Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer börjar i positiva laddningar eller i oändligheten och slutar i negativa laddningar eller i oändligheten. Vi kan definiera en potentiell energi W p för motsvarande kraftfält F = qe och en potential V för E-fältet. Observera att i elektrodynamiken är inte längre E-fältet konservativt och vi har fältlinjer som bildar loopar. Detta ger upphov till vad vi kallar induktion. Varför inför vi begreppet potential? Jo potentialfältet är ett skalärt fält. Det är oftast enklare att räkna ut än E-fältet. Potentialen är en hjälpstorhet. Känner vi potentialen kan vi sedan räkna ut E-fältet från den. Definition av potential: V = akt #!E " dl ekv!4 : 7 ref Enheten är V Volt. Dimensionen är energi per laddning. Uttryckt i de fyra grundenheterna är den V = kgm 2 As 3.
Föreläsning 4 2 Potentialen är bara bestämd på en konstant när eller relativt en punkt i rummet referenspunkten. Det är en punkt där man väljer att sätta potentialen lika med noll. Ofta väljer man den att ligga i oändligheten. Låt oss beräkna potentialen från en punktladdning i origo. Vi väljer referenspunkten att ligga i oändligheten. =! E " V r akt r Qˆr # dl =! # ref r= 4 0 r 2 " drˆr + rd ˆ + r sind ˆ r r Q Q =! # r= 4 0 r 2 dr = + 4 0 r. = - Q 4 0 r. Potential från punktladdning i vakuum med referenspunkt på oändligt avstånd V r = Q 4!" 0 r ekv!4 : 8 När det finns fler än en laddning gäller superpositionsprincipen V r = # i Q i 4!" 0 r i där r i är avståndet mellan laddning Q i och fältpunkten r. Resultatet kan generaliseras till fallet kontinuerliga laddningsfördelningar analogt med tidigare resultat: V r = # dq 4!" 0 r!!!!!!!! ekv!4 : 9.
Föreläsning 4 3 Lägg märke till att potentialen är en skalär och integralen innehåller inga vektorer. Det gör oftast beräkningarna enklare än vid den generaliserade Coulombs lag. Om man är intresserad av fältet kan man få det ur potentialen från sambandet E =!grad!v =!"V ekv!4 :10 Metaller i elstatiken En metall har lättrörliga ledningselektroner. Det innebär att om vi lägger på ett E-fält över ett metallföremål så omfördelar sig elektronerna mycket snabbt så att E-fältet inuti metallen blir noll. Potentialen är konstant tvärs igenom hela föremålet. Vi kommer i de följande föreläsningarna se att detta inte gäller för tidsvarierande fält. Om frekvensen är tillräcklig hög kan E-fältet tränga in i föremålet. Hur stämmer det här med beskrivningen i kretsteori om man lägger på en spänning över en metalltråd med ändlig resistans? Då har vi ju ett elektriskt fält inuti tråden! Svaret ligger i att i det fallet så hinner laddningarna aldrig att flytta färdigt. Vi plockar bort laddning i samma takt som den tillförs tråden. Tillbaka till elstatiken. Kan vi ha en ansamling av laddningar inne i metallen. Svar nej! Om vi hade det så skulle vi ha ett E-fält skilt från noll. Var ligger laddningarna? Svar: På ytan i form av ytladdningstäthet.
Föreläsning 4 4 Med Maxwells två ekvationer kan vi beräkna hur fälten ser ut precis utanför metallytan och hur den inducerade laddningstätheten på ytan ser ut. Innan vi gör detta bör vi diskutera vilka laddningar vi har att ta hänsyn till. Vi har tre typer av laddningar: 1. Externa eller yttre laddningar. Dessa är laddningar som inte har sitt ursprung i materialen som föremålen vi betraktar är gjorda av. 2. Inducerade lättrörliga polarisationsladdningar såsom ledningselektroner i metaller. 3. Inducerade bundna polarisationsladdningar. När ett E-fält läggs över en atom polariseras den. Det blir en laddningsförskjutning inom atomen. Detta kan ses som inducerade positiva och negativa laddningar polarisationsladdningar. I kretsteori och elektronik där man har kondensatorer kan ledningselektronerna lämna föremålet de kom från och förflyttas till ett annat. De lämnar en kondensatorplatta och hamnar på en annan. Dessa överskottsladdningar som kan vara positiva eller negativa måste betraktas som externa eller yttre. Hur kan vi då skilja dem från de lättrörliga polarisationsladdningarna? Det är svårt! Därför brukar man klumpa ihop 1 och 2 och kalla dessa fria laddningar. I den beskrivningen vilket också är den som används i kursboken delar man in laddningarna i fria och bundna. Den beskrivningen kommer jag också att följa till absolut största delen av kursen. E-fältlinjer börjar och slutar i båda grupperna av laddning. D-fältlinjer börjar och slutar i
Föreläsning 4 5 enbart fria laddningar. Laddningen Q i Maxwells ekvation innehåller endast fria laddningar. Om man är intresserad av hur ett metallföremål växelverkar med tidsvarierande fält är det bättre att använda en beskrivning där ledningselektronernas polarisationsladdningar behandlas på samma sätt som de bundna polarisationsladdningarna. Då klumpar man ihop de lättrörliga polarisationsladdningarna med de bundna dito och kallar dessa inre eller interna. Man har då två typer av laddningar interna och externa. E-fältlinjer börjar och slutar i båda grupperna av laddning. D-fältlinjer börjar och slutar i enbart externa laddningar. Laddningen Q i Maxwells ekvation innehåller med den beskrivningen endast externa laddningar. Således är D-fälten i de två beskrivningarna mycket olika. Det som har sagts här om indelning av laddning gäller helt analogt för strömmar och H-fälten i de två beskrivningarna är således också mycket olika. Nu åter till fälten precis utanför ett metallförmål och den inducerade ytladdningstätheten. Vi börjar med Maxwells andra ekvation anbringad på en rektangular kurva enligt figuren.!" C E!dl = 0 Vi förstorar figuren mer och mer och låter samtidigt rektangeln bli mindre och mindre så att rektangeln har oförändrad storlek i figuren. Ytans krökning blir då också mindre och mindre. Effek-
Föreläsning 4 6 ten är densamma när vi uppfattar jorden som platt när vi är tillräckligt nära jordens yta. Ytan blir så gott som plan. Vi låter längden av kortsidorna vara mycket mindre än långsidorna och gå mot noll. Det medför att bidraget från kortsidorna är försumbart. Vidare har vi ju konstaterat att E-fältet är noll inuti metallen. Således blir vänsterledet av ekvationen den transversella komponenten av E-fältet gånger längden på rektangelns långsida. Högerledet är noll. Detta medför att den transversella komponenten av E-fältet är noll. Alltså konstaterar vi att E-fältet precis utanför en metallyta är vinkelrätt mot ytan. Nu använder vi Maxwells första ekvation Gauss sats på en mycket låg cylinder Gauss-dosa med de plana ytorna parallella med metallytan och så att denna är mellan de plana ytorna.!" S D!dS = Q metall Med beskrivningen vi använder här blir också D-fältet noll inuti metallen vid pålagt statiskt E-fält. Alltså fås inget bidrag från den plana ytan inuti metallen. Höjden på cylindern låter vi gå mot noll. Då ger mantelytan inget bidrag till integralen.
Föreläsning 4 7 Alltså får vi bara bidrag från den plana ytan utanför metallytan. Vi låter dess area vara A. Den är vidare parallell med metallens yta. Därför är normalen till cylinderns toppyta parallell med D- fältet och resultatet blir dosan är så pass liten att D-fältet kan antas vara konstant i den och på dess yta DA = Q fri =ρ s A Vi får alltså D =! s ˆn;!!E = ˆn! s " 0. Vi har således funnit att E- och D- fälten är normala till ytan precis utanför ytan och att ytladdningstätheten är lika med diskontinuiteten i D vid ytan. Obs! Om vi hade använt den alternativa beskrivningen och bokföringen av laddningarna så hade D-fältet inte haft någon diskontinuitet vid ytan. Vi kunde ändå ha bestämt ytladdningstätheten och fått den som! 0 gånger diskontinuiteten i E.
Föreläsning 4 8 Elektrisk Dipol När vi diskuterar polarisation och polariserbarhet spelar begreppet elektrisk dipol en central roll. En modell av en elektrisk dipol konstruerar vi genom att placera två laddningar ±q på ett litet avstånd d från varandra. Vektorn d går från minusladdningen till plusladdningen. En ideal dipol fås om man låter avståndet d gå mot noll samtidigt som man låter q gå mot oändligheten så att produkten av de två hålls konstant. Definition av elektriskt dipolmoment p = qd Vi tecknar potentialen från dipolen V = +q 4!" 0 r + + #q q 1 = # 1 4!" 0 r # 4!" 0 r + r #. Vi utvecklar potentialen i den lilla parametern dr.
Föreläsning 4 9 V = = = 1 q 1 # 1 4!" 0 r + r # = q 1 4!" 0 r # d 2 # 1 - + r + d 2. q 1 4!" 0 + r # d 2 # 1 2 r + d 2 2 q 1 # 4!" 0 + r 2 + d 2 4 # rd cos0 q 4!" 0 r +!!!!!!!!!!!!!!!!!!# 1 q 4!" 0 r 1 1 + d r 2 4 # d rcos0 1+ d r + 1 1 + d r 2 4 + d r 2 4 # d r -. 1 - r 2 + d 2 4 + rd cos0. - cos0. #12 cos0 2 4 + d rcos0 #12 -!!!!!!!!!!!!!!!# 1 + d r. = 1+ xa 1 1 + ax = q 1 4!" 0 r 1 + 1 2 d rcos0 # 1+ 1 + 2 d rcos0 - qd cos0. = 4!" 0 r 2 = p 2 r 4!" 0 r 3 Detta är den lägsta ordningens bidrag i en serieutveckling där termerna i utvecklingen avtar med en extra faktor 1r från term till term. När vi tar gränsen för en ideal dipol är denna term den enda som överlever. Potentialen från en godtycklig fördelningar av laddningar kan utvecklas på detta sätt. Det kallas multipolutveckling. Om den totala laddningen är skild från noll blir den första termen en monopolterm som avtar som 1r nästa en dipolterm som avtar som 1r 2 nästa en kvadrupolterm som avtar som 1r 3 osv.
Föreläsning 4 10 1 2 4 8 16 32 Ur potentialen får vi E-fältet som E =!gradv=- "V "r ˆr + 1 r dvs. "V "# ˆ# + 1 "V rsin# " ˆ E =! p!2cos ˆr 4"# 0 r 3 +!sin ˆ + 0 ˆ r 3 som förenklas till + E-fält från elektriskt dipolmoment E = p 4!" 0 r 3 2cos# ˆr + sin# ˆ# ekv!4 :14 Dipolmomentet för en allmän laddningsfördelning är p =! dqr där vektorn r är vektorn från origo till dq.
Föreläsning 4 11 Exempel: Låt oss studera hur E-fältet från den laddade cirkulära skivan i exempel 4:1 beter sig på stort avstånd. Vi har alltså en tunn cirkulär skiva med radie a och med laddning Q homogent fördelad över ytan. Den ligger i xy-planet centrerad kring z- axeln. Utmed z-axeln har vi funnit att fältet är E= z 2!a 2 " 0 z # z a 2 + z 2 Hur ser fältet ut på stort avstånd från skivan fortfarande utmed z-axeln? Vi gör serieutveckling ia z : E = z 2!a 2 " 0 z # z 2!a 2 " 0 z 1# 1 1+ 1 2 a z = signz 4!" 0 z 2 z z = a 2 + z 2 2!a 2 " 0 z # z z 1+ a z 2 z 2 2!a 2 " 0 z 1# 1# 1 2 a z 2 Alltså som från en punktladdning Q i origo.
Föreläsning 4 12 Exempel: Låt oss studera fältet utmed z-axeln från en mer komplicerad geometri där nu en skiva som den vi just har behandlat svävar på avståndet d2 ovanför xy-planet och en skiva med laddning Q befinner sig på avståndet d2 under xyplanet. Avståndet d mellan de två skivorna antas vara mycket mindre än a. Fältet på z-axeln blir nu E = + - 1 # #1 # #1 # a 2 + 2 a 2 + 2 a 2 + 2 # 1 # # 1 # # #1 # a 2 + 2 a 2 + 2 d 2 < z a 2 + 2 # d 2 < z < d 2 z < # d 2
Föreläsning 4 13 E = = Vi är nu intresserade av resultatet på stort avtånd utmed positiva z-axeln dvs. för z>>a>>d. 1 # # d << a z a 2 + 2 # 1 + a 2 + 2 + # # a 2 + z 2 a 2 + z 2 # a 2 + z 2 # dz 1 # dz a 2 + z 2 + 1 + - a 2 + 2 a 2 + 2 + + dz 2 a 2 + z 2 a 2 + z 2 + dz 1 + dz a 2 + z 2. 0 + dz 2 # a 2 + z 2 a 2 + z + d Qdẑ # 2 a 2 + z 2 z >> a Qdẑ z # z 2 z 2 + - 1 # a 2 z 2. 0 + 1 = Qdẑ z + 1 # dz - a 2 z 2 2 a 2 + z 2 a 2 + z + 1 2 z 2 = Qdẑ 2!" 0 z 3 = p 2!" 0 z 3 där vi har använt att p = Qdẑ. Vi ser att fältet på stort avstånd är ett dipolfält. Vi har bara visat att det gäller utmed z-axeln men det gäller även i andra riktningar. Jag lämnar som hemuppgift att visa att p = Qdẑ för den aktuella geometrin.. 0