TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson

TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden. 0 Ex 3.1. Gränsvärde av typen x a. Exemplet visar att gränsvärden på formen 0 måste skrivas om innan själva gränsövergången (och därmed gränsvärdesberäkningen) kan göras. Någon formell beräkning görs dock inte i detta exempel, man utför endast ett resonemang av intuitiv karaktär då uttryckets gränsvärde tas fram. Ex 3.2. Gränsvärde av typen x. Observera att man i detta exempel inte gör en beräkning med en metod, snarare görs ett resonemang för att visa på vad som avses med ett gränsvärde av denna typ. Def. 3.1 - Preliminära gränsvärdesdefinitioner. Lägg märke till de olika skrivsätten vid notationen av gränsvärdet. Läs dessa definitioner noggrant och jämför med illustrationerna i fig. 3.2 resp. fig. 3.3 samt texten sid. 121-122. Ex 3.3. Viktigt exempel som utgör grund för gränsvärden där nämnaren går mot (eller ) medan täljaren är konstant. Ex 3.4. Gränsvärdet är på formen, och ett sådant måste skrivas om före gränsövergången. Exemplet visar en generell metod som används då x eller x. Lägg märke till att man bryter ut den dominerande termen i täljare resp. nämnare. Efter förkortning görs till sist gränsövergången. Ex 3.5. Exempel där täljaren är begränsad medan nämnaren. Vi kan i detta fall göra en jämförelse med beräkningen i Ex 3.3. Ex 3.6. Tillämpning insvängningsförlopp. 3.2 Definitioner och räknelagar Def. 3.2 Gränsvärde då x a (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Läs dessa definitioner med de preliminära definitionerna i kap 3.1 som bakgrund och ta figurerna 3.5 och 3.6 till hjälp för att få en bild av vad som menas. Ex 3.7. Visar hur man med gränsvärdesdefinitionen visar att lim x 2 4. OBSERVERA att vi i nästan alltid kommer att använda RÄKNEREGLER snarare än x2

att använda den teoretiska definitionen varje gång ett gränsvärde skall beräknas. Observera dock att man bevisar räknereglerna för gränsvärden så måste gränsvärdesdefinitionen användas (se t.ex. sid. 134-135). Def. 3.3 Gränsvärde då x (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Def 3.3a illustreras i fig. 3.7. (Illustrationen av definition 3.3b motsvarar testövning 3.3). x Ex 3.9. Formellt bevis av att lim e 0. x Sats 3.1. Om f ( x) 0 då x a och g är begränsad, så är lim f ( x) g( x) 0. Observera även påpekandet på sid. 127. (Bevis sid. 134) Ex 3.10. Visar en tillämpning av sats 3.1. xa Sats 3.2. Gränsvärdesberäkningar av summa, produkt och kvot. Dessa är självklart viktiga och kommer i princip att användas intuitivt. Observera den viktiga kommentaren kring villkoret att B 0 i sats 3.2c. (Satsen bevisas på sid. 134) f ( x) Ex 3.11. Gränsvärden av typen lim och som visar vad som kan hända om både xa g ( x ) f (x) och g (x) går mot 0 då x a. Om B 0 i sats 3.2c så måste uttrycket skrivas om innan man drar slutsatser.

TNA003 FÖ 2: Kap 3.2 (forts) Litteraturkommentarer Sats 3.3. Instängningssatsen. Rita gärna en figur för att illustrera satsens innehåll. Observera även kommentaren direkt efter satsen. (Bevis sid. 135) Sats 3.4. Sammansättning. Ännu en naturlig sats. Under de givna förutsättningarna har vi att f ( g( x)) A då x a om den inre funktionen g( x) b då x a och den yttre funktionen f ( y) A då y b. Se även kommentaren efter satsen. (Satsen bevisas på sid. 135) 0 Ex 3.12. Gränsvärde på formen 0. Efter faktorisering av täljare och nämnare kan vi förkorta och därefter göra gränsövergången. Försök att avgöra vilka räkneregler som används? Ex 3.13. Gränsvärde på formen. Ett sådant kan inte bestämmas via en direkt gränsövergång utan behöver skrivas om först. I detta fall förlänger vi med konjugatuttrycket och bryter sedan ut det som dominerar i täljare resp. nämnare. Observera att vi här använder att försöka beräkna gränsvärdet då x 2 x x (ty x 0 här). Som övning kan du x istället (jfr testövning 3.9). Ex 3.14. Visar hur man först kan göra ett VARIABELBYTE för att förenkla beräkningarna. Sedan använder vi en logaritmlag och bryter ut dominerande term och slutar med att använda en variant på Sats 3.4. Def. 3.4 Höger- och vänstergränsvärden. Försök att skapa dig en bild av vad som menas med dessa definitioner genom att t.ex. formulera preliminära definitioner ungefär som det gjordes i Def. 3.1. Observera kommentaren efter definitionen att lim f ( x) existerar om och endast om både höger- och vänstergränsvärde båda xa existerar och är lika. Ex 3.15. Visar ett fall där både höger- och vänstergränsvärde existerar men är OLIKA. Alltså saknar funktionen gränsvärde då x 0. Studera punktlistan på sid. 133 och den efterföljande texten noggrant. Det kommer att ge dig en bra bild av vilka gränsvärden som är problematiska och varför de är det.

TNA003 FÖ 3: Kap 3.3 Litteraturkommentarer 3.3 Kontinuerliga funktioner Läs inledningen den ger en bra bild av varför det är väsentligt att i modeller använda kontinuerliga funktioner respektive funktioner som har diskontinuiteter. Def. 3.5 Vad menas med att en funktion är kontinuerlig i en punkt a? Var uppmärksam på andra notationssätt. Vad menas med att en funktion är diskontinuerlig i en punkt a? Vad menas med höger- respektive vänsterkontinuitet. Ex 3.16 Visar hur man kan definiera en funktion f i en viss punkt, a, så att f blir kontinuerlig där, genom att definiera f ( a) lim f ( x). Ex 3.17 Visar en intervallfunktion som är diskontinuerlig som är diskontinuerlig i en punkt. xa Ex 3.18 Visar att sin x är en kontinuerlig funktion. Ex 3.19 Visar att ln x är kontinuerlig Def 3.6 Definierar vad som menas med en kontinuerlig funktion. Sats 3.5 Inversen f 1 till en kontinuerlig funktion f är kontinuerlig förutsatt att f är strängt monoton och kontinuerlig på ett intervall. Ex 3.20, 3.21 Diskuterar kontinuitet hos elementära funktioner Sats 3.6 Alla elementära funktioner och kombinationer av dessa är kontinuerliga. Sats 3.7 Gränsvärde för sammansatt funktion Ex 3.23 och 3.24 visar hur sats 3.7 utnyttjas (i slutfasen av lösningen). Sats 3.8 Satsen om största och minsta värde. Observera förutsättningarna (f kontinuerlig på slutet och begränsat intervall). Observera att denna sats inte talar om hur vi finner största resp. minsta värde den bara anger att sådana värden finns (s.k. existenssats). Ex 3.25 Illustrerar hur viktigt det är att satsens förutsättningar är uppfyllda för att vi skall kunna dra slutsats. Sats 3.9 Ytterligare en existenssats: Satsen om mellanliggande värden. Observera även här förutsättningarna. Försök att illustrera hur det kan se ut om förutsättningarna inte är uppfyllda. Ex 3.27 Tillämpning av sats 3.9.

TNA003 FÖ 4: Kap 3.4, 3.5 Litteraturkommentarer 3.4 Standardgränsvärden. Sats 3.11 Memorera! Du måste dels veta vad gränsvärdena är samt känna igen dem i olika sammanhang. Bevisen har naturligtvis betydelse för din förståelse. Ex 3.28, Ex 3.29 Här ser du tillämpningar som kan vara betydelsefull motivationen! Ex 3.30. Visar hur omskrivningar måste göras för att kunna använda standardgränsvärdena på ett korrekt sätt. Ex 3.31 Ytterligare en bra tillämpning! Sats 3.12 Ytterligare två viktiga standardgränsvärden Memorera! Sats 3.13 Fler standardgränsvärden! Observera villkoren på konstanterna! Gränsvärdena i denna sats ger oss den s.k. hastighetstabellen! Ex 3.33, Ex 3.34 Tillämpningar av gränsvärdena i Sats 3.13 Ex 3.35, Ex 3.36, Ex 3.37 Bra exempel som visar hur man bestämmer (sneda) asymptoter. Detta är väsentligt då man ritar kurvor. 3.5 Talföljder Studera inledningen sid. 156-157 så får du en god bild av vad som menas med talföljder. Hoppa inte över illustrationerna! Def 3.7 Konvergent respektive divergent talföljd Vad menas? Ex 3.40, Ex 3.41, Ex 3.42 Visar hur man avgör konvergens/divergens hos talföljd med givet uttryck för a n. Sats 3.14 Standardgränsvärden då n (Obs! n är heltal) Hatighetstabellen kan nu utökas (se sid 160). Ex 3.43 Tillämpning av Sats 3.43

TNA003 FÖ 5 6: Kap 4.1 4.3 Litteraturkommentarer 4.1 Derivator Inledning. Ex 4.1 och Ex 4.2 är två bra inledande exempel som visar vad vi vill komma åt med hjälp av derivatan. 4.2 Derivata Definition. Def 4.1 Definition av deriverbarhet i en punkt x a. Definitionen kan skrivas på annat sätt vilket? Ex 4.3, Ex 4.4 Visar hur man med hjälp av definitionen bestämmer derivatan till en konstant funktion samt funktionerna cx, och skall memoreras! 2 cx och Ex 4.5 Tangent och normal till en kurva i en viss punkt. x. Resultaten är förstås viktiga Sats 4.1 En deriverbar funktion är kontinuerlig. Observera att omvändningen inte är sann (se t.ex. Ex 4.7) Def 4.2 Höger- och vänsterderivator Ex 4.8 studerar en funktion som är kontinuerlig men inte deriverbar eftersom den saknar både höger- och vänsterderivata i x 0. 4.3 Beräkning av derivator Satserna 4.2 4.7 innehåller viktiga resultat! I de flesta fall måste du nog memorera resultaten för att kunna använda dem effektivt. Studera även exemplen som finns i samband med dessa satser Implicit derivering Ex 4.20, Ex 4.21 och Ex 4.22 visar vad som menas med detta och hur det kan användas.

TNA003 FÖ 7: Kap 4.4 Litteraturkommentarer 4.4 Några viktiga satser om derivator Sats 4.8 Knyter ihop derivator och monotonitet. Viktigt! Anmärkning 4.2 på sid. 197 är betydelsefull! Ex 4.24 Visar hur derivatan kan användas för att bestämma i vilka intervall som en funktion växer strängt resp. avtar strängt (monotonitet). Dessutom kan vi rita kurvan genom att göra ett par kompletterande beräkningar (i detta fall gränsvärdesberäkningar då x ). Ex 4.25 Ytterligare ett exempel där derivatan används för att bestämma växande/avtagande. Observera att funktionen inte är deriverbar i x 0. Varför inte? Definition 4.3 Vad menas med att en funktion har lokalt maximum/minimum i en punkt. Vad avses med lokal maximipunkt resp. lokal minimipunkt? Sats 4.9 Lokalt maximum/minimum i en punkt där funktionen är deriverbar innebär att derivatan i punkten = 0 (punkten är en s.k. stationär punkt). Studera även texten efter Sats 4.9! Sats 4.10 Medelvärdessatsen. En mycket central sats som är utgångspunkten för att kunna bevisa den mycket användbara Sats 4.8 ovan. Observera, som vanligt, förutsättningarna i satsen! Du bör även fundera ut situationer (grafiskt) som visar att slutsatsen inte säkert kan dras om du tar bort ett villkor i taget. Prova alltså med att låta f vara c a, b a, b. diskontinuerlig i en punkt eller att f inte är deriverbar någon punkt i Sats 4.11 Rolles sats. Behövs till beviset av medelvärdessatsen. Ex 4.26 Visar hur medelvärdessatsen kan användas för att göra feluppskattning.

TNA003 FÖ 8: Kap 4.5, 4.6 Litteraturkommentarer 4.5 Användning av derivator Kurvritning Ex 4.27 Ett utmärkt exempel! Sid 211: Definitioner av olika typer av asymptoter Viktigt! Ex 4.28 Ett brett exempel som bl.a. visar hur vi kan finna lodräta och sneda asymptoter. Anmärkning 4.3 på sidan 209 diskuterar ett alternativt sätt att finna sneda asymptoter om f är en rationell funktion. Största och minsta värde Ex 4.29 Visar hur man går tillväga då man skall finna största (minsta) värde för en storhet och där du själv måste ställa upp en relevant funktion som anger hur denna storhet varierar. (Jämför med checklistan för Extremvärdesproblem från Fö 8) Sats 4.30 Visar bl.a. hur viktigt det är att studera funktionen på HELA definitionsområdet innan slutsatser om största och minst värde kan dras. Olikheter Ex 4.31 Visar att vissa olikheter löses genom att vi gör funktionsstudium (som vanligt). Antal rötter till en ekvation Ex 4.32 Ytterligare ett exempel där vi gör funktionsstudium! 4.6 Högre derivator Ge akt på hur andraderivatan definieras med hjälp av ett liknande gränsvärde som då vi definierar förstaderivatan. Observera också att det finns flera olika beteckningar för högre derivator. Ex 4.33 En tillämpning som visar att acceleration är andraderivatan av sträckan. Sats 4.12 Andraderivatans användning för att avgöra lokala extrempunkters karaktär. OBSERVERA punkterna under satsens formulering sid. 220! Konvexa och konkava funktioner. Studera figurerna sid 218 så förstår du lättare vad som avses med konvex/konkav funktion. En formell definition har du i Def 4.4 sid 218. Sats 4.13 och följdsatsen sid. 220 är användbara för att avgöra konvexitet/konkavitet. Inflexionspunkter tas ibland fram för att ytterligare precisera kurvritningen. Se även Ex 4.35.

TNA003 FÖ 9: Kap 5.1 5.2 Litteraturkommentarer 5.1 Elementära primitiva funktioner Sats 5.2 Standardprimitiver Memoreras! Du bör även fundera på och reda ut hur standardprimitiverna (d) (h) blir om du byter x mot kx, där k är en lämplig konstant. (k) inses genom derivering av högerledet. Sats 5.3: (a) och (b) följer av motsvarande deriveringsregler. I (c) har vi att täljaren = nämnarens derivata, vilket just ger den primitiva funktionen ln f ( x) C. Ex 5.4 5.7 bör studeras noggrant! 5.2 Integrationsmetoder Sats 5.4 Partiell integration. Memorera formeln på något bra sätt. Du bör klara av att bevisa denna sats! Ex 5.8 Ett inledande exempel på partiell integration Ex 5.9 Visar att vi ibland multiplicerar med ett och utför sedan partiell integration med hjälp av talet 1 (som integreras i HL!). Ex 5.10 Visar att vi ibland måste integrera partiellt flera gånger (i detta fall två ggr). Ex 5.11 Alternativ 1: Den ursprungliga integralen dyker upp igen efter den andra partiella integrationen. Hur gör vi då? Alternativ 2: Lösning med komplexa tal Alternativ 3: Lösning via en s.k. ansats, d.v.s. vi gör en gissning hur den primitiva funktionen bör vara uppbyggd. Ex 5.12 Ett varnande exempel som visar på hur viktigt det är att inse att f ( x) dx inte är entydigt bestämd (vi får ju en konstant då vi finner den primitiva funktionen uttryckt i elementära funktioner). Sats 5.5 Variabelbyte Läs beviset noggrant! Ex 5.13 5.17 Några bra exempel där variabelsubstitution är en framkomlig väg för att finna den primitiva funktionen.

TNA003 FÖ 10: Kap 5.3 Litteraturkommentarer 5.3 Integration av rationella uttryck Ex 5.18 Linjär nämnare, täljaren konstant. Vi får en logaritm. Ex 5.19 Nämnaren på formen a, 1 1 t regeln t dt C eftersom 1. 1 x och täljaren konstant. Vi använder Ex 5.20 Nämnaren kvadratkompletteras (men kan inte faktoriseras ytterligare). Därefter görs variabelbytet y x 1, vilket leder fram till en logaritm och en arcustangens. Ex 5.21 Eftersom nämnarens derivata innehåller x är det gynnsamt med det använda variabelbytet. Checklistan sid. 252 är naturligtvis viktig! Punkt 3 mynnar ut i partialbråksuppdelning vilket beskrivs vidare på sid. 252. Du måste här lära dig hur en korrekt ansats för partialbråksuppdelningen skall göras i olika fall. Detta finns i tabellen på sid. 252 Den är mycket viktig! Ex 5.22 Nämnaren faktoriserad och innehåller bara förstagradsfaktorer. Ex 5.23 Nämnaren innehåller både en förstagradsfaktor och en andragradsfaktor Ex 5.24 Nämnaren innehåller en förstagradsfaktor upphöjd till två och en annan förstagradfaktor (upphöjd till 1). Ex 5.25 Täljaren har inte lägre grad än nämnaren. Det innebär att man börjar med att polynomdividera. Därefter faktoriseras nämnaren. Nu är f (x) på formen polynom + rationellt uttryck med täljarens grad lägre än nämnarens. Polynomet är lätt att integrera, det sista uttrycket måste partialbråksuppdelas före integrationen. OBSERVERA påpekandet efter Ex 5.25 att vi MÅSTE ha täljarens grad lägre än nämnarens för att partialbråksuppdelning skall fungera! Ex 5.26 och 5.27 visar hur man med s.k. handpåläggning kan bestämma vissa konstanter. Det är dock viktigt att påpeka att detta alltså inte fungerar för all konstantbestämning vid partialbråksuppdelning. Ex 5.29 Visar hur illa det går om ansatsen är felaktig!

TNA003 FÖ 11: Kap 5.4 5.5 Litteraturkommentarer 5.4 Integration av trigonometriska uttryck Ex 5.31 Visar att vi, efter en omskrivning, kan använda ett naturligt variabelbyte i enlighet med Sats 5.5. Ex 5.32 Som i föregående exempel kan vi göra ett variabelbyte (efter omskrivning). Detta mynnar ut i ett rationellt uttryck som först måste partialbråksuppdelas före integrationen. Ex 5.33 Efter en (enkel) omskrivning kan vi integrera direkt. Ex 5.34 Visar hur vi, efter omskrivning med Eulers formler, lätt kan finna den primitiva funktionen. Ex 5.35 Variabelbytet y tan x överför integranden till ett rationellt uttryck. 2 Detta hanteras på sedvanligt sätt. Observera att med detta variabelbyte får vi 2 2 y sin x 2 1 y, 1 y 2 cosx och 1 y 2 dx dy. 2 1 y 5.5 Integration av rotuttryck Observera de två standardprimitiverna i inledningen sid. 266! Ex 5.36 Efter kvadratkomplettering av uttrycket under rotuttrycket i nämnaren och variabelbytet y x 1, får vi två integraler, där den första är relativt enkel medan den andra innebär att vi måste använda en standardprimitv (se även sats 5.2). Ex 5.37 Partiell integration med hjälp av en etta ger oss så småningom tillbaka den ursprungliga integralen. Detta löses på sedvanligt sätt. Tabellen sid. 267 visar några möjligheter till variabelbyten då vi skall integrera rotuttryck. Syftet med variabelbytet är att bli av med rotuttrycket. Ex 5.38 Tabellens (sid. 267) första rad används för variabelbytet. Ex 5. 39 Tabellen rad 3 används. Ex 5.40 Start men en partiell integration, därefter ett trick att lägga till och dra bort en etta. Detta ger bl.a. tillbaka den ursprungliga integralen.

TNA003 FÖ 12: Kap 6.1 6.4 Litteraturkommentarer 6.1 Definition av bestämd integral Ex 6.1 Ett viktigt exempel som visar hur vi med hjälp av trappfunktioner (underoch övertrappor) kan beräkna arean mellan en kurva och x-axeln. Def. 6.1 Integral av trappfunktion Anm 1: Observera att om trappfunktionen har negativt värde i ett intervall så räknas motsvarande area som negativ då det gäller integralens värde. Anm 2: Definition: f ( x) dx 0. a a Def. 6.2 Integrerbarhet (Riemann) Observera Fig. 6.4, som visar den geometriska tolkningen av definition 6.2 Sats 6.1 Viktig! Anm : Definition: b a f ( x) dx f ( x) dx a b 6.2 Elementära integrationsregler Sats 6.2 Räknelagar Studera även beviskommentarerna till dessa. 6.3 Existens av integraler Sats 6.3 En monoton funktion är integrerbar. 2 Ex 6.3 Visar att cos xdx existerar. 0 Sats 6.4 En kontinuerlig funktion är integrerbar. 6.4 Samband mellan integraler och derivator Sats 6.5 Medelvärdessatsen för integraler. Anm: Studera beviset noggrant. Sats 6.7 Analysens huvudsats. Läs även beviset noggrant! Ex 6.7 Derivering med hjälp av huvudsatsen Sats 6.8 Insättningsformeln (Läs även beviset!) Ex 6.6 Tillämpning av insättningsformeln

Ex 6.7 Beräkning av en bestämd integral via insättningsformeln (efter partiell integration) Ex 6.8 Tillämpning: Effektivvärde av spänning. Sats 6.9 Partiell integration och insättningsformeln Sats 6.10 Variabelbyte och insättningsformeln. Observera att gränserna också skall bytas! Ex 6.10 6.13 Bra exempel!

FÖ 13. Kap 6.5, 6.7 Litteraturkommentarer 6.5 Jämförelse mellan summor och integraler Läs den inledande texten sid. 295-296 noggrant. Där härleds de viktiga olikheterna (6.3) och (6.4) för en avtagande funktion via figurerna 6.10 a och b. Ex 6.14 - Visar hur olikheten (6.4) används. Övn 6.17 är väsentlig eftersom den tar upp motsvarande olikheter som (6.3) och (6.4) men för en växande funktion. 6.7 Generaliserade integraler Definition 6.6 Integral över obegränsat intervall. Vad menas med att en generaliserad integral är konvergent resp. divergent? Figur 6.13 illustrerar definition 6.6 Ex 6.16, 6.17, 6.18, 6.19 Bra exempel men skrivsättet med som ett tal i slutfasen av beräkningarna (insättningsformeln) är mindre lyckat! Gäller exempel 6.18 och 6.19. Definition 6.7 Integral av obegränsad funktion Ex 6.20, 6.21. Två exempel på generaliserade integraler med obegränsad funktion. Ex 6.22 och 6.23 Integralerna är generaliserade på mer än ett sätt! Hur gör man då? Exemplen visar detta.