Harmonisk svängningsrörelse

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 Harmonisk svängningsrörelse I den här laborationen kommer vi att titta på svängningsrörelse med olika egenskaper: fri odämpad, fri dämpad och tvungen dämpad. Resonans, som kan inträffa när ett svängande system drivs av en påtvingande kraft, kan få stora konsekenser: nedrasade broar, brustna drivaxlar, spruckna kristallglas etc., kommer också att undersökas både med avseende på rörelsens amplitud och den resulterande rörelsens fas i förhållande till den drivande kraften. Den dämpande icke-konservativa kraften kommer vara dels proportionell mot hastigheten och dels proportionell mot positionen, d.v.s. viskös friktion respektive vanlig friktion. Mål: Använda Newtons lagar eller momentlagen för att analysera svängande rörelse. Kunna analysera svängande system. Kunna skilja på viskös dämpning och dämpning från friktion. Kunna beskriva ett systems amplitud, vinkelfrekvens och fas med hjälp av differentialekvationen för systemet och begynnelsevillkoren. Beskriva hur resonans och kvalitetsfaktor påverkar ett systems respons till en drivande svängning. Kunna författa en rapport över ert arbete. Förberedande uppgifter: Dessa uppgifter skall redovisas i början på laborationen gruppvis. Vid laborationstillfället så kommer ni (gruppen) få reda på vilken av uppgifterna ni skall presentera för de andra alltså måste ni lösa samtliga uppgifter. Svaren för de jämna uppgifterna presenterade nedan, det viktiga är lösningarna och hur ni angriper problemet; för udda problem finns svar i boken (University Physics). Om ni inte har förberett er så kommer ni att få göra laborationen vid uppsamlingstillfället i Juni. 14.2 a).12 m b) T=1.6 s c) f=.625 Hz, som komplement till denna uppgift: visa att d) amplituden som funktion av tiden är x(t)=.12*sin(3.9*t), e) att om amplituden dämpas till 1% av ursprungsamplituden, med en dämpningskraft som är proportionell mot hastigheten, på 1 sekunder är x(t)=e -.23*t *sin(3.89*t) och att i Fdämpning=-c*dx/dt är c=.1 Ns/m om massan är 4.6 kg. 14.17 14.97 Läs: Marchewka, et al., abstract och sammanfattningen på sidan 483 (länk nedan). Sista förberedande övningen: Läs igenom alla försöken och förklara kort hur de skall utföras och med vilka samband ni har tänkt att analysera förloppen med. Referenser: Kapitel 14 i Young & Freedman, University Physics, Utdelat del ur bokkapitel om svängningsrörelse, A. Marchewka, D. Abbot, R. Beichner, Am. J. Phys. 72 (4), 477-483 (24), minst del VI. Conclusion och abstract Sida 1/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 A. Odämpad svängning: fjäder I den här laborationen kommer ni att behöva fjädrar, med hjälp av en kraftgivare kan ni mäta t.ex. periodtiden och få ut fjäderkonstanten. Tips: använd inte för tunga vikter, då kommer ni att förstöra fjädrarna. Kopplar ni ihop två olika fjädrar (med fjäderkonstanterna k1 och k2) i serie kan ni använda denna uppställning för att bekräfta att den effektiva fjäderkonstanten (keff) för systemet blir 1 kef f = 1 1 + k1 k1 Beskriv kort hur ni mäter k k1= k2= Med hjälp av fjäderkonstanterna ni mätt ovan, räkna ut: keff= Mät sedan den effektiva fjäderkonstanten: keff= Kontrollera ert uppmätta värde på keff genom att mäta fjäderns utsträckning för en känd vikt. Bredvidläsning: härledningarna för fjädrar i serie och parallellt med varandra kan ni hitta t.ex. på Wikipedia: Series and parallel springs. Sida 2/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 B (Under)dämpad svängning 1: med friktion Om en svängning dämpas med friktion som enbart beror på positionen (dämpningskraften är alltså inte proportionell mot hastigheten). Har vi ett sammansatt objekt som svänger så kan friktionen i lagret ge upphov till ett friktionsmoment som dämpar svängningen. Att skriva ut rörelsens amplitud som funktion av tiden blir lite krångligt eftersom friktionskraften byter tecken när systemet passerar jämviktspunkten. Däremot kan vi bestämma t.ex. friktionskonstanten för lagerfriktion genom att analysera hur amplituden dämpas ut. x(t)=e(.1*t)*sin(1*t) x(t)=(5 t)2*sin(1*t) 3 1 2 Amplitude / m Amplitude / m.5 1 1.5 2 3 1 2 3 4 1 5 1 2 time / s 3 4 5 4 5 time / s x(t)=(5 t)*sin(1*t) x(t)=2*sin(1*t) 5 2 Amplitude / m Amplitude / m 1 1 5 1 2 3 4 5 2 1 time / s 2 3 time / s I figuren ovan visas olika typer av svängningar, till höger visas underkritiskt dämpad svängning och odämpad svängning. Med ledning av artikeln: A. Marchewka, D. Abbot, R. Beichner, Am. J. Phys. 72 (4), 477-483 (24) så går det att identifiera vilken av bilderna som beskriver ett system med vanlig friktion (där den icke-konservativa kraftens storlek beror på positionen). Ringa in vilken bild som motsvarar en lösning med dämpningskraft som är proportionell mot systemets läge. Försök 1: bestäm den kinetiska friktionskoefficienten mellan ett träblock och ett lutande plan. För små vinklar kan träblocket göra ett antal svängningar kring jämviktsläget. med hjälp av ekvationerna (31) och ekvation (24b) kan vi beskriva lutningen på linjen som varannan topp hamnar på, om vi t.ex. väljer positiva toppar: A 1 2µk mg = C/T = t T k (24b) är uttrycket för en kloss som ligger ner, hur måste uttrycket ovan ändras så att vi beskriver situationen i bilden? Sida 3/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 µ k = För att det här experimentet skall fungera bra måste ni se till att kraftgivaren är parallell med det lutande planet och nollställd innan ni börjar försöket. Försök 2: Vid vilken vinkel på skivan får ni en kritiskt dämpad svängning? Ju mer bordet lutar desto närmare en situation där klossen endast passerar jämviktsläget en gång kommer ni. Hitta vinkeln där klossen passerar jämviktsläget endast en gång: vinkeln = I fallet där dämpningskraften är proportionell mot hastigheten inträffar kritiskt dämpning när dämpningskonstanten och egenfrekvensen är exakt lika. I artikeln är det ganska krångligt uttryckt vart gränsen går för rörelse som korsar jämviktsläget och rörelse som bara når fram till jämviktsläget. Hur stort får arbetet som friktionskraften utför maximalt vara för att hastigheten inte skall vara noll när blockets masscentrum når jämviktsläget? Sida 4/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 D. Drivna svängningar I det här försöket kommer ni att använda en svängande metallskiva som kan bromsas med en magnetbroms (som i laboration 1). Svängningsrörelsen åstadkoms genom att två fjädrar ger upphov till moment kring upphängningspunkten när skivan roteras från jämviktsläget. Målet med det här delmomentet är att bestämma amplituden och fasförskjutningen hos den resulterande svängningen för ett drivet dämpat system för olika dämpningar. Eftersom fjädrarna som är kopplade till skivan ger upphov till ett oscillerande moment så kan vi skriva deras inverkan på systemet som en torsionsfjäderkonstant D gånger vinkeln. Med momentlagen får vi då I = vilket är en harmonisk oscillator D Sida 5/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 har vi dämpning som beror av hastigheten får vi ett moment som är proportionellt mot vinkelhastigheten (i) lösningarna till det här problemet är kända och kan slås upp i t.ex. Physics handbook. Har vi vidare också ett drivande moment lägger vi till det: Om den drivande funktionen ser ut som: har det här systemet lösningen där (ii) är en avklingande lösning till (i) med dämpningsfaktorn lika med c/(2i) och partiklulärlösning Med I = D c I = (t) D c (t) = sin ( t ) tot (t) = H (t)+ p (t) H (t) = e t sin ( d t + ) p (t) =Q sin ( t ) Q = 2 q ( 2 2)2 +(2 ) 2 och fasen = 2 2 2 fasen mellan drivande oscillationen och resulterande oscillationen ser ni enklast med att koppla in två sensorer till en handdator och använda two graphs-läget. Då kan ni läsa av fasförskjutningen genom att titta på tidsskillnaden mellan exciterande och resulterande rörelsernas toppar och dela med periodtiden T och sedan multiplicera med två pi. t/t 2 = Försök 1: skruva bort magneten så långt som möjligt och bestäm resonansfrekvensen för det minst dämpade systemet. I idealfallet är denna svängning mycket lite dämpad. d = eftersom vi inte kan ta reda på systemets odämpade frekvens får vi bestämma dämpningskonstanten ur uppmätta amplituderna (). =ln(a 1 /A 2 )/t där amplituderna har tiden t mellan sig. = Sida 6/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 Försök 2: skruva in magneten och mät dämpningen och egenfrekvensen för tre st avstånd (förutom det i försök 1). avstånd d (mm) d försök 1 försök 2.1 försök 2.2 försök 2.3 plotta dämpningsfaktorerna från försök 2 och egenfrekvensen som funktion av avståndet mellan magnet och skiva. Från försök 2s dämpningsfaktorer skall ni subtrahera dämpningsfaktorn från försök 1. Försök 3: för fallet med den största dämpningen i försöket ovan så ska vi undersöka sambandet mellan den drivande frekvensen och resulterande amplitud och fasförskjutning. Ni ska redovisa detta i två stycken figurer där ni plottar amplitud som funktion av drivfrekvens resp. fasförskjutning som funktion av drivfrekvens. Drivfrekvensen kan ni ändra genom att ändra på spänningen som driver motorn. Den drivande vinkefrekvensen och amplituden läses av på handdatorn. Den resulterande svängningens amplitud läser ni också av där. Varje avläsning måste göras när den dämpade svängningen har hunnit klinga ut (tar typ 3 sekunder). Börja med en drivfrekvens som är ungefär 1 Hz under systemets egenfrekvens och skriv ner amplitud och fasförskjutning (se sid. 6) i steg om.1 volt tills ni är ungefär 1 Hz över egenfrekvensen. 1. Ni skall plotta dessa kurvor (t.ex. i Matlab eller excel). 2. Vad är resonansfrekvensens värde i ert experiment? 3. Effekt av dämpning, undersök den teoretiska kurvans utseende för de olika dämpningsfaktorerna 2.1-2.3 i samma diagram, i appendix finns ett matlabskript som plottar amplitud och fasförskjutning som funktion av drivfrekvenser, i de kan ni skriva in era värden. Hur påverkar ökad dämpning formen på kurvan (bredden, maximal amplitud, frekvens vid maximum)? 4. Stämmer era uppmätta fasförskjutningsvärden med de teoretiska kurvorna? Sida 7/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 Appendix MATLAB omega_=1; % rad/s systemets egenfrekvens Omega=.1:.1:4; % rad/s vi vill veta systemets respons för många frekvenser A=3; % drivamplitud % förstärkningsfaktor gamma=.1;% Hz Q1=Omega.^2*A./sqrt(((Omega.^2-omega_^2).^2+(2*gamma.*Omega).^2)); fas1=atan(2*gamma*omega./((omega.^2-omega_^2))) gamma=.5; Q2=Omega.^2*A./sqrt(((Omega.^2-omega_^2).^2+(2*gamma.*Omega).^2)); fas2=atan(2*gamma*omega./((omega.^2-omega_^2))) gamma=.1; Q3=Omega.^2*A./sqrt(((Omega.^2-omega_^2).^2+(2*gamma.*Omega).^2)); fas3=atan(2*gamma*omega./((omega.^2-omega_^2))) figure subplot(2,1,1) plot(omega,q1) hold on plot(omega,q2,'r') plot(omega,q3,'g') xlabel('tid / s') ylabel('amplitud / m') title('amplitud vs. drivfrekvens') subplot(2,1,2) plot(omega,fas1) hold on plot(omega,fas1) plot(omega,fas2,'r') plot(omega,fas3,'g') xlabel('tid / s') ylabel('fas / radianer') title('fasförskjutning vs. drivfrekvens') Sida 8/9

Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 Nedan är matlabskriptet jag använde för att skapa bilden med olika dämpade lösningar figure subplot(2,2,1) plot(t,(-t+5).^2.*sin(t)) hold on plot(t,(-t+5).^2,'r-') plot(t,-(-t+5).^2,'r-') xlabel('time / s') ylabel('amplitude / m') title('x(t)=(5-t)^2*sin(1*t)') subplot(2,2,2) plot(t,exp(-.1*t).*sin(t)) hold on plot(t,exp(-.1*t),'r') plot(t,-exp(-.1*t),'r') xlabel('time / s') ylabel('amplitude / m') title('x(t)=e^{(-.1*t)}*sin(1*t)') subplot(2,2,3) plot(t,(-t+5).*sin(t)) hold on plot(t,(-t+5),'r') plot(t,-(-t+5),'r') xlabel('time / s') ylabel('amplitude / m') title('x(t)=(5-t)*sin(1*t)') subplot(2,2,4) plot(t,2*sin(t)) hold on plot(t,2*ones(length(t)),'r') plot(t,-2*ones(length(t)),'r') xlabel('time / s') ylabel('amplitude / m') title('x(t)=2*sin(1*t)') Sida 9/9

Extra övningar (ej obligatoriska för laboration 4) Harmonisk oscillator/svängningsrörelse 1. Visa att för en kropp med tröghetsmomentet I som svänger kring en upphängningspunkt på avståndet d från masscentrum så är periodtiden för små svängningar T =2 p I O /(mgd) tips: använd momentlagen och att sin x x. Om du fastnar titta på The Physical Pendulum i boken (avsnitt 14.6) 2. En skiva med massan M och R är upphängd i en pianotråd. Tråden beter sig, vid små utslag kring jämviktsläget, som en torsionsfjäder med fjäderkonstant k. När vi börjar intressera oss för systemet så utför skivan (som kan ses som en cylinder) odämpad harmonisk svängning med amplituden D. En liten pil (massan m) faller, på avståndet a, från skivans centrum ned och fastnar i skivan. Pilen är så liten och lätt i förhållande till skivan att den kan ses som en punktmassa som fastnar i skivan. Visa att den nya maxamplituden D kan skrivas som (Från Feynman s exercises in physics). Tips: titta på exempel 14.5 i Young and Freedman. 3. En massa (4 kg) glider på ett underlag som kan anses vara friktionsfritt. Den sitter fast i en fjäder som i sin tur är fastsatt i en vägg. I startögonblicket är fjädern sträckt.1 m från jämviktsläget (där x= m) och massan släpps från vila (v= m/s). Periodtiden mäts till.5 s. Var befinner sig massan efter.4 s? 4. Fjädern i exempel 3 byts ut mot en fjäder som ger frekvensen 6 Hz. Vid starten i x()=.1 m ges nu massan istället hastigheten v()=5 m/s. Visa att den resulterande amplituden är.166 m.

Extra övningar (ej obligatoriska för laboration 4) 5. När vi har odämpad svängning måste vi ha två begynnelse/ randvillkor för att kunna lösa problemet. Till höger visas två sätt att skriva lösningen på. Visa att maxamplituden A1 och fasen i det alternativa sättet att skriva lösningen på är: A1=Amax fasvinkeln är tips: lös ut A och B och använd randvillkoren. Använd sedan den andra lösningen och sätt in randvillkoren. Kolla avsnittet 14.2 om Simple Harmonic Motion. 6. En cylinder som väger 1 kg rullar (utan att glida) på en horisontell plats. Radien är 15 cm. Bestäm fjäderkonstanten så att systemet rullar fram och tillbaka över jämviktsläget med frekvensen.3 Hz. Tips: använd Newtons andra lag och momentlagen och att vinkelaccelerationen gånger radien är tangentialaccelerationen när det rullar utan att glida. När vi har rullning utan glidning så accelereras inte kontaktpunkten i marken i förhållande till masscentrum (mitten på hjulet). Välj momentpunkten där hjulet är i kontakten med marken. Svar: k=53.3 N/m 7. Samma system som i uppgift 6 ges vinkelhastigheten 2 rad/s medurs (observera att detta inte är vinkelfrekvensen) i fjäderns jämviktsläge x()= m. Bestäm svängningens amplitud som funktion av tiden. Tips och svar: använd den är noll i t= om fasvinkeln är noll, det andra randvillkoret får vi ur hastigheten och att det rullar utan att glida 2 rad/s *.15 m=a* 3.55 rad/s ger A=.8 m.

Extra övningar (ej obligatoriska för laboration 4) 8. Systemet i bilden väger 2 kg, k=72 N/m och c=8 Ns/m. x= m är fjäderns jämviktsläge. Lådan glider friktionslöst och släpps från vila +1 m från jämviktsläget. a) Vilken typ av dämpning är det fråga om? b) vad är systemets position efter 1 sekund? svar till b: x(1)=.816 m 9. Stötdämparen byts ut till en med c=32 Ns/m och systemet släpps från vila +1 m från jämviktsläget. a) Vilken typ av dämpning är det fråga om? b) vad är systemets position efter 1 sekund? svar till b: x(1)=.837 m. 1. Massan ökas till 4 kg i systemet. Fjäderkonstanten är k=72 N/m och fjäderns jämviktsläge är i x=. Stötdämparen skall väljas så att systemet är kritiskt dämpat. a) vilket värde på c gör systemet kritiskt dämpat? (33.9 Ns/m) b) var är lådan vid t=1 s om den släppts från +1 m vid t= s och då fick + 4 m/s i initialhastighet? (+.133 m) 11. Systemet i 8 är i vila och stötdämparen är bortplockad. En tidsberoende kraft griper tag i lådan och skakar den med F(t)=1*sin(4t). Vilken är massans position efter 2 s? (+.337 m) 12. En seismograf har konstruerats och står stilla i jämviktsläget x= m. När jordbävningen kommer så skakas upphängningen med B(t)=1*sin(2t). Kulan och pennan väger 1 kg tillsammans, fjäderkonstanten är 1 N/m och dämpningen som är en skål med saft ger 2 Ns/m. a) vad är systemets resulterande amplitud efter lång tid? (5.55 mm). b) beskriv massans position i förhållande till jämviktsläget som funktion av tiden. tips: tänk på att B(t) inte är en kraft, det är en längd.

Extra övningar (ej obligatoriska för laboration 4) 13. massan m=2.26 kg är fästad i ett tunt styvt snöre på en trumma som är har radien 76.2 mm. En torsionsfjäder med fjäderkonstant 2.71 Nm/rad griber an i lilla kugghjulet. Stora kugghjulet är upphängd i ett lager med inbyggd stötdämpare som ger upphov till ett dämpande moment som är 2.3 gånger stora kugghjulets vinkelhastighet. Det stora kugghjulet har radien R=25 mm. Det mindre kugghjulet har radien 152.4 mm. Vikten lyfts 12.7 mm från jämviktsläget och släpps vid t= s från vila. Tröghetsmomenten är.19 kgm 2 för det lilla kugghjulet och.136 kgm 2 för det stora. a) vad är frekvensen för små svängningar kring jämviktsläget? (.55 Hz) b) Bestäm det stora kugghjulets vinkelposition som funktion av tiden. Tips: 1. frilägg kugghjulen i en bild och rita in krafter och moment. 2. Frilägg vikten i en annan bild. 3. Använd momentlagen och analysera vilka kraftmoment som verkar på stora kugghjulet. 4. använd Newtons 2 lag för vikten för att eliminera snörkraften. 5. använd att kugghjulen verkligen rullar utan att glida. 6. Accelerationen hos lilla hjulet hänger ihop med stora hjulet hur? 7. Vi är ute efter frekvensen så om ekvationen vi kommer fram till inte är homogen (sånär som på ett konstant moment) gör det inget. 8. Vi är intresserade av lösningen relativt jämviktsläget så vi kan göra ett variabelbyte (som vi bara säger att vi gör) så att de nya koordinaterna ger ett homogent problem. svar b: