Exempel 1: Flöde och temperatur i dusch. Processreglering Föreläsning Y. Exempel 2: Nivå och temperatur i tank

Transkript

1 Processreglering Föreläsning Y Exempel : Flöde och temperatur i dusch Multivariabel reglering Flera in- och utsignaler Stabilitet och interaktion Para ihop in- och utsignaler (RGA) Eliminera interaktion (särkoppling) Läsanvisning: Process Control: Styrsignaler: kallvattenflöde, varmvattenflöde Mätsignaler: totalt vattenflöde, temperatur Båda styrsignalerna påverkar båda mätsignalerna Exempel : Nivå och temperatur i tank Exempel 3: Nivå och temperatur i indunstare Nivån påverkar temperaturen Temperaturen påverkar ej nivån Nivån påverkar temperaturen Temperaturen påverkar nivån 3 4 Exempel 4: Tryck och flöde i transportrör Multivariabla systembeskrivningar Tillståndsbeskrivning: Massatorn PIC PT LIC FIC FT LT Tank Trycket i röret ska hållas konstant, medan det önskade flödet bestäms av tankens nivåregulator Tryckregleringen påverkar flödet Flödesregleringen påverkar trycket dx dt =Ax+Bu y=cx+du Överföringsmatris, t.ex.: G (s) G Y(s)= (s) G (s) (s) Samband:G(s)=C(sI A) B+D U(s) = G(s)U(s) 5 6

2 Blockschema, t.ex.: u G G y yflow Exempel: Duschen y temp = ucold e s e s u hot G Exempel: Transportröret 0.08e s ypres = 0.4s+ y flow 4.e.64s 3s+ 0.0e.4s 0.9s+ upump e 4s u valve 3s+ 7 8 Stabilitet för multivariabla system Varje krets, sluten för sig, kan vara stabil, men systemet kan ändå bli instabilt när flera kretsar sluts samtidigt! Exempel: r r G c G c Process u G G G y Endast första kretsen sluten: r G c u Utsignalernas beroende av insignalenr : Y = G G c +G G c R Y =G U = G G c +G G c R Stabiliteten bestäms av den karakteristiska ekvationen +G G c =0 (Motsvarande samband för andra kretsen) y 9 0 Båda kretsarna slutna samtidigt: Stabilitet allmänna fallet r G c u y Multivariabel processg p (s) och multivariabel regulatorg r (s): r G c Y(s)=G p (s)u(s) U(s)=G r (s)(r(s) Y(s)) Utsignalernas beroende av insignalernar ochr : Y = G G c +G c G c (G G G ) R + G G c R A A Y = G G c R + G c +G c G c (G G G ) R A A Stabiliteten bestäms av den karakteristiska ekvationen Återkopplat system: Y(s)=G p (s)g r (s)(r(s) Y(s)) Lös uty(s): Y(s)=(I+G p (s)g r (s)) G p (s)g r (s)r(s) Karakteristisk ekvation: A(s)=(+G G c )(+ G c ) G G G c G c =0 A(s)=det(I+G p (s)g r (s))=0 InteraktionernaG ochg kan förstöra stabiliteten Slutna systemet stabilt om alla rötter i vänster halvplan

3 Stabilitet exempel G p (s)= 5 0.s+ s+, G r (s)= 0.5s+ 0.4s+ Varje loop sluten för sig är stabil för allak,k >0 där det(i+g p (s)g r (s))=det K 0.s+ + 5K s+ K 0.5s+ a(s)=0.0s 4 +0.(3.+K +K )s 3 K 0 0 K K 0.4s+ + +(.9+.K +.3K +0.8K K )s +(+.9K +3.K +0.5K K )s +(+K +K 3K K )=0 = a(b) b(s) Relative Gain Array (RGA) Ett sätt att konstatera koppling i kvadratiska system (lika många insignaler som utsignaler) Baserat på den statiska förstärkningen K = G(0) Normalisering för att undvika skalningsproblem Vägledning för ihopparning av in- och utsignaler Sista koefficienten negativ om3k K >+K +K instabilt 3 4 Normaliserad förstärkning. Öppna systemets statiska förstärkning då u k =0, k =j k ij =G ij (0)= y i u j. Slutna systemets statiska förstärkning då y k =0, k =i (antag perfekt reglering av de andra utsignalerna) 3. Relativa förstärkningen l ij = y i u j λ ij = k ij l ij RGA för -system Stationära förstärkningar för variationer i insignalerna Antag nu att vi kan hålla =0. = k u k y = Alltsål = y = detk u k ( k k k k y = k u +k = k u +k ochl = detk ) u = detk k u = detk k Matrisen med elementen/l ij ges därför av k k = ( K ) T detk k k k 5 6 RGA-matrisen Λ RGA-matrisen Λ har elementen λ ij =k ij l ij, dvs Λ=K. ( K ) T OBS!. är elementvis multiplikation För Λ gäller Rad- och kolonnsumma n λ ij = i= n λ ij = Systemet lätt att reglera med enkretregulatorer om Λ är (nära) enhetsmatris (efter eventuella permutationer) j= Negativa element svarar mot besvärlig koppling 7 Ihopparning av in- och utsignaler Tumregel: In- och utsignaler ska paras så att motsvarande relativa förstärkning är positiv och så nära ett som möjligt. Exempel : Λ Parning Interaktion 0 u y Ingen 0 0 u Ingen 0 y u y Svag u y Svår 8

4 Exempel : 3 3-system G(s)= s+3 s+ s+ s+3 s+ s+ s+ s+ s+ RGA-beräkning: G(0)=, Λ= 4 0 G r G r3 G r u u 3 Process y y 3 Svår multivariabel interaktion Kopplingsförslag:u, y 3,u 3 y 9 0 Särkoppling Idé: Inför nya styrsignaler m och ett särkopplingsfilter D(s) så att systemet blir lättare att styra G r m D u G G G y Utsignaler som funktion av de nya insignalerna: Y(s) = G(s)U(s) = G(s)D(s)M(s) = T(s)M(s) där T(s) väljs med önskade egenskaper Särkopplingsfilter:D(s)=G(s) T(s) Välj T(s) diagonal -fallet: T 0 T(s)= 0 T, D(s)= detg T G T G T G T G r m Utformning av särkopplingen Tolkning: Ett val av särkoppling är följande: D(s)= G G G (andra val av D ligger utanför kursen) G r m G u G G y Detta val resulterar i följande särkopplade system: T(s)= G G G 0 G 0 G G G r m G G G Detta system kan nu regleras med två vanliga regulatorer 3 4

5 Implementering av särkopplingen Särkopplingselementen G G och G är omöjliga att implementera om de innehåller rena derivator negativa tidsfördröjningar Några lösningsalternativ: lågpassfiltrera använd bara den statiska förstärkningen sätt särkopplingselementet till 0 Process: RGA: Exempel: Transportröret 0.08e s G(s)= 0.4s+ 4.e.64s 3s Λ= e.4s 0.9s+ e 4s 3s+ Slutsats: reglera trycket med pumpen och reglera flödet med ventilen, viss interaktion mellan looparna 5 6 Simulering med särkoppling (heldragen) och utan (streckad): 85 Flöde 35 Tryck Ventil 70 Pump