Appendix i instruktionen Läs även Appendix A och Appendix B i instruktionerna till laboration 2 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 1 1
Linearisering genom logaritmering Ofta förekommer samband av typen: y = f(x) = aÿ x b, där a och b är konstanter som skall bestämmas. För fysikaliska samband är parametern b ofta ett hel- eller halvtal. Sambandet kan lineariseras genom att vi logarimerar funktionen. Vi får i detta fall en ny funktion: log y = log a + bÿ log x. Denna ekvation är linjär i de nya variablerna u = log y och v = log x. Sätt A = log a skrivs den nya funktionen: u = A+b v En viktad linjär anpassning till denna funktion ger oss parametrarna A = log a med felet da, samt b med felet db. 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 2 Observera att även om felen i variabeln y är konstanta, så är felen i variabeln z = ln y inte konstanta utan förändras med y och lika med dz = dy /y. Vad blir felet i den ursprungliga parametern a? Eftersom A = log a blir a = 10 A. Med derivatan da = log 10 10 A da som då är identisk med felet i a (enligt felfortplantningsformeln). Här har vi använt 10-logaritmen det skulle gå lika bra (eller enklare eftersom derivatan av a = e A erhålles direkt som da = e A da ) att använda den naturliga logaritmen ln. 2
Linjär anpassning Residualplott (Ex. 1) 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 3 Det händer ofta att datapunkterna ligger mycket nära den anpassade funktionen. Detta innebär att det är svårt att se hur bra anpassningen är. I det undre diagrammet har skillnaden mellan ett mätvärde och den anpassade räta linjens värde för motsvarande höjdvärde beräknats. Dessa avvikelser skall normalt sprida sig runt 0 och vara N(0,1) fördelade. Fördelen med denna residualplott är att y-skalan expanderar och avvikelserna och felen syns tydligt (i detta fall är emellertid felen stora nog för att synas även i den övre plotten). 3
Linjär anpassning Residualplott (Ex. 2) 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 4 Här är ett annat exempel. I den övre figuren kan man inte se hur punkterna ligger i förhållande till den anpassade linjen och inte heller felen. I residualplotten är dessa väl synliga och vi ser dessutom att datapunkterna inte ligger på en rät linje i detta fall. Ickelineariteten är mycket liten och syns inte med blotta ögat (notera skillnaden i y-skala) den finns där emellertid och visar på något (icke önskad) egenskap hos antingen mätutrustningen eller den fysikaliska storhet man mäter på. 4
Exponentfunktioner I Följande exponentialfunktioner är exempel på ickelinjära funktion i x och vi kan inte direkt använda viktad linjär anpassning. I Q N = I 0 e = 0 Q e = N 0 e µ x tτ µ t (absorption av strålning) (RC-krets) (radioaktivt sönderfall) 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 5 Andra exempel på icke-linjära funktioner. De kan dock enkelt lineariseras genom logaritmering och här är det lämpligt att använda den naturliga logaritmen ln. Visa t.ex. att y = a -µ x, där y = ln I och a = ln I 0. 5
Dimensionsanalys Mycket ofta finner vi i fysiken samband av typen α y = a b där α, β, γ... kan vara antingen postiva eller negativa. Erfarenhetsmässigt är naturen "snäll"i den bemärkelsen att exponenterna är hel eller halvtal. Låt oss ta ett exempel: Tiden för en pendelrörelse - vi antar att den beror på pendelns längd, massa och tyngdaccelerationen: t = Al α m β g γ där A är en dimensionslös konstant. Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet tid t T s längd l L m massa m M kg tyngdaccelerationen g L/T 2 m/s 2 γ 1 α β L α + γ β 2γ 1 α + γ β 2γ Vi får sambanden: T = L M = L M T eller s = m kg s 2 T m : 0 = α + γ 1 1 l kg : 0 = β γ =, α = dvs t = A 2 2 g s : 1 = 2γ 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 6 β c γ... Förberedande övning inför laboration 2. I vänstra ledet saknas längd och massstorheter- tricker är då att komplettera vänstra ledet med 1 m 0 och 1 kg 0. 6
Dimensionsanalys (forts) Ett kapillärrör sänks ner i en vätska. Experimentellt ser man att vätskan stiger i röret (om den väter glaset). Följande storheter bör vara relevanta för effekten: Fysikalisk storhet Symbol Dimension Enhet stighöjden h L m rörets radie r L m ytspänning γ M/T 2 kg/s 2 vätskans densitet ρ M/L 3 kg/m 3 tyngdaccelerationen g L/T 2 m/s 2 kontaktvinkel θ - - Identifiering av exponenterna ger : 1 = a 3c + d a = 1+ 2c 0 = b + c b = c 0 = 2b 2d d = c Vi söker ett samband : h a b c d e = Cr γ ρ g θ Vi har dimensionsambandet : a L = L ( MT ) ( ML ) ( LT 2 b 3 c 2 Vi kan alltså i princip nöja oss med att experimentellt undersöka hur stighöjden h beror av rörets radie r. Man finner att a γ = -1och h = C, (med C = 2cosθ från teorin) rρg ) d 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 7 Ett annat exempel. Man finner att alla variabler behöver inte varieras och kan inte heller varieras på ett enkelt sätt (hur skulle man kunna variera g t.ex.?). 7
Atombombsexplosion ρ R R ET = k ρ 2 1 5 The Trinity explosion, 0.025 seconds after detonation. The fireball is about 200 meters wide. 2010-10-05 Fysikexperiment, 7.5 hp 8 Ännu ett exempel som är intressant pga av exponentens ovanliga storlek. Visa formeln i figuren. Hur kan man uppskatta energin i en atombombsexplosion? Försök visa sambandet ovan. E är den utlösta energin, T är tiden för eldklotet att nå ut till radien R och rho är luftens densitet (det medium som står emot explosionen). Man kan tänka sig en motsvarande sfärisk utvidgning av energin under markytan, men nu med 1000 gånger högre densitet (rho). Trinity was the first test of technology for a nuclear weapon. It was conducted by the United States on July 16, 1945, at a location 35 miles (56 km) southeast of Socorro, New Mexico, on what is now White Sands Missile Range, headquartered near Alamogordo. Trinity was a test of an implosion-design plutonium bomb. The Fat Man bomb, using the same conceptual design, was dropped on Nagasaki, Japan, a few weeks later. The Trinity detonation was equivalent to the explosion of around 20 kilotons of TNT and is usually considered as the beginning of the Atomic Age. Trotyl eller trinitrotoluen (TNT) är ett explosivt, fast ämne som används som sprängmedel. 1 kg TNT motsvarar ca 4x10 6 J). 20 kton TNT motsvarar då 8x10 13 J (motsvarar medelenergibehovet för ca 1000 medelstor villor i Sverige under ett år). 8