 5. Bestäm, för > 0, den allmänna lösningen till differentialekvationen y y 0y = 3. 6. Klassificera, för alla β 3, 0, den stationära punkten (origo) till systemet ( ) ( ) d/dt 3 + β = y. dy/dt + βy 7. Temperaturförändringar hos en termometer antas kunna beskrivas med Newtons avkylnings- och uppvärmningslag. En febersjuk person har med hjälp av en sådan termometer mätt sin egen kroppstemperatur till att vara 39 o C. Vad visar termometern två minuter efter febermätningen om den visar 33 o C en minut efter febermätningen och om rumstemperaturen är o C? Det kan anses rimligt att antaga att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i det omgivande mediet (personens kropp respektive luften). 8. Lös begynnelsevärdesproblemet y(0) =, y (0) = 3, y (t) 8y (t) + 6y(t) = δ(t 7), där δ är är Diracs deltafunktion (distribution). If you prefer the problems formulated in English, please turn the page.

MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Eaminer: Lars-Göran Larsson Eamination TEN 06-08-6 EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA36 Differential Equations, foundation course EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Academic Year: 05/6 Maimum points for subparts of the problems in the final eamination.. 3. y = A( + B( 3 0 4 + 5 3 56 + 40 8 + ) 9 + ) where A and B are constants 3 t X( t) = e t 9 7 y = 3 I E = ( 3, ) t p: Correctly worked out the derivatives of the power series assumption for the solution, and correctly in both terms of the LHS of the DE shifted the indices of summation so that the series are integrated into one p: Correctly identified the iteration relation for the coefficients of the power series assumption together with the special conditions for the coefficients number and 3 p: Correctly found the values of coefficients number 4 7 in terms of the coefficients number 0 and p: Correctly found the values of coefficients number 8 9 in terms of the coefficients number 0 and p: Correctly stated the general solution of the DE including eplicit terms up to at least order 9 -------------------------------- One scenario ------------------------------------------ p: Correctly found the eigenvalue and a corresponding eigenvector p: Correctly found an additional vector p: Correctly compiled the general solution p: Correctly sketched the solution curve ----------------------------- Another scenario ---------------------------------------- p: Correctly Laplace transformed the system of DE:s p: Correctly prepared for an inverse transformation by solving for X( s) p: Correctly inverse transformed X( s) p: Correctly sketched the solution curve p: Correctly worked out the substitution y ( ) = u( y( )) and correctly found that the DE can be splitted into two separate DE:s p: Correctly, from the initial values, argued that the case y ( ) = 0 has to be disregarded p: Correctly found the solution of the IVP p: Correctly specified the interval of eistence 4. y = + ( ln( )) p: Correctly found an integrating factor for the DE p: Correctly identified the equations for a potential function φ by which the DE can be reformulated as d φ = 0 p: Correctly found a potential function φ p: Correctly integrated the eact IVP p: Correctly, on the form y = f (), found the solution of the IVP ()

5. 5 y = C + C ---------------- One scenario for the first three points -------------------------- p: Correctly reformulated the DE into a DE for ~ ~ y, where y ( u) = y( ) and e u = p: Correctly found the complementary solution of the DE for ~ y p: Correctly found a particular solution of the DE for ~ y p: Correctly compiled the general solution of the DE for ~ y p: Correctly resubstituted instead of u in the equation for the solution of the DE -------------- Another scenario for the first three points ----------------------- β p: Correctly, by testing solutions of the type y = found two solutions of the corresponding homogeneous DE y y 0y = 0 p: Correctly compiled the two solutions into the general solution of y y 0y = 0 p: Correctly by variation of parameter found the general solution of the DE y y 0y = 3 6. β < 3: stable spiral point 3 < β < 0 : saddle point 0 < β < : unstable node β = : degenererate unstable node β > : unstable spiral point p: Correctly classified the SP for β < 3 p: Correctly classified the SP for 3 < β < 0 p: Correctly classified the SP for 0 < β < p: Correctly classified the SP for β = p: Correctly classified the SP for β > 7. 9 o C p: Correctly formulated a DE for the temperture T (counted in o C) of the thermometer at time t (counted in minutes) p: Correctly solved the DE p: Correctly adapted the solution of the DE to the given conditions p: Correctly found the temperature at time minutes 4t 4( t 7) 8. y( t) = ( 7t) e + ( t 7) e U ( t 7) p: Correctly Laplace transformed the differential equation p: Correctly prepared for an inverse transformation p: Correctly inverse transformed the not time-delayed part p: Correctly inverse transformed the time-delayed part ()