2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar 90 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 90 och således förskjuts grafen åt vänster y = sin(x + 90 ) Svar: C = 90
c I uppgiften framgår inte om vi ska förskjuta funktionens graf åt höger eller vänster. Vi börjar med vänster. Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar 180 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 180 och således förskjuts grafen åt vänster y = sin(x + 180 ) Nu förskjuter vi grafen åt höger. Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 180 till vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 180 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 180 ) Betraktar vi graferna så ser vi att y = sin(x + 180 ) är identisk med y = sin(x 180 ) Vilket förklaras av att de är inbördes förskjutna 360 och sinus är periodisk med 360 Svar: C = 180 eller C = 180 ger samma resultat
d Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar π 4 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med π 4 radianer och således förskjuts grafen åt vänster y = sin (x + π 4 ) Svar: C = π 4 2321 a Utgå ifrån y = cos x Om vi subtraherar 40 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 40 och således förskjuts grafen åt höger Svar: y = cos(x 40 )
b Utgå ifrån y = cos x Om vi adderar 25 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt vänster Svar: y = cos(x + 25 ) c Utgå ifrån y = cos x Om vi adderar π till vinkeln x, 6 så kommer den att "tidigareläggas" med π 6 radianer och således förskjuts grafen åt vänster Svar: y = cos (x + π 6 )
d Utgå ifrån y = cos x Om vi subtraherar 2π 5 till vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 2π 5 och således förskjuts grafen åt höger radianer Svar: y = cos (x 2π 5 )
2322 f(x) = sin(x 20 ) är förskjuten åt höger med 20, och har dessutom ingen höjdledsförskjutning, jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ a) g(x) = sin(x 20 ) är förskjuten åt vänster med 20, och har dessutom ingen höjdledsförskjutning, jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ c)
h(x) = sin x + 0.5 är inte förskjuten i sidled, dock har den en höjdledsförskjutning på 0.5 jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ b)
2323 Graferna är endast förskjutna i x-led och kan därmed uttryckas som y = sin(x + C) Då 6 rutor i x-led motsvarar 180, motsvarar 1 ruta i x-led 30 Den gula grafen är förskjuten cirka 1 2 ruta åt vänster, 3 motsvarande 50 och får därmed funktionsuttrycket y = sin(x + 50 ) Den blåa grafen är förskjuten cirka 1 ruta åt höger, motsvarande 30 och får därmed funktionsuttrycket y = sin(x 30 )
2324 a Generell formel för sinusfunktionen y = A cos(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B y = 3 cos(x + 10 ) y = 3 cos(1 x + 10 ) + 0 Identifiera A, B, C och D A = 3 B = 1 C = 10 D = 0 Amplitud 3 Period 360 B = 360 1 = 360 Kommentar: x-leds förskjutningen på 10 påverkar inte amplitud eller period. Svar: Amplitud 3, Period 360
b Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B y = sin (2x + π 3 ) y = 1 sin (2x + π 3 ) + 0 Identifiera A, B, C och D A = 1 B = 2 C = π 3 D = 0 Amplitud 1 Period = 2π B = 2π 2 = π Kommentar: x-leds förskjutningen på π 6 påverkar inte amplitud eller period. Svar: Amplitud 1, Period π = 180
2325 a sin(2x + 40 ) = 3 2 Vid grafisk ekvationslösning utnyttjar vi att VL = HL Låt VL motsvara en funktion och HL en annan. Används Geogebra kan vi göra så här VL f(x) = sin(2x + 40 ) HL g(x) = 3 2 Kommentar: I skärningspunkterna har de båda ekvationerna samma funktionsvärde, f(x) = g(x) dvs VL = HL I Geogebra används kommandot Intersect för att skapa skärningspunkter Avläs x-värdet för skärningspunkterna vilket ger lösningarna till ekvationen. en lösning är x = 10 nästa lösning är 10 + perioden = 10 + 180 = 190 sålunda är den ena lösningsmängden: x = 10 + n 180 en annan lösning är x = 40 nästa lösning är 40 + perioden = 40 + 180 = 220 sålunda är den andra lösningsmängden: x = 40 + n 180 x = 10 + n 180 Svar: { x = 40 + n 180
Ekvationslösning med TI-räknare
b 2cos ( x 3 π 3 ) + 1 = 0 Vid grafisk ekvationslösning utnyttjar vi att VL = HL Nu är HL = 0 vilket grafisk motsvarar y = 0 dvs x-axeln VL f(x) = cos ( x 3 + π 3 ) HL : x-axeln I Geogebra används kommandot Roots för att skapa skärningspunkter med x-axeln Avläs x-värdet för skärningspunkterna vilket ger lösningarna till ekvationen. En lösning är x = 3π nästa lösning är 3π + perioden = 3π + 6π = 9π sålunda är den ena lösningsmängden: x = 3π + n 6π En annan lösning är x = 5π nästa lösning är 5π + perioden = 5π + 6π = 11π sålunda är den andra lösningsmängden: x = 5π + n 6π x = 3π + n 6π Svar: { x = 5π + n 6π
Ekvationslösning med TI-räknare
2326 y = sin (2x + π 4 ) Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Identifiera A, B, C och D A = 1 B = 2 C = π 4 D = 0 Förskjutningen i x-led ges av x = C π B = 4 2 = π 8 x är x-koordinaten för punkten P i grafen, dvs avståndet som y = sin (2x + π 4 ) förskjutits jämfört med y=sin (2x) som skär x-axeln vid x = 0 Svar: π radianer åt vänster 8
2327 Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och gula grafen i en tabell Röd Gul Amplitud 1 1 Period 6 rutor 6 rutor Förskjutning i x-led 0 0 Förskjutning i y-led 0 2 Den enda skillnaden mellan den röda och gula grafen är förskjutningen i y-led, som påverkas av konstanten D. Då röd graf beskrivs av y = sin 2x så kommer gul graf att beskrivas av y = sin 2x + 2 Svar: y = sin 2x + 2
Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och blåa grafen i en tabell Röd Blå Amplitud 1 1 Period 6 rutor 6 rutor Förskjutning i x-led 0 2 rutor höger Förskjutning i y-led 0 0 Den enda skillnaden mellan den röda och blåa grafen är att den blåa grafen är förskjuten i x-led 2 rutor höger. Förskjutning i x-led påverkas av konstanterna B och C, enligt samband ovan x = C B C = B x B = 2 x = 2 rutor, avläses i grafen som x-ledsförskjutningen hos den blåa grafen insätting ger C = 2 2 = 4 y = sin(2x + C) y = sin(2x 4rutor) Perioden för sin x är 2π Perioden för sin 2x är π Perioden avläses i grafen till 6 rutor, vilket betyder att en ruta motsvarar π 6 C = 4 rutor = 4 π 6 = 2π 3 Svar: y = sin (2x 2π ) = sin(2x 120 ) 3
2328 Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Avläsning i figur ger Amplitud: 3 A = 3 Period 4π Period = 2π B B = 2π period = 2π 4π = 1 2 Förskjutning i x-led: 0 C = 0 Förskjutning i y-led: 2 D = 2 Insättning ger y = A sin(bx + C) + D y = 3 sin ( 1 2 x + 0) + 2 y = 3 sin x 2 + 2 Svar: y = 3 sin x 2 + 2
Avläsning i figur ger Amplitud: 2 A = 2 Period 2π Period = 2π B B = 2π period = 2π 2π = 1 Förskjutning i x-led: π 6 x = C B C = Bx C = 1 ( π 6 ) = π 6 Förskjutning i y-led: 2 D = 2 Insättning ger y = A sin(bx + C) + D y = 2 sin (1 x + π 6 ) + 2 y = 2 sin (x + π 6 ) + 2 Svar: y = 2 sin (x + π ) + 2 = 2 sin(x + 30 ) + 2 6
2329 Varje cosinus funktion y = cos x kan skrivas som en sinusfunktion mha identiteten cos(x) = sin(x + 90 ) sinus ligger 90 efter cosinus y = cos(2x + 60 ) + 1 y = sin(2x + 60 + 90 ) + 1 y = sin(2x + 150 ) + 1 Vi ser att graferna för funktionerna f(x) = cos(2x + 60 ) + 1 g(x) = sin(2x + 150 ) + 1 överlappar varandra. Svar: y = sin(2x + 150 ) + 1
2330 Vår uppgift är att hitta den trigonometriska funktion f(x) som uppfyller de tre villkoren f ( π 6 ) = 2 f (π 2 ) = 3 f(π) = 1 Alla trigonometriska funktioner kan skrivas som en sinusfunktion på formen f(x) = A sin(bx + C) + D vilken innehåller fyra obekanta A, B, C och D För att lösa den krävs fyra samband men vi har endast tre, så för att komma vidare måste vi anta någon av A, B, C eller D. För att beräkningarna ska bli så enkla som möjligt när vi ställer upp ett ekvationssystem så antar vi både B och C. Sålunda sätt B = 1 och C = 0 (vi antar ingen förändring av perioden och ingen förskjutning i x-led) f(x) = A sin(1 x + 0) + D f(x) = A sin x + D 2 = A sin π 6 + D 3 = A sin π 2 + D { 1 = A sin π + D sedan tidigare vet vi att sin π 6 = 1 2 sin π 2 = 1 { sin π = 0 insättning ger 2 = A 1 { 2 + D 3 = A 1 + D 1 = A 0 + D 2 = A { 2 + D (1) 3 = A + D (2) D = 1 (3) (3) i (2) ger A = 2 Lösning { A = 2 D = 1 f(x) = 2 sin x + 1 Testa de tre villkoren, extra viktigt då vi gjort antagandena B = 1 och C = 0 f ( π 6 ) = 2 VL = 2 = 2 sin π 6 + 1 = 2 1 2 + 1 = 2 = HL f ( π 2 ) = 3 VL = 3 = 2 sin π 2 + 1 = 2 1 + 1 = 3 = HL f(π) = 1 VL = 1 = 2 sin π + 1 = 2 0 + 1 = 1 = HL Svar: f(x) = 2 sin x + 1
EXTRA 1 Om vi ser vår uppgift som ett geometriskt problem så innebär det att finna en trigonometrisk funktion vars graf går igenom de tre punkterna i koordinatsystemet. I Geogebra kan man tänka sig att göra en prövning. Att pröva med en obekant är enkelt. Att pröva med två obekanta är svårt. Att pröva med fler än två obekanta utan ytterligare information kan betraktas som praktiskt omöjligt, så vi måste som ovan antaga att B = 1 och C = 0 och sedan justera värdena på A och D.
EXTRA 2 I de flesta matematikprogram och räknare finns verktyg för att finna (trigonometriska) funktioner som passar till givna punkter. I Geogebra används kommandot FitSin[< list of points >] Det krävs dock att vi känner minst fyra punkter då det generella uttrycket som beskriver trigonometriska funktioner f(x) = A sin(bx + C) + D innehåller fyra obekanta konstanter A, B, C och D. Om vi känner, eller lyckas gissa, ytterligare en punkt till exempel ( 3π, 1) fås i Geogebra nedanstående funktion och graf. 2
2331 För att visa att f(x) = g(x) används identiteten sin x = cos(90 x) vinkeln x och (90 x) är komplementvinklar f(x) = sin(x + 10 ) = använd identitet ovan cos(90 (x + 10 )) = ta bort inre parentes cos(90 x 10 ) = cos(80 x) = bryt ut ett minustecken cos( (x 80 )) = cos( x) = cos x cos(x 80 ) = g(x) Grafen visar att f(x) och g(x) sammanfaller Kommentar: Vissa trigonometriska funktioner kan förskjutas med en viss vinkel så att en ny trigonometrisk funktion fås, som uttrycker precis samma sak. sin(x + 90 ) = cos x (sinus ligger 90 efter cosinus, därför ökas vinkeln x med 90 ) cos(x 90 ) = sin x (cosinus ligger 90 före sinus, därför minskas vinkeln x med 90 )