1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger hur man kan kombinera dem Kan man dessa två saker så kan man lösa ett stort antal olika problem Vi ska nu prata om grafritning Här gäller det att kunna vissa grafer utantill Tex finns en uppsättning grafer på sid 27 i Adams Det behövs dock grafer av fler funktioner: de trigonometriska, exponentialfunktionen, den naturliga logaritmen, arcusfunktionerna Vi ska nu använda speglingar, translationer och skalningar för att få fram fler grafer Senare under kursen kommer vi också att använda derivator och kontinuitet för att rita grafer av rationella funktioner (kvoter av polynom) Antag att vi har en graf av funktionen Hur ser då grafen ut? Om vi har en punkt på den första grafen, då kommer den punkten antagligen inte att ligga på den nya grafen, eftersom måste vara enheter större för att vänsterledet ska vara oförändrat, och måste vara enheter större för att högerledet ska vara oförändrat Vi ser alltså att punkten ligger på den andra grafen Alltså är den andra grafen förskjuten, eller translaterad enheter i -led och enheter i -led En transformation av planet är en funktion från planet till sig själv (definitionsmängden och målmängden är båda planet) En translation är en transformation som bara flyttar allting ett visst avstånd i någon riktning Formeln för en translation är Variabelparet bildar ett koordinatsystem De nya koordinataxlarna är förskjutna med och enheter i - respektive -led i förhållande till - och -axlarna Grafen kan skrivas som, och har därför samma utseende som, men måste ritas in i det förskjutna koordinatsystemet Nu ska vi titta på grafen Precis som vid translation kan vi rita in ett nytt koordinatsystem vars -axel är förlängd med faktorn och vars -axel är förlängd (omskalad) med faktorn
2 ex Enhetscirkelns ekvation är Vi kan skala om axlarna så att vi får en ellips med halvaxlarna och och centrum i origo Då blir ekvationen Vi kan nu translatera ellipsen så att centrum hamnar i Då blir ekvationen Om är detta cirkelns ekvation Vi avslutar med speglingar: Om vi ändrar tecknet på i en ekvation, dvs vi betraktar tex, så blir grafen samma som, men speglad i -axeln Byter vi tecken på så får vi istället en spegling i -axeln Byter vi ut mot så speglar vi i linjen, och på samma sätt för Slutligen, byter vi plats på och så speglar vi i linjen Om vi speglar en graf i denna linje är det inte säkert att vi får en ny graf, för det kan finnas flera -värden för ett enda -värde Om vi trots allt får en graf så har vi fått grafen för den inversa funktionen, mer om detta senare under kursen Vi har redan pratat om udda funktioner som uppfyller, jämna funktioner som uppfyller, och periodiska funktioner, som uppfyller att Funktioner av dessa slag är symmetriska Det betyder att då vi applicerar en viss transformation så ändras inte utseendet av deras grafer Udda funktion påverkas inte av spegling i origo (=först spegling i -axeln och sedan i -axeln), jämna funktioner påverkas inte av spegling i -axeln, och -periodiska funktioner påveras inte av en translation med enheter i -led (åt vardera håll) ex Rita grafen Grafen ser ut som men förskjuten enheter åt höger och enhet uppåt Se figur ex Rita grafen Vi delar med och kvadratkompleterar: Vi har här translaterat med och skalat om axeln så att den blir gånger längre, men vad händer först Skalning eller translation? Svar: omvänd ordning än den ordningen i ekvationen, dvs grafen blir grafen av först translaterad och sedan skalad
3 Funktioner och mängder Vi införde förut en funktions definitionsmängd som mängden där funktionen är definierad, dvs mängden där funktionens variabel får variera Hittils har vi tittat mest på reellvärda funktioner, men i allmänhet kan en funktion ha en annan målmängd än Mängden av alla möjliga värden funktionen antar, dvs alla möjliga värden som kan få då genomlöper definitionsmängden kallas för funktionens värdemängd Värdemängden betecknas med Definitionsmängden betecknas med Låt definitionsmängden heta och målmängden Vi säger att är en funktion från till, och skriver Antag att vi har en till funktion (egentligen räcker det med att ha en funktion ) Då kan vi sätta samman funktionerna, dvs vi startar med och räknar först ut Eftersom är det ok att räkna ut Vi har nu fått en ny funktion som är en sammansattfunktion och betecknas med Detta är en funktion, och Det är kedjeregeln som säger vad derivatan av en sammansatt funktion är ex Låt Bestäm funktionen Vad är dess definitionsmängd? Eftersom funktionen är definierad på hela kan man tro att även är det Men två saker måste vara uppfyllda för att ska vara definierad: måste tillhöra och måste tillhöra, dvs och Det andra villkoret är ingen inskränkning eftersom aldrig kan vara Slutsats: Gränsvärden åter igen! Några exempel där gränsvärdet av en funktion kan beräknas utan (att skriva) och : ex, ty beror inte på Det närmar sig är själv, ty inget är närmare än själv ex Vad är? Frågan betyder vad närmar sig när närmar sig noll Svaret måste vara, dvs Om en funktion blir godtyckligt stor för tillräckligt nära (eller tillräckligt nära ) så säger vi att den har gränsvärdet oändligheten Matematiskt kan vi säga att om: Om går mot oändligheten säger vi att går mot (Hur blir definitionen av att? ) ex Vad är gränsvärdet av då? Trots att funktion till absolutbeloppet exploderar då närmar sig så är gränsvärdet varken eller ty högergränsvärdet är det förstnämna och vänstergränsvärdet är det sistnämna Alltså har funktionen inget gränsvärde Däremot har vi att Vad blir?
4 Räkneregler för gränsvärden Antag att och har (ändliga) gränsvärden då (eller ) Låt vara en konstant 1) 2) och motsvarandre för subtraktion 3) och multiplikation 4) och division, men bara om! 5) (detta tillsammans med 1) kallas för Linjäritet) 6) Om så (Monotonicitet) 7) Om och är begränsad då, då gäller det också att (Att är begränsad då betyder att gäller om är tillräckligt nära, där är en konstant) Monotonicitet ger omedelbart Instängningsregeln (Thm 4, C 12): Om och har samma gränsvärde och så har även gränsvärdet För att bevisa räknereglerna så tar vi 7) och 3) som ett exempel Bevis av 7): Låt vara ett godtyckligt positivt tal Antag att är ett så litet tal att medför både att och att Vi vill att det även ska medföra att, för då är det tal som vi söker efter i - definitionen av gränsvärden Nu gäller det att Vilket var precis vad vi ville! Bevis av 3): Vi antar att 1) redan är bevisad, se Adams, sid 89 Antag att och att då (eller ) Vi vill visa att då (eller ) 1) ger att vi lika gärna kan visa att Vi gör omskrivningen Det räcker nu att se att de två termerna i högerledet går mot noll 1) ger nu att både och går mot noll Det är klart att är begränsad, och är begränsad eftersom den håller sig nära Alltså ger 7) att dessa två produkter går mot noll! Ofta vill man beräkna gränsvärdet av en kvot där både täljaren och nämnaren går mot noll Vi säger då att gränsvärdet är av 0/0-typ Ibland räcker det då att förkorta med någon gemensam faktor för att gränsvärdet inte längre är av denna typ
5 ex Vad är?? Ett första steg är att göra en variabelsubstitution för att gränsvärdet ska se lite lättare ut För det första är vi bara intresserade vad som händer när är mycket nära, så vi kan anta att är positivt Sätt, dvs Om man vill kan man övertyga sig själv med och, men det är i alla fall intuitivt klart att följande gränsvärde är samma sak: Att närmar sig är samma sak som att närmar sig, och vi har fortfarande samma funktion, men den är uttryckt i istället för Nämnaren kan faktoriseras som mha konjugatregeln 2 gånger Vi förkortar med och har då Detta gränsvärde är inte av 0/0 -typ Det är klart att nämnaren närmar sig, så kvoten närmar sig pga räkneregeln för kvoter Svar: ex Vad är? Vi har två fall: och ( bara närmar sig, så vi behöver inte titta på!) I fall 1 räknar vi ut högergränsvärdet: (pga räkneregeln för kvoter) I fall 2 är : Eftersom höger- och vänstergränsvärdena inte stämmer överens så existerar inte gränsvärdet! ex (Rationella funktioner ) Vi börjar alltid gränsvärden av denna typ med att förkorta med den dominerande termen i nämnaren: addition/subtraktion samt för division, pga räknereglerna för ex Hitta Vi förlänger här med konjugatet Det gäller nu att förkorta med den dominerande termen i nämnaren