Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 12: Prestandabegränsningar & målkonflikter Sammanfattning av kursen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Sammanfattning av Föreläsning 11 2(31) Syntes för olinjära system Linjär design, olinjär verifikation. Olinjär IMC. Prediktionsreglering. Optimal styrning. Exakt linjärisering.
Sammanfattning av Föreläsning 11 2(31) Syntes för olinjära system Linjär design, olinjär verifikation. Olinjär IMC. Prediktionsreglering. Optimal styrning. Exakt linjärisering.
Sammanfattning av Föreläsning 11, forts. 3(31) Exakt linjärisering. Derivera y tills u syns explicit. (antal ggr = relativt gradtal, ν) Välj u så att de olinjära termerna försvinner i ν-te-derivatan av y. Ger linjär dynamik från referenssignal till y. Om relativt gradtal < antal tillstånd, så finns dold dynamik. Problem om den dolda dynamiken är instabil. Om relativt gradtal = antal tillstånd, så är hela systemdynamiken linjäriserad. Ibland kan man välja en alternativ utsignal sådan att det relativa gradtalet = n.
Sammanfattning av Föreläsning 11, forts. 4(31) Vad begränsar reglersystems prestanda? Styrsignalbegränsning Mätgivarfel (syns i T) Inneboende fysikaliska egenskaper hos styrda systemet, inklusive modellosäkerhet. (syns i S, T, poler och nollställen)
Föreläsning 12 5(31) Begränsningar och konflikter. Begränsad styrsignal. S och T Poler och nollställen i HHP. Sammanfattning av kursen.
Begränsad insignal. Exempel 6(31) Den 24 november 2004 grundstötte roro-passagerarfärjan Casino Express utanför Holmsund i hårt väder. Haverikommissionen: Vindkraften på överbyggnaden var minst 600 kn (20 m/s vindhast). Ingen kombination av styrsignaler (propellrar, roder) kunde kompensera detta. Inte ens bogserbåtsassistans (max 260 kn) räckte.
Utformning av styrsystem 7(31) Roderverkan var dålig vid låg fart eftersom rodret inte låg i propellerströmmen. Bogpropellern fungerade inte, men gav i vilket fall för liten tvärskraft.
När kan styrsignalen kompensera störningar? 8(31) Styrsignal u, störning d: z = G(s)u + G d (s)d för några G, G d (skalära för enkelhets skull). Antag att max-amplituden för d är d 0. Antag att max-amplituden för u är u 0. Då måste det gälla att u 0 G d(iω) G(iω) d 0, alla ω om ett godtyckligt d skall kunna elimineras helt. Är inte detta uppfyllt kan ingen regulator, linjär eller olinjär, ge perfekt störningsundertryckning.
Kompromiss mellan S och T 9(31) S + T = 1 S och T är entydigt bestämda av kretsförstärkningen GF y. För ett litet tal ε gäller approximativt S < ε GF y > 1 ε T < ε GF y < ε d.v.s. S och T kan inte vara små samtidigt. Typiskt önskemål: S liten vid låga frekvenser och T liten vid höga frekvenser.
Begränsningar på S, Bodes integral 10(31) Antag att kretsförstärkningen GF y har M poler i höger halvplan: p i ; i = 1,..., M och att GF y avtar åtminstone som s 2 då s. Då gäller skalärt Flervariabelt: 0 0 log S(iω) dω = π M i=1 log det S(iω) dω = π Re(p i ) M i=1 Re(p i ) där det S = σ 1 σ m. Konsekvens för största singulära värdet: 0 log σ(s(iω))dω π m M i=1 Re(p i )
Invariansegenskap hos S 11(31) 10 1 Bodes integralsats S 10 0 10 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 w Känslighet S(iω) < 1 vid vissa frekvenser måste betalas igen med S(iω) > 1 vid andra. Är GF y instabil blir situationen värre.
Konsekvenser av Bodes integral 12(31) Stabila system: Känsligheten kan inte vara < 1 vid alla frekvenser. Poler till GF y i höger halvplan försämrar känsligheten. Återbetalning av log S(iω) måste ske inom tillgänglig bandbredd! Obs! Vi förutsätter att GF y avtar minst som s 2 för stora s. Ren LQ-återkoppling åstadkommer S < 1 vid alla frekvenser men där avtar GF y bara som s 1. (Man antar ideal mätning)
Styrning av instabilt system 13(31) Öppna systemet har pol i höger halvplan. Kräver mycket tillförlitlig regulator. Går den sönder... Begränsad styrsignal medför att stabilisering normalt bara är möjlig i en del av tillståndsrummet (Gripen). En instabil pol p 1 ställer undre krav på bandbredden: (ungefär) ω B > 2p 1
Konsekvenser av misslyckande 14(31) Exempel: Tjernobyl 1986 Instabil process Urkopplad regulator Resultat: Explosionsartad effektökning som förstörde reaktorn och gav stora radioaktiva utsläpp Not: Normalt byggs kärnkraftverk så att neutronfysiken gör dem självstabiliserande. Undantaget är några grafitmodererade verk i f d Sovjetunionen.
En mer subtil konsekvens av pol i HHP 15(31) p i pol till kretsförstärkningen GF y T(p i ) = 1 Om p i ligger i HHP (höger halvplan) medför detta sup W T (iω)t(iω) 1 W T (p i ) 1
Konsekvenser för T av pol i p 1 > 0 16(31) T o 1 ω o ω Om T skall ligga under denna begränsning, så måste gälla: ω o p 1 1 1/T o
Ytterligare exempel på instabilt system 17(31) Överföringsfunktion för vanlig cykel (styrvinkel till lutningsvinkel) konst V s + V/a s 2 g/h V: hastighet, h: tyngdpunktshöjd, a: avstånd tyngdpunkt till bakhjul, g = 9.82 m/s 2 Som en inverterad pendel. Pol i höger halvplan. Beror på cykelns höjd: en låg cykel är svårare att balansera än en hög (instabila polen flyttas allt längre ut i HHP). Nollställe i vänster halvplan. Beror på hastigheten och tyngdpunktens läge.
Nollställen i höger halvplan: Exempel 18(31) 1 Step Response 0.8 Stegsvar till 4s + 2 (s + 1)(s + 2) Svarar först åt fel håll Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 Time (sec)
Nollställen i höger halvplan: Intuition 19(31) Systemets förstärkning av snabba förlopp har motsatt tecken jämfört med långsamma förlopp. En regulator som reglerar långsamma förlopp bra använder fel tecken för snabba förlopp och skulle därmed kunna destabilisera systemet. Undvik snabba förlopp genom att ge systemet en låg bandbredd. Alltså: Ett nollställe z 0 i höger halvplan verkar ge en övre gräns för bandbredden ω B. Mer rigoröst kan man med hjälp av Sats 7.4 få tumregeln: ω B z 0 /2
Nollställen i höger halvplan: Stegsvar 20(31) Stegsvar i skalära fallet: z 0 reellt nollställe i HHP Y(s) = (I + G(s)F y (s)) 1 G(s)F r (s) 1 s 0 = Y(z 0 ) = 0 y(t)e z 0t dt (Integralen är konvergent eftersom z 0 ligger i HHP) Slutsats: y antar både negativa och positiva värden.
Undersläng och stegsvar 21(31) Antag att T s är insvängningstiden till 10 % av slutvärdet och M det maximala negativa värdet. Enkla uppskattningar i integralen ger M 0.9 z 0 T s e z 0T s Litet värde på z 0 T s ger mycket stor undersläng.
Nollställen och återkoppling 22(31) Betrakta G c = GF r 1 + GF y, T = GF y 1 + GF y Om G(z 0 ) = 0 så är också G c (z 0 ) = 0 och T(z 0 ) = 0. Nollställen till G blir nollställen till G c och T, d.v.s. återkoppling flyttar inte nollställen. Däremot kan dessa nollställen ibland förkortas bort ( försvinna ), d.v.s. göras icke-styrbara och/eller icke-observerbara. Nollställen i HHP kan inte förkortas bort eftersom det skulle kräva en instabil pol i F y och/eller F r. D.v.s. det är omöjligt att gå runt begränsningarna som nollställen i HHP orsakar ( interpolationsvillkor ).
S och nollställen i HHP 23(31) G(s) = s + 1 s(s + 1) återkopplas med ett F y så att slutna systemets poler ligger i a( 1 ± i) (dubbelpoler). a = 0.5, 1, 2, 5, 10 Nollställe i z 1 = 1. Svårt att pressa frekvensen då S = 1 högre än ω = z 1 = 1. Priset blir att maxvärdet av S blir mycket högt. S 10 2 Känslighetsfunktion 10 1 10 0 10 1 10 2 0.5 1 2 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 w 5 10
Både pol och nollställe i HHP 24(31) Exempel: bakhjulsstyrd cykel (ekvivalent med V < 0) konst V s + V/a s 2 g/h Om polen ligger till höger om nollstället i HHP är det extremt svårstyrt. Tumreglerna krockar!
Poler/nollställen i höger halvplan, sammanfattning 25(31) Pol i höger halvplan. Undre gräns på bandbredd. Stora driftsäkerhetskrav. Svårare när polen flyttas åt höger. Nollställe i höger halvplan. Övre gräns på bandbredd. Svårare när nollstället flyttas åt vänster. Både pol och nollställe i höger halvplan. Nollställe till höger om polen: kan vara OK. Nollställe till vänster om polen: extremt svårstyrt. Se även Respect the Unstable, Gunter Stein, IEEE Control Systems Magazine, 2003.
Slut! 26(31) Här slutar kursen!
Sammanfattning av kursen: För livet 27(31) Några av de största reglertekniska framgångarna: När man använt återkoppling där ingen tidigare tänkt tanken. Det finns principiella gränser för vad som kan åstadkommas! Inte bara p.g.a. otillräcklig styrsignalstyrka. Kursen har visat på systematiska, analytiska designmetoder, som pressar syntesen till de principiella gränserna. Men,... testa alltid de enkla regulatorerna först. Glöm inte grundkursens metoder, t.ex. framkoppling.
Sammanfattning, fortsättning 28(31) Många av metoderna i denna kurs är tillämpbara långt utanför reglertekniken: Stabilitetsbegreppet Systemtänkande Analysmetoder som beskrivande funktion, fasplan, lyapunovfunktioner (Stör)signalmodeller sensorfusion
Sammanfattning av kursen: För tentan 29(31) Går i datorsal Speciella Tentakonton! Inloggningsuppgifter delas ut. Hjälpmedel Tabeller, räknare o.d. Matlab Reglerteoriboken plus grundkursboken. Inget lab- eller övningsmaterial, Math primer, eller gamla tentor... Omfattning: I princip alla kapitel som gås igenom på föreläsningar och lektioner (se kurshemsidan). Flervariabla egenskaper hos linjära system. Att kunna föra in störningar i systemmodellerna. Principerna för att para ihop styr- och mätsignaler.
För tentan, forts. 30(31) Att förstå betydelsen av S och T. Bodes integralsats. Begränsningar i S och T. Att kunna använda formlerna för LQG- och H 2 /H -regulatorer. Datorbaserad syntes. Använda cirkelkriteriet och beskrivande funktion. Använda enkla lyapunovfunktioner. Skissa och tolka fasplan. Göra exakt linjärisering för enkla fall.
Tack! Lycka till!