Förord till läraren. 1. Mer praktisk information

Transkript

1 10 Förord till läraren Förord till studenten innehåller praktisk information om bokens uppbyggnad. Det gäller exempel, teknikproblem, bevis, dialoger, rekommenderade övningar, matematiska fortsättningar, frågor, kortversioner, hemsida samt val av typsnitt. Detta förord består av tre delar: 1. Mer praktisk information. 2. Syfte. 3. Beskrivning av kapitlens karaktär. 1. Mer praktisk information 1. Som framgår av Förord för studenten är denna bok i grundläggande envariabelanalys tänkt att användas tillsammans med problemsamlingen Övningar i analys i en variabel, Matematiska Instutitionen, Lunds Tekniska Högskola, Lund 2001 (tryck: KFS AB, Sölveg. 22 F, Lund). I slutet av varje kapitel finns ledningar till samtliga problem i denna samling, utom blandade problem. Detta säger också något om vilken matematik denna bok täcker. 2. Varje student kan registrera sig på hemsidan där man kan få hjälp med matematiken i boken. Denna hemsida kommer att bli en samling FAQ (Frequently Asked Questions), vilka emellertid är organiserade efter bokens sidnummer. Denna organisation gör det lätt att hitta den intressanta frågan, eftersom matematikproblem är starkt lokala. Frågor och svar kommer att användas för nästa upplaga av boken, förhoppningsvis på så sätt att frågorna inte behöver uppkomma. Studentkollektivet kan därför påverka boken på ett systematiskt sätt, just i de avsnitt där det behövs. 3. Varje lärare kan på hemsidan kommentera bokens uppläggning, och anmäla sig som besvarare av studentfrågor. Besvarare av frågor behövs, varje anmälan mottas tacksamt! Förhoppningen är att boken ska passa allt bättre till befintliga utbildningar i Sverige. Jag hoppas att jag får åsikter från din utbildning för detta ändamål. Divergerande önskemål i olika typer av utbildningar kan resultera i att kommande upplagor utkommer i olika versioner för olika typer av utbildningar.

2 11 2. Syfte Denna bok i grundläggande matematisk analys har skrivits huvudsakligen för att göra matematisk analys mera lätttillgängligt för förstaårsstudenter. De avsikter med bokens uppläggning som är beskrivna i Förord till studenten och i baksidestexten riktar sig huvudsakligen till studenter med mindre förkunskaper i ämnet. Den riktar sig emellertid inte endast till dessa. Boken är också lämplig för studenter med större intresse och förkunskaper, av följande skäl: 1. Bredd i matematikbeskrivningen (frekventa grafiska illustrationer som är en del av resonemanget, och flera numeriska överläggningar). 2. Formulering av matematiska metoder sker ofta och explicit, och skapar överblick över matematiska begrepp. 3. Matematikens syften och natur diskuteras. 4. Matematiska fortsättningar beskriver kommande matematikkurser. 5. En del matematiskt material som inte är så vanligt förekommande tas upp. Det gäller surjektiva och injektiva funktioner, translation och dilation (Kapitel 3), irreducibla polynom (Kapitel 4) och linjariteten för differentialekvationer (Kapitel 16). Dessa begrepp finns med huvudsakligen för att det annars är svårare att beskriva grundbegreppen på ett begripligt sätt (som funktionsbegreppet, sammansättning av funktion, inverterbarhet, lösning av linjära differentialekvationer). 3. Beskrivning av kapitlens karaktär Boken innehåller över 500 figurer. Dessa är ojämnt fördelade i boken beroende på hur relevanta figurer är i respektive kapitel. Kapitel 11 om primitiva funktioner saknar helt figurer, medan Kapitel 7 om gränsvärden innehåller 58 figurer. Matematiska funktioner beskrivs som de huvudsakliga studieobjekten i matematisk analys. Syftet med detta är att konkretisera ämnet något, och att fokusera på de elementära funktioneras egenskaper. Kunskap om dem har ju fundamental betydelse. Generella egenskaper och begrepp följer naturligt från denna synvinkel. Boken har en stark fokusering på analys. Induktionsbevis, gränsvärden av talföljder och rekursionsformler ingår inte. Den är indelad i fyra delar, se nedan eller sid. 17. Del 1, Tal och funktioner, är den mest annorlunda delen, liksom den största delen. Den kan delvis ses som en buffert mot gymnasie- och grundskolematematik. Här är kalkyler särskilt utförligt kommenterade. Den innehåller emellertid med nödvändighet ett av de två mest abstrakta kapitlen: Kapitel 3, Funktionsbegreppet (det andra är Kapitel 7, Gränsvärde och kontinuitet).

3 12 Boken startar med en utförlig diskussion om matematisk argumentation och om vad matematik är (Kapitel 1), med ytterst elementära exempel. Därefter följer matematikens tal och dess räkneregler, vilka ju är grundläggande för de flesta matematiska kalkyler (Kapitel 2). Funktionsbegreppet som sådant behandlas utförligt (Kapitel 3) med enkla exempel och många figurer. Därefter studeras matematikens funktionsklasser (Kapitel 4, 5 och 6). De beskrivs i särskilda kapitel för att understryka tänkandet i funktionsklasser, och skillnaden mellan dem. Avsikten med Del 1 är att på ett systematiskt sätt bygga upp de behövliga förkunskaperna för huvudinnehållet i matematisk analys. Kapitlen i de tre följande delarna börjar också på elementär nivå, och innehåller många figurer och diskussioner. Kalkylerna är kommenterade, men inte lika utförligt somidel1. De 17 kapitlen har inbördes ganska olika karaktär. Här är en sammanställning över dem. I parentes anges antal sidor, antal figurer, och kapitlets dominerande karaktär. I hela boken (utom Kapitel 1) finns det många lösta exempel. 1. Hur fungerar matematik? (29 sidor, 10 figurer, berättande). För många studenter kan detta kapitel göra matematik mer meningsfullt, intressant och lättbegripligt på lång sikt. Förutom meningar med matematiken och formelspråkets roll, beskrivs sådan logik som är särskilt relevant i matematik, mängdlära, samt summasymbolen. 2. Tal och kalkyler (45 sidor, 27 figurer, berättande och lösningsmetoder). Första halvan av detta kapitel går igenom talen och deras räknelagar. De lägger grunden för kalkyler med funktioner och formler. I sista halvan av kapitlet studeras fyra typer av problem som ofta finns med i ingenjörsutbildningar, men sällan i dess litteratur: kvadratkomplettering, rotekvationer, ekvationer med absolutbelopp samt olikheter. 3. Funktionsbegreppet (50 sidor, 78 figurer, generella begrepp och lösningsmetoder). Detta är oundvikligen ett abstrakt kapitel, men kanske det viktigaste kapitlet. Sammansatt funktion och invers funktion ägnas stor och ingående uppmärksamhet, med många geometriska tolkningar av abstrakta begrepp. Detta är ju oumbärligt för derivering (kedjeregeln), variabelsubstitution i integraler samt för separabla differentialekvationer. Translation och dilation beskrivs som enkla sammansättningar av funktioner. De är viktiga för derivering och integration, och har ytterst konkreta tolkningar. Invers funktion beskrivs formellt, men även som lösning av ekvationer och som spegling i linjen y = x. Mycket enkla funktioner används som exempel vid introduktion av abstrakta begrepp: oftast f(x) =x Polynom och rationella funktioner (56 sidor, 27 figurer, generella begrepp och resultat, många olika lösningsmetoder). Polynomen och deras faktorisering kommer igen på många platser i senare kapitel. Binomialsatsen och geometriska summan finns med som exempel på omskrivningar av polynom. Kapitlet innehåller

4 13 också rationella funktioner och partialbråksuppdelning. Analogin mellan polynom och heltal vad gäller division ges tydlig plats. Irreducibla polynom med reella koefficienter definieras, de återkommer bl.a. i Kapitel Potens-, exponential- och logaritmfunktioner (14 sidor, 13 figurer, orienterande). Potenslagarna förekommer ofta. Logaritmlagarna beskrivs (och bevisas) som omformuleringar av potenslagarna. 6. Trigonometriska funktioner (38 sidor, 54 figurer, många olika lösningsmetoder). För denna klass av funktioner finns det ett stort antal samband och geometriska egenskaper, vilket kan förefalla förvirrande. Trigonometriska ettan och additionsformlerna ges huvudroller. Bokens fokus på matematiska funktioner innebär bl.a. att de inversa trigonometriska funktionerna ges mer uppmärksamhet än solvering av trianglar. 7. Gränsvärde och kontinuitet (57 sidor, 58 figurer, generella begrepp och resultat, och lösningsmetoder). Detta kapitel är oundvikligen det mest abstrakta. Idéerna beskrivs med en serie typiska och praktiska exempel före gränsvärdesdefinitionen, därefter studeras samma exempel i termer av denna definition. I dialoger experimenteras med definitionen av gränsvärde. Grundläggande räkneregler för gränsvärden härleds parallellt med att gränsvärden för de elementära funktionerna från Kapitel 4-6 bevisas. Därmed tjänar de elementära funktionerna samtidigt som exempel för abstrakta gränsvärdesbegrepp. I sista delen av kapitlet formuleras och sammanfattas metoder att beräkna gränsvärden, samt standardgränsvärden. Avslutningsvis definieras kontinuitet. Några generella egenskaper för kontinuerliga funktioner bevisas. 8. Derivata (42 sidor, 26 figurer, härledningar och lösningsmetoder). Derivatans definition motiveras med räta linjer och vardagliga exempel, och räknereglerna härleds. En tio sidor lång träningsstation för kedjeregeln, med detaljerade lösningar av 33 svåra deriveringar, gör det möjligt för alla att bli experter på kedjeregeln. Variabelsubstitution i integraler förutsätter detta. Slutligen härleds bl.a. l Hospitals regel för att beräkna gränsvärden. 9. Matematisk modellering: derivator (26 sidor, 33 figurer, lösningsmetoder). Optimering och asymptoter för deriverbara och icke-deriverbara funktioner beskrivs. 10. Något om MacLaurinpolynom (14 sidor, 19 figurer, orienterande, lösningsmetoder). Kapitlet orienterar om att många derivator ienpunktkan ge en effektiv beskrivning av en funktion med hjälp av polynom. Detta belyser både polynomen och derivatabegreppet. En biprodukt är ett sätt att beräkna gränsvärden. 11. Integralbegreppet (31 sidor, 41 figurer, generella resultat). Det finns gott om möjligheter att ge vardagliga analogier vid konstruktion av integralbegreppet. Det gäller också medelvärden, och medelvärdessatsen. Kapitlet avslutas med analysens huvudsats, som även ges en geometrisk formulering.

5 Obestämda integraler och primitiva funktioner (47 sidor, inga figurer, lösningsmetoder). Detta kapitel har en enda uppgift: att konstruera integrationsmetoder från deriveringsregler med analysens huvudsats. Variabelsubstition beskrivs i två versioner betingade av lösningsmetod snarare än matematisk skillnad: huruvida en inre derivata kan urskiljas från början eller inte. 13. Bestämda och generaliserade integraler (24 sidor, 41 figurer, generella resultat och lösningsmetoder). Många grafer illusterar det faktum att variabelsubstitution i en bestämd integral ger två areor med olika form men med exakt samma area. En jämförelseruta med area 1 finns med i figurerna, för ögonmåttets skull, parallellt med de exakta kalkylerna. 14. Matematisk modellering: integraler (44 sidor, 45 figurer, tillämpningar). Här är de fysikaliska/geometriska beskrivningarna ständigt nära integralformuleringarna. Kapitlet är halvmatematiskt, till skillnad från Kapitel 17 som endast består av ett antal tillämpningar. 15. Allmänna och separabla differentialekvationer (14 sidor, 7 grafer, diskussion med tillämpning, definition och lösningsmetoder). Detta är ett kort kapitel som först diskuterar differentialekvationer med hjälp av Newtons ekvation. Därefter definieras differentialekvationer och grundläggande terminologi. Slutligen löses separabla differentialekvationer. 16. Linjära differentialekvationer (60 sidor, 9 grafer, generella begrepp och resultat, lösningsmetoder). Detta långa kapitel innehåller ett stort antal lösta exempel bl.a. för olika typer av högerled. Linjaritetsegenskapens centrala roll framhålls av flera skäl (främst uppdelningen homogenlösning-partikulärlösning). Flera praktiska exempel beskrivs, som bilars dämpning och fjädring. 17. Matematisk modellering: differentialekvationer (21 sidor, 45 figurer, tillämpningar). Detta kapitel består av ett antal problem från olika tillämpningsområden. Formuleringen av ett matematiskt problem beskrivs. Gapet mellan matematiskt och verkligt problem görs synligt. Kartan över elementär analys på innerpärmen representerar oerhört många matematiska samband och släktskaper i envariabelanalys. Här gäller verkligen att en bild säger mer än tusen ord. Bästa hälsningar! författaren, Ramdala, juli -02