Föreläsning 8 Kap 6.8 732G71 Saisik B
Y Saionarie 25 2 För en saionär idsserie gäller 15 1 E(y ) = Var(y ) = 2 Corr(y, y -k ) beror bara av k (idsavsånde) och allså ine av. Uryck i ord: korrelaionen på e viss idsavsånd beror bara på avsånde (normal minskar korrelaionen med avsånde) mellan de jämförda idpunkerna. 5 1 2 En saionär idsserie karakäriseras av a den har en slumpmässig variaion kring en jämn nivå. 2
V W U Några ickesaionära idsserier 25 25 2 2 15 15 1 1 5 5 1 Linjär rend, ickesaionär av försa ordningen 2 1 2 Kvadraisk rend, ickesaionär av andra ordningen 5-5 Ickekonsan varians, även om medelvärde verkar konsan. Därmed ickesaionär. -1 1 2 3
y y y y Exempel 1 15 31 1.7752 61-1.3173 91 1.552 2 14.464 32 1.1129 62 -.621 92 11.4741 3 14.9383 33 9.933 63.14 93 11.5568 4 16.374 34 11.7435 64 1.43 94 11.7986 5 15.632 35 12.259 65 1.928 95 11.8867 6 14.3975 36 12.59 66 3.5626 96 11.2951 7 13.8959 37 11.5378 67 1.9615 97 12.7847 8 14.765 38 9.6649 68 4.8463 98 13.9435 9 16.375 39 1.143 69 6.5454 99 13.6859 1 16.5342 4 1.3452 7 8.141 1 14.1136 11 16.3839 41 9.2835 71 7.9746 11 13.8949 12 17.16 42 7.7219 72 8.4959 12 14.2853 13 17.7876 43 6.83 73 8.4539 13 16.3867 14 17.7354 44 8.246 74 8.7114 14 17.884 15 17.1 45 8.5289 75 7.378 15 15.8861 16 17.7485 46 8.8733 76 8.195 16 14.8227 17 18.1888 47 8.7948 77 9.972 17 15.9479 18 18.5997 48 8.1577 78 9.693 18 15.982 19 17.5859 49 7.9128 79 9.456 19 13.877 2 15.7389 5 8.7978 8 11.288 11 14.2746 21 13.6971 51 9.775 81 11.4986 111 15.1682 22 15.59 52 9.3234 82 13.2778 112 15.3818 23 16.2574 53 1.4739 83 13.591 113 14.1863 24 14.356 54 1.6943 84 13.4297 114 13.9996 25 11.9515 55 9.8367 85 13.3125 115 15.2463 26 12.328 56 8.183 86 12.7445 116 17.179 27 11.2142 57 7.259 87 11.7979 117 17.2929 28 11.723 58 5.814 88 11.7319 118 16.6366 29 12.595 59 1.8313 89 11.6523 119 15.341 3 12.1991 6 -.9127 9 11.3718 12 15.6453 Daa över veckovis försäljning av pappershanddukar från en viss illverkare. y uryck som iousenals handdukars skillnad från 1 handdukar. 4
Differeniering a göra en idsserie saionär En idsserie y som är icke-saionär av försa ordningen (i princip uppvisar en linjär rend) kan differenieras en gång: z = y y 1 y kan då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) En idsserie y som är icke-saionär av andra ordningen (i princip uppvisar en kvadraisk rend) kan differenieras vå gånger: z = y y 1 ( y 1 y 2 ) = y 2 y 1 + y 2 y kan då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) 5
Exempel (fors) Tidsserien förefaller ha blivi saionär! 6
Auokorrelaionsfunkionen (acf) Engelska sample auocorrelaion, SAC Meod för a avgöra om en idsserie z (som kan vara rådaa eller differenierade daa) är saionär. Mäer graden av linjär samband mellan observaioner på idsavsånd (laggavsånd) k r k nk b z zz n z z b k z z b där z 2 n b 1 Besäms med daorns hjälp och ploas mo laggavsånde illsammans med e konfidensinervall (konfidensband). Önskvär: snabb avklingande (saplar under konfidensbande) auokorrelaionsfunkion vid öka laggavsånd Om långsam avklingande auokorrelaionsfunkion (saplar uanför konfidensbande) är serien ej saionär n 7
Auokorrelaionsfunkion vid kora respekive långa beroenden För serier med kora beroenden avar acf snabb mo då k växer acf acf.35.3.25.2.15.1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112131415161718192 k.4.2 -.2 -.4 -.6 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 k acf.8.6.4.2 För serier med långa beroenden avar acf långsammare, men ydlig mo då k växer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 k 8
Exempel (fors) Signifikan spike i den försa laggen 9
Pariella auokorrelaionsfunkionen (pacf) Engelska parial sample auocorrelaion, SPAC Definierad som r om k 1 1 r kk r k 1 k 1 j1 k 1 j1 r k 1, j r k 1, j r k j r j där r kj rk 1, j rkk rk 1, k j Komplicerad olkning men kan berakas som den auokorrelaion som råder mellan observaioner på idsavsånd k när effeken av mellanliggande observaioner elimineras 1
Exempel (fors) Signifikan spike i den försa laggen 11
Auoregressiv modell av försa ordningen AR(1) z 1 z 1 a z kan vara rådaa eller en differenierad serie, men den ska vara saionär Konsanen skaas från daa och a anas vara normalfördelad med vänevärde och konsan varians. Vidare anas a 1, a 2, a 3, vara oberoende av varandra. Skaning av modellen sker enlig en ieraiv process som ligger uanför kursens ramar a beskriva Auoregressiv modell av försa ordningen lämpar sig när acf klingar av på e dämpa sä pacf har en spike i lagg 1 och inga fler spikes 12
Glidande medelvärdesmodell av försa ordningen MA(1) z a a 1 a anas ha samma egenskaper som för den auoregressiva modellen. Modellen skaas enlig ieraiv procedur Lämpar sig när acf har en signifikan spike i lagg 1 och inga fler spikes pacf klingar av på e dämpa sä 13
Auoregressiv modell av andra ordningen AR(2) z 1 z z 1 2 2 a Har längre beroenden än AR(1) Lämpar sig när acf klingar av på e dämpa sä pacf är skild från för k=1 och 2, är för k = 3, 4, 5,. acf pacf.8.8.6.6.4.4.2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 k 14
Glidande medelvärdesmodell av andra ordningen MA(2) z a Har längre beroenden än MA(1) Lämpar sig när a a 1 1 2 2 acf är skild från för k=1 och 2, är för k = 3, 4, 5,. pacf klingar av på e dämpa sä 15
16 Kombinerad auoregressiv och glidande medelvärdesmodell av ordningarna p och q ARMA(p, q) Vid mer komplicerade beroenden. Lämpar sig när acf avar mo noll, ofa med växlande ecken pacf avar mo noll, ofa med växlande ecken q q p p a a a z z z 1 1 1 1
Exempel (fors) Glidande medelvärdesmodell av försa ordningen ARIMA Model: y Esimaes a each ieraion Ieraion SSE Parameers 153.997.1 1 139.734 -.5 2 13.863 -.2 3 127.423 -.35 4 127.419 -.355 5 127.419 -.354 6 127.419 -.354 Relaive change in each esimae less han.1 Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P MA 1 -.3544.864-4.1. Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 1.3 18.6 27.5 41.2 DF 11 23 35 47 P-Value.5.725.815.71 Forecass from period 12 95% Limis Period Forecas Lower Upper Acual 121 15.8899 13.8532 17.9267 Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 12, afer differencing 119 Residuals: SS = 127.367 (backforecass excluded) MS = 1.79 DF = 118 17
Exempel (fors) Auoregressiv modell av försa ordningen ARIMA Model: y Esimaes a each ieraion Ieraion SSE Parameers 136.452.1 1 13.746.25 2 13.271.34 3 13.27.37 4 13.27.38 Relaive change in each esimae less han.1 Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P AR 1.376.876 3.51.1 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 12.5 21.4 31.2 42.7 DF 11 23 35 47 P-Value.326.557.654.649 Forecass from period 12 95% Limis Period Forecas Lower Upper Acual 121 15.7389 13.6794 17.7985 Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 12, afer differencing 119 Residuals: excluded) SS = 13.24 (backforecass MS = 1.14 DF = 118 18
Någo om val mellan olika meoder för idsserieanalys Give är en observerad idsserie: y 1, y 2,,y n Säsonger? Ja Nej Ja Trend? Nej ARIMA-modeller Enkel exponeniell ujämning Tidsserieregression Klassisk komponenuppdelning ARIMA-modeller Winers meod Tidsserieregression ARIMA-modeller Dubbel exponeniell ujämning
Enkel linjär regression Ni ska kunna för hand räkna fram parameerskaningar, konfidensinervall, prognosinervall, korrelaionskoefficiener, förklaringsgrader ec. Varför skall vi kunna göra dea för hand när de i prakiken allid görs med daorprogram? => Handräkningen visar a man försår vad de olika komponenerna i en modell sår för. Vad som är y, vad som är x, vad de är man skaar och vad de.ex. är för skillnad på konfidens- och prognosinervall. Vidare är den enkla linjära regressionsmeodiken grund för a även kunna räkna på enkla exponeniella modeller och elasiciesmodeller. Omsäning av formler är nyig a göra för a ine bli lås ill a all måse hea y och x. 2
Mulipel regression Här är de svårare a räkna u parameerskaningar för hand och de gör vi därför ine! Från daoruskrifer kan ni räkna med a få u - parameerskaningar (b, b 1,, b k ) - medelfel för parameerskaningar ( ) - kvadrasummor (SSR, SSE, SST sam SSR(x k x 1,,x k 1 ) dvs. sekveniella kvadrasummor) - konfidens- och prognosinervall i en given punk Vad måse ni själva kunna inse eller beräkna uifrån daoruskrifen? - anal frihesgrader - medelkvadrasummor, residualvarians - esvariabler - förklaringsgrader s, s b, sb, 1 - omräkning av inervall från 95% ill 99% och vice versa b k 21
Mulipel regression - VIF-värden - Resula från bes subses regression - Resula från auomaiska modellvalsprocedurer (framåval, bakåeliminering, segvis regression) Dessa måse försås kunna olkas och användas. Uskriferna på denna punk ges dock i sin helhe uan censurering. 22
Index Förså och kunna hanera de meodiker för indexberäkningar som diskueras i kursen Enkla prisindex Bye av basidpunk Deflaering Impliciprisindex Sammansaa fasbasindex Kedjeprisindex Relaivprisindex 23
Elasiciesmodeller Egenligen ine konsigare än vanliga regressionsmodeller, men kräver a man hanerar arimlagarna. Exempel: Modell i originalskala Modell på arimerad skala 1 y x Q C P Q C I Q C P E E I E p p I E I y 1 x Q C E P Q Q C E C E p I P I P E I I Handräkning kan endas göras för modeller med en förklaringsvariabel. 24
25 Exponeniella modeller Hanering av arimlagarna krävs. Exempel: Modell i originalskala Modell på arimerad skala 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 k k x k x x x x x y y y y r C v r C v x y y k
Tidsserieanalys Mycke av dea examineras genom inlämningsuppgifen men uppgifer kan komma på enamen. De handlar om a lära sig använda/olka modeller för idsserieregression och klassisk komponenuppdelning sam exponeniella ujämningsmeoder för prognoser. Själva räknande görs dock uesluande med daorns hjälp. Viss hum om saionarie och ARMA-modeller ingår också, men ingen kunskap om hur man räknar förusäs. För a få den oala examinaionen individuell finns normal en uppgif med på enan. Denna kan handla om a kunna olka en uskrif från idsserieregression eller klassisk komponenuppdelning kunna olka en uskrif från enkel eller dubbel exponeniell ujämning eller Winers meod kunna för hand beräkna en prognos med hjälp av skaade komponener från en komponenuppdelning kunna besvara diverse eorifrågor run idsserieanalys 26