MMVF01 Termodynamik och strömningslära

MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfrågor strömningslära (inkl. svar i kursiv stil; utan figurer) 11 december 2015 Sidhänvisningar: Young et al. (5th Ed.), Çengel & Boles (7th Ed.), Formelsamling (FS) CH. 1 INLEDNING 1.1 Definiera eller förklara kortfattat (a) fluid = medium som kontinuerligt deformeras vid godtyckligt liten skjuvbelastning, ex. gaser och vätskor. (s. 3) (b) dynamisk viskositet, µ = ämnesstorhet som uttrycker förhållandet mellan skjuvspänning (bromsande skjuvkraft per areaenhet) i ett plan och vinkeldeformationshastigheten i samma plan. För enkel skjuvströmning, V = u(y)î är τ = µ(du/dy), där τ är skjuvspänningen. (s. 13/14) (c) kinematisk viskositet, ν ν = µ/ρ, där µ är fluidens dynamiska viskositet och ρ dess densitet. (s. 15) (d) Reynolds tal Re = ρv L/µ = V L/ν, där ρ är fluidens densitet, µ dess dynamiska viskositet (ν kinematisk viskositet), L en karakteristisk längd (t.ex. diametern för en sfär) och V en karakteristisk hastighet (t.ex. anströmningshastigheten för en omströmmad kropp). (s. 15, 249/250, Table 7.1) (e) ljudhastighet Ljudhastighet, c = utbredningshastighet för små tryckstörningar i ett kompressibelt medium. Alt. c = ( p/ ρ) s, d.v.s. roten ur partiella derivatan av trycket p m.a.p. densiteten ρ vid isentrop process. (s. 19/20; s. 848 i Çengel & Boles) (f) Machtal Ma = V/c; V är lokal hastighet, c lokal ljudhastighet. (s. 20, Table 7.1; s. 848 i Çengel & Boles) 1.2 Ange dimensionen för dynamisk resp. kinematisk viskositet i SI-enheter. Ange också ungefärliga siffervärden på dessa för vatten och luft vid rumstemperatur och normaltryck (20 C, 1 atm). {µ} = Pa s; {ν} = m 2 /s; vatten, 20 C: µ = 1.0 10 3 Pa s, ν = 1.0 10 6 m 2 /s; luft, p = 1 atm, 20 C: µ = 18 10 6 Pa s, ν = 15 10 6 m 2 /s. Newtonsk fluid, enkel skjuvströmning: τ = µ du dy, {τ} = Pa = N/m2 = (kg m/s 2 )/m 2 = kg/(s 2 m), { du dy } = s 1, d.v.s. {µ} = kg/(s m) = Pa s; {ν} = {µ}/{ρ} = m 2 /s. (s. 14/15, Table B.2/4) 1.3 För Newtonska fluider gäller att skjuvspänningar är proportionella mot skjuvhastigheter (skjuvvinklars tidsderivator) i olika plan. Om skjuvningen sker i ett enda plan visa då att skjuvspänningen τ är proportionell mot hastighetsgradienten vinkelrätt detta plan. Betrakta ett från början (vid t = 0) rätvinkligt fluidelement, med sidorna δx och δy i xy-planet. När elementet tänks släppt fri i den enkla skjuvströmningen V = u(y)î translateras elementet (i x-riktningen med hastigheten u). Eftersom hastigheten varierar i y-led sker det även en vinkeldeformation i xy-planet. Hastighetsskillnad u mellan elementets över- och undersida vid tillräckligt litet δy: (du/dy)δy. Förskjutningen av översidan blir således u δt. Under tillräckligt kort δt fås vinkeldeformationen (skjuvvinkeln) δβ = u δt/δy = (du/dy)δt. Då δt 0 fås dβ/dt = du/dy. Om τ är proportionell mot dβ/dt är således τ du/dy. (s. 13) 1

CH. 2 FLUIDERS STATIK 2.1 Förklara vad som avses med absolut tryck samt över- resp. undertryck. Absolut tryck är tryck relativt vakuum (där p = 0). Över- resp. undertryck är tryckskillnaden över resp. under omgivande lufttryck. (s. 39/40; s. 22/23 i Çengel & Boles) 2.2 Betrakta en fluid i vila där z-riktningen är lodrätt uppåt. Utgående från att trycket är en skalär storhet, p = p(x, y, z), visa att dp dz = ρ g. Betrakta ett litet lådliknande fluidelement med sidorna δx, δy och δz (Fig. 2.2). Trycket i elementets centrum (omkring den betraktade punkten) = p. P.g.a. elementets utsträckning är trycken över resp. yta inte lika med p. Trycken kan dock sägas vara konstanta över resp. yta. Trycket på nivån z +δz/2 vid tillräckligt litet δz: p+( p/ z)(δz/2), på nivån z δz/2: p+( p/ z)( δz/2). Eftersom tryck verkar in mot punkten blir netto tryckkraft i z-riktningen ( p/ z) δx δy δz, som tillsammans med tyngdkraften ρ g δx δy δz måste vara noll (ingen acceleration), d.v.s. p/ z = ρ g. Ingen masskraft i varken x- eller y-riktningen ger p/ x = p/ y = 0 eller p = p(z), vilket med tidigare resultat ger dp/dz = ρ g. (s. 34 36) 2.3 Beskriv hur differenstryck över en komponent i ett rörsystem kan mätas m.h.a. U-rörsmanometer. Den strömmande fluiden har densiteten ρ, manometervätskan ρ m. Härled ett uttryck på tryckdifferensen med given avläst höjdskillnad h. Rita figur enligt Fig. E2.3 (sätt h 2 = h, ρ 1 = ρ, ρ 2 = ρ m ). Utnyttja principen att trycket på samma lodrätta höjd och för samma stillastående fluid i korresponderande kärl är lika. Vid vertikal förflyttning i samma fluid (med konstant densitet) är p = ρg z, där trycket ökar nedåt. Betrakta nivån som är på lodräta avståndet h 1 från de bägge punkterna A och B (där trycken är p A resp. p B ). I punkt (2) är trycket p A ρgh 1, i punkt (3): p B ρg(h 1 + h) + ρ m g h. Eftersom dessa tryck är lika fås p A p B = (ρ m ρ)g h. (s. 45/46; Example 2.3) CH. 3 BERNOULLIS EKVATION 3.1 Definiera begreppet inkompressibel strömning samt ange en tumregel för när en strömning måste betraktas som kompressibel. Vid inkompressibel strömning kan fluidens densitet betraktas som konstant. (FS, s. 4 samt s. 94) Om lokal strömningshastighet överstiger ca. 30% av lokal ljudhastighet måste strömningen betraktas som kompressibel. (FS, s. 4 samt s. 95) 3.2 (a) Definiera vad som menas med en strömlinje. En strömlinje är en linje i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn. (s. 69, 107) (b) Betrakta stationär och friktionsfri strömning (endast tryck- och gravitationskrafter). Visa att dp + ρ d(v 2 /2) + ρ g dz = 0 gäller längs en strömlinje. Newtons andra lag för ett litet fluidelement i form av en parallellepiped med volymen δv, längs en strömlinje (i s-riktningen): δm a s = δw s + δf ps ; δm = ρ δv ; a s = dv/dt, där V [s(t)], d.v.s. a s = (dv/ds)(ds/dt) = (dv/ds)v = (d/ds)(v 2 /2); tyngdkraft: δw s = ρ δv g sin θ, där sin θ = dz/ds, se Fig. 3.3 (z är uppåt). Tryck på resp. area vid δs/2 (area = δv /δs): p + (dp/ds)( δs/2) och p + (dp/ds)(δs/2); resulterande tryckkraft: δf ps = (dp/ds)δv. Division med δv, multiplikation med ds och omstuvning ger resultatet. (s. 70 73) 3.3 Ange Bernoullis ekvation längs en strömlinje. Ingående storheter skall klarläggas. Under vilka förutsättningar gäller ekvationen? Längs en strömlinje vid stationär, inkompressibel, friktionsfri strömning är summan av statiskt tryck, dynamiskt tryck och höjdtryck konstant, p+ρv 2 /2+ρ gz = konst., där z är en vertikal koordinat (uppåt), ρ fluidens konstanta densitet, V hastigheten och p det statiska trycket. (s. 73/94/95) 2

3.4 Definiera eller förklara kortfattat (a) statiskt tryck Det statiska trycket är det faktiska trycket i en punkt (att det kallas statiskt tryck beror på att det är det tryck som en tänkt observatör inuti ett fluidelement känner av när denne följer med elementet i strömningen). (s. 33/78) (b) dynamiskt tryck Kombinationen ρv 2 /2 kallas dynamiskt tryck (V hastighet, ρ densitet). (s. 78) (c) stagnationspunkt En stagnationspunkt är en punkt i ett strömningsfält där hastigheten är noll. (s. 78) 3.5 Beskriv hur ett Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) fungerar samt härled ett uttryck på strömningshastigheten. Illustrera. Principskiss enligt Fig. 3.6 (se även föreläsningsmaterial); anströmningshastighet U; stagnationspunkt vid det främre tryckhålet, tryck p s. Vid tryckhålet utefter röret (oftast flera tryckhål i en krans runtom eller en slits), har trycket via anpassad design återgått till fluidens statiska tryck i den ostörda strömningen framför röret, tryck p. Längs den horisontella strömlinje som kommer in framifrån och träffar stagnationspunkten förutsätts strömningen stationär, inkompressibel och friktionsfri. Längs denna strömlinje gäller då enligt Bernoullis ekvation: p s = p + ρu 2 /2, d.v.s. U = 2(p s p)/ρ. Mätning av tryckskillnaden p s p och känd densitet ρ ger hastigheten U. (s. 79/80) 3.6 Härled ett uttryck på en vätskestråles hastighet ut ur ett litet hål som sitter i botten på en stor öppen tank. Strömningen kan betraktas som friktionsfri. Hur beräknas volymflödet om hålets (minsta) area är given? Kontraktionskoefficienten antas känd (given). Stor tank, litet hål d.v.s. vätskedjupet h kan förutsättas konstant; stationär strömning. Hålets utloppsarea A h samt vätska; inkompressibel strömning. Följ en strömlinje från ytan (sektion 1), som passerar igenom hålet där sektion 2 är lagd tvärs genom den fria strålen vid utloppet. Friktionsfritt p 1 +ρv1 2/2+ρgz 1 = p 2 +ρv2 2/2+ρgz 2. z 1 = h, p 1 = p atm,1 ; stor tank, litet hål V 1 V 2 ; z 2 = 0, p 2 = p atm,2 = p atm,1 + ρ air gh (fritt utlopp), d.v.s. V 2 = 2(1 ρ air /ρ)gh = 2gh om ρ air ρ. Strålens area vid utloppet, A j, volymflöde Q = A j V 2 ; kontraktionskoefficient, C c = A j /A h Q = C c A h 2gh, där Cc 1. (s. 81/82) 3.7 Beskriv och illustrera hur en Venturimeter fungerar samt härled ett uttryck på massflödet. Förutsätt stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning. Design enligt Fig. 3.11 eller 8.26, kort kontraktion från det anslutna rörets tvärsnittsarea A 1 till en minsta sektion med area A 2, därefter relativt långsam areaökning tillbaks till A 1. Variationer över tvärsnitt försummas. Tryckskillnad p = p 1 p 2 uppmätt mellan sektion 1 strax innan kontraktionen och minsta sektion (2); ρ är fluidens konstanta densitet. Förutsätt horisontellt, z 2 = z 1. Bernoullis ekvation: p 1 +ρv1 2/2 = p 2 +ρv2 2 /2. Massbalans vid stationär, inkompressibel strömning: Q = A 1 V 1 = A 2 V 2. Eliminering av V 1 = V 2 (A 2 /A 1 ), p = ρv2 2(1 (V 1/V 2 ) 2 )/2, ger 2 p/ρ V 2 = 1 (A 2 /A 1 ) 2 Massflöde: ṁ = ρ Q = ρ A 2 V 2. (s. 89/90) CH. 4 KINEMATIK 4.1 Beskriv kortfattat skillnaden mellan partikelbana och stråklinje. Partikelbana: den faktiska bana i rummet som ett tänkt fluidelement följer. Stråklinje: är vid viss tid, lokus (förbindelselinje mellan positioner) för en strid ström av fluidelement som tidigare befunnit sig i en viss punkt i rummet. Vid stationär strömning överensstämmer partikelbanor med stråklinjer (och strömlinjer). (s. 107/108) 3

4.2 Förklara kortfattat skillnaden mellan laminär och turbulent strömning. Laminär strömning är en stabil och skiktad strömningstyp som uppträder om Reynolds tal är tillräckligt lågt, t.ex. vid rörströmning då Re < 2100; liten blandningsförmåga. Turbulent strömning är en oordnad och till synes kaotisk strömningstyp, karakteriseras av virvelrikedom samt slumpmässiga fluktuationer i både tid och rum; uppträder alltid om Reynolds tal är tillräckligt högt (motsatsen till laminär strömning); stor blandningsförmåga. (s. 106/283) 4.3 En fluidpartikels hastighetsvektor beror av läget och tiden t enligt V = V [ x(t), y(t), z(t), t ]. Visa att partikelns acceleration kan skrivas a = V t + u V x + v V y + w V z Partikelns (fluidelementets) acceleration är tidsderivatan av dess hastighet, a = dv/dt, d.v.s. a = (d/dt)v[ x(t), y(t), z(t), t ] = V/ t + ( V/ x)(dx/dt) + ( V/ y)(dy/dt) + ( V/ z)(dz/dt), vilket då u = dx/dt, v = dy/dt och w = dz/dt kan skrivas enligt den angivna formen; V = (u, v, w). (s. 110/111) 4.4 Låt B vara en godtycklig massberoende storhet och b vara samma storhet uttryckt i per massenhet. (a) Härled ett uttryck för den materiella tidsderivatan av B tillämpad på en stillastående, stel kontrollvolym vid endimensionell strömning (Reynolds transportteorem). Betrakta strömning i ett rör enligt Fig. 4.8. Lägg en invändig CV som vid tiden t överensstämmer med ett (slutet) system, B CV (t) = B sys (t). Inströmning vid kontrollytan (1), utströmning vid (2). Vid tiden t+δt, där δt är litet, har systemet flyttat sig en aning, sträckan V 1 δt vid (1), V 2 δt vid (2). Benämn skillnadsregionen vid (1) med I, den vid (2) med II. Integrerat värde av B för systemet vid t + δt: B sys (t + δt) = B CV (t + δt) B I (t + δt) + B II (t + δt). Förändring av B sys per tidsenhet: δb sys /δt = (δt) 1 [ B sys (t+δt) B sys (t) ] = (δt) 1 [ B CV (t+δt) B CV (t)+b II (t+δt) B I (t+δt) ], där B I (t + δt) = b 1 δm 1 = (bρav ) 1 δt och B II (t + δt) = (bρav ) 2 δt. Låt nu δt 0. Vänsterledet blir då den materiella tidsderivatan av B sys, (D/Dt)B sys. Första två termerna i H.L. övergår till den partiella tidsderivatan av B CV, ( / t)b CV. Detta ger: (D/Dt)B sys = ( / t)b CV + (ρbav ) 2 (ρbav ) 1. (s. 116 119) (b) Ange motsvarande generella teorem (tredimensionell, instationär strömning) gällande en rörlig men stel kontrollvolym. Illustrera det konvektiva bidraget med figur. Se Fig. D.2/D.3. Ytnormalvektorn ˆn pekar ut från CV. Låt W beteckna den vektoriella skillnaden mellan fluidens hastighet V och CV:s hastighet V CV, bägge relativt ett stillastående koordinatsystem. Hastigheten W = V V CV är då fluidens hastighet relativt ett koordinatsystem fixerat till kontrollvolymen. Det är normalkomposanten av W, W n = W ˆn, som transporterar massa (d.v.s. B) över kontrollytan CS. Allmän form för rörlig men stel CV: (D/Dt)B sys = CV ( / t)(ρb)dv + CS ρbw ˆn da. (Appendix D, s. 466; FS, s. 7) CH. 5 INTEGRALANALYS 5.1 Visa att medelhastigheten i ett rakt cirkulärt rör med fullt utvecklad laminär strömning är lika med halva hastigheten i rörets centrum. Hastighetsprofilen är parabolisk (beskriven m.h.a. ett andragradsuttryck). Parabolisk, axisymmetrisk hastighetsprofil: u = u max (1 η 2 ), där η = r/r; R är rörets innerradie; medelhastighet V ; V ˆn = u; ringformat ytelement, da = 2πr dr. Volymflöde: Q = V A = V πr 2 = A V ˆn da = R 0 u 2πr dr, d.v.s. V/u max = 2R 2 R 0 (1 η2 )r dr. Med r = R η och dr = R dη fås V/u max = 1 0 2(η η3 ) dη = 2[ η 2 /2 η 4 /4 ] 1 0 = 1/2. (Ex. 5.2, s. 128/129) 5.2 Newtons andra lag tillämpat på en kontrollvolym (CV): Vρ dv + VρV ˆn da = F CV t CV CS 4

där F CV = vektoriella summan av alla krafter som verkar på CV. Hastighetsvektorn V är relaterad till ett icke-accelererande koordinatsystem. Ange ett lämpligt koordinatsystem om kontrollvolymen rör sig med konstant hastighet. Förenkla ovanstående ekvation då strömningen är stationär och sker genom en stel kontrollvolym med endimensionella (homogena) förhållanden vid in- och utlopp. Specialisera sedan till ett inlopp och ett utlopp. Om CV rör sig är det lämpligt med ett koordinatsystem som är fixerat till CV (fluidhastigheter är då naturligt relativt CS). Stationär strömning, d.v.s. första termen i V.L. noll. Med alla storheter konstanta innanför integraltecknet i andra termen i V.L. och med ytnormalen pekande ut från CV övergår denna term till en summa över alla genomströmmade kontrollytor motsvarande netto utströmmad (linjär) impuls per tidsenhet, (ṁv) net,out = (ṁv) out (ṁv) in. Observera att ρv ˆn da = ±dṁ (+ vid utströmning, vid inströmning). Samtidigt gäller ju enligt massbalans och vid stationär strömning, ṁ out = ṁ in. Med ett inlopp och ett utlopp är ṁ out = ṁ in = ṁ, d.v.s. ṁ(v out V in ) = F CV. (FS, s. 8 samt Ex. 5.5/6/7/8/9) 5.3 Ange Bernoullis utvidgade ekvation tillämpad mellan två snitt i ett rör vid inkompressibel, stationär och endimensionell strömning. Definiera ingående termer och storheter. Illustrera i figur. Endimensionell strömning = homogena förhållanden över tvärsnitt. Tillämpad mellan två rörtvärsnitt (1: inlopp, 2: utlopp): p 1 + ρ V 1 2 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ V 2 2 2 + ρ g z 2 + p f + ρ w s där p är statiskt tryck, ρ fluidens densitet, V hastighet, z vertikal höjd över referensnivå, p f tryckförlust p.g.a. irreversibiliteter (alltid större än noll) och w s tekniskt arbete per massenhet (positiv för turbiner, negativ för pumpar och fläktar). (FS, s. 10 samt s. 160) CH. 6 DIFFERENTIALANALYS 6.1 Den momentana påverkan som ett hastighetsfält har på ett från början kubiskt litet fluidelement kan kinematiskt uppdelas i fyra elementarrörelser; vilka? Illustrera. 1. translation (förflyttning utan vridning och deformation); 2. volymsförändring (normaltöjning); 3. stelkroppsrotation (vridning); 4. vinkeldeformation (skjuvtöjning). (s. 176, Fig. 6.1) 1 6.2 (a) Divergensen av hastighetsvektorn V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater kan uttryckas som u/ x + v/ y + w/ z (= V). Vad beskriver denna skalära storhet? Vad gäller (för divergensen) vid inkompressibel strömning? Divergensen uttrycker relativa volymsförändringen per tidsenhet för ett fluidelement. Eftersom ett fluidelements massa är konstant är denna storhet noll vid inkompressibel strömning, ρ = konst. (s. 178; FS, s. 11) (b) Skriv ut rotationen av hastighetsvektorn (vorticitetsvektorn), V, i Cartesiska koordinater; gradientoperator, = ( / x, / y, / z). Vad beskriver vorticitetsvektorn fysikaliskt? Med = ( / x, / y, / z) kan kryssprodukten = V skrivas som en determinant, î ĵ ˆk x y z u v w = ( w y v ) ( w î z x u ) ( v ĵ + z x u ) ˆk y V uttrycker den dubbla momentana stelkroppsrotationen (vridningshastigheten) av ett fluidelement, moturs. (s. 180; FS, s. 11) 1 Illustrationen av 4. längst till höger i Fig. 6.1 är felritad; ingen vridning av diagonalen vid ren skjuvtöjning. 5

6.3 Visa att vorticitetsvektorns enda komposant vid plan strömning motsvarar den dubbla, momentana, vinkelhastigheten (moturs) för diagonalen av ett från början kubiskt infinitesimalt litet fluidelement. Plan strömning: V = (u, v, 0), där u = u(x, y), v = v(x, y). ζ z = ( V) z = v/ x u/ y; figur enligt Fig. 6.4. Materiella linjen OA vrids moturs av den differentiella ändringen av v i x-led, vridningsvinkel δα = ( v/ x)δx δt/δx, där δt är extremt litet (vilket innebär godtyckligt liten vinkel, tan(δα) = δα). På motsvarande sätt vrids den materiella linjen OB medurs av förändringen av u i y-led, vridningsvinkel δβ = ( u/ y)δy δt/δy. Moturs vridning av diagonalen (kring z-axeln, δx = δy): (δα δβ)/2. Vinkelhastigheten (moturs) fås efter division med δt 0; ω z = (dα/dt dβ/dt)/2 = ( v/ x u/ y)/2 = ζ z /2. (s. 179/180) 6.4 För ett strömningsfält beskrivet via ett Cartesiskt koordinatsystem leder lagen om massans oförstörbarhet till följande (kontinuitetsekvationen på differentiell form): ρ t + x (ρ u) + y (ρ v) + (ρ w) = 0 z (a) Härled ekvationen. Utgå från massbalans gällande en liten stel kontrollvolym kring en godtycklig punkt. Ledning: DB sys /Dt = CV (ρ b)/ t dv + CS ρ bv ˆn da. (b) Vid inkompressibel strömning kan ekvationen förenklas. Hur? (a) Massbalans för en stel CV runt den betraktade punkten (B sys = m, b = 1, m = konst.): CV ( ρ/ t) dv + CS ρv ˆn da = 0. Om nu CV är extremt liten behövs ingen volymsintegrering för den första termen; kan ersättas med ( ρ/ t)δx δy δz. Variationer över tvärsnitt kan försummas vid tillräckligt liten CV. Andra termen är netto massflöde ut ur CV, ṁ net,out. Netto massflöde ut ur CV i x-riktningen: ( ṁ x / x) δx, där ṁ x = (ρ u)δy δz. P.s.s. fås nettoutflöden i övriga riktningar. Med ṁ y = (ρ v)δx δz, ṁ z = (ρ w)δx δy fås [ ṁ net,out = x (ρ u) + y (ρ v) + ] z (ρ w) δx δy δz Tillsammans med ( ρ/ t)δx δy δz och efter divison med CV:s konstanta volym δx δy δz fås den sökta ekvationen. (b) Vid inkompressibel strömning är ρ konstant u/ x + v/ y + w/ z = 0. (s. 182 184) 6.5 Betrakta plan, tvådimensionell och inkompressibel strömning beskriven i ett Cartesiskt koordinatsystem, u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0. (a) Definiera strömfunktionen ψ(x, y) via uttryck för u och v. ψ definieras så att kontinuitetsekvationen är automatiskt uppfylld: u = ψ/ y, v = ψ/ x. Kontinuitetsekvationen: u/ x + v/ y = 0. Insättning ger 2 ψ/ y x 2 ψ/ x y 0. (s. 185) (b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer. Längs en linje ψ = konst. gäller dψ = 0; ψ = ψ(x, y) dψ = ( ψ/ x) dx + ( ψ/ y) dy. Enligt definition av ψ: dψ = v dx + u dy = 0. Längs en strömlinje är en förflyttningsvektor (dx, dy, 0) parallell med hastighetsvektorn (u, v, 0), d.v.s. v/u = dy/dx eller u dy v dx = 0 = dψ. (s. 185/186) CH. 7 DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHET 7.1 Ange dimensionen för densitet ρ, dynamisk viskositet µ, effekt P (arbete per tidsenhet) samt specifik värmekapacitet c p i MLT -systemet. Densitet är massa per volymsenhet, volym har dimensionen L 3 d.v.s. {ρ} = ML 3. Plan skjuvströmning, τ = µ(du/dy), där τ är skjuvspänning d.v.s. kraft per areaenhet. Kraft F är massa gånger acceleration, acceleration (a) är hastighetsändring per tidsenhet, hastighet V har dimensionen LT 1 d.v.s. {F } = M{a} = MLT 2 ; {du/dy} = {V }L 1 = T 1 ; {µ} = {τ}{du/dy} 1 = {F }L 2 T = MLT 2 L 2 T = ML 1 T 1. Arbete W är kraft gånger längd, {W } = {F }L = ML 2 T 2 ; arbete per tidsenhet (effekt), {Ẇ } = {W }T 1 = ML 2 T 2 T 1 = ML 2 T 3. Ändring av entalpi per massenhet för perfekt gas: h = c p T ; entalpi h har samma dimension som kinetisk energi per massenhet V 2 /2, d.v.s. {c p } = {V 2 }/{ T } = (L/T ) 2 /Θ = L 2 T 2 Θ 1. (s. 4, Table 1.1) 6

7.2 (a) Vad innebär principen om dimensionshomogenitet? Alla termer i ett matematiskt-fysikaliskt giltigt uttryck måste ha samma dimension (enhet). (s. 4) (b) Formulera det s.k. Π-teoremet. Om en fysikalisk process är beskriven som ett samband mellan k oberoende dimensionsvariabler så kan sambandet reduceras till ett mellan k r dimensionslösa variabler, s.k. Π-grupper. Reduktionsgraden r är alltid mindre än eller lika med antalet primära dimensioner i den ursprungliga relationen. Med denna begränsning är r det maximala antalet variabler som tillsammans inte kan bilda en Π-grupp. (FS, s. 18 samt s. 240) 7.3 Förklara vad som menas med geometrisk och dynamisk likformighet. Geometrisk likformighet: alla rumsliga dimensioner (längder) vid modell- och prototypförhållanden står i ett visst konstant förhållande till varandra, l m /l p = λ l. Dynamisk likformighet: utöver geometrisk likformighet skall alla krafter i motsvarande punkter och vid motsvarande tidpunkter stå i ett visst konstant förhållande till varandra; alt. kraftpolygoner verkande på fluidpartiklar ser likadana ut i homologa punkter och vid homologa tider. (Fö; s. 256/258) 7.4 (a) Betrakta en inkompressibel strömning med karakteristisk (konstant) hastighet V och d:o längd L. Visa att Reynolds tal (Re) är ett grovt mått på kvoten mellan tröghetskrafter och viskösa krafter verkande i denna strömning (tröghetskraft = massa acceleration). Betrakta t.ex. strömning kring en fast kropp som anströmmas med konstant hastighet V, t.ex. en bil som rullar på en väg med denna hastighet vid vindstilla. Låt L vara en typisk längd (längddimension) för kroppen, t.ex. bilens längd. Den fluidmassa (luftmassa) som sätts i relativ rörelse är av storleksordning ρl 3, där ρ är fluidens (konstanta) densitet. Acceleration är hastighetsändring per tidsenhet, a = dv/dt V/ t. En grov uppskattning av hastighetsförändringen V är hastigheten V självt; en bit bort från kroppen är ju hastigheten V och på dess yta är hastigheten noll. Den tid det tar för fluiden (luften) att passera föremålet är grovt sett L/V, vilket då är en uppskattning för den tid som en typisk hastighetsändring sker. En grov uppskattning av tröghetskrafterna som verkar blir då ρl 3 V/(L/V ) = ρv 2 L 2. De viskösa krafterna kan grovt sett tecknas som τ A, där τ är en typisk viskös skjuvspänning, som kan uppskattas som µ V/ y; jämför strömning i en tunn spalt, µ du/dy. Med uppskattningarna y L, V V och A L 2 fås att de viskösa krafterna kan grovt uppskattas till µ(v/l)l 2 = µv L. Ett grovt mått på kvoten (förhållandet) mellan tröghetskrafter och viskösa krafter blir då ρv 2 L 2 /(µv L) = ρv L/µ, vilket är Reynolds tal. (Fö; s. 250/256) (b) Formulera Reynolds likformighetslag. Vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor blir strömningen likformig vid likformig geometri om Reynolds tal är lika (vid modell- och fullskala). (Fö + Ch. 7.8) CH. 8 RÖRSTRÖMNING 8.1 (a) Definiera Reynolds tal vid strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt. Ange ungefärliga (ingenjörsmässiga) intervall i Reynolds tal för vilka fullt utvecklad rörströmning kan betraktas som laminär resp. turbulent. Re = V d/ν, där d är rörets inre diameter, V medelhastigheten i röret; V = 4Q/(πd 2 ) och ν fluidens kinematiska viskositet (ν = µ/ρ, µ dynamisk viskositet, ρ densitet). Laminär strömning: Re < 2100; fullt utvecklad turbulent strömning: Re > 4000 (ca.). (Då Re = 2100 4000 (ca.) är strömningen omväxlande laminär och turbulent, d.v.s. varken fullt utvecklad laminär eller turbulent; den övre gränsen beror av störningsförhållanden, Re 4000 gäller tekniska störningsnivåer.) (s. 276/283) (b) Skissera hastighetsprofilernas utseende vid fullt utvecklad laminär resp. turbulent strömning i ett rör med cirkulärt tvärsnitt. Hur inverkar Reynolds tal på profilens utseende? 7

Laminär strömning (Re < 2100): profilen är parabolisk, u/v c = 1 (r/r) 2, där V c = u max är hastigheten i rörets centrum; turbulent strömning: se Fig. 8.9; hastighetsprofilen är mer fyllig än vid laminär d:o, d.v.s. motsvarande mer flöde i rörets centrala delar och mycket större derivata (hastighetsvariation) invid rörväggen (se Fig. 8.9). Vid ökat Reynolds tal (Re) ökar profilens fyllighet för att då Re bli helt rak, utom allra närmast väggen. (s. 285) 8.2 Definiera eller förklara kortfattat: (a) inloppssträcka i rör = den sträcka längs ett rör, efter ett inlopp eller en störning vid passage av t.ex. en rörkrök, som krävs för hastighetsprofilens utseende skall bli oberoende av position längs röret. Efter inloppssträckan sägs strömningen vara fullt utbildad (eng. fully developed). (s. 277/278, Fig. 8.3) (b) friktionsfaktor f (Darcy-Weisbachs friktionsfaktor) Irreversibel tryckförlust p.g.a. rörfriktion: p f = p f,major = f(l/d)ρv 2 /2, d.v.s. f = 2D p f /(ρ l V 2 ), där D är rörets (inre) diameter, l dess längd, V medelhastigheten och ρ fluidens densitet. Strömningen förutsätts fullt utbildad. (För icke-cirkulära tvärsnitt ersätts D med hydraulisk diameter D h ). (s. 287 samt FS, s. 22) (c) engångsförlustkoefficient K L Irreversibel tryckförlust p.g.a. virvelbildning m.m. över en rörkomponent: p f = p f,minor = K L ρv 2 /2, d.v.s. K L = 2 p f /(ρv 2 ), där V är en referenshastighet, oftast medelhastigheten i det anslutna röret uppströms (ρ är fluidens densitet). (s. 290) (d) hydraulisk diameter D h D h = 4A/P, där A är rörets eller kanalens tvärsnittsarea och P dess våtlagda omkrets (periferi). (s. 298 samt FS, s. 22) 8.3 Betrakta fullt utbildad laminär strömning i ett horisontellt rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. Hur varierar tryckfallet per längdenhet p/l med volymflödet Q, diametern D, samt fluidens densitet ρ och dynamiska viskositet µ? Svar kan anges via exponenterna a d i uttrycket p/l Q a D b ρ c µ d. Hur förändras inverkan av resp. storhet om strömningen istället är turbulent vid tillräckligt höga Reynolds tal? Använda samband ska motiveras. I ett horisontellt rör med fullt utbildad strömning är tryckfallet över en viss längd l lika med tryckförlusten, p = p f (Bernoullis utvidgade ekvation, V 1 = V 2, z 1 = z 2, w s = 0). Eftersom röret är rakt finns endast tryckförlust p.g.a. rörfriktion, p f = p f,major = f(l/d)ρv 2 /2, där V = Q/A = 4Q/(πD 2 ) Q/D 2 ; fullt utbildad laminär strömning: f = C/Re (C = 64), där Re = ρv D/µ, d.v.s. f µ/(ρv D). Tryckfall per längdenhet, p/l fρv 2 /D µv/d 2 µq/d 4, d.v.s. a = 1, b = 4, c = 0, d = 1. Vid turbulent strömning och tillräckligt högt Re är f konstant (vid givet ϵ/d), d.v.s. p/l ρv 2 /D ρ Q 2 /D 5, d.v.s. a = 2, b = 5, c = 1, d = 0. 8.4 Skissera i ett dubbellogaritmiskt diagram hur friktionsfaktorn varierar med Reynolds tal och relativ skrovlighet vid fullt utbildad strömning i rör (Moody-diagrammet). Se Fig. 8.10. Laminär strömning: f = C/Re, där Re = ρv D h /µ, C en konstant och Re 2100 (ca.); cirkulärt tvärsnitt: D h = D och C = 64. Relativ skrovlighet ϵ/d h inverkar inte på f vid laminär strömning. I ett dubbel-logaritmiskt diagram blir funktionen C/Re en rak linje snett nedåt. Vid turbulent strömning, Re > 4000 (ca.), inverkar ϵ/d h. För ett slätt rör (ϵ/d h 0) varierar f grovt sett enligt f = C 1 Re 1/4, d.v.s. med mindre lutning nedåt jämfört med laminära fallet. Vid tillräckligt högt Re och turbulent strömning blir till slut f oberoende av Re och enbart beroende av ϵ/d h (till höger om streckad linje); ökande ϵ/d h ger ökat f. (s. 288) CH. 9 OMSTRÖMMADE KROPPAR 9.1 Definiera för en omströmmad kropp: (a) formmotstånd 8

Formmotstånd är strömningsmotstånd p.g.a. tryckkrafter mot kroppen yta (tryckkrafternas variation beror väsentligen på kroppens form). (s. 342) (b) motståndskoefficient C D C D = 2D/(ρV 2 A), där D är strömningsmotstånd i anströmningsriktningen, längs V, ρ fluidens densitet, V anströmningshastighet och A en karakteristisk area för kroppen, oftast kroppens frontarea. (s. 325/342) 9.2 (a) Förklara kortfattat vad som menas med ett gränsskikt. Illustrera med enkel skiss. Ett gränsskikt är ett tunt område närmast en fast yta där viskösa effekter är av betydelse, utanför gränsskiktet kan strömningen betraktas som friktionsfri (Fig. 9.4c). Ett nödvändigt villkor för existens av gränsskikt är att Reynolds tal är högt. (s. 325 328) (b) Ange en praktisk definition av gränsskiktstjocklek δ. δ = δ 99 där δ 99 är det vertikala avstånd från väggen där hastigheten uppnår 99% av hastigheten utanför gränsskiktet, u(y = δ 99 ) = 0.99 U. (s. 325/329) (c) Hur varierar δ med avståndet från framkanten x vid strömning över en plan platta vid tangentiell anströmning med konstant hastighet U? Potensberoenden i olika områden skall anges. Illustrera med figur. För ett laminärt gränsskikt ökar δ (= δ 99 ) som roten ur x, se ekv. (9.8). För ett turbulent gränsskikt tillväxer δ snabbare, approximativt som x 0.8 ; skiss enligt Fig. 9.6. (Fö + s. 331/336) 9.3 Definiera förträngningstjocklek δ för ett gränsskikt vid inkompressibel, tvådimensionell strömning. Förklara varför δ kallas förträngningstjocklek. Illustrera med figur. δ = 0 (1 u/u) dy δ motsvarar en förflyttning ut från väggen av en tänkt strömlinje vid gränsskiktets rand (en förträngning) som uppstår p.g.a. väggens friktion, d.v.s. p.g.a. av själva gränsskiktet, se Fig. 9.8 (δ illustreras även i Fig. 9.7). Utan friktion (utan gränsskikt) fås ingen uppbromsning och strömlinjer följer då kroppskonturen. (s. 329/330) 9.4 Förklara kortfattat vad som menas med gränsskiktsavlösning (eng. boundary layer separation), speciellt varför fenomenet uppträder. Illustrera schematiskt för strömning kring en cirkulär cylinder (eller en sfär). Avlösning sker p.g.a. friktion, utan friktion ingen avlösning. Friktionens inverkan vid strömning kring en cylinder (eller en sfär) kan liknas med hur en kula som släpps utan hastighet från kanten av en skål; p.g.a. friktion kommer inte kulan ända upp till andra kanten, den stannar lite innan. Omvandlingen potentiell energi till kinetisk energi blir inte fullständig (kulans inre energi ökar d.v.s. den blir varmare). Något liknande gäller ett tänkt fluidelement som följer ytan. Omvandlingen flödesenergi p/ρ till kinetisk energi blir inte fullständig med friktion. Utan friktion kommer elementet att först accelereras från stagnationspunkten längst fram (med trycket p s ); nå sin högsta hastighet och lägsta tryck på krönet av cylindern (eller sfären), för att sedan återgå till hastigheten noll och trycket p s längst bak. Så länge kulan accelererar kan den naturligtvis inte stanna. Detsamma gäller för det tänkta fluidelementet, det kan bara stanna där trycket ökar längs ytan d.v.s. där hastigheten utanför gränsskiktet avtar. [Trycket tvärs ett gränsskikt är konstant, tryckvariationen utefter ytan bestäms av hastighetens variation utanför gränsskiktet d.v.s. av Bernoullis ekvation.] Stationär strömning innebär att det blir en ansamling av fluidelement vid den position där det första fluidelementet stannar. Ansamlingen innebär att fluidelement som kommer sent tvingas uppåt i gränsskiktet vilket till slut innebär att de dras med den yttre strömningen och släpper (löser av) från ytan. (s. 339 341, Fig. 9.11/12) 9

Ch. 17 (ÇENGEL & BOLES) KOMPRESSIBEL STRÖMNING 17.1 (a) Förklara vad som menas med stagnationstemperatur och stagnationstryck. Stagnationstemperatur är den temperatur som en fluid uppnår då den adiabatiskt nedbringas till hastigheten noll. Stagnationstryck är det tryck som en fluid uppnår då den adiabatiskt och friktionsfritt (isentropiskt) nedbringas till hastigheten noll. (s. 844/845) (b) Härled ett samband mellan stagnationstemperatur T 0, temperatur T, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. Vid kompressibel gasströmning kan variationer i potentiell energi försummas. Längs en kontrollvolym runt strömlinje, adiabatisk strömning: dh + d(v 2 /2) = 0, där h är entalpin per massenhet. Beteckna entalpin i stagnationspunkten (där hastigheten är noll) med h 0, motsvarande temperatur är T 0. Perfekt gas: h = c p T, d.v.s. h 0 h dh = h 0 h = c p (T 0 T ) = 0 V d(v 2 /2) = V 2 /2. Perfekt gas (liksom för ideal gas) c 2 = krt samt c p = kr/(k 1), där c är den lokala ljudhastigheten. Detta ger (Ma = V/c): T 0 T = 1 + V 2 2c p T kr(k 1) V 2 = 1 + 2kR c 2 = 1 + k 1 2 Ma2 (c) Härled ett samband mellan stagnationstryck P 0, statiskt tryck P, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. Isentropsamband: P v k = konst. (v = volymitet) Enligt (a) är T 0 /T = 1 + k 1 2 Ma2 (visas!). Isentropsambandet + ideala gaslagen (P v = RT ) ger P 0 /P = (v/v 0 ) k = (T/T 0 ) k (P 0 /P ) k eller (s. 844/845) ( ) k P 0 P = T0 k 1 = (1 + k 1 ) k k 1 T 2 Ma2 17.2 Den lokala ljudhastigheten c i ett kompressibelt medium definieras ( P ) ( ) P c = = k ρ s ρ T Bestäm ur denna definition ett uttryck på ljudhastigheten för en ideal gas. För en ideal gas gäller ideala gaslagen, P = ρrt d.v.s. ( P/ ρ) T = RT vilket insatt ger c = krt. (s. 848) 17.3 Beskriv ett Lavalmunstycke (eng. converging-diverging nozzle). Illustrera. Vad används det till? Ett Lavalmunstycke är en anordning för att åstadkomma gashastigheter som är högre än den lokala ljudhastigheten; används t.ex. som utloppsmunstycke till raketer. Det består av en (snabbt) konvergerande del, följt av en minsta sektion (halsen) och slutligen en (svagt) divergerande utloppsdel, se Fig. 17-27. Det enda sätt på vilken en gas kan bibringas överljudshastighet utifrån stillastående vid adiabatiska förhållanden är via ett Lavalmunstycke. (Fö + s. 855, 861 863) Christoffer Norberg, tel. 046-2228606, christoffer.norberg@energy.lth.se 10