Robust flervariabel reglering

Transkript

1 Föreläsning 1 Anders Helmersson andersh@isy.liu.se ISY/Reglerteknik Linköpings universitet

2 Adresser andersh/teaching/robkurs.html andersh/teaching/robschedule.html

3 Återkoppling Varför behöver man återkoppling? r u G 1 y G När kan man inte göra så här?

4 Återkoppling Varför behöver man återkoppling? r u G 1 y G När kan man inte göra så här? G är instabil; G är osäker; G är icke minimum fas (nollställen i HHP).

5 Lite historia KF ˆx u L G y LQR/LQE optimala i viss mening Fas- och amplitudmarginaler? Abstract: There are none, Doyle, 1978, kapitel i ZDG. LTR ger marginaler (Loop transfer recovery).

6 Standardform w (systemstörning) r + u K 1 y G + + e (mätstörning) y = Sw + T(r e) S = (I + GK) 1 T = GK(I + GK) 1 S + T = (I + GK)(I + GK) 1 = I

7 Utökat system Vi vill också hålla ner styrsignalen. KSw W KS < 1 y K u G Tw + W T < 1 w Sw W S < 1

8 Utökat system w G z u y K Vi vill begränsa förstärkningen från w till z genom ett lämpligt val av K. Försök att minska förstärkningen till under 1.

9 Designmetod w G z u y K 1) Ställ upp krav 2) Syntes 3) Kontrollera om kraven uppfylls 4) Modifiera och upprepa från 1)

10 Flervariabel förstärkning Betrakta [ z1 z 2 z = Mw ] [ ] [ w1 = w 2 ] Låt w 2 = w w2 2 = 1, och maximera z 2 = z z2 2.

11 Flervariabel förstärkning Singulära värden: [ ] M = = UΣV T [ ] [ ] [ = där U T U = I, V T V = I, Σ diagonal 0. Använd svd i Matlab. Maximal förstärkning, M = σ(m) = σ 1 = max i σ i. Olika riktningar på w ger olika förstärkning. ] T

12 Syntes Välj ett K så att σ(a + BKC) minimeras.

13 Koppling till egenvärden M T M = VΣU T UΣV T = VΣ 2 V T Således M T MV = VΣ 2 och Σ 2 är egenvärden till M T M. Egenvärden har inte bra numeriska egenskaper.

14 Flervariabla fenomen throttle [%] hastighet [m/s, Mach] höjdroder [deg] Flygplan höjd [m] Hur kan man jämföra grader och %? Hur kan man jämföra m med m/s eller Machtal?

15 Skalning Skala insignalerna så att de hamnar mellan ±1. Skala utsignalerna så att kraven hamnar mellan ±1. Skala störningarna så att de hamnar mellan ±1. G d d 1 u 1 G + y 1

16 Skalning G d d 1 u 1 G + y 1 Krav för att kunna styra bort en störning så att y < 1: G 1 G d < 1

17 Lågförstärkningssatsen G G stabilt och G < 1. Om 1 så är det återkopplade systemet stabilt.

18 Lågförstärkningssatsen Bryt ut osäkra parametrar. LFT = linear fractional transformation: δ δ 1 G

19 Föreläsningar

20 Föreläsningar 1 Introduktion

21 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering

22 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda

23 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR

24 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes

25 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes 6 Loop shaping, modellreduktion

26 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes 6 Loop shaping, modellreduktion 7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er

27 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes 6 Loop shaping, modellreduktion 7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er 8 LMI:er

28 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes 6 Loop shaping, modellreduktion 7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er 8 LMI:er 9 µ-analys och -syntes

29 Föreläsningar 1 Introduktion 2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering 3 Återkoppling, stabilitet, prestanda 4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR 5 H -syntes 6 Loop shaping, modellreduktion 7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er 8 LMI:er 9 µ-analys och -syntes 10 Sammanfattning