Hållfasthetslära Böjning och vridning av provstav Laboration 2 Utförs av: Habre Henrik Bergman Martin Book Mauritz Edlund Muzammil Kamaly William Sjöström Uppsala 2015 10 08
Innehållsförteckning 0. Förord 1. Introduktion 2. Syftet 3. Teori 4. Metod och materiel 4.1 Materiel 5. Resultat 5.1 Beräkningar 6. Slutsats och diskussion 7. Felkällor Appendix 2
0. Förord För enkelhetens skull är alla konstitutiva formler i denna rapport angivna med ekvationsnummer 1 enligt formelsamlingen handbok och formelsamling i Hållfasthet i kursiv still. 1. Introduktion I dagens teknik är vi beroende av att kunna beräkna hur olika material med olika geometrier kommer att bete sig då de belastas med olika krafter. Vid enkelaxliga tillstånd är det relativt lätt att förutsäga när plasticering kommer att ske om material och geometri är kända. Dock är det ofta så att t.ex en grävmaskin belastas fleraxligt. För att kunna beräkna t.ex flytgräns vid en sådan situation används olika modeller, bland annat Trescas eller Von Mises. 2. Syftet I denna laboration ska vi undersöka hur väl Trescas och Von Mises modeller stämmer överens med verkligheten. Genom att jämföra erhållna värden på flyttspänning vid böjning, vridning och även kombinerad böjning och vridning med teoretiska värden och sedan plotta dessa tillsammans med de teoretiska graferna för Trescas och von Mises flythypoteser. 3. Teori För att bestämma de maximala spänningarna i provstaven kan följande ekvationer betraktas: τ max = M v /W v (1) (6.75) σ max =M b /W b (2) (6.8) Momenten ges av: M b = af cosθ M v = af sinθ (4) Där vinkeln θ finns beskriven under 4.2 Metod punkt 7. (3) Vridningsmotståndet hos provbiten ges av: W b =πa 3 /4 (5) (FS s.332) W v =πa 3 /2 (6) (FS s.332) 1 Bengt Sundström, Handbok och formelsamling i Hållfasthet 2013, Stockholm 3
Omskrivning av spänningsformlerna: (3) i (1) ger: τ max = (af cosθ )/W v (7) σ max =(af sin )/W b (8) (6) i (7): τ max = ( af cos ) /(r32) =2 af cos r3 (5) i (8): σ max =( af sin ) / (r34)=4 af sin r3 Formler för Mohrs cirkel ( (1.19) i formelsamlingen 1 ): Mohrs spänningscirkel kan användas för att bestämma huvudspänningarna (σ 1, σ 2, σ 3 ). R = ((σ x σ y )/2) 2 + τ xy 2 σ 1 = ( 1/2) * ( σ x + σ y ) + R σ 2 = ( 1/2) * ( σ x + σ y ) R (9) (10) (11) Formler för von Mises och Trescas flythypoteser: Fig 1. Visar Trescas och Von Mises grafiskt i planet av huvudspänningarna. Von Mises liksom Trescas hypotes beskriver ekvationer som anger gränser för flyttspänningar under en eller två axliga tillstånd. Trescas och Von Mises skiljer sig något: Trescas hypotes ges av formeln: e Tresca = m ax ( 1, 2, 1 2 ) (12) (3.26) 4
(i laborationen eftersom σ 3 = 0 under hela laborationen.), medan Von Mises hypotes ges av formeln: 2 e V on Mises = 2 1 12 + 2 2 (13) (3.24) Trescas hypotes åskådliggörs i figur 1 som utrstäckta hexagonen medan Von Mises motsvaras av ellipsen. Med σ s känd går det med hjälp av Trescas och Von Mises att plotta upp ett teoretiskt område för tillåtna spänningar. Det vill säga spänningar där materialet inte deformeras plastiskt. 5
4. Metod och materiel 4.1 Materiel 3st provstavar med σ s = 414 MPa, med geometri enligt figur 2. Vikter av varierade massa. Ställning för att testa kombinerad böjning och vridning (radie på skiva 100mm). Mätklocka som mäter 1/100 mm. Figur 2. Provstavens geometri. 4.2 Metod Laborationen utfördes enligt följande: 1. Ställningen placerades på plant underlag. 2. Mätklockans position justerades till 180 grader från där vikterna hängdes på skivan. 3. En provstav monterades i ställningen, extra försiktighet vidtogs för att inte deformera provstaven något vid monteringen. 4. Ursprungsvärdet på mätklockan noterades. 5. En vikt hängdes på och förändringen på mätklockan noterades. 6. Steg 5 upprepades för alla vikter enligt tabell 1 och 2. 7. Steg 2 till 6 upprepades för böjning (0 ), kombinerad böjning och vridning (45 ) samt vridning (90 ). 6
5. Resultat Resultatet kan avläsas i tabell 1 och 2. I appendix finns även spänning töjnings diagram (diagram 1 till 3) för respektive fall uppritat utifrån värderna i tabell 1 och 2. I tabell 3 redovisas de uppmätta kritiska spänningarna. Tabell 1. Visar tabellerade värden rehållna direkt efter metod utan matematisk bearbetn ing 7
Tabell 2. Visar spänning och skjuvspänning för varje enskilda värde på vinkeln ( γ ) Tabell 3. Visar spänning och skjuvspänning för den materiella punkten som har högts belastning i de tre olika fallen, böjning, vridning och böjning & vridning. 8
5.1 Beräkningar Mohr s cirkel: I fallet böjning (0 ): Vi får enligt tabell 2, σ x = 557 MPa, σ y =0 MPa och τ xy =0, alltså får vi radien enligt ekvation (9): R=278,5 MPa Sedan får vi σ 1 och σ 2 enligt ekvation (10) respektive (11): σ 1 =(1/2)σ x +R=557 MPa σ 2 =(½)*σ x R=0 MPa Mohrs spänningscirkel för fallet böjning finns plottad tillsammans med punkterna (σ x, τ xy ) och (σ y, τ xy ) i figur 4. Figur 4. Mohrs spänningscirkel för böjningsexperimentet. 9
I fallet vridning (90 ): Vi får enligt tabell 2 σ x =0 MPa, σ y =0 MPa och τ xy =294 MPa, alltså får vi radien enligt ekvation (9): R=294 MPa Sedan får vi σ 1 och σ 2 enligt ekvation (10) respektive (11): σ 1 = R= 294 MPa σ 2 = R= 294 MPa Mohr s spänningscirkel för fallet vridning finns plottad tillsammans med punkterna (σ x, τ xy ) och (σ y, τ xy ) i figur 5. Figur 5. Mohr s spänningscirkel för vridnings experimentet. 10
I fallet kombinerad vridning och böjning (45 ): Vi får enligt tabell 2 σ x =416 MPa, σ y =0 MPa och τ xy =208 MPa, alltså får vi radien enligt ekvation (9): R=294 MPa Sedan får vi σ 1 och σ 2 enligt ekvation (10) respektive (11): σ 1 = 502 MPa σ 2 = 86 MPa Mohrs spänningscirkel för fallet böjning och vridning finns plottad tillsammans med punkterna (σ x, τ xy ) och (σ y, τ xy ) i figur 6. Figur 6. Visar Mohr s spänningscirkel för vridnings och böjningsexperimentet experimentet. 11
Tresca och von Mises: Figur 7. Visar flytlastytan enligt von Mises och Trescas hypotes i planet av huvudspänningarna σ 1, σ 2. De utmarkerkerade punkterna visar då begynnande plasticering inträffade För böjning (i blått), Vridning (i rött) och böjning och vridning (i lila). 6. Slutsats och diskussion Vid studering av resultatet uppmärksammades det att vid alla tre fallen så hamnade den uppmätta flytspänningen en relativt stor bit utanför utanför den teoretiska flytspänningen enligt både Trescas och von Mises hypoteser. Det kan dock observeras att mätvärdena enligt figur 7 följer en elliptisk kurva som ligger utanför den teoretiska von Mises ellipsen. I och med att felet ser ut att vara liknande i samtliga mätningar, se figur 7, så bör det inte bero på mätfel vid experimenten, utan snarare att den givna flytspänningen på 414 MPa är för låg för materialet. Anledningen till att tillverkaren av provbiten angivit en för hög flytspänning kan till exempel bero på att de kan ha en säkerhetsmarginal mellan den faktiska flytspänningen och den angivna. Flytspänningen kan även variera lite mellan olika provbitar och hur länge de fått vila sedan de bearbetades plastiskt (i tex en svarv). 12
7. Felkällor Här listas felkällor och osäkerheter under laborationen: Oförsigtighet vid påläggning av vikter och på grund av detta även svårt att läsa av mätklockan som var väldigt känslig. Osäkerhet kring hävarmens längd (skivans radie). Dåligt fastskruvad provstav. Okalibrerad mätklocka, tex felvisande eller sliten mätklocka. Osäkerhet på hur exakt vikterna som användes var graderade. Tvivelaktigheter kring vad som är exakta vridcentrum (dvs om provbiten monterades helt centrerat eller inte). Appendix Diagram 1 visar ett load displacment diagram i böjning och vridningsfallet. 13
Diagram 2 visar ett load displacment diagram i vridnings fallet. Diagram 3 visar ett load displacment diagram i böjnings fallet. 14