Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln 4 hr koordinter (os 4, sin 4 ) ) (, sin ( os 4, sin ) 4 4 Vi kn nvänd spegling i y-eln för tt uttryk sin först kvdrnten Om α är spegelvinkeln då är med spegelvinkeln i Genom tt spegl punkten i y-eln får vi en punkt i först kvdrnten med - koordinten os 4 (men oförändrd y-koordint) Denn punkt hr vinkeln 4 (som är spegelvinkeln till 4 i y-eln), oh därmed -koordinten os 4 α (, sin α ) sin sin α /4 os 4 os 4 1 ( os 4, ) ( os 4, ) Vi ser vd :s spegelvinkel är genom tt skriv för då är 4 6 + 6 + 6, α 6 6 sin sin
P65 eräkn os 5 1 Vi ritr upp vinkeln 5 1 i enhetsirkeln ( ) os 5 5 1, sin 1 5 1 hlv vinkeln hr vi tt sin θ 1 os θ 1 os θ sin θ sin 1 os 1 6 1 / Genom tt spegl punkten i digonllinjen (vinkeln 4 ) får vi en spegelpunkt med - oh y-koordinter omytt jämfört punkten (se tringlrn i figuren), dvs spegelpunkten hr koordintern ( sin 5 1, os ) 5 6 Eftersom vinkeln /1 är i först kvdrnten är sin 1 > 0, oh vi hr tt os 5 1 sin 1 sin 1 / 1 1 Anm I fit ges svret som är lik med vårt svr (Etruppgift: Vis dett) θ /4 ( ) sin 5 5 1, os 1 P67 Uttryk os( + ) i termer v os oh sin Vinkeln + är vinkeln roterd ett hlvt vrv, vrför de två tringlrn nedn är kongruent Spegelvinkeln α får vi genom tt skriv för då är 5 + 1 1 4 + 6, (os, sin ) α 4 6 1 1, ( os( + ), sin( + ) ) oh vi hr tt os 5 1 sin 1 För tt estämm sin 1 noterr vi tt 1 är hälften v vinkeln 6 som vi kn osinus- oh sinusvärden till Med formeln för Sidlängdern lik ger tt os( + ) os
P69 Uttryk sin ( ) i termer v os oh sin P610 Uttryk os ( + ) i termer v os oh sin Vinklrn oh hr formen v tt vr vrndrs spegelvinklr kring någon mittvinkel Vi vill lltså kunn hitt α oh β så tt För tt få kongruent + från roterr vi 4 vrv motsols Tringlrn nedn är lltså β + α, (1) β α () θ β + α θ β θ β α (os, sin ) ( os( + ), ) (1) + () ger β β 4 (1) () ger α α 4 os ( + ) sin Alltså kn vi skriv 4 + ( 4 ), 4 ( 4 ) Vinklrn oh är lltså vrndrs spegelvinklr kring mittvinkeln 4 Vi kn nu uttryk sin ( ) i os oh sin med hjälp v symmetrier i enhetsirkeln (de utritde tringlrn är kongruent) P61 Uttryk tn ot i termer v os oh sin tn + ot (os, sin ) (, sin( )) θ 4 sin ( ) os Definitionen v tn oh ot ger tt tn ot tn + ot sin os os sin sin os + os sin sin os os sin os + os 1 { förläng med os sin }
P61 Vis tt os 4 sin 4 os P615 Vis tt 1 os 1 + os tn Konjugtregeln ger tt os 4 sin 4 ( os + sin )( os sin ) 1 os os Formeln för dul vinkeln ger tt os sin 1 + os, 1 os 1 os 1 + os sin os tn P614 Vis tt 1 os sin sin 1 + os tn P617 Uttryk sin i termer v os oh sin Vi förlänger med 1 + os, Vi hr tt 1 os sin (1 os )(1 + os ) sin (1 + os ) sin sin (1 + os ) sin 1 + os 1 os sin (1 + os ) 1 + os os oh sin os sin sin 1 + os os sin os sin os tn Additionsformeln för sinus ger tt Vidre hr vi tt sin sin( + ) sin os + sin os os os sin oh sin os sin sin sin os + sin os sin sin os sin Anm I fit ges svret sin 4 sin vilket är lik med vårt svr ty sin os sin sin (1 sin ) sin sin 4 sin
P618 Uttryk os i termer v os oh sin P61 Skisser grfen till f() sin Vilken period hr funktionen? Additionsformeln för osinus ger tt os os( + ) os os sin sin Formeln för dul vinkeln, os os sin oh sin os sin, ger tt os os os sin os sin os os sin När vi ersätter med skls grfen till sin med en fktor 1 Grfen till f lir lltså y 1 y sin 1 1 Perioden till f skls okså om från till i -led P619 Skisser grfen till f() os Vilken period hr funktionen? P6 Skisser grfen till y os ( / ) Grfen till f() os är osinus-kurvn kontrherd i -led med en fktor 1 1 1 y y os När vi ersätter med / förskjuts grfen till os med höger Fktorn sklr sedn om grfen i y-led y y os ( / ) enheter åt Vi vet tt os är -periodisk oh när vi ersätter med förkorts perioden okså med en fktor 1, os är därför -periodisk
P64 Skisser grfen till y 1 + sin ( + 4 ) Pythgors sts ger tt hypotenusn är + 1 5, Grfen till y sin ( ) + 4 är förskjuten med 4 enheter åt vänster jämfört med y sin Grfen till y 1 + sin ( ) + 4 är slutligen förskjuten med en enhet uppåt θ 5 1 y y 1 + sin ( + /4 ) Från tringeln får vi nu tt os θ 1 5 oh sin θ 5 P67 Givet os θ 1, där θ tillhör intervllet [, 0] estäm sin θ oh tn θ P66 Givet tn θ, där θ tillhör [ 0, / ] estäm os θ oh sin θ Eftersom θ ligger i intervllet [ 0, ] kn vi rit θ som en vinkel i en hjälptringel Den trigonometrisk ettn ger tt sin θ 1 os θ 1 1 9 8 Eftersom θ tillhör [, 0] hr sin θ ett negtivt teken θ Vi vet tt tn θ så vi kn ge ktetern längdern oh 1 Slutligen får vi sin θ sin θ θ 1 tn θ sin θ os θ / 1/
A P69 Givet sin θ 1, där θ tillhör intervllet [, ] estäm os θ oh tn θ Den trigonometrisk ettn ger tt os θ 1 sin θ 1 ( 1 ) / P6 A är en tringel med en rät vinkel i, oh, oh är sidorn som är motstående respektive vinkel estäm oh, om 5 oh 6 Vi ritr upp de givn storhetern i tringeln Eftersom θ tillhör intervllet [, ], som är tredje kvdrnten, hr os θ ett negtivt teken oh därmed är Sedn hr vi tt os θ os θ tn θ sin θ os θ 1/ / 1/ /6 Definitionen v osinus oh tngens ger tt os 6 5 5 os 6 5 5 / 10, tn 6 5 5 tn 6 5 1 5 P61 A är en tringel med en rät vinkel i, oh, oh är sidorn som är motstående respektive vinkel estäm oh om oh / Vd som är givet är lltså A P64 Låt A vr en tringel med sidorn, oh motstående vinklrn A, respektive estäm sin om 4, oh A /4 Sinusstsen ger tt A / sin sin A sin sin A 4 sin 4 4 Definitionen v osinus oh sinus ger tt os os 1 1, sin sin
A A P644 Låt A vr en tringel med sidorn, oh motstående vinklrn A, respektive estäm os A om, oh P647 Låt A vr en tringel med sidorn, oh motstående vinklrn A, respektive estäm om 4, A /4 oh / ossinusstsen ger tt + os A os A + + 4 Eftersom vinkelsummn i en tringel är, är A 5 1 Sinusstsen ger tt sin A sin sin A sin sin 4 sin 5 1 Från uppgift P65 hr vi tt sin 5 1 1 os 5 1 1+ / 1/ 1+ / 1 + / P645 Låt A vr en tringel med sidorn, oh motstående vinklrn A, respektive estäm sin om, oh 4 A osinusstsen ger tt + os os + Den trigonometrisk ettn ger tt sin 1 os + 4 4 1 11 56 11 16 15 56 Eftersom är en vinkel i en tringel ligger i intervllet [0, ], vilket etyder tt sin hr positivt teken 15 sin sin 56