Material, form och kraft, F5 Repetition Material, isotropi, ortotropi Strukturelement Stång, fackverk Balk, ramverk Upplag och kopplingar Linjärt elastiskt isotropt material Normalspänning Skjuvspänning G G 1
Tvärkontraktion När man drar i en stång blir den längre och smalare Om man trycker på stången blir den kortare och tjockare Detta fenomen kallas tvärkontraktion Generaliserade Hookes lag x x y y x y x y xy xy G y y G x x G 2
Linjärt elastiskt isotropt material Tre materialkonstanter: lasticitetsmodul, Skjuvmodul, G Tvärkontraktionstal, Två oberoende konstanter Dvs vet man två kan man räkna ut den tredje (, G), (, eller (G, Om 0< <0.5 => G mellan /2 och /3 Samband mellan konstanter: G 2 1 Transversellt isotropa material Fem oberoende konstanter, t ex: x,, G xy, G x, x y X 3
Ortotropa material Riktade material xempel: Trä, papper, fiberarmerade plaster, armerad betong, valsad plåt 3 vinkelräta materialriktningar 9 oberoende konstanter 3 -moduler: x, y, 3 skjuvmoduler: G xy, G x, G y 3 tvärkontraktionstal: xy, x, y Strukturelement Verkligheten är 3D komplext! Förenklande antaganden om Last, geometri och deformationer Material, töjnings- och spänningstillstånd kan förenkla analysen I olika strukturelement (modeller) renodlas lastbärande principer xempel: strukturelementen stång och balk F 4
Stång - Antaganden ndast axiell last Rak, prismatisk (konstant tvärsnitt) Linjärelastiskt material naxligt spänningstillstånd, jämn fördelning (endast normalspänning) Små deformationer vid belastning F P P Stång F Tvärsnittsarea: A Material:, (Dragkraft positiv) L F 5
Stång F F N Antag jämn spänningsfördelning! Linjärt elastisk stång Deformationssamband L N N Materialsamband Jämvikt N A L L NL A 6
Uppgift n stålstång med = 210 GPa och A = 2cm 2cm har två fästpunkter, 1 och 2 med koordinaterna x 1 = 0, x 2 = 1.5 m. fter stångens deformation har fästpunkterna förflyttats sträckorna u 1 = -1 mm och u 2 = 0.5 mm Beräkna kraften i stången! u 1 u 2 x 1 x 2 x Fackverk Stänger som kopplas samman i friktionsfria leder bildar fackverk Triangel (2d), tetraeder (3d) 7
Fackverk Fackverk 8
Balk n balk kan överföra både krafter och moment Snittkrafter i balk (3d): (stångverkan+balkverkan) Normalkraft (som stången) 2 Tvärkrafter 2 Böjmoment Vridmoment Snittkrafter i balk (2d): (stångverkan+balkverkan) Normalkraft Tvärkraft Böjmoment Balkverkan-böjning F 9
Snittkrafter vid balkböjning Avgränsa och frilägg höger del.? Vilka snittkrafter finns i snittet?? V M V För att upprätthålla vertikal jämvikt måste det finnas en TVÄRKRAFT i snittet. För att upprätthålla momentjämvikt måste det finnas ett BÖJMOMNT i snittet. Böjning av balk 10
Spänning vid balkböjning Normalspänning Böjmoment Två olika sätt att beskriva de inre krafterna: spänning eller snittkraft Skjuvspänning Tvärkraft Balk Antaganden Initiellt rak och prismatisk (konstant tvärsnitt) Linjärelastiskt material naxligt spänningstillstånd (normalspänning endast i längsriktningen) Plana tvärsnitt förblir plana Små deformationer vid belastning 11
Balk - 2D böjning -- Tyngdpunktslinje Balk 2D Utskuren balkdel - böjning Töjning Spänning Spänning och töjning noll i neutrala lagret tvärsnittets tyngdpunkt 12
Normalspänning Nedböjning I ( I y A 2 y A 2 Böjning av balk 1 I Yttröghetsmoment I da) 1 I y x My I Yttröghetsmoment- beskriver tvärsnittsformens inverkan vid böjning Optimal balk = stort yttröghetsmoment Böjning av balk Optimal balk=stort yttröghetsmoment I ( I y A 2 y A 2 da) Kvadratiskt beroende på y! n delyta som ligger dubbelt så långt från tp ger 4ggr så stort bidrag till momentet! Optimal balk: Materialet långt från tyngdpunkten! 13
Balktvärsnitt Kvadratiskt Balk 1 Balk 2 A = 16 Ay 2 = 20 A = 16 Ay 2 = 140 A = 16 Ay 2 = 20 I-balk 14
I-balkar Fackverks- I-balk Galge i plast för våtdräkter 15
I-balksprincip i skivmaterial Skivmaterial kan optimeras genom att lägga mest material i ytskikten Balk - 3D Allmänt: Normalkraft (som stången) Böjning (två riktningar) Tvärkrafter (två riktningar) Vridning (kring längsaxeln) 16
Ramverk Balkar som kopplas samman i momentstyva leder bildar ramverk Upplag och kopplingar Fackverkets kopplingspunkter är momentfria leder ( gångjärn ) Ramverkets kopplingar överför moment ( sammansvetsat ) Kopplingen i fackverk förutsätts ske i tyngdpunktslinjen 17
Upplag Rullager, fixlager eller fast inspänning är idealiseringar av verkliga upplag. Ibland ligger idealiseringen nära verkligheten... Rullager Fixlager Kopplingar 18
xempel: konsoler Balk/stång/knutpunkter/styvhet? Sigfrid Stilig Valter (Ikea) xempel: Stol (Skagerak) 19
Sammanfattning Strukturelement kropp som antas ta upp en viss typ av krafter Stång ndast normalkraft Balk Normalkraft, böjmoment, tvärkrafter, vridmoment Hög böjstyvhet om materialet befinner sig långt ut från TP ( i böjningens riktning ) 20