Föreläsningsdel 3: Spänningar i jord (motsvarande Kap 3 i kompendiet, dock ej mätavsnittet 3.6)

Transkript

1 Föreläsningsdel 3: Spänningar i jord (motsvarande Kap 3 i kompendiet, dock ej mätavsnittet 3.6)

2 Spänningar i jord Olika spänningstillstånd Krafter och spänningar i ett kornskelett Torrt kornskelett Vattenmättat kornskelett Porvattentryck Mohr s spänningscirkel

3 Olika spänningstillstånd Generellt 3D spänningstillstånd Plana tillstånd (2D) Plan spänning Plan deformation Triaxiellt spänningstillstånd Triaxiellt geostatisk spänningstillstånd

4 Generellt 3D spänningstillstånd ( Tryck positivt! ) X Y Z ( Nedåt! ) Definieras av 6 tal: De 6 spänningskomponenterna x, y, z, xy (= yx ), yz (= zy ) och zx (= xz ) alternativt huvudspänningarna 1, 2, 3 och deras orientering, som ges av x, y och z

5 Plana tillstånd (2D) X Y Z Plan spänning: y = yz = yx =0 Plan deformation (töjning): y = yx = yz =0

6 Triaxiellt spänningstillstånd (två av huvudspänningarna är lika stora) X Y 1 Z 2 = 3 2 = 3

7 Triaxiellt geostatisk spänningstillstånd (spänningstillstånd under plan mark orsakat av jordens egentyngd) Markyta Y z X Z (vertikal huvudspänningsriktning) i jordlager x y 0 z K i z * ) ** ) Z z x där K 0 är vilojordtryckskoefficienten K 0 är normalt Skjuvspänningarna xz, yz och xy är noll * ) ** ) Till z kan adderas ev. fördelad last på markytan. Inverkan av ev. porvatten är inte beaktat i ekvationen.

8 Exempel Hur stora är spänningarna i en torr jord 2.0 m under markytan? Gör en överslagsmässig beräkning av storleken av de 6 spänningskomponenterna! Antag vid beräkningen triaxiellt geostatiskt spänningstillstånd och gör något överslagsmässigt val av beräkningsförutsättningar (jordens tunghet och värde på vilojordtryckskoefficienten).

9 Spänningar i jord Olika spänningstillstånd Krafter och spänningar i ett kornskelett Torrt kornskelett Vattenmättat kornskelett Porvattentryck Mohr s spänningscirkel

10 Krafter och medelspänning över en snittyta i ett torrt kornskelett Ett kornskelett Kraftöverföringen över porsnittytorna (dvs via luften) försummas. N i T xi Y Z X Normalspänningen: * ) * ) z N i T Skjuvspänningen: xz * ) Prim betecknar effektivspänning. Obs: tryckspänning positiv. xi / A / ** ) A ( ) zx ** ) Snittytan A är liten, men mycket större än kornen.

11 Krafter och medelspänning över en snittyta i vattenmättad jord Ett kornskelett Tryck i vattnet ger upphov till normalkrafter N iw över vattensnittytorna. N i N iw T xi Y X Vattnet tar inte upp någon skjuvspänning. Således bäres hela skjuvspänningen av kornskelettet. Jordens skjuvhållfasthet påverkas däremot av vattentrycket.

12 Hur stor del av en total normalkraft, N tot, bäres av kontaktkrafter mellan kornen respektive av vattentrycket? En litet jordstycke med förenklad geometri studeras: N tot Porvattentrycket = u Kornen antages helt vätade, dvs A w = A N i u N tot N / A ( N u A ) / A tot i N tot u Total normalspänning = effektiv normalspänning + porvattentrycket Gäller alla tre normalspänningskomponenterna. u

13 Bestämning av porvattentrycket, u En brunn eller ett rör med öppna ändar Jorden ej vattenmättat Jorden vattenmättat Vattenfront h c z Markytan h c betecknar jordens. kapillära stighöjd. Grundvattenytan, u=0 Porvattentrycket på djupet z under GVY är u = z w där w 10 kn/m 3 * ) * ) Stillastående vatten antages.

14 Porvattentrycket, u Jorden ej vattenmättad Jorden vattenmättad Vattenfront z=0 Undertryck, dragspänning, (sug) i vattnet, u<0 h c, den kapillära stighöjden u = z w. u Grundvattenytan, u=0 z Tryck, tryckspänning i vattnet, u>0

15 Kapillära stighöjden, h c Jorden ej vattenmättad Jorden vattenmättad Vattenfront Z h c Sand: h c = m Silt: h c = m Lera: h c = m Grundvattenytan, u=0

16 Exempel GVY 4 m Z Jorden är en stenig grus med γ d = 16 kn/m 3 och γ m = 18 kn/m 3. Beräkna total och effektiv vertikal normalspänning för 0 z 10 m!

17 Spänningar i jord Olika spänningstillstånd Krafter och spänningar i ett kornskelett Torrt kornskelett Vattenmättat kornskelett Porvattentryck Mohr s spänningscirkel

18 Mohrs cirkel är ett sätt att grafiskt redovisa spänningstillståndet i en punkt. Används för plan spänning och triaxiell spänning mycket inom geoteknik.

19 Mohrs cirkel visar spänningstillståndet som en cirkel i ett n - diagram. Exempel 1: Punkten ( z, xz )=(3.0, 0.75) x z z =3.0 x =1.0 xz =0.75 n 1) Rita in de två punkterna i diagrammet! 2) Rita diagonalen! 3) Rita cirkeln! Punkten ( x, - xz )=(1.0, -0.75)

20 Mohrs cirkel ger n och för valfritt orienterat plan. z x n x =1.0 Punkten ( z, xz )=(3.0, 0.75) ( n,) 2 xz =0.75 n z =3.0 Punkten ( x, - xz )=(1.0, -0.75)

21 Mohrs cirkel visar spänningstillståndet som en cirkel i ett n - diagram. Exempel 2: x z z = 1 =3.0 ( z, xz )=(3, 0) x = 3 =1.0 xz =0 n 1) Rita in de två punkterna i diagrammet! 2) Rita diagonalen! 3) Rita cirkeln! ( x, - xz )= (1, 0)

22 Mohrs cirkel ger n och i t.ex 45 o riktning: z n x 45 o x = r = 3 =1.0 ( z, xz )=( 1, 0 )=(3, 0) ( n,)=(2.0, 1.0) 90 o xz =0 n z = a = 1 =3.0 ( x, - xz )= ( 3, 0) )=(1, 0)

23