UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september 006 kl 900 00 i skrivsalen som finns på Gimogatan 4, sal Studiematerialet består av följande: LÄSANVISNINGAR Start: Startboken, dvs den bok som användes under proppstudierna Calc: Adams: Calculus, sjätte upplagan (Sixth Edition); delar av kapitel P Alg: Vretblad, Ekstig: Algebra och geometri,(006, Gleerups); kapitel 0 Det här handlar ju till stor del om samma saker som du har hållit på med under proppveckorna (om du hade hunnit komma då) Men det är så viktiga saker att vi ägnar ett par veckor av själva terminen åt det också Vid föreläsningarna går vi igenom teori och exempel, men sedan är det först och främst du själv som ska öva Detta ska du göra även utanför den schemalagda tiden, men som stöd har vi lagt in sex lektionstillfällen, då du har möjlighet att få hjälp av en lärare (och av dina kamrater) Du får själv se till att du hinner med det som ska göras vi gör inte här någon indelning av stoffet i tre delar Först går vi igenom Start sid 6 Det som står om mängder och mängdbeteckningar är inte svårt: dessa beteckningar är ganska praktiska I Start: 003, 005, 00, 0, 09, 03, 04, 05, 09, 03, 033, 036, 037, 038, 039, 040, 04, 044,047, 06, 065, 069,07, 077, 078, 079, 084, 085, 087, 090 Nästa avsnitt handlar om uttryck, och det behandlas dels i Start sid 34 49, dels i Alg sid 0 7 I Start: 00, 003, 009, 00, 00, 0, 04, 08, 034, 040, 04, 048, 05, 054, 055, 056, 057 I Alg: 03, 04, 06, 0, 04, 05, 03, 05, 06, 08, 09 Ekvationer av olika slag behandlas i Alg sid 7 0 och Start sid 56 77 Vi kommer inte att hinna ta upp alla varianter och tillämpningar som finns i Start, men de är nyttiga saker som du bör ha nosat på i skolan och med fördel kan studera på egen hand I Start: 306, 303, 3037, 3038, 3040, 3046, 3048, 305 I Alg: 03, 035, 037 (använd kvadratkomplettering), 039, 045
Olikheter tas upp mest utförligt i Alg, sid 6, men finns också lite material på sid 78 79 i Start I Start: 3055, 3057, 3058 I Alg: 047, 049, 050, 053, 054, 056, 057 Potenser och logaritmer repeteras i Start, kap 6 på sidan 4 Kapitlet inleds med repetition av potenser med heltalsexponenter Läs sid 4 43 Lös uppgifterna 600 6009 Sedan fortsätter man med potenser med rationella exponenter, dvs exponenter i bråkform Läs sid 46 47 och 49 (nedre halvan) Lös uppgifterna: 60 605, 606 a, c, 607 609 Logaritmer och logaritmlagar tas upp på sid 58 70 Läs igenom Tänk på att logaritm är ett annat namn för exponenten Logaritmlagar följer direkt från potenslagar Observera att a log b brukas skriva i matematisk litteratur som log a b, alltså a log b = log a b Istället att skriva 0 log b eller log 0 b brukar man skriva kortare lg b Även för logaritmer med basen e ( e = 78888 78888 ) istället e log b eller log e b brukar man skriva ln b Tänk på att det räcker att kunna logaritmer med en bas ty a log b = log a b = log c b log c a för varje c > 0 Speciellt a log b = log a b = lg b lg a = ln b ln a Lös uppgifterna: 6047 605, 605, 6053, 6058 6064, 6069, 6078 6080 Extra uppgifter: Bestäm: a) log 36 log 8 b) ln e + ln e c) log 3 8 3 log 3 7 d) ln( + ) + ln( + ) + ln( + 3 ) + ln( + 4 ) + ln( + 5 )
3 Skriv som en logaritm: 3 a) ln(x + ) + 3 ln(x ) 4 b) ln(x ) 4 ln(x + ) 3 Förenkla: a) lg x + lg x b) lg(x 0 3 ) lg(x 0 ) c) ln e ln e 4 Visa att: ( ln(x + y) (ln x + ln y) = ln x + ) y 5 Man har f(x) = c e kx a) Bestäm c och k (exakt) om f() = och f(3) = 3 b) Beräkna f(4) c) För vilka x gäller att f(x) = 4? Svar till extra uppgifter: a) b) 0 c) d) ln 6 a) ln x 4 b) ln ( ) x x + 3 a) 0 b) c) 4 ln(x + y) (ln x + ln y) = ln(x + y) ln xy = ln x + y ( xy = ln y + ) ( = ln x x + ) y ( x = ln xy + y ) xy 5 a) c = 8 9 och k = ln 3 = ln 3 ln b) f(4) = 9 ( ) ln 9 ln = ln 3 ln = + ln 3 ln 3 ln c) x = ln 9 ln 3 = ln 45 ln 5 Återstoden av introduktionskursen ägnas åt de trigonometriska funktionerna och deras användning Text finns i Start sid och framåt Du kan även läsa avsnitt P7 i Calc I mån av tid ska vi även behandla avsnitt P och P3 i Calc som handlar om räta linjen och cirkeln i planet De trigonometriska funktionerna är en del av det matematiska samtalsspråket, som man måste behärska för att klara sig; och det gäller även när man håller på med fysik och teknik I matematiska sammanhang mäter man alltid vinklar med bågmått, dvs med enheten radian Sedan definierar man sinus och cosinus med hjälp av enhetscirkeln, och de övriga funktionerna utgående från sinus och cosinus Du skall absolut bli god vän med sin, cos
4 och tan, och dessutom måste du veta hur man definierar cot, sec och csc (så att du kan läsa text där dessa funktioner förekommer) Definitionerna i enhetscirkeln medför att ett antal egenskaper för sin och cos är lätta att komma ihåg Exempelvis dessa: cos t + sin t = cos(t + π) = cos t sin(t + π) = sin t cos( t) = cos t sin( t) = sin t ( π ) ( π ) cos t = sin t sin t = cos t cos(t + π) = cos t sin(t + π) = sin t Det hör till allmänbildningen att känna till, eller kunna rekonstruera, de trigonometriska värdena för vinklarna i tabell 5 i P7 (sid 48) För spetsiga vinklar gör man detta genom att rita en halv kvadrat eller en halv liksidig triangel, och för andra vinklar kan man placera in en sådan triangel på lämpligt ställe i enhetscirkeln π/6 3 π/4 π/3 Om man känner tex sin t och vet i vilken kvadrant t ligger, kan man bestämma cos t och tan t genom att rita en symbolisk triangel Exempel: vi vet att sin t = och π/ < t < π 5 Rita en rätvinklig triangel med hypotenusan 5 och en katet ; enligt Pythagoras sats är den andra kateten lika med 5 = Det följer att cos t = (varför?) 5 Det finns en mängd mer komplicerade trigonometriska formler De viktigaste av dessa hänger nära ihop med additions- och subtraktionsformlerna i Sats på sid 49 Det är abolut nödvändigt att man vet att dessa formler existerar, och man måste lära sig åtminstone en av dem utantill (sedan kan man rekonstruera de övriga vid behov genom att använda de enkla symmetriegenskaperna i den första formelbunten ovan) Man bör också känna till att det finns formler som förvandlar en produkt av två sin/cosuttryck till en summa, och omvänt formler som förvandlar en summa/differens av två sin/cos-uttryck till en produkt Dessa har man tex användning för när man ska derivera och integrera senare i kurserna Här är några exempel: cos s cos t = ( ) cos(s + t) + cos(s t) sin s cos t = ( ) sin(s + t) + sin(s t) sin s + sin t = sin s + t cos s t En viktig användning av de trigonometriska funktionerna är för att solvera trianglar Man har en triangel, där vissa sidor och/eller vinklar är kända, och man vill bestämma de övriga
5 sidorna och vinklarna Här finns två viktiga satser som kan användas Låt ABC vara en triangel, där a, b och c är längderna av de sidor som står emot hörnen A, B resp C Då gäller sinussatsen: och cosinussatsen: a sin A = b sin B = c sin C = R, där R är radien i den omkrivna cirkeln på triangeln a = b + c bc cos A (Cosinussatsen har förstås tre alternativa former, som man får genom att byta roller mellan bokstäverna) Dessutom finns en formel för beräkning av triangels area T : T = ab sin C (ävän denna har förstås tre versioner) I Start: 5003, 5006, 503, 504, 506, 507, 508, 509, 500, 50, 506, 509, 5030, 503, 5040, 504, 5043, 5047, 5048, 5049, 5050, 5053 Dessutom följande problem: Uttryck cos 3x med hjälp av sin x och cos x Uttryck sin 3x med hjälp av sin x och cos x I övningarna 3 8 är en av cos θ, sin θ och tan θ given Bestäm de båda andra, om θ ligger i det angivna intervallet: 3 sin θ = 3, 5 θ [π/, π] 4 tan θ =, θ [0, π/] 5 cos θ =, 3 θ [ π/, 0] 6 cos θ = 5, 3 θ [π/, π] 7 sin θ =, θ [π, 3π/] 8 tan θ =, θ [π, 3π/] 9 Visa formeln: cos x = sin x sin x + cos x = tan x 0 Bevisa att cos x + cos x = tan x I följande uppgifter är ABC en triangel, där sidorna a, b, c står mot hörnen A, B och C i tur och ordning Bestäm sin B om a = 4, b = 3, A = π/4 Bestäm cos A om a =, b =, c = 3 3 Bestäm sin B om a =, b = 3, c = 4 4 Bestäm c om a =, b = 3, C = π/4
6 5 Bestäm a om c = 3, A = π/4, B = π/3 6 Bestäm sin B om a =, b = 3, C = 0 7 Bestäm b om a = 4, B = 40, C = 70 8 Bestäm c om a =, b =, A = 30 (Det finns två möjliga svar) Avsnitt P och P3 i Calc Avståndsformeln på sidan är viktig De olika sätten att beskriva räta linjer likaså Observera att en rät linje kan preciseras på flera olika sätt: Genom lutning och skärning med y-axeln: y = kx + m (om linjen inte är lodrät) Genom lutning och en punkt: y y 0 = k(x x 0 ) (om linjen inte är lodrät) Genom två punkter: y y 0 = y y 0 x x 0 (x x 0 ) (om x 0 x ) Speciellt, genom skärningarna med båda axlarna: se övning 35 i P Omvänt gäller att en förstagradsekvation i x och y, dvs en ekvation av formen Ax+By = C (där inte både A och B är noll) alltid betyder en rät linje i planet Övningar på sid 6 7:, 3, 5, 8, ; udda nummer 3 33; 35 37; 4, 43, 45 I Startboken finns det här på sidorna 80 86, och där finns också flera övningar P3 Först och främst kommer här beskrivningen av en cirkel (som redan blivit antydd i förra avsnittet) Ekvationen för en cirkel kan ses som ett naturligt avståndsvillkor Låt a vara ett positivt tal och (h, k) en fixerad punkt i planet: En punkt (x, y) ligger på cirkeln med medelpunkt (h, k) och radie a precis om avståndet mellan (x, y) och (h, k) är just a, dvs precis om (x h) + (y k) = a Ex 3 och 4 innehåller en typ av kvadratkomplettering, som är ett sätt att skriva om uttryck som innehåller kvadratiska termer (Det är i grunden samma idé som ligger bakom formeln för lösningarna till en andragradsekvation) Man ska nu förstå att en ekvation av typen Ax + Ay + Bx + Cy = D, där A 0, alltid betyder en cirkel (ev en punkt), om den betyder något alls Det som står om parabeln återkommer vi till i själva kursen, Däremot kan det vara vettigt att redan nu bekanta sig med ellipsen En ellips kan ses som en cirkel som har blivit deformerad genom att man skalat om den i en riktning (eller i två riktningar, om man så vill) Man talar om dess storaxel och lillaxel, som är vinkelräta symmetriaxlar Om storaxeln ligger längs efter x-axeln och har längden a, och lillaxeln efter y-axeln med längd b (b < a), har den ekvationen x a + y b = Talen a och b brukar kallas för ellipsens halvaxlar Observera att om a = b får man en cirkel, som alltså är ett specialfall av en ellips Om ellipsens parallellförflyttas så att dess symmetricentrum ligger i punkten (h, k), kan ekvationen skrivas (x h) a + (y k) b =
7 Med hjälp av kvadratkomplettering kan man även inse att en ekvation av formen Ax + By + Cx + Dy = E, där A och B har samma tecken, måste betyda en ellips (ev en punkt), om den betyder något alls Det som står om hyperbeln spar vi till senare Gör övningar på sid 3:, 3, 4, 5, 7,, 3, 43, 45 I Startboken behandlas cirkel och ellips på sid 88 93
8 SVAR: cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x 3 cos θ = 4 5, tan θ = 3 4 sin θ =, cos θ = 4 5 5 5 sin θ =, tan θ = 3 6 sin θ = 3, tan θ = 5 7 cos θ = 3, tan θ = 3 8 sin θ =, cos θ = 5 5 sin B = 3 4 cos A = 3 3 sin B = 35 4 6 4 c = 3 6 5 a = 3( 3 ) 6 sin B = 3 38 57 7 b = 4 sin 40 sin 70 736 8 c = + 3 eller c = 3