Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Relevanta dokument
Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

Om exponentialfunktioner och logaritmer

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Föreläsning 19: Fria svängningar I

TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Biomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Om exponentialfunktioner och logaritmer

3 Rörelse och krafter 1

a) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Repetitionsuppgifter

TENTAMEN Datum: 14 april 09 TEN1: Omfattar: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

= (x, y) : x 2 +y 2 4, x 0, y (4r2 +1) 3 2

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

1 Elektromagnetisk induktion

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Differentialekvationssystem

System med variabel massa

Repetition Kraft & Rörelse Heureka Fysik 1: kap. 4, version 2013

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

uhx, 0L f HxL, u t Hx, 0L ghxl, 0 < x < a

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2017

Introduktion till Reglertekniken. Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

Kvalitativ analys av differentialekvationer

Hur simuleras Differential-Algebraiska Ekvationer?

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

Laborationstillfälle 4 Numerisk lösning av ODE

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn Salarna besöks ca kl 15.30

3. Matematisk modellering

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001

DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Chalmers. Matematik- och fysikprovet 2010 Fysikdelen

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Lite grundläggande läkemedelskinetik

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

3 Rörelse och krafter 1

INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler: (F1) (F2) (F3)

Reglerteknik AK, FRT010

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

SDOF Enfrihetsgradssystemet

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

4.2 Sant: Utfört arbete är lika stort som den energi som omvandlas p.g.a. arbetet. Svar: Sant

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

Matematik CD för TB = 5 +

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev NM

8.4 De i kärnan ingående partiklarnas massa är

Laboration 3: Växelström och komponenter

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

( ) är lika med ändringen av rörelse-

Kap a)-d), 4, 7 25, 26, 29, 33, 36, 44, 45, 49, 72, , 5.34, 5.38, 6.28, 8.47, 8.64, 8.94, 9.25, Kap.11ex.14, 11.54

INSTUDERINGSUPPGIFTER

INSTUDERINGSUPPGIFTER

[ ] 1 1. Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del 2: Dynamik. Läsvecka 2. Mekanik, Del 2, Dynamik 2014, Utgåva 1

1. Geometriskt om grafer

Skattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Program: DATA, ELEKTRO

Specifik ångbildningsentalpi (kj/kg) p. (bar)

[ ] 1 1. Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del 2: Dynamik. Läsvecka 2. Mekanik, Del 2, Dynamik 2015, Utgåva2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Demodulering av digitalt modulerade signaler

Diverse 2(26) Laborationer 4(26)

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA KF OCH F MHA AUGUSTI 2016

återfinns sist i tentamenstesen Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

2 Laboration 2. Positionsmätning

Lösningar till Matematisk analys IV,

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

3 Rörelse och krafter 1

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...

Om de trigonometriska funktionerna

Laborationer / Gruppindelning. Kapitel 4: Interferens. Fri dämpad svängning. Förra veckan, fri svängning FAF260. Lars Rippe, Atomfysik/LTH 1

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Anm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.

Mer om generaliserad integral

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

m Animering m Bilder m Grafik m Diskret representation -> kontinuerlig m En interpolerande funktion anvšnds fšr att

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

Transkript:

OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A är proporionell mo B och C A=kBC (för e al k) A är omvän proporionell mo B k A= B (för e al k) A är proporionell mo summan, A= k ( B + C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoen, B av B och C A= k (för e al k) C Funionens förändringshasighe y ( (eller y (x) ) Funionen förändras med hasigheen A y ( =A Funionen förändras med hasigheen som är proporionell mo A y ( =ka Funionen förändras med hasigheen som k är omvän proporionell mo A y ( = A Funionens förändras med hasigheen y ( = ka( B C) som är proporionell mo produen mellan A och (B C) Uppgif Säll upp en differenial ekvaion för funionen y ( om a) Funionen y ( förändras med hasigheen (som är lika med) y ( b) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo y ( c) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo d) Funionen y ( förändras med hasigheen som är omvän proporionell mo y ( e) Funionen y ( förändras med hasigheen som är proporionell mo differensen mellan och y ( Svar: k a) y ( =, b) y ( = k c) y ( = d) y ( = e) y ( = k( ) Uppgif E radioaiv ämne sönderfaller med hasigheen som är proporionell mo den mängd av ämne som finns kvar a) Säll upp en differenialekvaion som beskriver förloppe Sida av 9

b) Av gram blir de kvar 9 gram efer 00 år Hur många gram blir kvar efer 0 år dy Svar a) = k b) den allmänna lösningen är y = Ce Villkore y ( 0) = C = och därmed y = e 00k 9 Från 00) = 9 har vi 9 = e k = ln( ) 0000 00 Allså y = e 0000 Härav 0) Svar b) I följande uppgif används Newons avsvalningslag: Om en kropp med emperauren T 0 placeras i en omgivning med emperauren T R, kommer kroppens emperaurer a förändras med hasigheen som är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och omgivnings emperaur Med andra ord har vi följande ekvaion y ( = k( T ) med beggynelsevillkor : R 0) = T 0 Uppgif E föremål med emperauren 00 C har efer en minu i rumsemperaur ( C) svalna ill 40 Hasigheen med vilken emperauren sjunker är proporionell mo skillnaden mellan föremåles emperaur och rumsemperauren a) Besäm föremåles emperaur som funion av iden b) Efer hur lång id blir föremåles emperaur 0? dy dy dy = k( ) = k k y = y ln y = + C y = + D e Sarvillkore 0) = 00 D = 78 y = + 78 e k 8 k 8 Villkore y ( ) = 40 40 = + 78 e = e k = ln 0 4 78 78 04 Svar a) y = + 78 e y = + 78 e ln(8/78) b) y ( = 0 + 78 e = 0 e = 8/ 78 = ln(8/78) = k 74 min Svar b) 7 4 min Sida av 9

Uppgif 4 I nedansående vaenank finns 00 lier vaen Vid =0 finns de 00 g sal i anken Tanken illförs vaen med hasigheen 0 lier per imme och salinnehåll 4 g per lier Efer ordenlig mixning förs u vaen med hasigheen 0 lier per imme Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden (d v s efer immar) a) Säll upp en differenialekvaion för y ( och besäm y ( b) Hur mycke sal finns i anken efer immar och 0 min Svara i anale gram (avrunda ill helal gram) a) Lå y ( beeckna anale g sal i anken vid iden Förändringshasighe blir då y ( Dessuom gäller y ( = V in V u Vin visar hur många gram sal per imme illförs anken V visar hur många gram sal per imme förs u ur anken u lier gram gram där V in = 0 4 = 80 imme lier imme Vid iden finns de gram sal i 00 lier vaen Därför är densie vid iden gram gram lika med r = = = och därmed volymen 00lier 00 lier V lier gram 0 gram = 0 = u imme 00 lier 00 : imme Nu, från y ( = V in V har vi ekvaionen y ( = 0 4 0 00 y ( + 0 = 80 (*) u med begynnelsevillkore: y ( 0) = 00 Förs homogenadelen: Den karaerisiska ekvaionen för den homogena delen: r + 0 = 0 r = 0 /0 Härav yh ( = Ce Vi ansäer y p ( = A och därmed y p ( = 0 Subsiuion i (*) ger 0 A = 80 A = 800 och därmed y p ( = 800 Sida av 9

4 /0 Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 800 Villkore y ( 0) = 00 medför C=700 /0 och y ( = 700e + 800 /0 Svar a) y ( = 700e + 800 b) )= y ( = 700e + 800 4 Uppgif En sfärisk snöboll med radien l m smäler på e dygn ill den mindre snöbollen med radien 08 m Vi anar, a volymen av snöbollen minskar med en hasighe, som är proporionell mo snöbollens area Vi förusäer, a bollen behåller sin sfäriska form under hela smälperioden a) Besäm en differenialekvaion för radien R som funion av iden b) Lös differenialekvaionen med avseende på R( c) Beräkna efer hur lång id snöbollen är hel bora 4 (Tips: volymen V= R π, arean A= 4R π ) 4 = ka π dr dr R = 4kR π = k Svar: a) R ( = k b) R ( = + C R(0) = C = och k = 0 R() = 08 allså R ( = 0 + c) 0 + = 0 = Uppgif (Ten aug 0) En behållare har formen av en kon med spesen nedå enlig figuren Från början är behållaren fylld med vaen ill höjden,0 cm Vane rinner u genom e lie hål i boen Uflöde är 0,0 h cm /s, där h är vanes höjd i cm Hur lång id ar de innan behållaren är om? 4,0 h Vaenvolymen V( uppfyller ekvaionen blir Sida 4 av 9

= 0,0 h (*) Ekvaionen (*) har vå obekana funioner V( och h( För a lösa ekvaionen måse vi eliminera en av dem Formeln för volymen av en kon ger V πr h =, där r är vaenyans radie På grund av 4 -vinkeln gäller r = h och allså πh V = Meod Vi eliminerar V π ( h( ) Vi deriverar sambande V ( = och får ( med hjälp av kedjeregeln ) πh dh dh = = πh som vi subsiuerar i ekv (*) : dh π h = 0, 0 h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och ) och får 0,0 h dh = (ekv ) π 0 Inegrera: h dh = π h 0 eller = + C π Från h(0)= får vi C = (**) 488 och därmed h 0 = + 488 π 0 Cπ Behållaren är om om h=0 dvs + C =0 Härav = 0 π 0 Svar: 0 s Meod Vi eliminerar h ur ekvaionen = 0,0 h πh V V = h = Insäning ekvaionen ger = 0,0 V, dvs π π = 9,9V Sida av 9

Differenialekvaionen kan separeras: V = 9 9 Inegraion ger V = 9 9 + C π,0 Vid iden 0 är volymen V = Dea ger C = ömmas får vi genom a säa V = 0 = Uppgif 7 C 0 s 09 π,0 Tiden för behållaren a De har regna under en längre id Vaen har hel fyll e 00 m lång och m bre dike Dikes verikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadra, delad längs en horisonell diagonal, m lång Regne har upphör vid idpunen = 0 a) Anag a dike neill är hel ä så a vane endas kan försvinna genom avdunsning uppå Lå V( vara vaenvolymen vid iden > 0, med mä i dagar Visa a V( uppfyller en differenialekvaion på formen = k V k =posiiv konsan, om avdunsningshasigheen(i m /dag) är proporionell mo den fria vaenyans area b) Besäm V( om V(0) =00m (=hel fyll dike) och V()=99m c) När är dike orrlag? a) Lå A( = den fria vaenyans area Enlig förusäningarna gäller = ka (*) Sida av 9

Om h beecknar vanes höjd då gäller h h V V ( = 00 = 00h h = 0 och V A = h 00 = 00h = 00 = 0 V 0 Dea subsiuerar vi i ekvaionen(*) och får 7 = 0k V Vi kan bya 0k med en ny koefficien k Då kan vi skriva ekvaionen på formen = k V VS V b) Vi separerar variabler (Den riviala lösningen V 0 saisfierar ine andra begynnelse villkore ) = k V = k V V = + C V(0)=00 C = 0 V()=99 99 = k + 0 k = 0 99 000 V = + C V = (0 99 ) + 0 V = [ (0 99 ) + 0] Svar b) V ( = [ (0 99 ) + 0] c) V ( = 0 [ (0 99 ) + 0] = 0 ( 0 99 ) + 0 = 0 0 = 99 dagar (0 99 ) Uppgif 8 E mekanis sysem med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvaion, med avseende på m y ( + by ( + k = F( a) Besäm den allmänna lösningen för då m =, b =, k =, F = sin( + cos( b) Besäm den lösning som saisfierar y ( 0) = 0, y ( 0) = Sida 7 av 9

8 Svar a) Ekvaionen: y ( + y ( + = sin + x) = C e + Ce + sin Svar b) x) = sin cos ================================================ Hasighe och acceleraion vid en rälinjig rörelse Lå s ( beskriva posiion av e obje som rör sig rälinjig längs s-axeln ( ex x-axeln y- axeln eller z-axeln) Då har vi följande formler för hasigheen v (, faren v ( och acceleraionen : Posiionen vid iden : s = s( Hasigheen : v ( = s ( Faren: v ( = s ( Acceleraionen: a ( = s ( den oala längden av vägen som obje passerar under idsinervall är L = v( Härav kan vi beräkna posiionen s( om hasigheen v( s ( = v( + C Om vi ve acceleraionen a( då kan vi beräkna hasigheen v ( a( + C = är känd: och därefer inegrera en gång ill för a få posiionen s ( v( + C = Uppgif 9 En obje rör sig längs y-axeln med acceleraionen a ( = ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med och parikelns hasighe med v( Besäm parikelns posiion och v( om 0) =00 och v ( 0) = 0 Tips: y ( = v(, y ( = v ( = a( Från y ( = a( har vi y ( = Därför ( efer en inegraion) y ( = ( ) = + C, Allså v ( = y ( = + C Från v( 0) = 0 nar vi 0 + C = 0 dvs C=0 och därmed y ( = + 0 Vi inegrerar en gång ill och får Sida 8 av 9

9 y ( = ( + 0) = + 0 + D Allså y ( = + 0 + D Villkore y ( 0) = 00 ger D=00 Därmed y ( = + 0 + 00 Svar: y ( = + 0 + 00 och v ( = + 0 Uppgif0 En parikel rör sig längs y-axeln med acceleraionen a( = sin ( i lämpliga enheer ex m/s ) Vid idpunen beecknar vi parikelns posiion med och parikelns hasighe med v( a) Besäm parikelns posiion vid idpunen om 0) = och v(0)= b) I vilken posiion befinner sig parikeln vid idpunen = π c) Besäm ( den oala) längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle 0 π Tips: y (= v(, v (=a( a) Från v (=a( får vi v ( = a( = ( sin = cos + C Efersom v(0)= har vi C=0 och därmed blir hasigheen v( = cos Från y (= v( får vi y ( = v( = (cos = sin + D Efersom 0)= har vi D= och därför blir parikelns posiion (vid idpunen y ( = sin + b) y ( π ) =, parikeln befinner sig igen i sarpunen ( y ( 0) = π ) = ) c) Den oala längden av vägen som parikeln passerar i idsinervalle 0 π är π π / π / s = v( = cos + ( cos + (cos = + 0 + = 0 0 0 π / π π / (meer) cos för 0 π / Anmärkning: v ( = cos = cos för π / π / cos för π / π Lägg märke ill a parikeln förs rör sig mo punen 7 på y-axeln, sedan mosa rining ill - och därefer ill Svar: a) y ( = sin + b) y ( π ) = c) 0 Sida 9 av 9