ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal mätbara delmängder i och i varje i väljer en godtcklig punkt ( i, i ). ubbelintegral definieras med hjälp av gränsvärdet (, ) (om gränsvärdet eisterar) lim (, )( ) ( ) efinition med ε och : Integral (, ) eisterar och har värdet I om för varje reellt tal ε > eisterar δ > så att ma ( ) < (, )( ) < ε. Om funktionen (, ) (alltså endast om (, ) är en icke-negativ funktion) då är (, ) () där {(,, ): (, ), (, )} d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden och tan (, ) ( se bilden ovan). Man använder dubbelintegralens definition för att härleda formler inom matematik, fsik och tekniska tillämpningar, men själva beräkningen utför man oftast genom upprepad (itererad, successiv) integration. Beräkning av dubbelintegraler genom upprepad (itererad) integration ------------------------------------------------------------------------------ av 8
ubbelintegraler. -koordinater Om integrationsområde är definierad med, h () (), d. v. s mellan två tal, mellan två funktioner (av ), beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration Anmärkning: () (, ) (, ) () () () (, ) är en kortare beteckning för () () (, ), alltså vi integrerar på först, substituerar -gränser, och därefter integrerar vi på. ------------------------------------------------------------------------------- Om integrationsområde är definierad med, h () (), d. v. s ligger mellan två konstanta tal, mellan två funktioner (av, beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration () () (, ) (, ), alltså, i detta fall, först på och därefter på. Eempel. Beräkna dubbelintegral ( + ) dd då definieras genom, Lösning: ( + ) dd d ( + ) d av 8
ubbelintegraler. -koordinater [ Först integrerar vi med avseende på och betraktar tillfälligt som en konstant.] + d [Vi substituerar - gränserna och ] 8 + d [Till slut integrerar vi med avseende på.] 8 + 9 + 8 9 7 9 Eempel. Beräkna dubbelintegral ( + 4 dd då definieras genom, +. Lösning: + ( 4 dd d + ( + 4 d [ Först integrerar vi med avseende på och tillfälligt betraktar som en konstant.] + [ ] d + Vi substituerar gränserna [ + ) + ( ) ] ( + d, förenklar [ + 5 ] + d, och till slut integrerar med avseende på 5 5 + + + +. Uppgift. Beräkna dubbelintegral ) dd om av 8
ubbelintegraler. -koordinater a) + och definieras genom, b) + + och definieras genom, c) + och definieras genom, d) e + och definieras genom, e) e + och är triangeln med hörnen i punkterna (,), (,) och (,) f) sin( + och definieras genom π π, Tips: Eftersom variabeln ligger mellan två konstanter integrerar vi först på och därefter på, d.v.s. (). () (, ) (, ) Svar: a) 5 b) 7/ c) 8/ d) e + 4 e e e) f) Uppgift. Beräkna dubbelintegral ) dd om a) + och definieras genom, b) + och definieras genom, c) e + och definieras genom +, Tips: Eftersom variabeln ligger mellan två konstanter integrerar vi först på och därefter på, alltså () () (, ) (, ), Svar: 4 e e a) 7/6 b) 6/ c) e + Uppgift. Beräkna dubbelintegral ) dd där 4 av 8
ubbelintegraler. -koordinater (, ) 5 + och är triangel ABC med hörn i A(,), B (,) och C(,) genom att integrera () () a) först på sedan på dvs (, ) b) först på sedan på dvs (, ) () () Vilket sätt a eller b ger enklare beräkningar för integralen i uppgiften? Lösning: C(,) a) - Vi delar i två områden och och beräknar därefter A(.) + dd dd dd. (,) B(,) I dd d (5 + d [5 + ] d ) d 6 I dd ) d 9 (5 + d ( + 8 ) d 7 ) dd I + I 6 : b) Området kan beskrivas med C(,) - A(.) B(,) en här gången kan vi beräkna integralen direkt utan att dela integrations område i två delar. 6 dd d ( 5 + d ( 8 ) d 5 av 8
ubbelintegraler. -koordinater I den här uppgiften är det enklare att beräkna i ordningen dvs först med avseende på [ som i b )]. Uppgift 4. Beräkna + dd där definieras av () () (, ) Tips. Rita integrationsområdet och integrera i den ordning som enligt din uppfattning ger enklare räkningar. Lösning: ligger i första kvadranten eftersom både och är Kurvorna h har i första kvadranten en skärningspunkt (,). dd ( + ) + d d + ( ) d 4 + d Några till snes enkla funktioner har inte någon elementär primitiv funktion, t e,, sin( ), cos( ), sin, T e kan inte uttrckas som ändlig kombination av elementära funktioner (men, med hjälp av Talorutveckling, kan vi ange integral som en oändlig summa) äremot är enkelt att beräkna eftersom är konstant med avseende på och därför + Vi tar hänsn till detta när vi väljer integrationsordning i nedanstående uppgifter 6 av 8
ubbelintegraler. -koordinater Uppgift 5. Beräkna a) sin dd b) e dd där definieras av, Lösning a) sin dd [ ] d sin d sin d sin d Substitution: cos cos 4 sin sin cos + cos + Svar a) cos 4 Svar b) Uppgift 6. Beräkna a) cos dd b sin dd där definieras av,. Lösning a) cos dd [ ] d cos d cos d cos d [ Integralen cos d beräknas med hjälp av substitutionen:.] 7 av 8
ubbelintegraler. -koordinater sin sin 8 Svar a) sin8 Svar b) cos8 Uppgift 7. Beräkna följande integraler genom att ändra integrationsordningen. / a) / sin Lösning a) b) e Integrationsområdet ( kolla integralens gränser) definieras av /, / Vi ritar området och ändrar integrationsordning: / / sin / sin / sin / sin cos / cos (/) Svar a) Svar b) e 6 6 8 av 8