KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------ Föreläsning 13 Påtvingade svängningar: respons b sin!t k l m 0 l statiskt jämviktsläge Tänk att väggen vibrerar och påverkar fjäderfästet. Nu kommer det att finnas två tävlande frekvenser; (" n ) pga fjädern, och (" ) pga väggens vibration. Det resulterar i en superpositionen av två svängningar. x
Newtons :a lag: m x = "k x " l " bsin#t x + " n x = " n ( l + bsin"t), ( ) " med konstanten " n = k m. Svängningsekvationen för det tvungna odämpade fallet. Sammansatt rörelse Vi gissar att rörelsen består av en härmande del (som härmar takten på tvånget) plus en rest, dvs x = X sin"t + x k, där bara 'takten' " är känd medan konstanten X söks. För att komma vidare måste vi försöka få rörelsen att uppfylla svängningsekvationen. Två deriveringar ger x = "# X sin#t + x k. Insättning av våra uttryck för x och x i svängningsekvationen resulterar i ("# X sin#t + x k ) +# n X sin#t + x k ( ) = # n l + bsin#t " x k +" n x k + (" n #" )X sin"t = " n ( l + bsin"t). ( )
Nu väljer vi konstanten X så att två termer med takten " tar ut varandra. Då fås två resultat: X = " nb " n #", och x k +" n x k = " n l. Reströrelsen är uppenbarligen samma som fjäderns fria svängning kring det statiska jämviktsläget x j = l. Sammantaget består rörelsen av två delar: x = " nb " n #" sin"t + x + Acos " j ( t + $ n ). Anmärkning: Matematiskt kallar man lösningens delar partikulärlösningen och homogena lösningen. Fysikaliskt kallas de respons och naturlig (fri) rörelse. Jämviktsläget kan alternativt ses som en del av responsen. 3
Responsamplitud - resonans 4 Anmärkning: I grafen för resonansamplituden har vi infört en beteckning M för något som kallas förstoringsfaktorn (jfr magnification). Förstoringsfaktorn är 1 vid konstant belastning, dvs " = 0. Vid oändligt snabb dynamisk belastning blir förstoringsfaktorn noll. Responsfas - resonans
5 Problem: En massa m stödjs av fyra fjädrar, vardera med styvheten k och vilolängd l, mot ett vibrerande fundament. Om fundamentet genomgår en harmonisk svängning beskriven av x B = b cos"t med " = 4 k m, bestäm amplituden hos massans respons. Dämpningen är försumbar i beräkningarna. Lösning: Massans rörelse bestäms av Newtons :a lag: Kraftanalys ger m x = "4k x " x B " l ( ) " mg som omformas till en svängningsekvation: x + 4 k { m x = 4 k { m x B + 4 k { m l # g " n " n " n
Den 'härmande' delen av rörelsen, responsen x r, kan ses som en funktion som liknar högerledet i sv. ekvationen. Den består då av två 'komponenter'; en konstant förskjutning (respons på grund av tyngdkraften) plus en svängande del (respons på grund av rörligt fäste). Sätt nu in x r = x 0 + X cos"t x r = #" X cos"t i svängningsekvationen. Detta ger: "# X cos#t + # n x 0 + X cos#t ( ) = # n bcos#t + # n l " g. Identifiering av de två obekanta konstanterna x 0 och X ger sedan: x 0 = l " g /# n (statiska jämviktsläget) b X = (ger amplituden) 1" # # n ( ) Eftersom vi vet om den drivande frekvensen att " = " n får vi amplituden X = b 1" 4 = b 3. Anmärkning: Vi har uppenbarligen ingen resonans i det här fallet och heller ingen förstoring (förstärkning) av ursprungsrörelsen. 6
Föreläsning 14 Repetition och tentaförberedelse 7 Problem 1: En partikelpendel som rör sig i ett vertikalplan beskrivs av en rörelseekvation (pendelekvationen), dvs ett samband mellan rörelsekoordinaten och dess andraderivata. Bestäm rörelseekvationen utgående från energiprincipen. Lösning: Enligt energiprincipen fås: 1 mv + mgl( 1 " cos# ) = konst, där för cirkelrörelse v = L". Tidsderivering av energiekvationen ger då: 1 m ( L " " ) + mgl" sin" = 0, som förenklas till " + g sin" = 0. L Detta är rörelseekvationen.
8 Problem : En satellit med massan m kring jorden påverkas av gravitationskraften F = mg R i sin plana bana. Kraften är r riktad mot jorden där tyngdaccelerationen är g och jordens radie är R. På avståndet r = 6R från jordens mitt är satellitens hastighet riktad vinkeln " från jordriktningen. Bestäm banans krökningsradie i detta ögonblick. Lösning: Enligt definition av banans normalriktning är accelerationskomponenten i den riktningen given av a n = v ", där " är krökningsradien. Dvs krökningsradien kan beräknas ur sambandet: " = v a n. Normalriktningen är ortogonal mot hastighetens riktning så att gravitationskraften bildar vinkeln " / # $ mot denna. Detsamma gäller hela accelerationsvektorn som enligt Newtons :a lag i radiell riktning har storleken a = F. Projektion ger m a n = acos(" / # $) = asin$. Insatta värden ger a n = g 36 sin". Efter insättning i formeln för krökningsradien fås: " = 36v gsin#, som är svaret.
9 Problem 3: En kommunikationssatellit med massan m befinner sig i en känd elliptisk bana kring jorden. Bestäm farten v 0 för en sådan satellit vid passagen av lillaxeln, se figuren, och jämför med farten i en cirkulär satellitbana med radien a. I svaret får användas kända storheter samt jordens radie R, samt tyngdaccelerationen g vid jordytan. Lösning: Om den elliptiska banan är känd så vet man storaxelns längd, a i detta fall. Satellitens konstanta mekaniska energi (enligt energiprincipen) är då också känd, dvs E = " mgr. Ellipsgeometrin säger att avstånd från fokus till a lillaxelpassage är a. Den mekaniska energin består av två delar (rörelseenergi +potentiell energi), som vid passagen av lillaxeln blir: E = mv 0 " mg R a. Rörelseenergin, som innehåller den sökta hastigheten, blir således: mv 0 R = mg a. Denna ekvationen ger slutligen: v 0 = R g. I en cirkelbana med radien a a från jordens mitt är totala mekaniska energin den lika som vid passagen av lillaxeln, och även potentiella energin. Således även rörelseenergin och därmed farten är lika som vid passagen av lillaxeln.
10 Problem 4. En vagn med massa m har farten v 0 då den kolliderar rakt och fullständigt oelastiskt med en stillastående vagn med massa M. Den från början stillastående vagnen är fäst i en fjäder med fjäderkonstanten k. a) Bestäm vinkelhastigheten för den resulterande svängningsrörelsen efter stöt. b) Bestäm läget x(t) som funktion av tiden för svängningsrörelsen. Lösning: Första skedet: Bara stötkrafter mellan vagnarna och stötlagen gäller: e x :!!!!!mv 0 = ( M + m)v 1. (1) Dvs., vagnarnas gemensamma hastighet direkt eter stöt blir v 1 = mv 0. Andra skedet: Vagnarna påverkas av M + m fjäderkraften i rörelseriktningen, dvs. F = "kx. Newtons :a lag: ( M + m) x = "kx, ger Svängningsekvationen: x + k M + m x = 0. Inför naturliga vinkelfrekvensen för svängningen som enligt svängningsteorin blir: " n = k M + m. Allmän rörelse (enl. svängningsteorin) är: x( t) = Bcos" n t + Csin" n t, där konstanterna B och C bestäms ur begynnelsevillkor för rörelsen. x(0) = 0 ger B = 0, samt x ( 0) = v 1 ger " n C = v 1. Alltså: x t ( ) = v 1 " n sin" n t.