R S T. k a fp n a f s a f a f LAPLACETRANSFORMEN. (Enkelsidig) laplacetransform, forts. z. Antag. xt dt. Följaktligen existerar.

Relevanta dokument
z 0 0 a f LAPLACETRANSFORMEN Antag något xt dt Följaktligen existerar Fö 6, 7 & 8 - Laplacetransformanalys 1 (enl. grunddef.

TSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet

TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före

Övning 3. Introduktion. Repetition

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 17 mars 2016, kl

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 2. Här är

Symmetriska komponenter, Enlinjediagram och Kortslutningsberäkningar

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

Transformer och differentialekvationer M3, 2010/2011 Ett par tillämpningar av Fourieranalys.

Kapitel 8. Kap.8, Potentialströmning

Figure 1: Blockdiagram. V (s) + G C (s)y ref (s) 1 + G O (s)

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.

TSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

A

FÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Hyllplan, Trädgård, Stolpsystem. Trädetaljer och Produkter som håller stilen på ditt hus

Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

F6 PP kap 4.1, linjära ekvationssystem

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Reglerteknik AK, FRTF05

Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

Föreläsning 7. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 26 september Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

st tt r s s ss r t r r r t rs r st ä r st r

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017

= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2007

VECKANS SMÅVINSTER - POSTKOD, 500 kronor vanns av följande postkoder:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer kronor vardera:

Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Ett företag inom Södra

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av föreläsning 8 (2/2) Andra reglerstrukturer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 8 ˆ Framkoppling från störsignalen

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 3. Sammanfattning av föreläsning 2 PID-reglering Blockschemaräkning Reglerdesign för svävande kula

Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D

Reglerteknik 3. Kapitel 7. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D

Något om funktionsföljder/funktionsserier

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

Orderkvantiteter i kanbansystem

Bestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2

Kapitel , 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = a) n a1 + a a a = = = = a a a

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

TENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105

Signal- och bildbehandling TSBB14

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

FORMELSAMLING ELTEKNIK

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 10

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare

F & 34 ø øl ø øl ø V. ø øl ø. &øl ø# øl ø øl ø ? F. &speg - lar Hår - ga - ber - get. ? ú ø ú ø ú ø. Hårga-Låten. som - mar - nat - ten, i

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Reglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

ERE103 Reglerteknik D Tentamen

Periodisk summa av sinusar

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Transkript:

Atg Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 1 LAPLACETRANSFORMEN Låt ~x t xt e t, där R, såd tt z ~x t dt< ågot 0 > 0 R S T xt z < 0 0 xt dt Fölktlge exsterr F F l l ~ q xt q xt (el. grudde.) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 2 Låt (Ekelsdg) lplcetrsorm, orts. z k p s t + t F ~x t F xt e xt e dt X + s + Xs X s X s L x t x t e dt kp 0 Kovergesområde: Re s > : Ekelsdg lplcetrsorm k p / > z0 k p ( OBS! Om F xt 0 0) st 0

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 3 Dubbelsdg lplcetrsorm Låt x(t) t och låt F xt e t ör ågot reellt tervllet 0 1 : X s L xt xt e dt k k p Kovergesomr. ör X (s): z p kp Re s 0 1 ( OBS! Om F xt -xel lgger 0 1 kovergesområdet ör X(s )! ) st s Dubbelsdg lplcetrsorm Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 4 vers lplcetrsorm De vers lplcetrsorme är desmmör de dubbelsdg som ör de ekelsdg trsorme: xt + z L kxsp Xse 1 1 2π st ds tegrtosväg kov.området + de kurs erhåller v ot (otst) trsormer och ders verser rå ormelsmlge! Läs mer om lplcetrsorme Kptel 2.4! 0 1 -

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 5 Kretsberäkgr, lär RLMC-ät (pssv kretselemet, lplcetrsormerbr källor) METODK, beräk godtycklg ätspäg / -ström: 1) L{ } e(t) 0 (t) E(s) 0 (s) l 0 0q Om ätörädrgr sker vd t t 0 ( här ts t 0 0 ) Betrkt ll källor som kopplde vd t t 0 L xt t ut t Xse st (t) (s) Ädr 2) v(t) V(s) beteckgr 0 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 6 3) Kretsberäkgr, metodk (orts) Ersätt pssv ätelemet med opertorschem: (t) R v(t) vt R t Vs R s (s) R V(s) (t) L v(t) vt L d t dt Vs sls L 0 (s) sl V(s) L (0-) L (0-) motsvrr e mpulsormd späg med styrk L (0-) tdsplet ( L 1 K K δ t ): kp L (0-) t

3) orts. (t) v(t) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 7 Kretsberäkgr, metodk (orts) C t C dv t dt 1 Vs + sc s v 0 s v(0-)/s motsvrr e stegormd späg med höde v(0-) tdsplet ( L 1 K s K u t ): (s) v(0-) 1 sc V(s) v(0-) s o t t 4) Lkströmsteor 5) verstrsormer Sökt storhets lplcetrsorm ( Y(s) ) Sökt storhets tdsuttryck ( y(t) L 1 { Y(s) } ) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 8 SYSTEMANALYS Kuslt LT-system x(t) h(t) y(t) Systembeskrvg (se kp. 1.10 & 4.3): Om systemet e är eergrtt kremetellt lärt system 0 y( t) + 1 d y( t) dt b 0 x( t) + m 1 b d x( t) dt Atg x(t<0) 0 (Kuslt system ger då y(t<0) 0 L k väds) Lplcetrsormer ( L ) u deretlekvtoe ov!

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 9 Systemlys, Systemukto bs 0 Ys Xs + Y s z s y() t y () t + y ( t) zs De tvug svägge z m 0 De r svägge ( går edst om systemet hr begyelseeerg ) Systemuktoe: ( s) ( s) Y H ( s) L h t X ll tltllståd 0 { ()} Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 10 Systemukto, orts Dvs. ör eergr kusl LT-system gäller L k p L kp Y s y t x h t X s H s För cke-kusl LT-system gäller Y s X s H s (Evetuell begyelseeerg k då te hters)

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 11 Pol-Nollställedgrm Hs m 0 bs K 0 s m 1 1 c s s p h K : : p : Nvåkostte b m Nollställe tll H(s) tälrpolyomets ollställe Poler tll H(s) ämrpolyomets ollställe Exempel: Hs Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 12 Pol-Nollställedgrm, orts K2 3 2 2s + 4s + 4s 4 3 2 s + 4s + 8s + 16s+ 16 2 2 Nollställe: ss+ 1+ s+ 1 s + 2 2 s+ 2 s 2-2 (2) -1-0 0 + Poler: 1 1 1 1-2 p1 p2 2 p3 2 p4 2

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 13 Poler, ollställe och tdssgl Poler ger, tllsmms med ders respektve postoer, vlk typer v termer (sglkompoeter) som går sgle. Ekelpol (reell): ( s α, Re{s}> α ) Ekl komplexko. polpr: ( s α ± 0, Re{s} > α ) RST R S T L 1 1 s + α ω UVW L 1 0 2 e s + α + ω α t U V u t s W α t 2 ω 0 0 e t u t Nollställe verkr rämst på de reltv styrk v de olk termer. Exempel: Xs Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 14 Överlgrde pol-ollställedgrm 1 1 + s s + 2 2 s + 1 ss+ 2 d 2t xt 1+ e ut Hs 3s s + 1 + 2 2 2 Ys Xs Hs 2 s + 1 ss+ 2 3s s + 1 + 2 2 2 K2 2 K3 2 K 2 3 6 2 OBS! -2-1 - -2-1 - -2-1 - 2 2 2

Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 15 Polplcerg, kovergesområde & KAUSALTET g poler k s kovergesområdet ör H(s) Det s tre typer v smmhägde kovergesområde: At-kuslt system Allmät cke-kuslt system Kuslt system h(t 0)0 h(t<0, t 0) 0 h(t<0)0 Re{s}< 1 0 < Re{s}< 1 Re{s}> 0 1 0 1 0