Laboration 2b: Varmtrådsanemometri

Institutionen för Energivetenskaper MMV025/211 Strömningslära Laboration 2b: Varmtrådsanemometri MÅLSÄTTNING Laborationen avser att ge introduktion till varmtrådstekniken, samt att genom mätningar få viss insikt i dess möjligheter att analysera turbulenta hastighetsfält. Mätningarna sker i luft, i vaken nedströms en cylinder med cirkulärt tvärsnitt, och utförs m.h.a. att PCbaserat anemometersystem. FÖRBEREDELSER Läs igenom detta PM, avsnitt 1.2, 1.4 och 1.5 kan läsas kursivt, samt läs styckena Pitot- Static Tube och Hot-Wire Anemometer i delkapitel 6.12 i kursboken (F. M. White, Fluid Mechanics). Du bör då förstått grunderna för tekniken samt fått en uppfattning av vad som skall göras vid laborationen. Titta även igenom Example 3.11 i White. UTFÖRANDE 1. Aktivering av förkunskaper 2. Genomgång av utrustning och metodik 3. Mätningar enligt detta PM 4. Utvärdering, diskussion och redovisning Denna del av laborationen omfattar ca. en timme. Vissa moment kommer att demonstreras, baserat på tidigare mätningar. C. Norberg, 16 januari 2010

1 Varmtrådsanemometri 1.1 Inledning Varmtrådsanemometri (Hot-Wire Anemometry, HWA) är idag en väl etablerad teknik för att lokalt mäta och kartlägga hastighetsfält, framförallt vid (turbulent) gas- och vätskeströmning i en fas. Kompletta och väl utvecklade system finns tillgängliga kommersiellt. En stor fördel med HWA är att man med kontinuerlig utsignal kan detektera mycket snabba fluktuationer i strömningsfältet. Principen för varmtrådsanemometri bygger på en strömmande fluids förmåga att kyla en uppvärmd kropp. Fluidens hastighet inverkar på kylförmågan och genom kalibrering kan denna relation bestämmas. För snabb respons och för att kunna mäta lokalt används elektriskt upphettade små sensorer, i gaser oftast tunna s.k. varmtrådar. Dessa är ofta av volfram och belagda (pläterade) med ett tunt skikt av platina för att undvika oxidering. I luft och vid hastigheter under ca. 40 m/s samt kring rumstemperatur har trådarna typiskt följande dimensioner: diameter 5 µm; aktiv längd 1.25 mm. 1 Den idag helt förhärskande metoden för hastighetsmätning bygger på att man låter tråden/filmen hålla en konstant resistans d.v.s. konstant temperatur (konstant-temperatur anemometer, CTA). Sonden kan i bästa fall svara upp mot fluktuationer på flera hundra khz. Varmtrådens resistans (temperatur) hålls konstant m.h.a. en återkopplad och spänningsmatad Wheatstone-brygga. 1.2 Värmeöverföring Betrakta en lång, tunn upphettad tråd med cirkulärt tvärsnitt som kyls av en omgivande fluid. Hastigheten V antas konstant över trådens längd. Den totala värmeavgivningen beror av 1. Fluidens hastighet V och riktning (vinkel θ mot trådens normal). 2. Temperaturdifferens mellan tråd och fluid, Θ = T w T g. 3. Fluidens fysikaliska egenskaper (densitet ρ, viskositet µ, värmekonduktivitet k, värmekapacitivitet c p,...). 4. Trådens dimensioner (diameter d, längd l) samt fysikaliska egenskaper (ρ w, c w,...). I allmänhet är (2) och (4) kända. Om (3) är känd eller hålls konstant kan (1) mätas; om (1) är känd kan (3) mätas. 1 I vätskor används s.k. varmfilmer, sonder där den upphettade delen består av en kvartsstav som är belagd med tunn metallfilm, oftast nickel. 1

Tråden kyls i ett allmänt fall av ledning, konvektion och strålning. Strålningsförluster kan normalt försummas om T w < 300 C (T g 20 C). Ledningsförluster sker dels direkt mellan fluid och tråd, dels vid trådens ändar. Den senare effekten kan försummas alt. begränsas om tråden är tillräckligt lång (i luft och med konventionella trådar försumbar inverkan om l/d är större än ca. 600; förlusterna kan även begränsas genom guldplätering vid trådens ändar och tilledningar). Även vid extremt låga hastigheter är oftast värmeförluster p.g.a. konvektion dominerande. Egenkonvektion kan försummas i jämförelse med påtvingad konvektion om Re > Gr 1/3, där Re är Reynolds tal, Re = ρ V d/µ och Gr Grashofs tal, Gr = g ρ 2 d 3 β Θ/µ 2 (g tyngdacceleration, β fluidens volymsutvidgningskoefficient; ideal gas β = Tg 1 ). Vid tråddiameter d = 5 µm och Θ = 230 C fås att egenkonvektion kan försummas om hastigheten är högre än 6 cm/s. I praktiken är den undre gränsen för mätningar i luft i detta fall något högre, ca. 20 cm/s. Enligt definition av värmeöverföringskoefficient h kan värmeförlusten skrivas Q = h π d l Θ (1) På dimensionslös form ges h av Nusselts tal Nu = h d/k (2) Om effekter av kompressibilitet kan försummas (Machs tal, Ma = V/a < 0.3), fluiden är en perfekt gas 2 samt om endast påtvingad konvektion beaktas ger dimensionsbetraktelse: Nu = f(re, Pr, a T, l/d, θ) (3) där Pr = µ c p /k är Prandtls tal och a T det termiska överhettningsförhållandet, a T = Θ/T g = T w /T g 1. För luft (Pr = 0.72) gäller approximativt följande empiriska uttryck: Nu = (1 + a T /2) 0.17 (A 1 + B 1 Re n ) (4) där A 1 endast beror av l/d, B 1 bara av vinkeln θ. Exponenten n samt A 1 och B 1 kan anses konstanta inom begränsade intervall i Reynolds tal, ex. n = 0.45, A 1 = 0.24, B 1 = 0.56 då Re = 0.02 44. Vid V = 10 m/s i luft av 100 kpa, 20 C samt T w = 250 C, d = 5.0 µm är Re = 1.8 vilket ger Nu = 1.0 (40 m/s ger Nu = 1.7). Tråden förutsätts nu elektriskt upphettad. Vid termisk jämvikt gäller Q = R w I 2 = E 2 /R w, där R w är trådens resistans; E och I är spänningen över resp. strömmen genom tråden. Insättning ger E 2 = R w π l k Θ Nu = R w π l k Θ (1 + a T /2) 0.17 (A 1 + B 1 Re n ). Spänningen E påverkas alltså av hastigheten V som ingår i Reynolds tal Re. R w kan antas variera linjärt med temperaturen, ex. R w = R 20 [ 1+α 20 (T w T 20 ) ], där R 20 är trådens resistans vid 20 C. För platina-pläterad volframtråd gäller α 20 0.0036 K 1. 2 Ideal gas, c = krt g, k = c p /c v, R gaskonstant. 2

1.3 Kalibrering Vid konstant trådtemperatur samt måttliga temperaturvariationer i omgivande fluid kan sambandet mellan spänning och hastighet enligt ovan skrivas E 2 = (R w R g )(A 2 +B 2 V n ), där A 2 och B 2, speciellt för gaser, endast är svagt temperaturberoende. Hastigheten V skall här ses som den effektivt kylande hastigheten. För gaser samt vid försumbara temperaturvariationer gäller således E 2 = A + BV n (5) Sambandet ovan kallas ofta för Kings modifierade 3 lag (eng. power law). Eftersom A, B och n för en verklig varmtråd (eller varmfilm) även till viss del beror på probens geometri, utöver inverkan av θ, l/d och trådens egenskaper, måste sambandet ses som en kalibreringsfunktion. Kalibreringssystem baserade på Prandtlrör i kombination med mikromanometer med elektrisk utsignal kan i bästa fall och vid hastigheter över ca. 4 m/s ge en noggrannhet i hastighet på ca. 0.2% (typiskt värde 0.5%). Noggrannheten försämras dramatiskt vid lägre hastigheter vid 1.5 m/s är den typiska osäkerheten ca. 2% (i bästa fall ca. 1%). Man ska inte förledas för mycket av det faktum att anpassningen till en kalibreringsfunktion ibland blir i det närmaste perfekt! Noggrannheten vid hastighetsbestämning kan aldrig bli bättre än den noggrannhet man kalibrerar emot. Inverkan av långsamt varierande omgivningstemperatur, inom måttliga gränser, kan enkelt korrigeras för. Det krävs då givetvis en separat temperatursond. 1.4 Riktningskänslighet och probinterferens Vad varmtrådssonden egentligen mäter är en effektiv kylhastighet som, grovt sett, vid mycket långa trådar, är beloppet av hastighetens komposant vinkelrätt mot tråden. För en verklig, ändlig tråd, monterad på en probhållare med två spröt, oftast i form av en gaffel, s.k. prongs, se t.ex. Fig. 1, kan denna kylhastighet V e ansättas på följande form: V e /V = f 1 (θ, l/d, l c /d) f 2 (ϕ, geometri) (6) där l c är den effektivt sett kalla längden av tråden (övriga storheter framgår av Fig. 1, V är beloppet av hastighetsvektorn). Eftersom tråden också kyls p.g.a. ledning (vid ändarna) kommer temperaturen inte att vara konstant över hela trådens längd, se Fig. 2. Den s.k. kalla längden ges approximativt av 2l c /d = [ (k w /k)(1 + a)/nu ] 1/2, där k w är trådens värmekonduktivitet vid 3 I Kings lag från 1914 är n = 0.5; vid kalibrering brukar exponenten hamna i intervallet n = 0.45±0.05. 3

Figur 1: Varmtråd med probrelaterat koordinatsystem. medeltemperaturen T w och a = R w /R g 1, det resistiva överhettningsförhållandet, där R g är trådens resistans vid omgivningens temperatur. För varmtrådar av volfram och vid hastigheter högre än 3 m/s i luft är l c /d 35 (Nu 0.7, a 0.8, k w /k 2000). För att hålla nere ledningsförlusterna måste därför tråden vara ganska lång i förhållande till sin diameter. För en ordinär varmtråd i luft vid rumstemperatur (d = 5 µm, l/d 250) är 2l c /l 0.2 vilket innebär att andelen ledning i förhållande till total värmeavgivning är mindre än 10%. För att minska ledningsförlusterna och samtidigt få kortare aktiv tråd är många varmtrådar ändpläterade med metall av hög värmekonduktivitet, t.ex. guld, se Fig. 4. Observera att trådens medeltemperatur T w är lägre än den maximala mitt på tråden. För den ordinära tråden ovan och med begränsning på maximalt 300 C innebär detta en maximal medeltemperatur av ca. 250 C. Då l/d går funktionen f 1 approximativt mot cos θ ( cosinuslagen ). Funktionen f 2 beskriver det som kan kallas probinterferens. Den innehåller ett flertal geometriska parametrar, se Fig. 1. För varje individuell typ av prob i en given fluid samt inom vissa intervall i överhettningsförhållande och hastighet kan följande ansats användas: V e /V = f(θ, ϕ, l/d) (7) I det följande redovisas den vanligaste modellen för ett sådant samband. Hastighetsvektorn delas upp i följande probrelaterade komposanter: V N normalt tråden (sensorn) och längs proben, V T längs tråden, V BN vinkelrätt mot bägge dessa (Fig. 1), V N = V cosθ cosϕ (8) V BN = V cosθ sin ϕ (9) V T = V sin θ (10) 4

Figur 2: Temperaturfördelning längs en varmtråd vid olika l/(2l c ). Jørgensen föreslog 1971 följande ansats för den effektiva kylhastigheten: V e = V 2 N + K 2 V 2 T + H 2 V 2 BN (11) där K och H är känslighetsfaktorer för tangentiell resp. binormal kylning (vinkelrätt spröten). För varmtrådar med l/d = 250 är K 0.2 (l/d > 600 K 0.0). Värdet på H varierar mellan 1.0 och 1.2 beroende på specifik utformning av probspröten samt övriga geometriska faktorer (l/d > 600 H 1.0, l/d = 250 H 1.05). Om tråden är ändpläterad med t.ex. guld och l/d > 100 kan både K och H komma närmare sina teoretiskt ideala värden (K = 0, H = 1). Hastighetsberoendet för H och K kan oftast anses försumbart. Båda faktorerna kan enkelt bestämmas via vinkelkalibrering. Som tumregel gäller att (11) inte skall användas då θ > 30. 1.5 Analys av rakprob Antag att proben är orienterad så att V N = U, V BN = V och V T = W där (U, V, W) är hastighetsvektorns komposanter i ett rätvinkligt koordinatsystem. Antag vidare att medelströmningsriktningen är parallell med prongsen, U = U + u(t), V = v(t) och W = w(t) (V = W = u = v = w = 0, överstreckning innebär tidsmedelvärdering), se Fig. 3. Detta är den normala konfigurationen vid kalibrering. Den effektiva kylhastigheten blir enligt (11): V e = U 2 + H 2 V 2 + K 2 W 2 = U (1 + ǫ 1 ) 2 + ǫ 2 2 (12) 5

Figur 3: Rakprob orienterad längs medelströmningsriktningen. där ǫ 1 = u/u (13) ǫ 2 = H 2 (v/u) 2 + K 2 (w/u) 2 (14) Förutsätt små fluktuationer, ǫ 1, ǫ 2 1. Serieutveckling ger V e /U = 1 + ǫ 1 + 1 2 (1 ǫ 1)ǫ 2 2 + O [ ǫ 4 1 ] (15) där O [ ] står för storleksordning på resterande termer. För den tidsmedelvärderade hastigheten fås V e /U = 1 + 1 2 H2 v 2 /U 2 + 1 2 K2 w 2 /U 2 + O [ u 4 /U 4 ] (16) Som approximation används V e = U (17) Felet med denna approximation kan uppskattas om det antas att turbulenshastigheterna u, v och w till sina intensiteter är små men lika stora, u = v = w U, där prim står för RMS-värde (u = u 2, etc.). Den lokala turbulensintensiten definieras: Tu = 1 3 (u2 + v 2 + w 2 ) U = 2k t /3 U (18) där k t är den turbulenta kinetiska energin. I det idealiserade fallet fås Tu = u /U = v /U = w /U, vilket ger följande uppskattning av det relativa felet 6

(V e U)/U 1 2 Tu2 (H 2 + K 2 ) (19) Det relativa felet ökar kvadratiskt med Tu. Med Tu = 10% samt H = 1.05, K = 0.20 fås ett systematiskt fel på +0.6% (med Tu = 20% blir felet +2.3%); kalibrering bör således alltid utföras i en så turbulensfri miljö som möjligt (tumregel: Tu < 5%, helst Tu < 2%). Med approximationerna v e (t) = u(t) samt ve 2 = v e = u = u 2 visar det sig att det relativa felet (v e u )/u är proportionellt mot turbulensintensiteten. Med Tu = 10% och H och K enligt tidigare fås ett relativt fel som till belopp är mindre än 3%. 1.6 Kalibrering och mätning med enkeltrådsprob I Fig. 4 visas ett antal kommersiella enkeltrådsprober avsedda för mätning av en hastighetskomposant (single normal hot wire probes). Figur 4: Enkeltrådsprober av fabrikat DANTEC, d = 5 µm, l = 1.25 mm. (a) miniatyrrakprob (typ 55P11), (b) ordinär rakprob (55P01), (c) rakprob av gränsskiktstyp (55P05), (d) 90 :s rakprob med tråden i rät vinkel mot probaxeln (55P04). Alla trådar utom (a) är guldbelagda vid sina ändar (R 20 3.5 Ω, α 20 0.36%/K). Dimensioner i mm. Vid stationära turbulenta förhållanden kan kylhastigheten skrivas V e (t) = V e +v e (t). P.s.s. för den elektriska spänningen från anemometern, E(t) = E + e(t). Vid kalibrering av rakprob orienteras proben såsom i Fig. 3. Vid små hastighets- och associerade spänningsfluktuationer ( u e /U e 1 samt e/e 1) gäller då enligt Kings modifierade lag (5): U = V e = [ (E 2 A)/B ] 1/n (20) Oftast är turbulensintensiteten vid kalibrering så pass låg att denna relation kan betraktas som exakt (se tidigare avsnitt). Konstanterna A, B och n bestäms via kalibrering. Vid insättning fås följande instantana samband 7

E 2 (1 + e/e) 2 = A + BV e n (1 + v e /V e ) n (21) Vid tillräckligt låg turbulensintensitet kan sambandet linjäriseras, (1 + ǫ) m 1 + mǫ, då ǫ 1. Enligt tidigare avsnitt och eftersom (20) antas gälla fås u(t) = v e (t) = e(t)/s (22) där känslighetsfaktorn s är oberoende av tiden men beroende av medelhastigheten, s = nbun 1 2E = n(e2 A) 2E U (23) Kylhastighetens fluktuationer kan alltså observeras direkt på ett oscilloskop. Vi noterar att känsligheten minskar med ökande hastighet. Vid tillräckligt låg turbulensintensitet ges RMS-värdet av hastighetens fluktuationer av u = e /s, där e är RMS-värdet av fluktuationerna i elektrisk spänning; gäller med hyfsat bra noggrannhet, bättre än ca. 5%, upp till måttligt höga turbulensintensiteter (Tu mindre än ca. 15%). Vid digital utvärdering försvinner naturligtvis de felkällor som uppstår p.g.a. medelvärdesbildningen i kombination med det icke-linjära sambandet mellan spänning och kylhastighet. Däremot går det inte att på detta sätt komma åt de fel som uppstår vid höga turbulensintensiteter i samband med överföring (cross-talk) av kylhastigheter till olika hastighetskomposanter. Om lokal turbulensintensitet överstiger 35% skall den konventionella varmtrådstekniken inte användas mer än för kvalitativa studier. Förutom en sammanblandning av hastighetens komposanter finns det vid dessa nivåer (och högre) en stor sannolikhet för att varmtråden är utsatt för hastigheter i helt motsatt riktning mot vad den är satt för att registrera; varmtråden fungerar som en likriktare, den kan inte skilja på framåt och bakåt. 2 Strömning kring en cylinder med cirkulärt tvärsnitt 2.1 Teori inverkan av Reynolds tal Inkompressibel strömning kring en lång cylinder med cirkulärt tvärsnitt i vinkelrät anströmning är ett väl studerat fall inom strömningslära. Inverkan av Reynolds tal, Re = ρud/µ = Ud/ν, där d är diametern, kan grovt karakteriseras enligt följande. Vid tillräckligt låga Re är strömningen friktionsdominerad med hög vidhäftningsförmåga. Vid Re 6.3 kan fluiden inte följa kroppskonturen hela vägen runt, avlösning uppträder vid ϕ = 180, ϕ räknat från stagnationslinjen. Med ökat Re ökar det avlösta området (vaken) i omfång, strömningen dock helt symmetrisk, tvådimensionell och laminär (Fig. 5). 8

Figur 5: Re = 26; fotografi av S. Taneda. Vid Re 47 uppträder en periodisk vakinstabilitet, dock fortfarande laminär strömning. 4 Virvelfrekvensen (f S ) multiplicerad med den viskösa tidsskalan d 2 /ν ökar grovt sett linjärt med Reynolds tal, f S d 2 /ν 0.21(Re 21). Virvelsystemet brukar kallas von Kármáns virvelgata, se Fig. 6. Figur 6: Re = 140; fotografi av S. Taneda. Vid Re 180 uppträder en tredimensionell vakinstabilitet, vilken följs av ytterligare en vid ca. Re = 220. Vid Re 265 är vakströmningen turbulent, själva virvelupprullningen dock laminär och starkt periodisk. Från ca. Re = 300 till Re = 300 10 3 är virvelfrekvensen multiplicerad med den konvektiva tidsskalan d/u, Strouhals tal, St = f S d/u, relativt konstant, St 0.2, se Fig. 7, liksom motståndskoefficienten C D, se Fig. 8. Vid ca. Re = 1600 har omslaget till turbulent strömning nått närvaksområdet vilket påverkar virvelupprullningen, St minskar och C D ökar. Detta område påverkas kraftigt av s.k. friströmsturbulens, t.ex. anströmningens turbulensintensitet, Tu; ökat Tu ger i princip samma effekt som ökat Reynolds tal. Även cylinderns längd i förhållande till diametern har betydelse, vid Re > 6 10 3 dock försumbar inverkan om l/d 20 (Fig. 9). 4 För att experimentellt upprätthålla tvådimensionell laminär virvelströmning över cylinderns centrala delar krävs viss manipulation av ändförhållanden. 9

Figur 7: Strouhals tal; mätningar av C. Norberg (Tu = 0.06%). 2.2 Mätning i kalibreringsposition, utan cylinder Lufttemperatur: Lufttryck: kpa C Välj två hastigheter i det kalibrerade intervallet (anges av labhandledaren); mät hastigheten med både Prandtlrör och varmtråd och jämför. Bestäm även turbulensintensiteten. Potentiometer [V ] U [m/s] (Prandtlrör) U [m/s] (varmtråd) Tu [%] Kommentarer: 2.3 Strömning kring en cylinder Cylinder, diameter: d = 10 mm, längd mellan ändplattor: l = 150 mm. Reglera fläkten så att U = (6 8) m/s. Mät upp faktisk hastighet och beräkna Reynolds tal, Re = ρ U d/µ = U d/ν. 10

Figur 8: Motståndskoefficient, C D = C D, p + C D, f ; C D, p p.g.a. tryckkrafter (formmotstånd), C D, f p.g.a. ytfriktion (friktionsmotstånd). U [m/s] ρ [kg/m 3 ] µ [Pa s] 10 6 d [mm] Reynolds tal, Re/10 3 10 (i) Studera strömningens periodicitet på oscilloskop. Bestäm (uppskatta) den dominerande virvelfrekvensen f S. Beräkna Strouhals tal, St = f S d/u, samt jämför med Fig. 7. Virvelfrekvens, f S [Hz] Strouhals tal, St St Fig. 7 Figur 9: Re = 8 10 3 ; fotografi av C. Norberg (l/d = 20, Tu = 0.1%) 11

Kommentarer: (ii) Placera proben 150 mm nedströms cylinderns centrum (x/d = 15). Traversera i steg om (1 4) mm över området ±50 mm (ca.). Detta moment kommer att demonstreras, baserat på tidigare mätningar! Plotta medelhastighet U, turbulensintensitet Tu = u /U, samt RMS-hastighet u. Undersök symmetri m.a.p. centrumlinjen. Sök positioner motsvarande halva hastighetsdefekten i centrum. Noggrannhet? Figur 10: Skiss över tidsmedelvärderad strömning kring en cylinder. Motståndskoefficient: C D = D/l d ρ U0/2 = 4 (Û 2 Û2 ) dη 0 där D är strömningsmotståndet, η = y/d och Û = U/U 0. Beräkna (uppskatta) cylinderns motståndskoefficient C D, baserat på beräkning av impulsförlust enligt Fig. 10; se även Example 3.11 och problem P3.72 i White. Ange ett approximativt osäkerhetsintervall. Jämför C D med tidigare egna mätningar (Laboration 1) samt Fig. 8. C D ± C D (uppmätt) C D (Fig. 8) Kommentarer: 12