KTH Informatons- och kommunkatonsteknk Ingenjörsmetodk (Engneerng Fundamentals) Sh-L Zhang 8
KTH Informatons- och kommunkatonsteknk Ingenjörsmetodk (Engneerng Fundamentals) HT 8 Kompendum Sh-L Zhang 8-8-4
Innehåll Förord v Inlednng Matematsk modellerng. Kompendets Upplägg 5 Enhet och Dmensonsanals 7. Standardserng 7. Storheter, SI Enheter 9.. Storhet 9.. SI enheter 9. Dmensonsanals 8.. Dmensonsenlghet.. Dmensonen för uttrck med funktoner, dervator, ntegraler.. Dmensonsanals..4 Ansats 6.4 Storleksordnng och Uppskattnng 9.4. Potenser.4. Uppskattnng.5 Sammanfattnng 5.6 Problem 6 Dervator och Deras Tllämpnngar 4. Funktoner och Derverng 4. Dervator och Deras Grafska Betdelser 48.. Hur bestämmer v lokala etremvärden? 5.. Kedjeregeln 54.. Produktregeln 54. Partell Derverng 57.. Hur fungerar partell derverng? 57.4 Etremvärde Tvåvarabelfunktoner 65.4. Hur fungerar det med :a dervator? 65.4. Vad är krteret för etremvärden en tvåvarabelfunkton f (, )? 67.5 Sammanfattnng 7.6 Problem 7 4 Felanals och Noggrannhetsanals 77 4. Mätnng och Mätfel 77 4.. Sant värde 77 4.. Mätfel 77 4. Behandlngen av Mätresultat 8 4.. Normalfördelnng och standardavvkelse 8 4.. Beräknngen av sannolkhet 8 4.. Beräknngen av standardavvkelse på mätresultat; standardosäkerhet 8 4. Kombnerad Osäkerhet 85 4.. Prncper 85 4.4 Sgnfkanta Sffror (Värdesffror) 99
4.4. Regler 99 4.5 Sammanfattnng 4.6 Problem 4 5 Dfferenser 9 5. Räntetal 5.. Första dfferenser 5.. Ändrng som en funkton 5.. Kontnuerlga ändrngar 7 5. Tre Satser 5.. Ansatsmetod 5.. Satser 5. Polnom 6 5.. Polnom som matematsk modell 7 5.. Interpolerng med högre-gradspolnom 8 5.. Modellanpassnng med lägre-gradspolnom 4 5..4 Modellanpassnng gentemot nterpolerng 6 5.4 Dvderade Dfferenser 7 5.4. Dfferenser 8 5.4. Dvderade dfferenser 9 5.5 Sammanfattnng 49 5.6 Problem 5 6 Formeltransformerng och Modellanpassnng 55 6. Proportonaltet och Formeltransformerng 56 6.. Vad är proportonaltet för någontng egentlgen? 56 6.. Vad nnebär formeltransformerng? 58 6. Tre Krterer på Modellanpassnng 65 6.. Eempel: stoppsträckan för bl som körs vd en känd hastghet 65 6.. Kvaltatv vs. kvanttatv bedömnng av modellerng 7 6.. Tre krterer 7 6..4 Jämförelse 74 6. Mnsta Kvadratmetoden 76 6.. Prncpen för mnsta kvadratmetoden 76 6.. Anpassnng med lnjär funkton A B 79 6.. n Anpassnng med potensfunktonen A där n är en känd konstant 8 6..4 Svårghet med eponentalfunktoner 87 6.4 Inverkan av Formeltransformerng 89 6.4. Eponentalfunktoner och potensfunktoner 89 6.4. Inverkan av formeltransformerng på slutresultatet 9 6.4. Sammanställnng av resultat enlgt olka metoder 9 6.4.4 Grafsk konfrmerng 9 6.5 Sammanfattnng 94 6.6 Problem 96 7 Gasernas Tllståndsekvatoner 7. Moleklfsk och Termodnamk 7. Epermentella Underlag tll Termska Rörelser 7. Tllstånd, Tllståndsvarabel, Temperatur och Termometerskala 6 7.. Tllstånd 6 7.. Tllståndsvarabel 8 7..4 Emprsk termometerskala 7..5 Gastermometerskalan
7.4 Allmänna Gaslagen 4 7.4. Tre grundläggande epermentella lagar av gaser 5 7.4. Ideala gasen 8 7.4. Ideala gaslagen 8 7.4.4 Gasblandnng 7.4.5 Van der Waals gaslag 7.5 Sammanfattnng 8 7.6 Problem Fact 5 Sakregster 56
Förord Matematken är en väsentlg del av naturvetenskap och teknk. Den har spelat en avgörande roll utvecklngen av naturvetenskap och teknk, särsklt fsk, mekank, och även modern elektronk. I denna kurs kommer studenterna att öva sn matematk genom att lösa rktga problem som också behandlar enhet och felanals. Detta blr ett komplement tll vad studenterna brukar göra tradtonella mattekurser där själva matematken om matematska lagar, teorem och korollarum är fokus. På så vs sftar kursen också tll att leda n studenterna på rätt spår med enhet och noggrannhet, redan från första dagen på KTH. Detta kompendum bgger på materal från ett antal tetböcker och kompendum tll andra kurser på KTH. Med de första avsntten om enhet och dmensonsanals, vll v nte bara göra det smdgt och formellt för studenterna att komma n denna kurs, utan också att lägga en vktg grun tll hela cvlngenjörsutbldnngen och det kommande rkeslvet. Upplägget av detta kompendum bgger på Basc sklls n phscs and engneerng scence a gude to crtcal thnkng about modellng, av professor Göran Grmvall av KTH samt boken A frst course n mathematcal modelng, av Frank R. Gordano, Maurce D. Wer, Wllam P. Fo (Brooks/Cole Thomson Learnng, Inc., Pacfc Grove, USA, ; ISBN -54-848-5); ganska mcket materal har egentlgen hämtats, efter vssa modferngar, från kompendet och boken. Avsntten om matematk börjar med de vktgaste prncperna och lagarna Matematk, Kurs C och D, Naturvetenskap och teknk, av Lars-Erc Björk och Hans Broln (Natur och Kultur, ; ISBN 9-7-5-6). Därpå ntroducerar v de enklaste prncperna om partella dervator som lgger tll grund för både felanals och mnsta kvadratmetoden. V använder matematk, och behandlar nte själva bevsen av matematska lagar, teorem och korollarum. Denna teoretska grund får studenterna vanlga matematkkurser som ges lte senare än denna kurs. V hämtade nspraton från Ingenjörens verktg, Utgåva 4,, av Göran Grmvall, Ulf Rngström, Håkan Sundqust, Torbjörn Thedéen, Anders J Thor (Kunglga Teknska Högskolan, Insttutonen för Bggkonstrukton, Stockholm) när v skrev kaptlet om felanals och noggrannhetsanals. Matematkhandböcker, publkatoner tdskrfter, materal på nternet refereras också tll dessa avsntt. Mcket materal A frst course n mathematcal modelng har refererats kaptlen på dfferenser, dvderade dfferenser, modellerng och modellanpassnng. Tll slut har mcket materal hämtats och översatts drekt från en knessk lärobok om moleklfsk och termodnamk som författaren av detta kompendum läste som en unverstetsstuderande för år sedan. I denna knesska lärobok presenterades mcket epermentella mätresultat tll formulerngen av de olka gaslagarna, vlket passar utmärkt denna kurs Ingenjörsmetodk. v
Med detta kompendum, sftar v tll att studenterna skall kunna lösa problem på ett sstematskt och övergrpande sätt genom att studera olka aspekter av problemen stället för att fokusera på vssa orelaterade aspekter. Teknologerna IT- och MEprogrammen under åren, 4, 5, 6 och 7 tackas för sna kommentarer och förslag. Carl-Mkael Bellman Zetterlng tackas hjärtlgt för stt förslag av denna kurs, sn stora hjälp utvecklngen av kursen (nkl. val av kursmateral, upplägg av kursens nnehåll, etc.), samt sna admnstratva nsatser som har möjlggjort att kursen kunde ha gvts. Bellman, Martn Domej, Ulf Ekenberg och Margareta Lnnarsson har läst, kommenterat och rättat kompendet vd olka faser under utvecklngen av kompendet. De har också bdragt med många rolga och vettga övnngsuppgfter samt tentamenstal som har berkat nnehållet av kursen. Vssa av uppgfterna och talen har blvt problem tll varje kaptel detta kompendum. Upplagan för 8 har redgerats av Gunnar Malm. 8-8- v
v
Inlednng Naturvetenskap handlar om förståelse av naturen, vlket nnebär en samlad representaton av våra kunskaper om naturen baserat på forsknngsresultat från många forskargeneratoner den mänsklga hstoren. Förståelsen uttrcks form av ett stort antal naturlagar. I många fall, kan naturlagarna uttrckas enkla och vackra matematska formler. Välkända eempel är Newtons lagar mekank, Mawells ekvatoner elektrodnamk, termodnamska lagar termodnamk, Schrödngers ekvaton kvantfsk, o.s.v. Däremot handlar teknk om tllämpnngar av naturlagarna med huvudsfte att förbättra vårt lv genom att underlätta och effektvsera vårt arbete samt skapa na applkatoner. Mkroelektronk, datorer och nternet som v ssslar med som huvudområden för utbldnng och forsknng här på Skolan för nformatonsoch kommunkatonsteknk är bara några välkända teknkområden. Betdelsen av teknk just dessa områden vårt lv är enorm. Den matematska lösnngen tll naturlagarnas och teknkens ekvatoner beror på specfka tllämpnngar som bestämmer randvllkor tll dem. Själva lösnngen kan nås genom en skcklg matematsk behandlng. Det blr då klart att en ngenjör som skapar nttga tllämpnngar tll samhället bör vara skcklg matematk. Matematk är ett språk nom naturvetenskap och teknk; den är faktskt en vacker och effektv representaton av naturvetenskap och teknk. Matematk ger den mest effektva och precsa beskrvnngen av en fskalsk process eller händelse. Matematk ger också den bästa kvaltatva och kvanttatva förutsägelsen av en fskalsk process eller händelse. Dessa uppgfter att kvaltatvt och kvanttatvt beskrva saker och tng med hjälp av matematska modeller blr huvudtema och fokus detta kompendum. Matematsk modellerng Matematsk modellerng är en förenklng av verklgheten, en dealserng av verklga fenomen, observatoner, eller beteenden. I de flesta fall är matematsk modellerng ej eakt p.g.a. antaganden, gjorda för att förenkla och möjlggöra modellerngen. Modellerng är en process som nvolverar ett flertal moment. Den kräver också repettoner, vlket ska förklaras nom kort. Sambandet och samspelet mellan verklgheten och matematsk modellerng vsas schematskt Fgur..
Fgur. Verklga sstem Fenomen Observatoner Beteende Förståelse Tllämpnng Verfkaton Förbättrng Implementerng Matematska sstem Modeller Matematska regler, verktg och operatoner Matematska slutsatser I Fgur. försöker v sammanfatta hur en bra modellerng egentlgen ska gå tll när v behandlar ett problem naturvetenskap och teknk. Matematk fungerar denna process som ett verktg. V utgår alltd från att dentfera problemet som ska undersökas och modelleras. Man får då överföra en problembeskrvnng tet tll matematska smboler. Dessutom dentfera s.k. beroende och oberoende varabler. Efter detta fortsätter v med att samla epermentella mätdata, antngen genom att utföra egna eperment, eller att söka ltteraturen Med ltteraturen menar v vetenskaplga och teknska böcker, tdskrfter, databaser, Internet o.s.v.). En ltteraturstude med tllhörande rapportskrvnng och språkgransknng är ett stort och vktgt moment kursen Ingenjörsmetodk. Fgur. Mätdata/resultat förenklng Modell verfkaton anals Förutsägelser förklarng/uttolknng Matematska slutsatser Eftersom det kan fnnas ett flertal varabler eller parametrar som påverkar utvecklngen av en fskalsk process, brukar epermenten göras på ett kontrollerat sätt där utvecklngen mäts när en vald parameter ändras successvt medan resten av parametrarna behålls oförändrade. Utvecklngen kan mätas gen när en annan parameter väljs för att förändras successvt. Som ett eempel, den totala sträckan s för ett fordon, som börjar med en nledande sträcka s, en ntal hastghet v och som accelereras med a, är beroende av s, v och a samt tden t. (V vet att svaret detta enkla eempel är s s v t at.) V kan mäta det första epermentet hur s ökar
med t medan s, v och a behålls oförändrad, d.v.s. med konstanta s, v och a eller för gvna värden på s, v och a. I det andra epermentet kan v ändra v medan v håller s, t och a oförändrade, det tredje epermentet kan v ändra s medan v håller t, v och a oförändrade, och det ssta epermentet ändrar v a och håller s, v och t oförändrade. Mätresultaten blr en databas tll modellerng som tllhör tll blocket överst tll vänster Fgur.. Alternatvt kan v, efter problemdentferngen, fortsätta med att stället arbeta med en matematsk modell som representeras blocket överst tll höger Fgur.. Det är vanlgt att v jobbar med både nsamlngen av mätdata och modellbggandet, parallellt och samtdgt. För att bgga upp en modell, krävs det ofta vssa förenklngar samt antaganden. Med analsen av mätresultaten, försöker v fånga tdlga och vktga tendenser utvecklngen. Tendenserna kan kanske vara grova och v kan vssa fall bara se en öknng eller mnsknng, men det spelar en mndre roll ett första försök modellerngen. Modellen som ska analseras leder tll vssa matematska slutsatser om modellens beteende, t.e. vad v kan göra med den och vlka resultat den kan ge oss. Detta sammanfattas blocket nere tll höger Fgur.. Förklarng och tolknng av modellerngsresultaten kan leda tll förutsägelser som vsas blocket nere tll vänster samma fgur. En rktg verfkaton av modellen är att drekt jämföra den med de ursprunglga mätresultaten, vlket ger avslutnngen av kretsloppet Fgur.. Jämförelsen ger nformaton om modellens kvaltet. Om modellen nte alls stämmer med mätresultaten, bör v börja om kretsloppet med ett ntt försök och en n modell. Det kan också behövas nsamlng av tterlgare epermentella resultat. Om modellen fångar de vktga tendenserna utvecklngen kan v välja att förbättra modellen genom att analsera våra ursprunglga förenklngar och försöka mnska antalet antaganden. Här kan v analsera och jämföra stegvs hur modellerngsresultatet påverkas när ett eller ett fåtal antaganden tas bort (gärna successvt). Modellen denna förbättrade form med flera parametrar eller varabler bör skta på en mer detaljerad jämförelse med mätresultaten. Processen kan fortsätta, enlgt kretsloppet Fgur., tlls v blr nöjda. Vad som beskrvts ovan är egentlgen en allmän procedur när v utvecklar en matematsk modell baserad på rktga mätresultat. V försöker sammanfatta den punktvs nedan: dentfera problem och konvertera från beskrvnng tll matematska smboler gör antaganden och klassfcera varabler, oberoende eller beroende, vktga eller trvala, samt deras samspel föreslå en modell enlgt antaganden samt resultat samla och analsera mätresultat, från ltteratur eller egna mätdata utveckla och analsera modellen anpassa modellen tll mätresultaten analsera modellens känslghet för olka antaganden mnska antalet antaganden mplementera modellen förbättra modellen om det krävs och är lämplgt generalsera modellen för relaterade problem
Den ssta punkten är vktg eftersom v sktar på en allmän modell som även kan beskrva relaterade fenomen eller observatoner. Värdet av en modell är ltet om den bara kan beskrva vad som har vsats epermentellt det specella fallet. Så, en bra modell bör kunna förklara och beskrva vad v har sett, samt också förutsäga vad som kan och ska hända. På så vs kan en bra modell hjälpa tll att bestämma vad som kan och ska göras. För att bgga upp en modell på ett effektvt sätt, brukar v ta följande steg att: dentfera de vktgaste faktorerna börja med en mcket enkel, analtsk modell med ett stort antal antaganden för att korrekt uppfatta tendenser som bestäms av de vktgaste faktorerna epandera modellen genom att ta bort vssa antaganden för att även avslöja detaljer (modellen är kanske nte längre analtsk, men bör nte vara för komplcerad) generalsera modellen V kommer följande kaptel att se olka sätt att modellera; bggt på fskalska prncper och analser, emprskt baserat på epermentella observatoner och optmerng av modellparametrar, samt anpassnng av en modell tll mätresultat. Lösnngen tll en modell kan vara analtsk eller numersk, beroende på modellens kompletet. Med en analtsk lösnng, kan v lätt se hur en utvecklng sker samt hur resultatet beror på modellens parametrar. Modellerng kan också klassfceras som teoretsk modellerng, epermentell modellerng samt smulerngsmodellerng. Vad de första två tperna nnebär är lätt att förstå, medan den ssta oftast använder ett smulerngsverktg. I dag fnns det en stor mängd av kommersella smulerngsmjukvaror nom mkroelektronk och nformatonsteknk (SPICE, VHDL, o.s.v., o.s.v.) för modellerng av komponentprocessnng och tllverknng, komponentkarakterserng, kretsfunkton, sstemanals, o.s.v. Ett korrekt svar tll ett rktgt fskalskt problem kan kräva mcket mer än just ett matematskt uttrck eller en numersk sffra. För att kunna göra ett vettgt modellerngsarbete behöver v också andra ngredenser förutom matematk. De ngredenserna nkluderar enheter, dmensonsanals, uppskattnng, felanals, noggrannhetsanals, anpassnng, och sst men nte mnst numersk bedömnng. Alla dessa ngredenser är vktga pusselbtar denna kurs. I Fgur. försöker v sammanfatta de olka moment som behövs, och också ngår kursen, tll en slutlg lösnng tll ett problem. 4
Fgur. Korrekt enhet (dmensonsanals) Matematk (funkton & derverng) Problem lösnng Anpassnng (mnsta kvadratmetoden) Korrekt antal sffror (felanals & noggrannhetsanals) Ett delmål för kursen är enlgt Fgur. att studenterna efter slutförd kurs ska kunna: göra uppskattnng av en storhet; göra anals av osäkerhet och sgnfkanta sffror; sätta rätt enhet på en fskalsk storhet; göra dmensonsanals; analsera fskalska storheter som alltd består av en fskalsk enhet och en numersk sffra; bgga upp emprska eller fskalska modeller av epermentella resultat; göra anpassnng av modeller tll mätresultat. Hur bra v tllämpar de olka momenten en modellerngsprocess beror på vår förmåga samt erfarenhet. Detta beror också på själva problemet eller uppgften som undersöks. Den enda lösnngen för att skaffa förmågan och erfarenheten är att fokusera och jobba med ett stort antal problem tlls v känner oss säkra på metoderna.. Kompendets Upplägg Sftet med detta kompendum är att ge studenterna en övergrpande ntrodukton tll modellerng. V bör naturlgtvs utnttja kunskaper från tdgare utbldnng så mcket v kan. Kompendet börjar med det relatvt korta Kaptel, som tar upp fskalsk storhet, enhet, dmensonsanals, storleksordnng samt uppskattnng. Detta materal är vktgt och spelar en grundläggande roll naturvetenskap och teknk. En väldgt stor mängd materal har hämtats, efter vssa modferngar, från ett KTH-kompendum 5
Basc sklls n phscs and engneerng scence a gude to crtcal thnkng about modellng, av professor Göran Grmvall samt en amerkansk bok A frst course n mathematcal modelng, av Frank R. Gordano, Maurce D. Wer, Wllam P. Fo (Brooks/Cole Thomson Learnng, Inc., Pacfc Grove, USA, ; ISBN -54-848-5). Kaptel handlar om funktoner, derverng samt deras grafska tolknng. Här börjar v med en omfattande repetton av de vktgaste prncperna och lagarna Matematk, Kurs C och D, Naturvetenskap och teknk, av Lars-Erc Björk och Hans Broln (Natur och Kultur, ; ISBN 9-7-5-6). Med dessa som bas, fortsätter v med partella dervator som tll en början kan vara svåra att begrpa eftersom de nvolverar ett flertal varabler. V försöker undvka komplcerade matematska lagar och derverngar, men vsar ändå prncpen för hur v faktskt kan dervera flervarabelfunktoner. En- och flervarabelanalsen behandlas sedan strkt matematskt vårtermnens matematkkurser. Den allmänna prncpen ges, men alla eempelproblem begränsas tll fallet med bara två oberoende varabler. Partell derverng är av grundläggande betdelse för felanals (Kaptel 4) samt för mnsta kvadratmetoden (Kaptel 6). Räntetal tas upp som ett eempel Kaptel 5 för modellerng av dnamska förändrngar. Här försöker v smga n begreppen dfferens och dfferensekvaton på ett enkelt sätt, eftersom räntetal är allmänt ntressant och matematskt enkelt. I detta kaptel behandlar v polnom som ett matematskt verktg för att analsera mätresultat samt funktoners utvecklng. Här skljer v nterpolerng från modellanpassnng. Interpolerng fokuserar på en perfekt anpassnng av ett högre-gradspolnom mot mätresultat medan modellanpassnng handlar om att fånga utvecklngens tendenser med ett lägre-gradspolnom. Begreppet dvderad dfferens ntroduceras som ett försök att ge hjälp valet av ett lägre-gradspolnom för modellanpassnng. I Kaptel 4 och 6, går v specfkt n på felanals (4) och mnsta kvadratmetoden (6) och ger en sstematsk behandlng när matematska basen har lagts de två föregående kaptlen ( och 5). Utvecklngen av den deala gaslagen samt van der Waals gaslag behandlas Kaptel 7 som ett eempel på hur vetenskapsmän arbetar med verklga problem. Här kommer v att belsa hur prncperna/procedurerna som sammanfattas Fgurerna.,. samt. har följts verklgheten. Mcket materal har hämtats och översatts drekt från en knessk lärobok om moleklfsk och termodnamk, där ett antal eempel med epermentella mätresultat ngck. Detta kaptel avslutas med ett betdlgt större antal problem än de tdgare kaptlen. Sftet med dessa problem är att uppmuntra studenterna att på ett övergrpande sätt öva sg att tllämpa vad de lärt sg kursen. I slutet av varje kaptel ges en sammanfattnng samt ett flertal problem vars svar samlas Fact. Därför uppmuntrar v studenterna att jobba med problemen som hemuppgfter, trots att många problem kommer att gås genom under lärarledda övnngar. I varje kaptel fnns också längre genomarbetade eempel med lösnngar. 6
Enhet och Dmensonsanals I naturvetenskap och teknk gör man daglgen akttagelser och mätnngar. Förut använde männskan tll stor del sna fem snnen: snen, hörseln, smaksnnet, luktsnnet och känseln. Resultat blev personlga och subjektva. För att förstå resultat, göra djupare studer, fatta beslut, kommuncera med andra, o.s.v., måste man kunna sammanfatta och sstematsera mätresultat på ett väletablerat, välkänt och standardserat sätt. Detta har lett tll utvecklngen och användande av olka mätnstrument (apparater) för olka mätändamål, samt standardserng av mått och skapande av enhetssstem. Användnngen av mätnstrument gör mätresultat oberoende av person och objektva. I detta kaptel börjar v med en kort beskrvnng av standardserng för att ge en bakgrund tll de kommande avsntten om fskalska storheter och enheter, särsklt de så kallad SI-enheterna (Sstem Internatonal). Eftersom dmensonen hos en fskalsk storhet blr oförändrad när man konverterar från ett enhetssstem tll ett annat, kan man använda denna egenskap för att verfera ett gvet matematskt samband mellan ett flertal fskalka storheter. Denna process, känd som dmensonsanals, kommer också att behandlas detta kaptel. I vssa fall kan man också bgga upp ändamålsenlga matematska modeller genom att utföra en dmensonsanals av gvna problem. Som ett vktgt steg mot en omfattande lösnng med precsa värdesffror och enhet, brukar en vetenskapsman eller ngenjör börja med att uppskatta storleksordnngen av en fskalsk storhet. Denna procedur är känd som uppskattnng och kan bdra tll förenklng och förbättrng av vår förståelse och lösnng tll många praktska problem. Uppskattnng måste göras med rmlga enheter, vlket gör att detta moment blr en naturlg del av detta kaptel.. Standardserng Måttstandardserng var känd redan för flera tusen år sedan som ett centralt led utvecklngen av samhället. I Romarket var aelavståndet för vagnar samt stora vägar standardserat för redan ca. år sedan. Men måttstandardserngen skedde nte utan våldsamt motstånd trots att betdelsen och fördelerna var kända som stora. I Kna tvngades måttstandardserngen fram på ett mcket brutalt sätt av Första Kejsaren efter att han enade hela landet år f. Kr. Idag förstår v mcket bättre betdelsen och fördelen av måttstandardserng; den har bdragt tll ett enkelt, flebelt och bekvämt lv. Ett klassskt eempel på ndustrell standardserng är sstem för gängor, t.e. på skruvar och muttrar. Eluttag, kretskort en persondator, lednngar ett vattensstem, o.s.v. är tterlgare några eempel på måttstandardserng v snabbt känner gen. Måttstandardserng har faktskt bdragt stort tll modernserngen av vår värld. Den har spelat en central roll förbättrngen av kommunkaton och handel. Den har ändrat sättet v lever på. 7
Idag omfattar standardserngsarbetet mcket mer än just mått. Den mcket omtalade -G (.e. tredje generatonen) teknolog som samtdgt kan skcka ut eller ta emot både ljud och annat (t.e. bld) är ett känt eempel av standardserng av radotransmssonsteknken (RTT) för mobltelekommunkatonen. (Analogmoblen brukar refereras tll som -G, medan dagens domnanta dgtalmobl är -G. Ett känt eempel av -G moblen har GSM Global Sstem for Moble communcatons som sn radotransmssonsteknk.) Standardserng fnns överallt. Den nnebär marknadsfördelar och ses dag som ett måste för att ett företag ska kunna överleva och epandera. Standardserng kopplas drekt tll enhet och enhetssstem som stra ska behandlas. Idag är ISO (Internatonal Organzaton for Standardzaton) under FN (Förenta natonerna) ett nternatonellt standardserngsorgan som ansvarar för alla områden utom elektroteknk samt telekommunkaton. Men ISO har ett närsamarbete med IEC (Internatonal Electrotechncal Commsson) och the ITU-T (Internatonal Telecommuncaton Unon), särsklt området nformatons- och kommunkatonsteknk. 8
. Storheter, SI Enheter.. Storhet För varje föremål eller fenomen kan det fnnas flera sklda fskalska egenskaper. Salen Aulan har en genomsnttlg bredd, en genomsnttlg takhöjd, en golvta, ett antal platser och en volm om man vll. En bärbar persondator har en bredd, en tjocklek, en massa, en mnnestorlek och en klockfrekvens hos mkroprocessorn. Sådana egenskaper kallas fskalska storheter (eller bara storheter). Uppenbarlgen är det vktgt att göra klart vad som ska mätas när en mätnng ska utföras. Detta bestämmer omedelbart, bl.a. vlken tp av mätnstrument kommer att behövas. När en mätnng utförs, får man endast en kvanttatv bestämnng av den fskalska storhet man mätt. En fullständg bestämnng av den fskalska storheten kräver dels att man anger eakt vad man mäter, t.e. datorns hastghet, och dels att man redovsar storleken av den aktuella storheten, t.e..4 GHz (4 Hz.4 9 Hz). Att bara ange den första, vad man mäter, ger däremot en kvaltatv bestämnng av den fskalska storhet man mätt. I denna kurs är v mest ntresserade av en fullständg bestämnng med en kvanttatv presentaton av de fskalska storheter v studerar. Det är då värdefullt att repetera att en fskalsk storhet alltd består av två lka vktga delar, en numersk sffra som beskrver storleken och en fskalsk enhet som vsar vad som mäts. Som vanlgt, presenteras en fskalsk storhet med den numerska sffran före den fskalska enheten: Fskalsk storhet (Numersk sffra) (Fskalsk enhet).. SI enheter Nu har v redan ntroducerat begreppet enhet som beskrver vad man mäter. Standardserng berör drekt enhet och enhetssstem. Genom den mänsklga hstoren har ett antal olka enhetssstem utvecklats och använts. Idag är Sstem Internatonal, SI, den nternatonella standarden när det gäller enheter. Sstemet skapades av fransmän samband med den franska revolutonen för ca. år sedan. Ett vktgt nslag var skapelsen av två platna standarder (prototper), en för meter och en för klogram, Archves de la Républque Pars, :a jun 799. Detta kan ses som ett första steg mot utvecklngen av dagens SI-enheter. Mer om SI-enheterna kan läsas på följande webbadress: http://phscs.nst.gov/cuu/unts/hstor.html På denna adress kan man även htta mcket mer än just hstoren om SI-enheternas. Här ska v bara ge en sammanfattnng av de delar som relaterar tll detta kompendum. I SI fnns det 7 grundenheter vars namn, SI smboler och kvaltatva bestämnngar 9
sammanfattas Tabell.. De tre första enheterna, meter, klogram och sekund, känner v gen redan från tdgare studer gmnaset. Den ursprunglga tanken med grundenheterna var, bl.a. att de skulle vara bestämda av naturkonstanter som nte kunde förändras. Vår Moder Jord var naturlgtvs en bra startpunkt, och enheterna meter samt sekund defnerades faktskt med referens tll jorden. I Fgur. vsar v schematskt hur en meter, m, defnerades: den var en -del (/) av tavståndet mellan nordpolen och ekvatorn. Detta nnebär att tavståendet mellan nordpolen och ekvatorn av jorden skulle vara mljoner ( 7 ) meter, eller att polaromkretsen som går genom båda polerna skulle vara 4 mljoner meter lång. Vd den tden vsste man nte att jorden nte var en rktgt perfekt sfär utan en ellptsk glob (fast nte så ellptsk som en amerkansk fotboll). Polaromkretsen har senare mätts tll 4786 meter medan ekvatorsomkretsen är 4757 meter. Eftersom metern var en mcket vktg enhet, brukade enhetssstemet SI-sstemet kallas meter-sstemet ( the metrc sstem på engelska). Tabell. De 7 grundenheterna SI. Enhet Smbol Vad som mäts meter M Längd klogram Kg Massa sekund S Td ampere A Elektrsk ström kelvn K Termodnamsk temperatur mol Mol Substansmängd candela Cd Ljusstrka Fgur. nordpolen nordpolen ekvatorn m,, ekvatorn Jorden sdpolen
På samma sätt försökte man defnera enheten sekund, s, med jorden som referens. Den äldsta enheten för td var en soldag (ett dgn) på jorden. Denna räckte nte tll när man behövde tätare samt mer eakt tdsdefntoner. Då dvderades ett dgn först tmmar, och senare även mnuter och sekunder. Tll slut blev en soldag på jorden 4 tmmar, där varje tmme bestod av 6 mnuter och varje mnut sn tur av 6 sekunder. Detta nnebar att en sekund defnerades som en 864-del (/864/(4 6 6)) av en soldag på jorden som schematskt vsas Fgur., vlket fortfarande gäller dag fast med förnat nnehåll för högre precson. Decmalsstemet där multpelenheter är decmala, d.v.s. en topotens av den samstämda enheten är prncpen för de flesta SI-enheterna. Tdsenheten med 4 tmmar per dgn, 6 mnuter per tmme och 6 sekunder per mnut har vart en undantag. Den har en djup rot som kan spåras tllbaka tll den gamla Bablonska (ca. år f. Kr.) och Sumerska (ca. år f. Kr.) kulturerna och den har bevarats. Jorden har dag 4 ndelade tdszoner som defneras med hjälp av begreppet longtud, se Fgur.. Longtudvnkeln är drekt kopplad tll td på dgnet, va jordens rörelse. Vår känsla för td kopplas ofta tll vår känsla för hastghet. I denna mån redovsar v några kända fakta om hastghet Tabell.. Fgur. dag på jorden sekund 86,4 ekvatorn longtud sdpolen lattud Tabell. Känsla för td? Eempel m/s Genomsnttshastghet för en gående person. Den snabbaste löparen världen ( m). Tenns-serve från en professonell tennsspelare 58 Mamal hastghet för en sportbl 67 777 Boeng/Arbus personflgplan 48 Omloppshastghet för rmdskttel 774 Genomsnttlg omloppshastghet för jorden (krng solen) 9
En annan ursprunglg och vktg SI-enhet heter klogram, kg. Defntonen av klogram var sådan att vkten av en lter ( cm cm cm) vatten vd 4 grader Celsus ( o C) blev ett klogram. Vatten har den högste densteten vd 4 o C. Förutom naturkonstanter och decmalsstemet, var de tterlgare grundläggande prncper för det standard enhetssstemet följande (från Ingenjörens verktg, Utgåva 4,, av Göran Grmvall, mm; sd 7): - för varje storhetsslag skulle det prncp bara fnnas en enhet; lka överallt och nom alla branscher, - enheterna för olka storhetsslag skulle ha ett enkelt samband, d.v.s. sstemet skulle vara vad man kallar samstämt. Idag har defntonen av samtlga grundenheter förändrats stort samband med vår förbättrade förståelse av naturlagar samt teknska utvecklngar. Den moderna defntonen av de 7 grundenheterna beskrvs Tabell.. Antalet fskalska storheter är numera nte begränsat tll de 7 storheterna med sna respektve SI-enheter Tabell.. Förutom de 7 grundenheterna fnns det en lång lsta av härledda enheter Tabell.4. Samtlga härledda enheter kan uttrckas de 7 grundenheterna, vlket är de som vsas Tabell.4. Fgur. H O vd 4 o C cm cm cm kg
Tabell. Modern defnton av de 7 grundenheterna. Storhet Enhet Smbol Defnton Längd meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas vakuum under ett tdsntervall av /9979458 sekund. Massa klogram kg Ett klogram är massan som den nternatonella klogramprototpen. Td sekund s En sekund är tdsvaraktgheten av 99677 peroder av den strålnng som motsvarar den fskalska övergången mellan de två hperfna nvåerna av cesum atomens grundnvå. Elektrsk ström ampere A En ampere är den elektrska ström som fås när kraften mellan två oändlgt långa parallela lednngar vakuum som separeras meter och som har ett försumbart tvärsntt, blr -7 newton per meterlängd. Termodnamsk temperatur kelvn K Kelvn som är enheten för den termodnamska temperaturen är /7.5- del av den termodnamska temperaturen av trppelpunkten för vatten. Substansmängd mol mol 6. molekler Ljusstrka candela cd En candela är ljusstrkan, en gven rktnng, av en ljuskällan som emtterar monokromatsk strålnng vd frekvensen 54 Hertz samt en strålnngsstrka den rktnngen av /68 watt per steradan.
Tabell.4 Härledda SI enheterna Enhet Smbol Defnton I grundenheterna Vad som mäts radan rad rad m/m m m - Planvnkel steradan sr sr m /m m m - Rmdvnkel hertz Hz Hz s - Hz s - Frekvens newton N N kg m/s N m kg s - Kraft joule J J N m J m kg s - Energ watt W W J/s W m kg s - Effekt pascal Pa Pa N/m Pa m - kg s - Trck volt V V W/A V m kg s - A - Elektrsk spännng coulomb C C As C s A Elektrsk laddnng ohm Ω Ω V/A Ω m kg s - A - Resstans farad F F C/V F m - kg - s 4 A Kapactans henr H H Ωs H m kg s - A - Induktans semens S S A/V Ω - S m - kg - s A Elektrsk konduktans weber Wb Wb Vs Wb m kg s - A - Magnetsk flöde tesla T T Wb/m T kg s - A - Magnetsk flödestäthet grader o C o C K o C K TemperaturCelsus Celsus lumen lm lm cdsr lm m m - cd Ljusflöde lu l l lm/m l m m -4 cd Lumnans katal kat kat mol/s kat s - mol Kataltsk aktvtet becquerel Bq Bq s - Bq s - Radoaktvtet gra G G J/kg G m s - Absorberad dos av jonserad strålnng severt Sv Sv J/kg Sv m s - Dosekvvalent 4
Ett flertal kommentarer om enheterna är på sn plats. Det är vktgt att respektera och sklja på små och stora bokstäver. De representerar olka enheter, t.e. står s för sekund och S står för semens. Det är uppenbart Tabell.4 att de härledda enheterna blr krånglga när de uttrcks de 7 grundenheterna. Uttrcket av samtlga härledda enheter de 7 grundenheterna är matematskt mcket enkelt med en omvandlngsfaktor som är lka med. Detta är en stor fördel. En fullständg storhet skrvs alltd med ett mellanslag mellan den numerska sffran och den fskalska enheten, t.e..75 m, 5 o C, 75 kg. Ett undantag är planvnkeln som den uttrcks grader ( o ) stället för radaner (rad); o π/8 rad. Var försktg med hur enheterna skrvs. I de flesta fall skrvs enhetsnamn med små bokstäver, t.e. kelvn, coulomb, ampere. Ett fåtal undantag nkluderar grader Celsus där ett stort C används. Prefen för -potens (se senare) kan kombneras med smbolerna för enheterna, t.e. kj ( J J), MHz ( Hz 6 Hz), 7 km, nm (. m -9 m), ma (. A - A), MΩ ( Ω 6 Ω). Ett fåtal undantag nkluderar kg där ett pref k redan ngår. EXEMPEL Beskrv vlka enheter ur SI-sstemet som behövs för att göra en rättvs jämförelse mellan en vanlg gödlampa och en s.k. lågenerglampa. Ge eempel, med eller utan sffror går lka bra. Lösnng: I första hand vll v ha ett svar där man reder ut hur många av 7st grundläggande SIenheterna som behövs. Enlgt märknngen på en lågenerglampa affären är 9 W jämförbart med 4 W för en vanlg glödlampa. W betecknar en effekt, som sn tur nnehåller kg, m, s. Eftersom v talar som elektrsk effekt behövs även A (alternatvt någon dskusson om resstansen Ω som skljer sg åt för de bägge tperna). Den stora skllnaden mellan dessa två tper av lampor är hur mcket effekt som avges form av ljus respektve värme. Värmen leder tll en temperaturhöjnng, varför K behövs. Båda tperna av lampor är fllda med en gas vlket skulle kunna motvera användnngen av mol (substansmängd), även glödtrådens materal kan betecknas tas med denna enhet. Slutlgen ska ljusstrkan vara jämförbar och då behövs enheten Candela (cd). 5
EXEMPEL Den snabbaste löparen världen sprnger m med en genomsnttlg hastghet av. m/s. Uttrck hastgheten km/tmme och jämför med den högsta tllåtna hastgheten på svenska motorvägar som är km/tmme. Lösnng: Med m - km och s(/6) tmme, får v:. m. km 6.7 km tmme, vlket är eakt / (en tredjedel) av den s ( 6) tmme högsta tllåtna hastgheten på svenska motorvägar... Andra enhetssstem och kedjeregeln Eftersom det fnns andra enhetssstem som fortfarande används, t.e. tum-pund-sekund sstemet USA, bör v känna tll konversonsfaktorerna mellan dem och motsvarande SI-enheter. Tll eempel, tum.54 cm.54 m, pund (pound, lb).454 kg, engelsk ml.6944 km, kalore4.84 J. Dessutom använder v också vssa hjälpenheter SI, t.e. mnut6 sekunder, tmme6 sekunder, elektronvolt (ev).6-9 J. För att konvertera eller beräkna en enhet ett enhetssstem tll motsvarande enhet ett annat enhetssstem, tllämpar v kedjeregeln. 6
EXEMPEL Beräkna mahastgheten för följande data. Svaret ska ges grundläggande SI-enheter. Lednng: en tum kan antas vara,54 cm. Hastghet med enheten tum/tmmar Hastghet med enheten m/s Td (tmmar) Sträcka(tum).78 9.7 469.999.556 78.74 4...8 8. 469..999. 57.48 469..999.89 96.85 88..998.6 (mavärdet).667 75.59 846..944 54. 88..998. 4.7 468.7.999.5 47.44 469..999.778 5.8 469..999.56 55.8 4... 59.55 Lösnng: För att förenkla räknandet kan hastgheterna beräknas för varje tdsntervall enheten tum/tmmar se kolumn. Det mamala värdet gvet tum/tmmar räknas sedan om tll enheten m/s och blr enlgt tabellen.6 m/s. Eempel på uträknng för hastgheten det första tdsntervallet: s s s v t t t 78.74 9.7 469.556.78.54 469 / 6.999 [ m / s] [ tum / tmmar] 7
. Dmensonsanals Naturlagar och matematska modeller är väsentlga naturvetenskap och teknk. Alla naturlagar verferas av eperment och stöds av verklgheten. När matematska modeller formuleras, måste naturens grundlagar respekteras och följas korrekt. Här kan dmensonsanals göra stor ntta, eftersom varje matematsk modell form av en ekvaton nnehåller ett antal fskalska storheter samt konstanter. En lsta för vssa kända (fskalska) fundamentalkonstanter vsas Tabell.5. De två ssta sffrorna parentes för de flesta konstanterna representerar osäkerheten. Man brukar bevara bara en sffra som osäkerhet, se Kaptel 4. Eftersom fundamentalkonstanterna brukar användas för tterlgare beräknngar, är det vanlgt att ge två sffror för att få en bättre noggrannhet. Konstanterna utan osäkerhet, d.v.s. utan någon sffra parentes, är eakta. För varje fskalsk storhet fnns det en bestämd egenskap som mäts och som beskrver/representerar vad som mäts. Storheten har därför en bestämd dmenson och bär med sg en motsvarande fskalsk enhet; en storhet med en särskld fskalsk dmenson har en motsvarande enhet. Oavsett vlket enhetssstem storheten uttrcks, är dmensonen och enheten hos storheten oförändrad, därför att fskalska lagar EJ ändras p.g.a. att enhetssstem bts. Användnngen av detta vktgt faktum för att verfera ett gvet matematskt samband mellan ett flertal fskalka storheter eller för att bgga modeller kallas dmensonsanals. 8
Tabell.5 Vssa fskalska fundamentalkonstanter Storhet Smbol Enhet Mätetal Allmänna gaskonstanten R J K - mol - 8.447(5) Atommassenheten m u kg.66587() -7 Avogadros konstant N A mol - 6.499(47) Bohrs magneton µ B J T - 9.74899(7) -4 Bohrs rade a m.59778(9) - Boltzmanns konstant k B J K -.865(4) - Comptons våglängd λ c m.465(8) - Deutrums massa m d kg.4589(6) -7 Delektrska konstanten ε F m - 8.8548787 - Elektronmassan m e kg 9.9888(7) - Elektronvolt ev J.67646(6) -9 Elementarladdnng e C.67646(6) -9 Faradas konstant F C mol - 9.648545(9) 4 Gravtatonskonstanten G m kg - s - 6.67() - Grundnvån av väte ev.657 Hartrees energ E h J 4.59748(4) -8 Josephsons konstant K j e/h Hz V - 4.8597898(9) 4 Kärnmagnetron µ n J T - 5.5787() -7 Ljusets hastghet tomrum c m s -.9979458 8 Magnetska konstanten µ H m - 4π -7 Neutronmassan m n kg.674976() -7 Plancks konstant h J s 6.666876(5) -4 Protonmassan m p kg.67658() -7 Rdbergs konstant R H m - 9.77568549(8) 5 Stefan-Boltzmanns konstant σ W m - K -4 5.674(4) -8 Tngdacceleratonen ( Sverge; varerar något) g m s - 9.8 9
.. Dmensonsenlghet Ekvatoner måste vara dmensonsenlga. För en vanlg entermsekvaton, Y AX (.) dmensonen den kombnerade dmensonen av produkten av proportonaltetskonstanten A och oberoende varabeln X. Proportonaltet samt proportonaltetskonstanter kommer att behandlas Kaptel 5. nnebär dmensonsenlgheten dm ( Y ) dm( AX ), här betder dm ( Y ) av beroende varabeln Y och dm ( AX ) ) Addton och subtrakton För en ekvaton som består av fler termer form av addton eller subtrakton som: Y A B C... (.) nnebär dmensonsenlgheten att samtlga termer har en dentsk dmenson (eller enhet). Detta gäller för termer båda led av ekvatonen, d.v.s. dm ( Y ) dm( A) dm( B) dm( C)..., där A, B, C, etc., kan vara en produkt, t.e. A ax. Sammanfattnngsvs, när dmensonsanals utförs för en ekvaton med ett flertal termer, bör man kolla term för term Alla termerna måste ha samma dmenson för att ekvatonen ska vara dmensonsenlg. ) Multplkaton och dvson Sambandet Y AX kan skrvas om som Y X A måste vara dmensonsenlgt, bör dm ( X ) dm. Eftersom det na sambandet också Y. Detta eempel vsar på ett annat A sätt hur dmensonsbestämnng fungerar för produkter och kvoter. Dmensonsanals Y eemplen Y AX och X bör ses som grunden tll och följas för mer A komplcerade termer av multplkaton och dvson... Dmensonen för uttrck med funktoner, dervator, ntegraler De trgonometrska funktonerna, sn, cos, tan, är uppenbarlgen dmensonslösa, d.v.s. dm ( sn ) dm( cos ) dm( tan ), lksom argumentet (varabeln) som är en vnkel detta sammanhang. Detta betder att funktonerna nte har någon enhet, d.v.s. de är enhetslösa. Denna slutsats kan lätt förklaras med referens tll defntonen av de trgonometrska funktonerna Fgur.4; samtlga funktonerna är kvoten mellan
A B A två längdsträckor: sn, cos, ta n. Då fnns det ngen enhet för C C B funktonerna, dmensonen av funktonerna blr (eller ngen). Fgur.4 A C B Sambandet mellan de trgonometrska funktonerna och eponentalfunktonerna: e cos sn (.A) och e cos sn (.B) som är kända som Eulers formler med, samt de hperbolska funktonerna: e cosh snh (.4A) och e cosh snh (.4B) leder tll slutsatsen att även eponentalfunktoner nte har någon enhet eller är dmensonslösa. Därefter kan man också dra slutsatsen att logartmska funktoner log eller ln är dmensonslösa. Allmänt är sådana funktoner dmensonslösa. Man kan genom relatvt enkla resonemang bevsa detta. d Dervatan och ntegralen d som är resultat av de vktga operatonerna d derverng och ntegrerng har dentska enheter och dmensoner som de ngående varablerna, skulle ge utan operatonerna. Detta gäller också dfferenserna, och dvderade dfferensen Kaptel 5 som motsvarar dfferentalen d, d resp.
d dervatan, samt summerngen som motsvarar ntegralen d. I d matematska smboler blr detta: ( ) dm( d) dm( ), dm ( ) dm( d) dm( ) dm d dm dm dm d samt ( ) dm( d) dm( ) dm( d) dm( ) dm eftersom d lm, d lm lm ( ) lm ( ). och,.. Dmensonsanals Genom att analsera dmensonsenlghet med en matematsk formel, kan man bgga upp en matematsk modell för vssa fskalska föremål eller fenomen. Detta ska belsas med två eempel, med sftet att ge en bra överblck över alla möjlga varabler som kan eller nte kan påverka sstemet som studeras samt att ge goda och effektva råd om hur eperment ska anordnas och vlka varabler som ska nkluderas. Innan dess ska v först jobba med vssa kända fskalska lagar för att känna tll prncperna för hela proceduren. För att underlätta dmensonsanals, har ett ntt smbolsstem defnerats. Defntonen berör de 7 grundenheterna och vsas Tabell.6. Fskalska storheter med andra enheter än grundenheterna kan konverteras och analseras med hjälp av Tabell. och Tabell.6. Ett antal eempel används för att vsa hur man kan använda smbolerna vd anals av matematska modeller eller samband. Tabell.6 Smboler för de 7 grundenheterna för användnng vd dmensonsanals. Enhet Smbol Smbol dmensonsanals Meter m L Klogram kg M Sekund s T Ampere A I Kelvn K Θ Mol mol N Candela cd J
Observera: Var försktg med att nte blanda smbolerna SI-enheterna med smbolerna dmensonsanals. Samtlga smboler dmensonsanals skrvs med stora bokstäver.
EXEMPEL ) Keplers :e lag: t CR där är t tdsperoden för en planet att färdas runt solen, C konstant och R genomsnttavståndet mellan planeten och solen. Vad är dmensonen för konstanten C? t t T Eftersom lagen kan skrvas om som C, får v dm( C ) dm TL. R R L Detta nnebär vdare att konstanten C har en enhet s/m / enlgt SI-enheterna. ) Hookes lag: F k där F är den mekanska kraften hos en fjäder som pressas hop eller töjs ut tll ett avstånd, med k som en proportonaltetskonstant. Vad är dmensonen av konstanten k? F F mkg s Eftersom dm k dm dm m MT vdare att konstanten k har enheten kg/s enlgt SI-enheterna. k, får v ( ). Detta nnebär QQ ) Coulombs lag: F k där F är den elektrska kraften mellan två laddnngar Q r och Q som skljs med ett avstånd r, med k som en proportonaltetskonstant. Vad är dmensonen av konstanten k? F mkg s 4 dm( k ) dm dm ML T I, vlket vdare nnebär att QQ As As r m konstanten k har enheten kgm /(s 4 A ) enlgt SI-enheterna. v) Bevsa att sambandet s s v t at är dmensonsenlgt, där s är den totala sträckan för ett fordon som börjar med en nledande sträcka s, som rör sg med en hastghet v och som accelereras med a. Och t är td. VL: dm () s L at HL: dm ( s ) L, dm ( vt ) ( LT ) ( LT ) T T L och dm L. Sffran nämnaren har ngen dmenson eller med en dmenson. Eftersom samtlga termer har samma dmenson L, är sambandet dmensonsenlgt. I detta eempel har v kollat term för term för att bevsa dmensonsenlgheten! 4
EXEMPEL Kan man, utan att kolla tetböcker eller epermentera, bestämma sambandet mellan tdsperoden t, massan m, längden l, tngdkraftens acceleraton g samt vnkeln θ, för en deal pendel som schematskt vsas Fgur.5? Fgur.5 θ l t m g När man jobbar med att konstruera en matematsk modell, vll man först dentfera och kvantfera hur alla möjlga varabler kan påverka modellen. Man kan, förstås, bgga upp modellen genom att utföra eperment. Eftersom t kan påverkas av mnst 4 oberoende storheter/varabler m, l, g och θ: ( l, m, g,θ ) t f (.5) kommer det epermentella arbetet att bl krävande. För att kunna få en god tllförltlg bld av hur t påverkas av samtlga 4 oberoende varabler, brukar man köra mnst 4 eperment för att få ut 4 mätpunkter för varje oberoende varabel. Detta görs genom att förändra en vald varabel på ett kontrollerat sätt medan man håller de övrga varablerna oförändrade. En sådan stude skulle kräva 4 4 56 stcken epermentella körnngar när samtlga 4 oberoende varabler ska bestämmas på detta sätt! En enklare och bllgare metod som man kan göra som ett första steg mot en fullständg modell är dmensonsanals. 5
..4 Ansats Det kan vara smdgt att använda en så kallad ansatsmetod för att ställa upp modellen. Metoden kan beskrvas stegvs enlgt följande: Steg : Analsera problemet och lsta ut alla möjlga varabler som kan påverka pendelns rörelse. Eftersom gkonstant, skall endast l, m och θ studeras epermentellt. Fortfarande behöver 4 64 stcken eperment göras. Observera: Detta betder bara att man kan reducera antalet eperment från 56 tll 64 stcken men det betder nte att g nte påverkar t. Steg : Förenkla problemet genom att göra vssa antaganden (t.e. massa en punkt, frktonsfr rörelse, etc.). Steg : Sätt upp en funkton f ( l, m, g,θ ) Steg 4: Analsera problemet en gång tll. t och föreslå eperment. Steg 5: Gör dmensonsanals för att få hjälp. Ansats blr en enkel potensformel där t relateras tll alla varablerna genom varstt potenssamband: a b c d ( l m, g ) l m g ϑ t f,,θ (.6) Enlgt smbolerna Tabell.5, kan Ekv. (.6) uttrckas som: därför att c d ( LT ) a b L M T L M (.7) VL: T L M T och a b d HL: ( ) c L M LT, eftersom vnkeln är dmensonslös (). Steg 6: Analsera potenserna a, b, c och d genom att kolla var och en dmensonerna Ekv. (.7): L: a c M: b T: c 6
d kan ej bestämmas medan de andra potenserna blr: Steg 7: Sätt hop resultatet l t h( θ ) (.6A) g Steg 8: Analsera resultatet. a, b och c. (a) Hur t beror av θ vet man ej, men en n funkton h(θ) har nkluderats för att beskrva möjlgheten att det kan fnnas nverkan av vnkeln θ. (b) Massan påverkar ej rörelsen av pendeln, vlket är en konsekvens av antagandet att den är en deal pendel. (c) Enkla eperment med olka l kan snabbt testas för att kvaltatvt se om modellen fungerar. (d) Om svaret är ja, vet man omedelbart att massan nte behövs och det blr stort sett ett envarabelproblem. Sammanfattnngsvs kan man spara mcket resurser genom att göra en sådan dmensonsanals. 7
EXEMPEL Kan man, utan att kolla tetböcker eller att epermentera, bestämma sambandet mellan vndkraften F på en vagn och hastgheten v samt tvärsntttan A för ett fordon som rör sg schematskt som vsas Fgur.6? Här ska v vsa hur vktg nformaton kan tas fram. Lksom det föregående eemplet, kan v börja med ett försök med en enkel ansats uttrckt som: F k v a A b (.8) med konstanten k som är enhetslös/dmensonslös. Uttrcket av den här modellen form av smbolerna Tabell.5 ger: LMT ()( ) a L / T ( L ) b. Fgur.6 v A F Det ses omedelbart att detta försök nte kan ge något vettgt resultat eftersom ekvatonen nte är dmensonsenlg därför att massans enhet saknas HL. Den slutsatsen ndkerar också att en storhet som nnehåller massans enhet borde ngå ansats. Detta leder tll ett andra försök med modellen: F a c k v A b ρ (.9) Här är ρ luftens denstet och k en annan konstant som också är enhetslös. Att ρ ngår modellen kan lätt motveras med mnst två skäl. För det första nnehåller densteten ρ massans enhet. För det andra säger erfarenheten att motståndet blr högre luft med högre denstet (ett flgplan sparar bränsle genom att flga på hög höjd där luftens 8
denstet är lägre). Då ger uttrcket av den na modellen form av smbolerna Tabell.5: LMT a ()( )( )( b L / T L ML ) c som, enlgt dmensonsanals ger ett vettgt resultat med a, b b och c. Dessa sn tur leder tll den slutlga modellen: F k v Aρ (.9A) Detta resultat ger ett förslag på eperment: Studera hur F ändras med v resp. med A vd en konstant denstet ρ. V kan nu även kolla det första försöket ltet närmare. Om man tllät k som en konstant med en vss dmenson, kunde man drekt få dmensonen av k som ML - som är dmensonen för materals denstet. V sammanfattar hur ansats-metoden kan användas: Analsera problem och lsta ut alla möjlga varabler som kan påverka sstemet som studeras Identfera beroende () och oberoende (,,,...) varabler Sätt upp en funkton för den beroende varabeln med olka potenser på de oberoende varablerna enlgt: a b c... (.) Skrv ner ekvatoner för var och en av dmensonerna där summan av potenserna sätts lka bägge led Lös ekvatonssstemet för att få ut potenserna a, b, c,... Resonera om resultatet: Stämmer det? Gör om det hela om det nte stämmer..4 Storleksordnng och Uppskattnng Vd många tllfällen behöver man nte få fram ett eakt svar utan bara en ungefärlg nvå eller storlek för en mätnng. Vd sådana tllfällen brukar man ge ett ungefärlgt svar en vss storleksordnng. Den matematska proceduren för att ta fram ett ungefärlgt svar kallas uppskattnng. Uppskattnng är ett nttgt verktg som kan leda tll att spara arbete. Men själva begreppet uppskattnng har använts olka sammanhang som kan ha andra betdelser än vad v tänker att göra detta avsntt: Ge ett ungefärlgt svar en storleksordnng som nte är gånger större eller mndre än det eakta svar som fnns. Uppskattnngen storleksordnng refererar nästan enbart tll de 9
decmala potenserna. V börjar med en redovsnng av decmala och bnära talsstemen, samt sambanden mellan sstemen..4. Potenser Det fnns många olka potenssstem som man har använts. De decmala och bnära talsstemen tllhör tll dagens vanlgaste talsstem. I det decmala talsstemet fnns bassffror:,,,, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Potensen blr n. De mest använda multplkatonsfaktorerna samt prefen decmala talsstemet redovsas Tabell.7. Tabell.7 -potenser Multplkatonsfaktor* Pref SI smbol,,,,,,,, 4 otta Y,,,,,,, zetta Z,,,,,, 8 ea E,,,,, 5 peta P,,,, tera T,,, 9 gga G,, 6 mega M, klo k hekto h deka da. - dec d. - cent c. - mll m., -6 mkro µ.,, -9 nano n.,,, - pko p.,,,, -5 femto f.,,,,, -8 atto a.,,,,,, - zepto z.,,,,,,, -4 okto * Här använder v ett kommatecken efter varje nollor för att hjälpa tll med räknngen. Användnngen av kommatecknet på detta sätt är ej förenlg med SI, men är det vanlgaste sättet naturvetenskap och teknk. I det bnära talsstemet fnns det bassffror: och. Potensen är n. I databranschen används också det headecmala talsstemet för att underlätta beräknngar med bnära talsstemet. De mest använda multplkatonsfaktorerna, namnen samt smbolerna bnära talsstemet redovsas Tabell.8.