KVADRAISKA FORMER Definition. ( av en vadratis form) En vadratis form är ett uttryc av typ nn nn aa iiii xx ii xx jj ii= jj= Några exempel på vadratisa former: QQ = 4xx + 5xx xx + 8xx xx 3 + 9xx + xx xx 3 + 7xx 3 QQ = xx + xxxx + yy QQ 3 = 5xxxx + 3yy QQ 4 = xx + 5yy + 6zz + xxxx + 3xxxx + 8yyyy MARISBESKRIVNING AV KVADRAISKA FORMER En vadratis form QQ(xx,, xx nn ) an besrivas på följande sätt där och A är en symetris matris. QQ = XX AAAA xx xx XX = xx nn i) Låt QQ = aaaa + bbbbbb + cccc. Vi bildar A på följande sätt Då gäller AA = aa bb/ bb/ cc. QQ = [xx yy] aa bb/ bb/ cc xx yy ( ssssällll!). ii) Låt QQ = aaaa + bbbb + cczz + dddddd + eeeeee + ffffff. Vi bildar A på följande sätt aa dd/ ee/ A=dd/ bb ff/ ee/ ff/ cc ( Vi delar med oefficienterna för blandade termer och sriver de symmetrist i A) Sida av 0
Då gäller aa dd/ ee/ xx Q=[xx yy zz] dd/ bb ff/ yy ee/ ff/ cc zz Anmärning: Ibland använder vi betecningen Q x = Ax där x x x =. n x Uppgift. Sriv på formen QQ = XX AAAA följande vadratisa former a) QQ = 7xx + 5xxxx + 3yy b) QQ = 6xxxx + yy c) QQ = 5xxxx d) QQ 4 = xx + 5yy + 6zz + xxxx + 3xxxx + 8yyyy e) QQ 5 = 3xx + 5yy + 8zz Svar a) QQ = [ x, y] 7 5/ 5/ 3 xx yy b) QQ = [ x, y] 0 3 3 xx yy c) QQ 3 = [ x, y] 0 5/ 5/ 0 xx yy 3/ xx d) QQ 4 = [xx yy zz] 5 4 yy 3/ 4 6 zz 3 0 0 xx d) QQ 5 = [xx yy zz] 0 5 0 yy 0 0 8 zz DIAGONALISERING AV KVADRAISKA FORMER Låt Q vara en vadratis form och A tillhörande symmetrisa matris; QQ = XX AAAA ( ) Den symmetrisa matrisen A an vi ortogonal diagonalisera. Låt P vara den ortogonala matrisen (som består av matrisens ortonormerade egenvetorer ) som diagonaliserar A. Då gäller AA = PPPPPP Eftersom P är en ortogonal matris gäller det PP = PP och därför AA = PPPPPP ( ) Om vi samtidigt betratar basbyte från standardbasen till basen som består av de ortonormerade egenvetorer (olonner i P) då har vi följande samband Sida av 0
XX = PPPP ( ) xx yy xx yy mellan gamla oordinater XX = och nya oordinater YY =. xx nn yy nn Om vi nu substituerar (**) och (***) i (*) får vi QQ = (PPPP) PPPPPP (PPPP) QQ = YY PP PPPPPP PPPP ( eeeeeeeeeeeeeeee PP PP = II) QQ = YY DDDD, λλ 0 0 yy Q=[yy yy yy 0 λλ nn ] 0 yy 0 0 λλ nn yy nn eller QQ = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn ( ) Anmärning: λλ, λλ,, λλ nn är egenvärden till matrisen A. Alltså, med hjälp av substitutionen XX = PPPP och nya variabler yy, yy, yy nn har vi srivit om Q så att blandade termer har försvunnit och endast rena vadratisa termer an finnas var i uttrycet. När Q srivs som i (****), säger vi att vi har diagonaliserat den vadratisa formen Q genom substitutionen XX = PPPP. Uppgift. Vi betratar vadratisa formen QQ = xx + 6xxxx + yy. a) Bestäm den tillhörande symmetrisa matrisen A b) Diagonalisera Q ( dvs ange Q på formen (****)) c) Ange ocså den ortogonala matrisen P som diagonaliserar Q. d) Ange sambandet mellan nya och gamla variabler. Lösning a) Den vadratisa formen Q representeras av den symmetrisa matrisen AA = 3 3. b) För att diagonalisera formen måste vi bestämma egenvärden till A. ( λλ) 3 dddddd(aa λλλλ) = 0 3 ( λλ) = 0 ( λλ) 9 = 0 ( λλ) = 9 λλ = ±3 λλ = 5 och λλ = Om vi betecnar nya oordinater med u och v då an vi sriva Q på följande diagonaliserade form ( med variablerna u och v) : QQ = 5uu vv Sida 3 av 0
c) För att bestämma P måste vi bestämma en bas med ORONORMERADE egenvetorer till A : vv = ooooh vv = Vetorerna är uppenbart ortogonala, vv vv = 0. Kvarstår att normera vv och vv dvs. dela varje vetor med dess längd. Alltså vi normerar vetorer och bildar P uu = vv vv = / / ooooh uu = vv vv = / / Därmed är PP = / / / / d) Sambandet mellan nya och gamla variabler är därför XX = PPPP xx yy = / / / / uu vv eller xx = uu vv yy = uu + vv. VÄRDEMÄNGDEN ILL EN KVADRAISK FORM Sats ( om värdemängden till Q) Låt QQ(XX) = XX AAAA, där A är symetris, XX = respetive största egenvärdet till A. Då gäller λλ mmmmmm XX QQ(XX) λλ mmmmmm XX xx xx och låt λλ mmmmmm och λλ mmmmmm vara minsta xx nn { eller λλ mmmmmm ( xx + xx + + xx nn ) QQ(XX) λλ mmmmmm ( xx + xx + + xx nn ) }. Bevis: Om vi diagonaliserar formen Q med hjälp av en ortogonal matris P och variabelsubstitutionen XX = PPPP då får vi QQ(XX) = QQ(PPPP) = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn Härav, eftersom λλ mmmmmm λλ λλ mmmmmm, får vi λλ mmmmmm (yy + yy + yy nn ) λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn λλ mmmmmm (yy + yy + + yy nn ) dvs. Sida 4 av 0
λλ mmmmmm YY QQ(XX) λλ mmmmmm YY. Eftersom P är en ortogonalmatris och XX = PPPP, har vi XX = PPPP = YY och därför λλ mmmmmm XX QQ(XX) λλ mmmmmm XX VV. SS. BB. Uppgift 3. Bestäm maximum och minimum av Q(x, = xx + 6xxxx + yy om xx, yy satisfierar villoret xx + yy = 8. Den tillhörande symetrisa matrisen AA = 3 3 har egenvärden λλ = 5 och λλ =. Enligt föregående sats gäller dvs. λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX λλ mmmmmm (xx + yy ) QQ λλ mmmmmm (xx + yy ) och, eftersom xx + yy = 8, λλ mmmmmm =, λλ mmmmmm = 5, Svar: Q = 8, Q 40 min max = 8 QQ 40. Uppgift 4. Bestäm maximum och minimum av QQ(xx, yy, zz) = xx + 4xxxx 4yyyy + zz då xx, yy, zz, satisfierar xx + yy + zz = ( villor ). Den tillhörande symetrisa matrisen är 0 AA = 0 0 som har egenvärden λλ = 3 och λλ = 0 och λλ 3 = 3 ( ontrollera själv). Därför λλ mmmmmm = 3, λλ mmmmmm = 3. Enligt ( villor ) har vi XX = xx + yy + zz =. Enligt föregående sats λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX Sida 5 av 0
och därmed Med andra ord Q = 6, Q 6 min max = 6 QQ 6 Svar: Q = 6, Q 6 min max = POSIIV/ NEGAIV DEFINI KVADRAISK FORM Definition. En vadratis form Q är a) positivt definit om Q ( X ) 0 för alla X och om Q( X ) = 0 endast för X = 0 b) positivt semidefinit om Q ( X ) 0 för alla X och om det finns någon X 0 för vilen Q ( X ) = 0 c) negativt definit om Q ( X ) 0 för alla X och om Q( X ) = 0 endast för X = 0 d) negativt semidefinit om Q ( X ) 0 för alla X och om det finns någon X 0 för vilen Q ( X ) = 0 e) indefinit om Q(X ) antar såväl positiva som negativa värden. Ett enelt sätt att bestämma typ av en vadratis form Q är vadratomplettering. Uppgift 5. Bestäm typ av följande vadratisa former: a) Q ( x, = x 4xy + 7y b) Q ( x, y, z) = x xy + y + z c) Q = x 4xy + y d) Q( x, = x + 4xy 9y a) Vi vadrat ompletterar Q ( X ) = Q( x, = x 4xy + 7y = ( x + 3y. Det är uppenbart att Q ( x, 0 för alla (x,. Vi undersöer för vila (x, är Q=0: ( x + 3y =0 endast om både ( x = 0 och 3y = 0. { ( x = 0 och 3y = 0 } { x = y och y = 0 } { x = 0 och y = 0 }. Alltså Q ( X ) 0 för alla X och Q( X ) = 0 endast för X = 0. Enligt definitionen är Q ( x, positivt definit b) Q ( X ) = Q( x, y, z) = x xy + y + z = ( x + z. Vi ser att Q ( x, y, z) 0 för alla (x,y,z). Sida 6 av 0
Vi undersöer för vila (x,y,z) är Q=0: Q=0 om ( x = 0 och + z = 0 dvs om x = y och z=0. Exempelvis är Q (,,0) = 0 trots att (,,0 ) inte är nollvetor. Alltså Q ( X ) 0 för alla X och det finns det finns någon X 0 (t ex X = (,,0 ) ) för vilen Q ( X ) = 0. Enligt definitionen är Q ( x, y, z) positivt semidefinit. Svar: a) positivt definit b) positivt semidefinit d) indefinit e) negativt definita Ett annat sätt att bestämma typ av en vadratis form är med hjälp av följande sats. Enligt sats gäller λλ mmmmmm XX QQ λλ mmmmmm XX där QQ(XX) = QQ(PPPP) = λλ yy + λλ yy + + λλ nn yy nn Härav följer nedanstående sats: Sats. Ett vadratis form Q( X ) = X AX, där A är en symmetris matris, är a) positivt definit om och endast om λ 0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva) min > b) positivt semidefinit om och endast om λ = min 0 c) negativt definit om och endast om λ 0 (dvs. alla egenvärden till A är negativa) max < d) negativt semidefinit om och endast om λ = max 0 e) indefinit om och endast om matrisen A har både positiva och negativa egenvärden. Uppgift 6. Bestäm typ av följande vadratisa form a) Q ( x, = 6x 4xy + 9y b) QQ(xx, yy, zz) = xx + 4xxxx 4yyyy + zz. a) Den tillhörande symetrisa matrisen är 6 A = 9 som har egenvärden λλ = 5 och λλ = 0 ( ontrollera själv). Kvadratisa formen är positivt definit eftersom λ > min 0 (dvs. alla egenvärden till A är positiva). b) Den tillhörande symetrisa matrisen är Sida 7 av 0
0 AA = 0 0 som har egenvärden λλ = 3 och λλ = 0 och λλ 3 = 3 ( ontrollera själv). Kvadratisa formen är indefinit eftersom matrisen A har både positiva och negativa egenvärden. Svar: a) positivt definit b) indefinit Uppgift 7. (Uppgift 3. tentamen 7 mars 06) Den vadratisa formen Q på R ges av Q ( x) = x + xx + x. a) Ange den symmetrisa matris A som uppfyller Q x x ( ) = Ax. b) Avgör om Q är positivt definit, negativt definit, positivt semidefinit, negativt semidefinit eller indefinit. a) Den vadratisa formen Q ( x) = x + xx + x an srivas som x Ax med den symmetrisa matrisen / A =. / Egenvärdena till matrisen A är nollställen av ( λ) / det( A λi ) = = ( ) / ( ) λ λ 4 Från ( λ ) = 0 ( λ) = ( λ ) = λ = ±. 4 4 4 Detta ger egenvärden / och 3/. Då alla egenvärdena är positiva, har vi att den vadratisa formen är positivt definit. / Svar: a) A = b) positivt definit / Uppgift 8. (Uppgift 8. tentamen 3 jan 06) Låt A vara en symmetris och inverterbar matris. a) Bevisa att inversen A ocså ar en symmetris matris. b) Bevisa att x Ax ar en positivt definit vadratis form om och endast om positivt definit vadratis form. x A x ar en a) Beviset är enelt om vi använder ränelagen för transponering av en inversmatris ( A ) = ( A ) (*): Med hjälp av * har vi ( A ) = ( A ) = A dvs A ar en symmetris matris. Sida 8 av 0
Anmärning: Liheten A = A. = gäller enligt (*) och = gäller eftersom, enligt antagande, Vi an även enelt bevisa ränelagen (*)genom att transponera sambandet AA =I: Vi har AA ( AA ) = ( I ) ( enligt regeln för transponering av matrisprodut) ( A ) A = I Därmed är A inverterbar och ( A ) = ( A ), dvs (*) är bevisad. b) Enligt en sats om positivt definita matriser gäller: En vadratis form x Ax ar positivt definit om och endast om alla egenvärden till A är positiva. Vi vet att λ är ett egenvärde till A om och endast om är ett egenvärde till A -. Eftersom λ och har samma tecen har λ λ vi följande resonemang: ( x Ax ar en positivt definit vadratis form) (alla egenvärden till A är positiva) (alla egenvärden till A - är positiva) x A x ar en positivt definit vadratis form. (VSB) Anmärning: Vi an enelt bevisa påståendet : λ är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om är ett egenvärde till A -. λ Anta att λ är ett egenvärde till A med motsvarand egenvetor v. Då gäller Av = λv (multiplicera med A - ) v A = λ v (dela med λ. Notera att λ 0 eftersom A är inverterbar ) A v = v V.S.B. λ Med andra ord: egenvärde till A -. λ är ett egenvärde till en inverterbar matris A om och endast om Sida 9 av 0 är ett λ
Uppgift 9. (Upp 5. oncepttentamen. ) Låt A vara en (n n)-matris och Q(x) = x (A A)x den vadratisa formen definierad av den symmetrisa matrisen A A. (a) Visa att Q är positivt semidefinit oavsett valet av A. (3 p) (b) Visa eller vederlägg: Om A ar inverterbar så är Q positivt definit. (3 p) a) Vi sa bevisa att Q( x) 0 för alla x. x Notera att x= är en n-dimensionell vetor. x n Vi har Q ( x) = x (A A)x = (x A )(Ax) = (Ax) (Ax) = (Ax) (Ax) = (Ax) 0 för alla x, V.S.B 3 Förlaring: = gäller enligt associativa lagen för matrismultipliation = gäller enligt regler för transponering av en produt : (MN) =N M 3 = gäller eftersom salerprodut av två olonn vetorer u v an srivas som matrisproduten u v och omvänt. Notera ocså att Ax är en olonnvetor. Därför (Ax) (Ax) = (Ax) (Ax). b) Anta att A är inverterbar. Från a delen har vi att Q ( x) = (Ax) 0 för alla x. (Med andra ord är Q positivt semidefinit. ) Från Q ( x ) = (Ax) ser vi att Q( x) = 0 om och endast om Ax = 0. Men Ax = 0 A Ax = A 0 x = 0 Alltså Q( x) 0 och Q ( x) = 0 endast om x=0. Detta betyder att Q (x) är positiv definit ( dvs. om A är inverterbar så är Q (x) = x (A A)x positivt definit. Sida 0 av 0