Vektorer och kinematik 1 1 1 VEKTORER OCH KINE MATIK 1.1 Inledning Mekaniken är en gammal vetenskap. Ordet mekanik kommer från grekiskans ord mekané (µηχανη) som betyder apparat, maskin eller ordagrant medel för att övervinna. Under antiken utgjordes mekaniken av det vi idag skulle kalla statiken, alltså läran om krafter och deras verkan. Arkimedes studerade t ex hävstången, lutande planet, kilen, skruven och hjulet. Mekaniken är en del av fysiken, och en av hörnstenarna för grundläggande och tillämpad vetenskap. Mekaniken tillämpas på materiella kroppars rörelse. Man trodde länge att det var en övergripande teori, men på 1920talet övertogs den rollen av kvantfysiken. Vad som inträffade när kvantmekaniken utvecklades var att man fann gränser för den klassiska mekanikens eller Newtons mekaniks giltighet när det gäller bl a storleken på de materiella kroppar den kan tillämpas på. Den fundamentala konstanten i kvantfysiken, Plancks konstant h, har dimensionen massa längd hastighet ML 2 T 1. En gräns för Newtons mekanik ges därför av MLV h =.2 10 34 kgm 2 /s (Js) I atomerna är det elektronerna som ger dessa deras egenskaper. Elektronernas massa är ca 10 30 kg och deras hastighet är begränsad av 3 10 8 m/s, ljusets hastighet. Om vi vill beskriva elektronerna inom atomen med rimlig noggrannhet måste längdskalan vara 10 12 m. Dvs MLV = 3 10 8 10 30 10 12 =3 10 34 kgm 2 /s h Olikheten ovan är alltså inte uppfylld i detta fall, och elektronen måste därför behandlas kvantmekaniskt. För atomen som helhet eller för molekyler kan man däremot ibland med fördel använda Newtons mekanik. På längdskalan har Newtons mekanik det enormt stora tillämpningsområdet från 10 9 m upp till universums radie. På masskalan finns i ena änden en molekyl med massan 10 25 kg och i den andra änden en galax med massan 10 40 kg. Andra begränsningar följer ur relativitetsteorin på hastighet och temperatur. Mekaniken är,ihögre grad än andra delar av fysiken teorin för fenomen som vi kan iaktta direkt med våra sinnen. Detta är också orsaken till att mekaniken utvecklades först av alla naturvetenskapliga teorier. Den blev sedan stilbildande med sina begrepp, både för att förstå vardagens fysik och fenomen på atomistisk och kosmisk skala. Mekanikens begrepp kraft rörelsemängd impuls (momentum) rörelsemängdsmoment (angular momentum) energi spelar en framträdande roll i praktiskt taget varje område inom fysiken. En naturvetenskaplig teori består av tre delar en mängd fenomen som man vill beskriva en matematisk modell samt en avbildning mellan dessa Matematiken används eftersom den låter oss uttrycka komplicerade ideer. Fysikaliska samband får formen av lagar vilka ges av matematiska relationer. Dessa lagar leder ofta till nya insikter. Samspelet mellan teori och experiment är också baserad på kvantitativa förutsägelser och mätningar. När överensstämmelsen är mycket god t ex 1på10 känner vi oss övertygade att teorin är sann.
Vektorer och kinematik 1 2 1.2 Vektorer Inom fysiken skiljer vi mellan skalära och vektoriella storheter. Till de förra räknas storheter som volym täthet temperatur vilka utmärks av ett mätetal vilket anger deras storlek. Vektorer är storheter vilka både har storlek och riktning. Vektor kommer från det latinska ordet dragare eller to carry. Det enklaste exemplet på en vektor är en förflyttning från en punkt i rummet till en annan. En förflyttning har storlek, avståndet från P 1 till P 2, och riktning. d P 1 P 2 Vektorstorheter är storheter som likt förflyttningar har storlek och riktning t ex kraft rörelsemängd hastighet acceleration För att beskriva en vektor måste vi ange både dess längd och riktning. Vi antar att en parallellförflyttning inte ändrar en vektor. B C B = C Om två vektorer har samma längd och riktning är de lika. Längden eller storleken på en vektorkallas dess belopp. Beloppet av vektorn A skrivs A = A Om längden på envektorär ett kallas den en enhetsvektor, och betecknas med en hatt. För en vektor A har vi  = A/ A eller A = A 1.2.1 Vektoralgebra Om vi multiplicerar en vektor A med en skalär b>0 resulterar det i en ny vektor C = ba Vektorn C är parallell med A och dess längd är b gånger större Ĉ =  och C = ba Om vi multiplicerar en vektor med 1 får vi en ny vektor med motsatt riktning till den ursprungliga, om b<0 ovan blir Ĉ motriktad Â. Eftersom en förflyttning representeras av en vektor kan vi illustrera de flesta räknelagar geometriskt. Addition definieras enligt nedan * C B A C = A + B På motsvarande sätt får vi subtraktion av två vektorersom C=A B eller C + B = A. Multiplikation av en vektor med en annan vektor kan definieras på olika sätt. 1.2.2 Skalär produkt I en skalär produkt kombinerar man två vektorer till en skalär. Skalärprodukten betecknas A B och definieras som A B = A B cos θ
Vektorer och kinematik 1 3 1.3 Komponenter B * θ A där θ är vinkeln mellan A och B. OmA B= 0såär A = 0 eller B = 0 eller θ = π/2. Vi ser också att Vektoroperationer är definierade utan referens till ett koordinatsystem, men för att erhålla konkreta resultat måste vi välja ett lämpligt koordinatsystem. Låt oss betrakta ett tvådimensionellt system i xyplanet y A A= A 2 cos(0) = A 2 A y A Skalärprodukten uppträder t ex vid beräkning av arbete. Om en kraft F förorsakar en förflyttning d av en kropp, så är det arbete W vilket kraften uträttar på kroppen W=F d 1.2.3 Vektorprodukt (Kryssprodukt) Den andra typen av multiplikation av vektorer vilken uppträder i mekaniken är vektorprodukten. I detta fall kombineras två vektorer A och B till en tredje vektor C C @ A @@R θ B C = A B C = A B sin θ Eftersom C är en vektor måste vi specificera både storlek och riktning. Storleken definieras som C = A B sin θ där θ åter är vinkeln mellan A och B. Vi ser att C =0omθ=0omAoch B är parallella. Riktningen av C bestäms enligt den s k skruvregeln, C är riktad längs den riktning en högergängad skruv vrider sig då A vrides mot B. Från definitionen av vektorprodukten följer att B A = A B A A =0 A x x Projektionen av A på axlarna kallas för A s komponenter, och är A x och A y respektive. Vi kan specificera en vektor genom dess komponenter eller i tre dimensioner A =(A x,a y ) A =(A x,a y,a z ) Alla vektorekvationer kan skrivas som ekvationer för komponenter t ex och för addition ca =(ca x,ca y ) A + B =(A x +B x,a y +B y,a z +B z ) 1.4 Basvektorer Basvektorer är ett system av ortogonala (vinkelräta) enhetsvektorer, en för varje dimension. För en vektor har vi i två dimensioner A = (A x,a y )=(A x,0) + (0,A y ) = A x (1, 0) + A y (0, 1) = A x î + A y ĵ En vektor kan alltså delas upp i komposanter längs koordinataxlarna. Här är î =(1,0) ; ĵ =(0,1)
Vektorer och kinematik 1 4 enhetsvektorer längs x och yaxeln respektive. Varje vektor kan i allmänhet skrivas som A = A x î + A y ĵ + A zˆk där ˆk är enhetsvektorn längs zaxeln ˆk = (0, 0, 1). Nu är î ĵ =cos(π/2) = 0, î ˆk =0 etc, vi får av detta skalärprodukten av två vektorer A B=(A x î+a y ĵ+a zˆk) (Bx î+ +B y ĵ+b zˆk)=ax B x +A y B y +A z B z Med hjälp av basvektorer kan vi också beräkna vektorprodukten. Vi har î ĵ ĵ ˆk ˆk î och î î = 0 etc, = ˆk = î = ĵ A B =(A x î+a y ĵ+a zˆk) (Bx î+ +B y ĵ+b zˆk)=(ay B z A z B y )î+ +(A z B x A x B z )ĵ+(a x B y A y B x )ˆk Detta kan även skrivas som en determinant î ĵ ˆk A B = A x A y A z B x B y B z Någraandraräkneregler för vektorer vilka man enkelt kan härleda är A (B + C) = A B + A C A (B +C) = A B +A C (A B) C = A (B C)=(C A) B 1.5 Lägevektor Anledningen till att vi inför vektorer är att dessa är medlen för att beskriva rörelselagar. Med hjälp av vektorer kan vi beskriva läget och rörelsen för en partikel i det tredimensionella rummet. För att beskriva läget av en punkt i rummet inför vi ett koordinatsystem. Läget av pukten P ges av de tre koordinaterna (x, y, z). En förflyttning från en punkt P 1 till en punkt P 2 ges av vektorn d = (x 2,y 2,z 2 ) (x 1,y 1,z 1 )= = (x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ) vi ser att d bara beror på skillnaden i slut och begynnelselägena. Det är möjligt att beskriva läget av punkten P med hjälp av en vektor från origo till P enligt figuren nedan, x z P 3 (x(t),y(t),z(t)) r(t) y r =(x, y, z)=xî+yĵ+zˆk där r är lägevektorn för punkten. Observera att r beror på valet av koordinatsystem. För två olika koordinatsystem har vi sambandet r = r R där r = (x,y,z ), och R är vektorn från origo för det oprimade till origo för det primade systemet. En förflyttning d påverkas inte av valet av koordinatsystem ty d = r 2 r 1 =(r 2+R) (r 1+R)=r 2 r 1 1. Hastighet och acceleration (Kinematik) För att beskriva rörelsen av en partikel inför vi ett koordinatsystem och en lägevektor r från origo till partikeln enligt ovan, där r(t) =x(t)î+y(t)ĵ+z(t)ˆk 1..1 Rörelse i en dimension Låt oss först betrakta rörelse i en dimension r(t) =x(t)î
Vektorer och kinematik 1 5 Medelhastigheten för rörelsen mellan två tider t 1 och t 2 definieras som v = x(t 2) x(t 1 ) t 2 t 1 Den instantana hastigheten v(t) är gränsvärdet av medelhastigheten när tidsintervallet t 2 t 1 går mot noll x(t + t) x(t) v(t) = lim t 0 t v(t) = dx(t) =ẋ(t) och hastighetsvektorn blir i detta fall v(t) = v(t)î. Med fart (speed) menar vi hastighetens belopp s = v(t) På samma sätt får vi den instantana accelerationen v(t + t) v(t) a(t) = lim = dv(t) = v(t) t 0 t 1..2 Rörelse i flera dimensioner Betrakta en partikel vilken rör sig i ett plan. Vi har då att r(t)=x(t)î+y(t)ĵ Förflyttningen mellan två tidert 1 och t 2 blir då r(t) = r(t 2 ) r(t 1 ) = (x(t 2 ) x(t 1 ))î +(y(t 2 ) y(t 1 ))ĵ För ett infinitesimalt tidsintervall får vi alltså r(t) =r(t+ t) r(t)= =(x(t+ t) x(t))î +(y(t+ t) y(t))ĵ = x(t)î+ y(t)ĵ Hastigheten för partikeln definieras som v(t) = lim t 0 = lim t 0 r(t) t [ x(t) t î + y(t) ĵ t = dx î + dy ĵ = v x î + v y ĵ ] = Detta generaliseras lätt till tre dimensioner såatt v(t) = (v x (t),v y (t),v z (t)) = = (ẋ(t),ẏ(t),ż(t)) = dr På liknande sätt definieras accelerationen a som a = dv = dv x î + dv y ĵ + dv z ˆk = d2 r 2 Härifrån skulle vi kunna bilda nya vektorer genom att ta högre derivator av r, men vi skall se att r, v, ocharäcker för att beskriva rörelsen. Det kan vara värt att påpeka att detta är svåra begrepp, som varit föremål för många skarpsinniga funderingar innan de fick sin nuvarande form av bl a Newton. Redan under medeltiden diskuterade man dessa begrepp. Skolastikerna talade t ex om likformig hastighet (=konstant hastighet). Men de var också medvetna om att hastigheten kunde ändras, och det vi kallar rörelse med konstant acceleration kallade de för likformigt olikformig hastighet. Skulle de ha gått vidare till fallet rörelse med varierande acceleration så skulle de väl ha varit tvungna att införa begreppet olikformigt olikformig hastighet. Trots att vi idag talar om hastighet och acceleration som självklara begrepp, så handlar det om begrepp som vunnits genom mycken möda och skarpsinne hos tidigare generationer. På motsvarande sätt har vektorbegreppet vuxit fram. Medeltidens skolastiker hade t ex stora svårigheter eftersom de inte kunde acceptera att ett föremål, t ex en projektil, kan samtidigt ha två hastighetskomponenter med en komponent v x längs xaxeln och en komponent v y längs yaxeln vilka adderas till en resultant v. Detta menade skolastikerna skulle leda till att projektilen slets i stycken.
Vektorer och kinematik 1 1.7 Integration av vektorer. Antagatt vi känner accelerationen för en partikel. Vi kan då finna hastighet och läge genom att formellt integrera a. Från definitionen av acceleration har vi eller dv(t) = a(t) v(t) =v(t 0 )+ a(t ) t 0 v x (t) =v x (t 0 )+ a x (t ) t 0 etc. Läget för en partikel finner vi genom en andra integration där r(t) =r(t 0 )+ v(t ) t 0 Ett viktigt specialfall är exemplet med likformig eller konstant acceleration. För a = konstant och t 0 =0får vi v(t) =v 0 + a =v 0 +at 0 där v 0 = v(t = 0). Detta ger för partikelns läge r(t) =r 0 + [v 0 +at ] = r 0 + v 0 t + 1 0 2 at2 Iendimensionharvi x(t)=x 0 +v 0 t+at 2 /2 1.8 Rörelse i planpolära koordinater. Rektangulära, eller cartesiska, koordinater är lämpliga för att beskriva rörelse längs en rät linje. Rektangulära koordinater är emellertid inte så lämpliga för att beskriva cirkelrörelse, och eftersom cirkelrörelse spelar en viktig roll inom fysiken är det lämpligt att introducera ett koordinatsystem anpassat för denna rörelse. Vi utgår från cylindriska koordinater. zaxeln i det cylindriska systemet sammanfaller med den i det cartesiska systemet. Läget i xyplanet beskrivs med avståndet r från zaxeln och vinkeln θ som r bildar med xaxeln. Vi får att x z @ @ r θ y r = x 2 + y 2 θ =arctan y x För rörelse i ett plan kan vi försumma zaxeln, och begränsa diskussionen till två dimensioner. Koordinaterna kallas planpolära koordinater. För det cartesiska systemet är de konstanta koordinatytorna räta linjer vinkelräta mot varandra. Linjer med konstant θ är också räta linjer medan r =konstant ger cirklar. Fortfarande skär de varandra under rät vinkel. Vi inför enhetsvektorer ˆr och ˆθ vilka pekar i växande roch θriktningar y ˆθ ˆr @I r θ x Vi noterar att ˆr och ˆθ varierar med r medan î och ĵ är fixa riktningar.vi kan uttrycka de förra i de senare som vidare är ˆr = cosθî+sinθĵ ˆθ = sin θ î +cosθĵ ˆr ˆθ =0 I den cartesiska representationen har vi r(t) = x(t)î+y(t)ĵ = = r(t)cosθ(t)î+r(t)sinθ(t)ĵ = = r(t)[cosθ(t)î +sinθ(t)ĵ]=
Vektorer och kinematik 1 7 = r(t)ˆr(t) 1.8.1 Derivator av en vektor För en allmän vektor har vi sambandet A(t) =A(t)Â(t) Deriverar vi A maptfår vi alltså da = da  + Ad För att beräkna tidsderivatan av enhetsvektorn längs A kan vi observera att  =  θ = θ dâ = dθ = θ och ändringen av enhetsvektorn är vinkelrät mot vektorn själv. Alltså är da = Ȧ + A θâ där  är en enhetsvektor vinkelrät mot Â. 1.8.2 Hastighet i planpolära koordinater Låt oss betrakta hastigheten i planpolära koordinater där vi har v = d (rˆr) =ṙˆr+rdˆr Här representerar den första termen hastighetens komponent längs r. För den andra komponenten har vi som i det allmänna fallet ovan ˆr = ˆr θ = θ dˆr = θ Riktningen för ˆr är längs ˆθ, dˆr = θˆθ Detta resultat kan vi också fåframomvi deriverar uttrycket för enhetsvektorn längs r uttryckt i cartesiska koordinater dˆr = d = θ ( cos θî +sinθĵ ( sin θî +cosθĵ ) = ) = θˆθ På motsvarande sätt får vi att dˆθ = θˆr För hastigheten i planpolära koordinater får vi alltså v = d (rˆr) =ṙˆr+r θˆθ=v rˆr+v θˆθ 1.8.3 Acceleration i planpolära koordinater Från derivatan av hastigheten får vi a = dv = d [ṙˆr+r θˆθ]= = rˆr+ṙ ˆr+ṙ θˆθ+r θˆθ+r θ ˆθ= = rˆr+2ṙ θˆθ+r θˆθ r θ 2ˆr= = ( r r θ 2 )ˆr +(2ṙ θ+r θ)ˆθ Termen rˆr är en linjär acceleration i den radiella riktningen p g a ändringen i den radiella hastigheten. r θˆθ är på liknande sätt en linjär acceleration i den tangentiella riktningen p g a ändring i storleken av vinkelhastigheten. Termen r θ 2ˆr är centripetalaccelerationen och 2ṙ θˆθ är Coriolisaccelerationen. Uppg 1. En partikel rör sig längs en rät linje och dess acceleration a kan skrivas a = cv 2 Bestäm sambandet mellan partikelns läge och dess hastighet. Uppg 2. Vid varje tidpunkt är sambandet mellan en viss partikels acceleration, hastighet och läge givet av a = cv 2 (1 d cos(αx)) Vid t = 0 befinner sig partikeln i origo och har hastigheten v 0.
Vektorer och kinematik 1 8 1. Finn hastighetens beroende av läget 2. Låt d = 0. Finn hastighetens beroende av läget och tiden samt lägets tidsberoende. Uppg 3. En partikel rör sig på encirkelså att farten v avtar enligt formeln v = v 0 e αt där v 0 och α är konstanter. Beräkna accelerationen uttryckt i komposanter längs ˆr och ˆθ. Uppg 4. På en fix vertikal cirkel med radien R kan en liten ring A glida. I ringen är fäst ett otänjbart snöre, som löper över ett glatt stift och som i sin andra ända uppbär en annan partikel B. Stiftet befinner sig vertikalt över cirkelns medelpunkt påavståndet αr från denna. En radie till A bildar vinkeln θ med lodlinjen. Beräkna hastighet och acceleration för B uttryckt i vinkeln θ och dess derivator.