OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A är proporionell mo B och C A=kBC (för e al k) A är omvän proporionell mo B k A= B (för e al k) A är proporionell mo summan, A= k ( B + C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoen, B av B och C A= k (för e al k) C Funionens förändringshasighe y ( (eller y (x) ) Funionen förändras med hasigheen A y ( =A Funionen förändras med hasigheen som är proporionell mo A y ( =ka Funionen förändras med hasigheen som k är omvän proporionell mo A y ( = A Funionens förändras med hasigheen y ( = ka( B C) som är proporionell mo produen mellan A och (B C) Uppgif Säll upp en differenial ekvaion för funionen y ( om a) Funionen y ( förändras med hasigheen (som är lika med) y ( b) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo y ( c) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo d) Funionen y ( förändras med hasigheen som är omvän proporionell mo y ( e) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo differensen mellan och y ( Svar: k a) y ( =, b) y ( = k c) y ( = d) y ( = e) y ( = k( ) Uppgif E radioaiv ämne sönderfaller med hasigheen som är proporionell mo den mängd av ämne som finns kvar a) Säll upp en differenialekvaion som beskriver förloppe Sida av 9
b) Av gram blir de kvar 9 gram efer 00 år Hur många gram blir kvar efer 0 år dy Svar a) = k b) den allmänna lösningen är y = Ce Villkore y ( 0) = C = och därmed y = e 00k 9 Från 00) = 9 har vi 9 = e k = ln( ) 0000 00 Allså y = e 0000 Härav 0) Svar b) I följande uppgif används Newons avsvalningslag: Om en kropp med emperauren T 0 placeras i en omgivning med emperauren T R, kommer kroppens emperaurer a förändras med hasigheen som är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och omgivnings emperaur Med andra ord har vi följande ekvaion y ( = k( T ) med beggynelsevillkor : R 0) = T 0 Uppgif E föremål med emperauren 00 C har efer en minu i rumsemperaur ( C) svalna ill 40 Hasigheen med vilken emperauren sjunker är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och rumsemperauren a) Besäm föremåles emperaur som funion av iden b) Efer hur lång id blir föremåles emperaur 0? dy dy dy = k( ) = k k y = y ln y = + C y = + D e Sarvillkore 0) = 00 D = 78 y = + 78 e k 8 k 8 Villkore y ( ) = 40 40 = + 78 e = e k = ln 0 4 78 78 04 Svar a) y = + 78 e y = + 78 e ln(8/78) b) y ( = 0 + 78 e = 0 e = 8/ 78 = ln(8/78) = k 74 min Svar b) 7 4 min Sida av 9
Uppgif 4 I nedansående vaenank finns 00 lier vaen Vid =0 finns de 00 g sal i anken Tanken illförs vaen med hasigheen 0 lier per imme och salinnehåll 4 g per lier Efer ordenlig mixning förs u vaen med hasigheen 0 lier per imme Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden (d v s efer immar) a) Säll upp en differenialekvaion för y ( och besäm y ( b) Hur mycke sal finns i anken efer immar och 0 min Svara i anale gram (avrunda ill helal gram) a) Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden Förändringshasighe blir då y ( Dessuom gäller y ( = V in V u Vin visar hur många gram sal per imme illförs anken V visar hur många gram sal per imme förs u ur anken u lier gram gram där V in = 0 4 = 80 imme lier imme Vid iden finns de gram sal i 00 lier vaen Därför är densie vid iden gram gram lika med r = = = och därmed volymen 00lier 00 lier V lier gram 0 gram = 0 = u imme 00 lier 00 : imme Nu, från y ( = V in V har vi ekvaionen y ( = 0 4 0 00 y ( + 0 = 80 (*) u med begynnelsevillkore: y ( 0) = 00 Förs homogenadelen: Den karaerisiska ekvaionen för den homogena delen: r + 0 = 0 r = 0 /0 Härav yh ( = Ce Vi ansäer y p ( = A och därmed y p ( = 0 Subsiuion i (*) ger 0 A = 80 A = 800 och därmed y p ( = 800 Sida av 9
4 /0 Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 800 Villkore y ( 0) = 00 medför C=700 /0 och y ( = 700e + 800 /0 Svar a) y ( = 700e + 800 b) )= y ( = 700e + 800 4 Uppgif En sfärisk snöboll med radien l m smäler på e dygn ill den mindre snöbollen med radien 08 m Vi anar, a volymen av snöbollen minskar med en hasighe, som är proporionell mo snöbollens area Vi förusäer, a bollen behåller sin sfäriska form under hela smälperioden a) Besäm en differenialekvaion för radien R som funion av iden b) Lös differenialekvaionen med avseende på R( c) Beräkna efer hur lång id snöbollen är hel bora 4 (Tips: volymen V= R π, arean A= 4R π ) 4 = ka π dr dr R = 4kR π = k Svar: a) R ( = k b) R ( = + C R(0) = C = och k = 0 R() = 08 allså R ( = 0 + c) 0 + = 0 = Uppgif (Ten aug 0) En behållare har formen av en kon med spesen nedå enlig figuren Från början är behållaren fylld med vaen ill höjden,0 cm Vane rinner u genom e lie hål i boen Uflöde är 0,0 h cm /s, där h är vanes höjd i cm Hur lång id ar de innan behållaren är om? 4,0 h Vaenvolymen V( uppfyller ekvaionen blir Sida 4 av 9
= 0,0 h (*) Ekvaionen (*) har vå obekana funioner V( och h( För a lösa ekvaionen måse vi eliminera en av dem Formeln för volymen av en kon ger V πr h =, där r är vaenyans radie På grund av 4 -vinkeln gäller r = h och allså πh V = Meod Vi eliminerar V π ( h( ) Vi deriverar sambande V ( = och får ( med hjälp av kedjeregeln ) πh dh dh = = πh som vi subsiuerar i ekv (*) : dh π h = 0, 0 h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och ) och får 0,0 h dh = (ekv ) π 0 Inegrera: h dh = π h 0 eller = + C π Från h(0)= får vi C = (**) 488 och därmed h 0 = + 488 π 0 Cπ Behållaren är om om h=0 dvs + C =0 Härav = 0 π 0 Svar: 0 s Meod Vi eliminerar h ur ekvaionen = 0,0 h πh V V = h = Insäning ekvaionen ger = 0,0 V, dvs π π = 9,9V Sida av 9
Differenialekvaionen kan separeras: V = 9 9 Inegraion ger V = 9 9 + C π,0 Vid iden 0 är volymen V = Dea ger C = ömmas får vi genom a säa V = 0 = Uppgif 7 C 0 s 09 π,0 Tiden för behållaren a De har regna under en längre id Vaen har hel fyll e 00 m lång och m bre dike Dikes verikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadra, delad längs en horisonell diagonal, m lång Regne har upphör vid idpunen = 0 a) Anag a dike neill är hel ä så a vane endas kan försvinna genom avdunsning uppå Lå V( vara vaenvolymen vid iden > 0, med mä i dagar Visa a V( uppfyller en differenialekvaion på formen = k V k =posiiv konsan, om avdunsningshasigheen(i m /dag) är proporionell mo den fria vaenyans area b) Besäm V( om V(0) =00m (=hel fyll dike) och V()=99m c) När är dike orrlag? a) Lå A( = den fria vaenyans area Enlig förusäningarna gäller = ka (*) Sida av 9
Om h beecknar vanes höjd då gäller h h V V ( = 00 = 00h h = 0 och V A = h 00 = 00h = 00 = 0 V 0 Dea subsiuerar vi i ekvaionen(*) och får 7 = 0k V Vi kan bya 0k med en ny koefficien k Då kan vi skriva ekvaionen på formen = k V VS V b) Vi separerar variabler (Den riviala lösningen V 0 saisfierar ine andra begynnelse villkore ) = k V = k V V = + C V(0)=00 C = 0 V()=99 99 = k + 0 k = 0 99 000 V = + C V = (0 99 ) + 0 V = [ (0 99 ) + 0] Svar b) V ( = [ (0 99 ) + 0] c) V ( = 0 [ (0 99 ) + 0] = 0 ( 0 99 ) + 0 = 0 0 = 99 dagar (0 99 ) Uppgif 8 E mekanis sysem med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvaion, med avseende på m y ( + by ( + k = F( a) Besäm den allmänna lösningen för då m =, b =, k =, F = sin( + cos( b) Besäm den lösning som saisfierar y ( 0) = 0, y ( 0) = Sida 7 av 9
8 Svar a) Ekvaionen: y ( + y ( + = sin + x) = C e + Ce + sin Svar b) x) = sin cos ================================================ Hasighe och acceleraion vid en rälinjig rörelse Lå s ( beskriva posiion av e obje som rör sig rälinjig längs s-axeln ( ex x-axeln y- axeln eller z-axeln) Då har vi följande formler för hasigheen v (, faren v ( och acceleraionen : Posiionen vid iden : s = s( Hasigheen : v ( = s ( Faren: v ( = s ( Acceleraionen: a ( = s ( den oala längden av vägen som obje passerar under idsinervall är L = v( Härav kan vi beräkna posiionen s( om hasigheen v( s ( = v( + C Om vi ve acceleraionen a( då kan vi beräkna hasigheen v ( a( + C = är känd: och därefer inegrera en gång ill för a få posiionen s ( v( + C = Uppgif 9 En obje rör sig längs y-axeln med acceleraionen a ( = ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med och parikelns hasighe med v( Besäm parikelns posiion och v( om 0) =00 och v ( 0) = 0 Tips: y ( = v(, y ( = v ( = a( Från y ( = a( har vi y ( = Därför ( efer en inegraion) y ( = ( ) = + C, Allså v ( = y ( = + C Från v( 0) = 0 nar vi 0 + C = 0 dvs C=0 och därmed y ( = + 0 Vi inegrerar en gång ill och får Sida 8 av 9
9 y ( = ( + 0) = + 0 + D Allså y ( = + 0 + D Villkore y ( 0) = 00 ger D=00 Därmed y ( = + 0 + 00 Svar: y ( = + 0 + 00 och v ( = + 0 Uppgif0 En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a( = sin ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med och parikelns hasighe med v( a) Besäm parikelns posiion vid idpunen om 0) = och v(0)= b) I vilken posiion befinner sig parikeln vid idpunen = π c) Besäm ( den oala) längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle 0 π Tips: y (= v(, v (=a( a) Från v (=a( får vi v ( = a( = ( sin = cos + C Efersom v(0)= har vi C=0 och därmed blir hasigheen v( = cos Från y (= v( får vi y ( = v( = (cos = sin + D Efersom 0)= har vi D= och därför blir parikelns posiion (vid idpunen y ( = sin + b) y ( π ) =, parikeln befinner sig igen i sarpunen ( y ( 0) = π ) = ) c) Den oala längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle 0 π är π π / π / s = v( = cos + ( cos + (cos = + 0 + = 0 0 0 π / π π / (meer) cos för 0 π / Anmärkning: v ( = cos = cos för π / π / cos för π / π Lägg märke ill a parikeln förs rör sig mo punen 7 på y-axeln, sedan mosa rining ill - och därefer ill Svar: a) y ( = sin + b) y ( π ) = c) 0 Sida 9 av 9