15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar

Relevanta dokument
10 Beräkning av dubbelintegraler

11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

20 Integralkalkyl i R 3

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

Dubbelintegraler och volymberäkning

Kap Generaliserade multipelintegraler.

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

Lite sfärisk geometri och trigonometri

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Tentamen: Lösningsförslag

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till problem 1

= 0 genom att införa de nya

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Tentamen: Lösningsförslag

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Kap Dubbelintegraler.

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

Den vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Övningar till kapitel 1

Flervariabelanalys: Exempel

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Fall 1. En kurva definierad för positiva x roterar kring z-axeln.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matematik D (MA1204)

1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet

LNC Lösningar

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Kompendium om. Mats Neymark

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

6.2 Implicit derivering

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Lösningar kapitel 10

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Lösningsförslag till TMA043/MVE085

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

3.1 Derivator och deriveringsregler

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Tentan , lösningar

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

10. Tillämpningar av integraler

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

8 miljarder B. 8 miljoner B. 80 tusen B. 8 tusen B 8 MB 8 GB. 8 kb. 80 kb B B B B 32 MB 32 GB.

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Mer om generaliserad integral

Transkript:

Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka en situation med fra stokastiska variabler. Om då f,, z, u) är frekvensfunktionen, så bör dess integral över alla fra variablerna vara lika med ett. En annan tillämpning är väderlek. En vädersituation kan karaktäriseras av fem variabler, lufttrck, luftfuktighet, temperatur, vindstrka och vindriktning. Variablerna måste inte vara geometriska variabler i det fsiska rummet. Helt i linje med matematikens strävan att generalisera, och att göra det geom att ta fasta på kalklerna snarare än på de ursprungliga applikationerna, kan vi även definiera en kvadruppelintegral: Z f,, z, u)dddzdu över ett område R. Om området är av tp {a A, b) B),c, ) z C, ),g,, z) u G,, z)} så kan den beräknas med itererad integration: Z f,, z, u)dddzdu Z A Z B) Z C,) Z G,,z) a b) c,) g,,z) f,, z, u)du)dz)d)d om f är integrerbar. En multipelintegral av en funktion av n variabler skrivs Z Z f,... n )d...d n. enna integral är intressant i statistik för en frekvensfunktion med n stokastiska variabler. Z Eempel 96l) Beräkna zu dddzdu där ges av,, z och u z.

Lösning: e åtta villkoren, två för varje variabel, har den karaktären att de genast kan användas som gränser vid itererad integration: Z Z Z Z Z z zu dddzdu zudu)dz)d)d {u-integration} {insättning av gränser} {z-integration} {insättning av gränser} 8 {-integration} 8 {insättning av gränser} 8 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z z[ u dz)d)d ]z z 3 dz)d)d [ z ] d)d 5 d)d [ 6 6 ] d 6 6 d Svar: {-integration} 3 [8 8 ] 6. Z zu dddzdu 6. 5. Sfäriska koordinater I clindriska koordinater r cos r sin z z. är avståndet från en punkt,, z) till origo r + z vi bter namn på vinkeln från θ till för att ha samma notation som i boken). etta följer från Pthagoras sats t vi har en rätvinklig triangel med hörn i,, ),,,z) och,, z), och avståndet mellan de två sistnämnda punkterna är r.

z.5.5.5.5.75.5.5 -.5 -.5 I sfäriska koordinater har variabeln r en annan betdelse än i clindriska, nämligen avståndet till origo tunn linje i figuren). Låt oss beteckna detta avstånd med ρ uttal: "rå"), som är den grekiska motsvarigheten till bokstaven "r". Om vinkeln i origo i triangeln beteckas med θ uttal: "fi"), mellan riktningen,, z) och z-aeln som är riktningen,, )). enna triangel är rätvinklig med hpotenusa ρ och katetrar r och z. å har vi tdligen att ρ sin θ r ρ cos θ z Sätter vi in detta i clindriska koordinater får vi sfäriska koordinater: ρ sin θ cos ρ sin θ sin. z ρ cos θ Man använder dock oftare r än ρ. Här använde vi ρ för att göra det klart att r i clindriska och sfäriska koordinater är olika variabler, och för att visa hur sfäriska kan härledas från clindriska vilka är polära koordinater där man hängt på z också). Vi bter till r och har då r sin θ cos r sin θ sin z r cos θ Notera att vinkeln inte finns med i z-koordinaten z ρ cos θ). enna vinkel är samma vinkel som i clindriska koordinater. Vi har följande tolkningar av de tre koordinaterna: r avståndet mellan,, ) och,, z). θ vinkeln mellan riktningen,, z) och positiva z-aeln. Här är θ maimalt π, i vilket fall vi befinner oss på negativa z-aeln. Så θ π.. 3

ompunkten,, z) projiceras ner i -planet fås,, ), och vinkeln θ är vinkeln mellan riktningen,, ) och positiva -aeln. enna vinkel samma som polära koordinater) går runt hela varvet, så π. Observera att de två vinklarna inte har samma gränser. Vad är funktionaldeterminanten för sfäriska koordinater? et är bara att derivera koordinatsambanden: det,, z) r, θ, ) r θ det r θ zr zθ z sin θ cos rcos θ cos r sin θ sin sin θ sin rcos θ sin rsin θ cos cos θ r sin θ {utveckla tredje raden} cosθ cos θ cos r sin θ sin r r cos θ sin rsin θ cos r sin θ) θ cos r sin θ sin sin sin θ sin rsin θ cos cosθ r cos cos θ sin θ + r sin cos θ sin θ + r sin θ r cos sin θ + r sin sin θ {två trig. ettor} r cos θ cos θ sin θ)+r sin θsin θ) {ännu en trig. etta} r sin θ. Så funktionaldeterminanten för polära koordinater är r sin θ, där θ är vinkeln till positiva z-aeln. etta kan skrivas som dddz r sin θdrdθd. Vinklarna har gränserna θ π respektive π. Notera att θ respektive motsvarar latituder och longituder på en glob. Vinkeln θ är nordpolen, θ π är sdpolen och θ π är ekvatorn. En vinkel konstant är en "lodrät" linje en longitud, även kallat meridian. Om vi låter Greenwichmeridianen som går genom London svara mot så kan vi definiera östra halvklotet som π och västra halvklotet som π π. å tillhör emellertid Europa väster om Greenwichmeridianen västra halvklotet något mindre än π,alternativt något mindre än. Nedan har vi tan r som är en sfär, vilken bggs upp av kurvor {r,θ a} respektive {r, b} för många olika värden på a och b. Ienkurva{r,θ a} är alltså två parametrar fia här r och θ), så den tredje ) kan variera fritt, och definierar en kurva ges av en parameter).

-.5 -.5.5 -.5 z - - -.5.5 Kurvor θ konstant och konstant. Observera att eftersom r är avståndet till origo, så det gäller att r p + + z, alltså även r + + z. et är relationer som vi använder ofta. Eempel 9) Beräkna z. + +z dddz där är klotet + + Lösning: Här har området sfärisk smmetri, och vi får i integranden + +z r. Sfäriska koordinater borde vara framgångsrika. Vi får då: + + z dddz E r r sin θdrdθd d sin θdθ Z dr [] π [cos θ] π [r] π )) π. Observera att vi beräknade en generaliserad integral, t integranden + +z är obegränsad i origo. Nivåtor + +z C till denna funktion är + + z C ) R, såpåettklotmedradie runt origo har funktionen värdet C,och på ett klot med radie 3 har funktionen värdet C 9. Vi har givetvis allt större värden ju mindre radier R vi har, enligt C R. Svar: + +z dddz π. 5

Eempel 3 Beräkna e z dddz då {z p + + z, }. På konen z p + + z är vinkeln till positiva z-aeln lika med 3π, så vi får får θ gränserna 3π θ π 5 sdlig bredd ), och svarar mot π östra halvklotet). vi har ingen begränsning på r så r har gränserna och. Vi får med sfäriska koordinater genom att använda z r cos θ ieponenten i e z : e z dddz e r cos θ r sin θdrdθd {använd att e a+b är e a e b } {θ-integration} π π E d d dr 3π r dr e r cos θ r sin θdθ 3π e r cos θ sin θdθ r [ r er cos θ ] θπ θ dr 3π r e r cos π + e r cos 3π )dr π r e r + e r )dr {partialintegration} π [r e r e r )] π π π [ e r + e r ] e r e r )dr Svar: e z dddz π 8. π π e e ) π 8. 5.3 Volmberäkningar Eempel 97b) Beräkna volmen av kroppen K som begränsas av clindern +, paraboloiden z + och planet z. Lösning: Vi har en lodrät clinder med radie runt z-aeln, och en "lodrät" paraboloid vilken som bekant är en skål rotera parabeln runt z-aeln) med minimum i origo. cos, sin, ) 6

5 5 -.5 z.5 5 5 -.5.5-5 5 - - - - z 3 - - - z Kvarvarande volm. Vi använder här clindriska koordinater. å ska vi i z-led gå från z till z r, medan gränserna för r är till respektive till π hela varvet). Vi får då volmen Z Z r ddz d dr rdz K Svar: Volmen är 8π. [] π π Z Z [rz] r dr r 3 dr π[ r ] 8π. Eempel 5 97j) Beräkna volmen av den kropp K som begränsas av clindrarna + a och + z a. 7

- - - - - - - - z - - z - - z Lösning: Med polära koordinater r cos θ r sin θ z z får vi här tan z a att integrera, där området är r a. et ger K ddz {integration av r} {div. förenklingar} 8a3 3 K då Z a dddz p a r cos rdrd [ 3cos [ 3cos a r cos 3 ] a d a a cos 3 + [ a 3cos a cos 3 + sin 3 cos d 6a3 3 a 3 3cos )d a 3 3cos )d sin 3 cos d. etta kan beräknas på följande sätt. t R π Funktionen sin3 cos beräkna de två integralerna separat är problematisk i π, t där har vi. Vi kan inte sin 3 cos d cos d sin 3 cos d t då är de båda divergenta i π. Men vi kan bestämma primitiv funktion till dem separat, Z sin 3 Z cos d Z cos d sin 3 cos d, 8

och sedan i summan av de primitiva funktionerna sätta in gränserna. et är lämpligt för de två termerna "behöver" olika substitutioner. Vi får Z Z cos d {t tan} dt t tan + C, medan Z cos )sin cos d {cos t, sin d dt} Z t t dt t + t +cos + C. cos Så en primitiv funktion till sin3 cos är cos cos tan vi tar C ). Vi får då t sin 3 cos d [ cos lim π cos +cos +tan] π lim +tan)+) + +) π cos +sin +tan) lim π cos {sätt π s} +sins + π lim +coss s coss + π ) lim s sin s {l Hospitals regel} sin s lim s cos s. Svar: K ddz 6a3 3. 9