Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn som r(u u 2 u 3 ). Om vi da haller en av parametrarna, sag u,xlater u 2 u 3 variera, sa far vi en tva-dimensionell yta, vilken vi kallar u -ytan. Pa samma satt kan vi da deniera ytor for de andra koordinaterna. Tva koordinatytor, till exempel de for koordinaterna u 2 u 3,skar varandra langs en en-dimensionell kurva. Langs denna kurva kommer da bara koordinaten u att variera, sa denna kurva ar en koordinatkurva for u. Exempel: I de cylindriskakoordinaterna z kan vi skriva ortsvektorn som r =(cos sin z). Koordinatytorna for z ar da en cylinder med z-axeln som symmetriaxel med radien, ett plan som utgar fran z-axeln bildar en vinkel med x-axeln, samt ett plan parallellt med xy-planet med z-koordinaten z. Koordinatlinjerna for z blir da enstrale som utgar fran z-axeln bildar vinkeln med x-axeln, en cirkel med radien en linje parallell med z-axeln. Om vi nu studerar en liten forskjutning av ortsvektorn, dr, sa kan vi i med att ortsvektorn ar en funktion av u u 2 u 3 skriva denna som dr = r u du + r u 2 du 2 + r u 3 du 3 : () Tank nu pa att den partiella derivatan r=u ar denierad som derivatan da vihaller u 2 u 3 xa. Darfor maste r=u vara en tangentvektor till koordinatkurvan for u.vikan da deniera en enhetsvektor for u som e = r (2) h u dar h = r u (3) kallas for skalfaktorn. Pa sammasatt kan vi bestamma skalfaktorer enhetsvektorer till u 2 u 3.Forskjutningsvektorn dr kan vi nu skriva som dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3 : (4) Exempel: I cylindriska koordinater ar r =( cos sin z). Vi kan da berakna r =(cos sin 0) (5) Skalfaktorerna blir da r =(; sin cos 0) (6) r =(0 0 ) : (7) z h ; ; = cos 2 + sin 2 =2 = (8) h = 2 cos 2 + 2 sin 2 =2 = (9) h z =: (0)
Enhetsvektorerna blir ^ =(cos sin 0) () ^ =(; sin cos 0) (2) ^z =(0 0 ) : (3) Forskjutningsvektorn kan da skrivas som dr = ^d + ^d + ^zdz: (4) I fortsattningen skall vi begransa oss till koordinatsystem med ortogonala enhetsvektorer, dvs e i e j = om i = j 0 annars (5) Vi skall ocksa anta att enhetsvektorerna bildar ett hogersystem e e 2 = e 3 (6) Visa att enhetsvektorerna i de cylindriska koordinaterna uppfyller dessa villkor. Vi kan nu harleda nagra anvandbara samband som baglangden langs en kurva ds 2 = dr dr = h 2 du2 + h2 2 du2 2 + h2 3 du2 3 : (7) Ett ytelement ds pa koordinatytan u ar en rektangel som genereras av du 2 du 3. Rektangelns sidor har da langderna h 2 du 2 h 3 du 3. Rektangelns area ar darfor ds = h 2 h 3 du 2 du 3 (8) pa samma satt kan vi berakna ytelementen pa koordinatytorna for u 2 u 3. Analogt kan vi berakna volymelementet som genereras av du,du 2 du 3, vilket blir Exempel: Bagelementet i cylindriska koordinater blir dv = h h 2 h 3 du du 2 du 3 : (9) ds 2 =d 2 + 2 d 2 +dz 2 : (20) Ett ytelement pa -ytan skrives pa -ytan pa z-ytan Volymselementet kan vi skriva som ds = ddz (2) ds =dz (22) ds = dd: (23) dv = dddz: (24) 2 Vektoroperatorer i kroklinjiga koordinater 2. Gradient Betrakta ett skalart falt f. Omviforyttar oss en stracka dr sa forandras f df = rf dr: (25) 2
Foryttningen kan vi i de nya koordinaterna skriva som Om vi skriver f som en funktion av u u 2 u 3 far vi dr = h e du + h 2 e 2 du 2 + h 3 e 3 du 3 : (26) df = f du + f du 2 + f du 3 = f h du + f u u 2 u 3 h u h 2 h 2 du 2 + f h 3 du 3 u 2 h 3 u 3 e 3 dr (27) u 3 = h f u e + h 2 f u 2 e 2 + h 3 f Da kan vi identiera uttrycket inom parentesen som gradienten i de nya koordinaterna u u 2 u 3 rf = h f u e + h 2 f u 2 e 2 + h 3 f Exempel: I cylindriska koordinater blir gradienten u 3 e 3 : (28) rf = f ^ + f ^ + f ^z: (29) z 2.2 Divergens Vi har denierat divergensen som divv = lim V!0 V I S v ds: (30) Vi kan nu berakna divergensen over en lada med sidlangderna h du, h 2 du 2 h 3 du 3 ivara kroklinjiga koordinater. Ladan har da tva ytor pa u -ytorna u +du =2 u ; du =2. Dessa ytor har sidlangderna h 2 du 2 h 3 du 3. Ytornas areor ar da h 2 h 3 du 2 du 3 dar skalfaktorerna maste beraknas vid korrekt u -koordinat. Vi far da pa ytan vid u +du =2dar normalvektorn ar n = e att v nds = v h 2 h 3 du 2 du 3 (3) pa ytan vid u ; du =2 med normalvektorn n = ;e att v nds = ;v h 2 h 3 du 2 du 3 : (32) Testvolymen V = h h 2 h 3 du du 2 du 3.Omvinu summerar ihop bidragen fran de tva sidorna dividerar med volymen h h 2 h 3 du du 2 du 3 [(v h 2 h 3 )(u +du =2) du 2 du 3 ; (v h 2 h 3 )(u ; du =2) du 2 du 3 ]= (v h 2 h 3 )(u +du =2) du 2 du 3 ; (v h 2 h 3 )(u ; du =2) du 2 du 3 h h 2 h 3 du = (v h 2 h 3 ) : (33) u h h 2 h 3 Pa samma satt kan vi behandla de ovriga sidorna divergensen blir till slut rv = h h 2 h 3 u (v h 2 h 3 )+ u 2 (u 2 h 3 h )+ u 3 (u 3 h h 2 ) Genom att ersatta v med rf kan vi ocksa harleda Laplace-operatorn i de kroklinjiga koordinaterna r 2 f = h h 2 h 3 u h2 h 3 h f + h3 h u u 2 h 2 f + h h 2 u 2 u 3 h 3 (34) f : (35) u 3 3
Exempel: Divergensen blir i cylindriska koordinater rv = (v )+ (v )+ z (v z) Laplace-operatorn blir i cylindriska koordinater r 2 f = f + f + f z z 2.3 Rotation Vi har denierat rotationen genom nrotv = lim S!0 S I C = (v )+ v + v z z : (36) = f + 2 2 f 2 + 2 f z 2 : (37) v dr: (38) For att nna e 3 komponenten till rv integrerar vi langs en liten rektangel i u 3 -ytan med sidlangder h du h 2 du 2. Linjeintegralen langs den hogra sidan ar v 2 h 2 du 2 (u +du =2 u 2 u 3 ), dar argumentet galler for bade v 2 h 2. Pa samma satt blir integralen langs den vanstra sidan ;v 2 h 2 du 2 (u ; du =2 u 2 u 3 ). Om vi summerar dessa tva bidrag dividerar med rektangelns area h h 2 du du 2 far vi h h 2 du du 2 [(v 2 h 2 )(u +du =2 u 2 u 3 )du 2 ; (v 2 h 2 )(u ; du =2 u 2 u 3 )du 2 ]= (v 2 h 2 )(u +du =2 u 2 u 3 ) ; (v 2 h 2 )(u ; du =2 u 2 u 3 ) h h 2 du = h h 2 Om vi summerar rektangelns ovre undre sida pa samma satt sa far vi e 3 -komponenten av rotationen blir da ; h h 2 e 3 rv = h h 2 u (v 2 h 2 ) : (39) u 2 (v h ) : (40) u (v 2 h 2 ) ; u 2 (v h ) : (4) De andra komponenterna kan beraknas genom att permutera indexen. Pa determinantform blir rotationen rv = h h 2 h 3 he h2e 2 h3e 3 u u2 u3 h v h 2 v 2 h 3 v 3 : (42) Exempel: Rotationen i cylindriska koordinater blir = v z ; z (v ) = v z ; v z ^ + vr ^ + v r z z ; v z r ; v z r rv = ^ + ^ + ^ ^ ^z z v v v z (v ) ; v v (v ) ; ^z ^z: (43) 4
3 Sfariska koordinater Med sfariska koordinater skriver vi ortsvektorn som r =(r sin cos r sin sin r cos ). Da far vi de tre tangentvektorerna Detta ger oss skalfaktorerna r = (sin cos sin sin cos ) (44) r r =(rcos cos r cos sin ;r sin ) (45) r =(;r sin sin r sin cos 0) : (46) h r = ; sin 2 cos 2 + sin 2 sin 2 +cos 2 =2 = (47) h = ; r 2 cos 2 cos 2 + r 2 cos 2 sin 2 + r 2 sin 2 =2 = r (48) h = ; r 2 sin 2 sin 2 + r 2 sin 2 cos 2 =2 = r sin : (49) Vi kan nu skriva vara dierentialoperatorer som rv = r sin rv = r 2 r r 2 f = r 2 f r 2 r r (sin v ) ; v rf = f ^r + f ^ + f ^: (50) r r r sin ;r 2 v r + + r sin (sin v )+ v r sin (5) sin r 2 f 2 f + sin r 2 sin 2 2 (52) ^r + v r r sin ; r (rv ) ^ + r r (rv ) ; v r ^: (53) 4 Rakneregler for dierentialoperatorer Precis som vi har rakneregler for derivatorer, sa kan vi harleda rakneregler for vara dierentialoperatorer. Det ar da viktigt att komma ihag att falten pa de bada sidorna av likhetstecknet skall vara av samma typ, det vill saga om vi har ett skalart falt till vanster om likhetstecknet skall vi ha ett skalart falt till hoger om likhetstecknet, om vi har ett vektorfalt till vanster om likhetstecknet skall ocksa faltet till hoger vara ett vektorfalt. Pa sa satt kan man resonera sig fram till nagra av raknereglerna. 4. Gradient, divergens rotation av en produkt av falt For vanliga funktioner f g galler att d dx df (fg)= dx g + f dg dx : (54) Om vi istallet betraktar r(fg), dar f g ar skalara falt, ser vi att det resulterande faltet skall vara ett vektorfalt, att vi maste derivera ett av falten at gangen. Om vi tar gradienten 5
av ett skalart falt, sa far vi ett vektorfalt om vi sedan multiplicerar med ytterligare ett skalart falt, sa har vi fortfarande ett vektorfalt, alltsa bor raknereglen galla. Pa liknande satt kan vi resonera oss fram till r (fg)=frg + grf (55) r(fu) =rf u + fr u (56) r(fu) =rf u + fr u: (57) De mer komplexa sambanden nedan ar dock svarare att harleda. I princip kan man visa dem genom att skriva ut ekvationerna komponentvis, men en eektivare metod ar att anvanda den indexnotation som beskrivs i Matthews. Indexnotationen ar ett eektivt verktyg i stora delar av den teoretiska fysiken. r(a B) =B (ra) ; A (rb) (58) r(a B) =(B r) A ; (ra) B ; (A r) B +(rb) A (59) r (A B) =(A r) B +(B r) A + A (r B)+B (r A) : (60) Har skall vi tolka A rsom A r= A + x x A y + y A z z (6) 4.2 Kombinationer med tva vektoroperatorer Man kan ocksa kombinera tva vektoroperatorer med ett falt. Ett enkelt vanligt exempel pa detta ar att vi vill berakna rotationen ett ett vektorfalt av formen r. Detta ger oss i kartesiska koordinater rr = r 2 = x x y y z = 2 z x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 : (62) Operatorn r 2 kallas for Laplace-operatorn. Analogt kan man deniera Laplace-operatorn for ett vektorfalt r 2 u = ; r 2 u x r 2 u y r 2 u z (63) men denna kan ocksa beraknas ur ekvationen r 2 A = r (ra) ;r(ra) : (64) Lagg har marke till att det nns enkla uttryck for Laplace-operatorn for ett skalart falt i kroklinjiga koordinater (se ovan), men inget sadant uttryck existerar for Laplace-operatorn for ett vektorfalt, utan om vi vill applicera Laplace-operatorn pa ett vektorfalt, sa maste vi ga tillbaka till ekv. (64). Tva viktiga samband, vilka dessutom ar enkla att harleda, ar rrf =0 (65) r(rf) =0: (66) 6