Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2
Innehåll Notation, mängdlära och logik........................ 2 Algebra..................................... 3 3 Komlexa tal.................................. 6 4 Punkter, vektorer och lan i rummet.................... 7 5 Geometri..................................... 8 6 Trigonometri.................................. 9 7 Några standardgränsvärden......................... 2 8 Derivator.................................... 3 9 Integraler.................................... 5 0 Di erentialekvationer............................. 7 i
Notation, mängdlära och logik Mängder och tal ; tomma mängden, {} Z mängden av heltal, {..., 2,, 0,, 2,...} Z + mängden av ositiva heltal, {, 2, 3,...} Z mängden av negativa heltal, {... 3, 2, } N mängden av naturliga tal, {0,, 2,...} {x 2 Z P } mängden av alla x i Z som ufyller egenskaen P {x 2 Z : P } samma som {x 2 Z P } Q mängden av rationella tal, {/q :, q 2 Z, q6= 0} R mängden av reella tal R + mängden av ositiva reella tal, {x 2 R : x>0} R mängden av negativa reella tal, {x 2 R : x<0} [a, b] det slutna intervallet från a till b, {x 2 R : a ale x ale b} ]a, b[ det öna intervallet från a till b, {x 2 R : a<x<b} (a, b) samma som ]a, b[ C mängden av komlexa tal, {a + ib : a, b 2 R} De ositiva rimtalen ale 00 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97 Symboler från mängdlära A = B A är lika med B A 6= B A är inte lika med B a 2 A elementet a finns i mängden A a 62 A elementet a finns inte i mängden A A [ B unionen av mängderna A och B, {x : x 2 A eller x 2 B} A \ B snittet av mängderna A och B, {x : x 2 A och x 2 B} A B skillnaden mellan mängderna A och B, dvs{x 2 A : x 62 B} A \ B samma som A B B den komlementära mängden till B, om B är en delmängd till den universella mängden U så är B = {x 2U: x 62 B} B c samma som B A B A är en delmängd till B, x 2 A ) x 2 B A B A är en äkta delmängd till B, dvsa B och A 6= B A B den kartesiska rodukten av mängderna A och B, dvs mängden av alla ordnade ar (a, b) sådanaatta 2 A och b 2 B P(A) otensmängden till A, dvsmängden av alla delmängder till A
Viktiga likheter inom mängdlära Associativa lagar: (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) Kommutativa lagar: A [ B = B [ A A \ B = B \ A Distributiva lagar: A \ (B [ C) =(A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C) De Morgans lagar: A [ B = A \ B A \ B = A [ B Logiska symboler icke _ q eller q ^ q och q ) q imlicerar/medför q, q är ekvivalent med q Viktiga ekvivalenser inom logik Associativa lagar: ( _ q) _ r, _ (q _ r) ( ^ q) ^ r, ^ (q ^ r) Kommutativa lagar: _ q, q _ ^ q, q ^ Distributiva lagar: ^ (q _ r), ( ^ q) _ ( ^ r) _ (q ^ r), ( _ q) ^ ( _ r) De Morgans lagar: ( _ q), ^ q ( ^ q), _ q Logiska ekvivalenser för bevisföring Att bevisa, q är ekvivalent med att bevisa ) q och q ) Att bevisa ) q är ekvivalent med att bevisa q ) 2
2 Algebra Symboler för relationer mellan tal a = b a är lika med b a 6= b a är inte lika med b a<b aär (strikt) mindre än b a>b aär (strikt) större än b a ale b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b a b heltalet a delar heltalet b Viktiga likheter för aritmetik Associativa lagar: (a + b)+c = a +(b + c), (ab)c = a(bc) Kommutativa lagar: a + b = b + a, ab = ba Distributiva lagen: a(b + c) =ab + ac Lagen om nolldelare: Om ab =0såär a =0ellerb =0 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Kubregler (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 Summor av kuber a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Andragradsolynom Ekvationen x 2 + x + q =0harrötterna där x + x 2 = x = 2 + r 2 och x x 2 = q 4 q och x 2 = 2 r 2 4 q 3
Absolutbelo x = x om x 0 x om x<0 Kvadratrötter a b = ab a 0, b 0 r a a = a 0, b > 0 b b a2 b = a b b 0 Potenser x, y, a, b, reellatala, b > 0, och n ett ositivt heltal a x a y = a x+y a x b x =(ab) x a x a = y ax y (a x ) y = a xy a x a x b = x b a x = a x a 0 = a n = n a Logaritmer För ositiva reella tal x, y, a, b, där a, b 6= gäller där log a xy =log a x +log a y log a x y =log a x log a y lg x y log a x = log a x log a x = log b x log b a lg xy =lgx +lgy =lgx lg y lg x = lg x lg x = ln x ln 0 a y = x, y =log a x 0 y = x, y =lgx e y = x, y =lnx log 0 skrivs oftast lg log e skrivs oftast ln 4
Några summationsformler nx r = r= nx r 2 = r= nx r= nx r=0 n(n +) 2 n(n +)(2n +) 6 r 3 = n2 (n +) 2 4 x r = xn+, där det reella talet x 6= x Binomialsatsen där n är ett ositivt heltal, (a + b) n = n = r nx r=0 n a r b n r r n!, n! =n(n ) 3 2 och 0! =. r!(n r)! 5
3 Komlexa tal Definition Ett komlext tal z kan skrivas z = a + ib där a och b är reella tal och i är ett tal som ufyller i 2 =. Talen z = a + ib och z = a ib kallas konjugerade. Belo Beloet z av z = a + ib är z = r = a 2 + b 2 Polär form z = r(cos ' + i sin ') =re i', där r = z och ' =arg(z) De Moivre z n = r n cos(n')+i sin(n') = r n e in' Multilikationsregler Om z = r e i' och z 2 = r 2 e i' 2 så är z z 2 = r r 2 e i(' +' 2 ) z = r e i(' ' 2 ) z 2 r 2 6
4 Punkter, vektorer och lan i rummet Avståndet mellan unkterna (x,y,z ) och (x 2,y 2,z 2 ) x x 2 2 + y y 2 2 + z z 2 2 Avståndet från unkten (x,y,z ) till lanet ax + by + cz = d ax + by + cz d a2 + b 2 + c 2 Normen (längden) av vektorn a =(a,a 2,a 3 ) q kak = a 2 + a 2 2 + a 2 3 Skalärrodukten av vektorerna a =(a,a 2,a 3 ) och b =(b,b 2,b 3 ) där är vinkeln mellan a och b. a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 = kakkbk cos, Projektion av vektorn u å vektorn a roj a u = u a kak 2 a Cauchy Schwarz olikhet u v alekukkvk 7
5 Geometri Cirkel r cirkelns radie, A area, O omkrets A = r 2 O =2 r Pyramid B bottenarea, h höjd, V volym V = Bh 3 Rak cirkulär cylinder r radie, h höjd, S mantelarea (ytarea), V volym S =2 rh V = r 2 h Rak cirkulär kon r radie, h höjd, s sida, S mantelarea (ytarea), V volym S = rs V = r2 h 3 Sfär r radie, S mantelarea (ytarea), V volym S =4 r 2 V = 4 r3 3 8
6 Trigonometri Rätvinklig triangel sin ' = b c cos ' = a c tan ' = b a c b ' a Enhetscirkeln y (x,y ) P ' O (,0) x sin ' = y cos ' = x tan ' = sin ' cos ' cot ' = cos ' sin ' 9
b a c Areasatsen för triangeln area = bc sin 2 Sinussatsen sin a = sin b = sin c Cosinussatsen a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Additionsreglerna sin(' + ) = sin' cos +cos' sin sin(' ) = sin' cos cos ' sin cos(' + ) = cos' cos sin ' sin cos(' ) = cos' cos +sin' sin Trigonometriska ettan sin 2 ' +cos 2 ' = Formlerna för dubbla vinkeln sin(2') = 2sin' cos ' cos(2') = cos 2 ' sin 2 ' = 2cos 2 ' = 2sin 2 ' 0
Uttryck å formen a sin x + b cos x a sin x + b cos x = r sin(x + y) där r = a 2 + b 2, cosy = a r och sin y = b r Några exakta värden för trigonometriska funktioner Vinkel ' grader radianer sin ' cos ' tan ' 0 0 0 0 30 /6 /2 3 2 3 3 45 /4 60 /3 2 2 2 2 3 2 /2 3 90 /2 0 ej def. 20 2 /3 35 3 /4 3 2 /2 3 2 2 2 2 50 5 /6 /2 3 2 3 3 80 0 0 20 7 /6 /2 3 2 3 3 225 5 /4 240 4 /3 2 2 2 2 3 2 /2 3 270 3 /2 0 ej def. 300 5 /3 35 7 /4 3 2 /2 3 2 2 2 2 330 /6 /2 3 2 3 3 360 2 0 0
7 Några standardgränsvärden lim x!± x =0, lim x!0± x = ± sin x lim x!0 x cos x =, lim x!0 x =0 lim + x x = e, lim x! x n x! e =0 x e x lim x!0 x =, lim x!0 ln( + x) x ln x lim x! x =0 = 2
8 Derivator Definition f 0 (a) =lim h!0 f(a + h) f(a) h f(x) =lim x!a x f(a) a Derivator av några funktioner Funktion Derivata x a ax a e x e x e kx ke kx a x,a>0 x ln x log a x sin x a x ln a x 2 x x ln a cos x cos x tan x arctan x arcsin x sin x cos 2 x =+tan2 x +x 2 x 2 3
Produktregeln f(x)g(x) 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) Kvotregeln 0 f(x) = f 0 (x)g(x) f(x)g 0 (x) g(x) g(x) 2 Kedjeregeln h(x) =f g(x) h 0 (x) =f 0 g(x) g 0 (x) Derivata av invers funktion d dx f (x) = f 0 f (x) Taylors formel f(x) =f(a)+ f 0 (a)! för något mellan x och a. (x a)+ f 00 (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) ( ) (x a)n+ (n +)! 4
9 Integraler Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion x a a + xa+ + c, a 6= e x x sin(x) e x + c ln x + c cos(x)+c cos(x) cos 2 (x) sin 2 (x) x 2 sin(x)+c tan(x)+c cot(x)+c arcsin(x)+c +x 2 arctan(x)+c Partiell integration Z f 0 (x)g(x) dx = f(x)g(x) Z f(x)g 0 (x) dx Rotationsvolymer Rotation kring x-axeln: Z b V = a f(x) 2 dx Rotation kring y-axeln: V =2 Z b a xf(x) dx 5
Båglängd s = Z b a q s = x 0 (t) 2 + y 0 (t) 2 dt, x = x(t), y = y(t) Z b a q + f 0 (x) 2 dx, y = f(x) 6
0 Di erentialekvationer Första ordningens linjära di erentialekvationer Integrerande faktor till y 0 + g(x)y = h(x) är e G(x),där G(x) = R g(x) dx. Andra ordningens homogena linjära di erentialekvationer Di erentialekvationen y 00 + ay 0 + by =0, där a och b är konstanter har lösningar som ges av: y = Ae r x + Be r 2x om rötterna r och r 2 till karaktäristiska ekvationen är reella och r 6= r 2 ; y =(Ax + B)e rx om rötterna r och r 2 till karaktäristiska ekvationen är reella och r = r 2 = r; y = e x A cos( x)+b sin( x) om rötterna r = + i och r 2 = i till karaktäristiska ekvationen inte är reella. 7