1.Extra : Vektorer och Tensorer

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 37 1.Extra : Vektorer och Tensorer Vektorer - transformationsegenskaper Låt r vara en ortsvektor i R 3 ( 3-dimensionella rummet) och låt den representeras av två koordinatsystem med samma origo med olika komponeter : x i och x i. Antag att basvektorerna är ortonormala ( ortogonala och normaliserade = ON).Mankandå alltid hitta ett samband ˆx i = j=1 a ijˆx j i =1, 2, 3. Vektorn r kan då beskrivas ekvivalent beskrivas med de två ON-systemen r = j=1 Eftersom (a ij )är en ortogonalmatis d.v.s. x jˆx j = j=1 så kan sambandet mellan koordinaterna inverteras till x i = x jˆx j = i,j=1 (a ij ) 1 =(a ij ) t j=1 x ja ijˆx j x j = a ij x j i =1, 2, 3. i=1 a ij x i Eller R =(a ij )R = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3

Nils Elander 2001:1:21 38 där ortsvektorn r skirvs som en kolonnmatis. Om båda koordinatsystemen {ˆx i } och {ˆx i} är högersystem så blir det(a ij )=+1 Definition : En vektor v som vid en koordinattransformation transformerar enligt x i = j=1 v i = kallas för en polär vektor eller rätt och slätt en vektor. En vektor w som vid en koordinattransformation transformerar enligt x i = j=1 a ij x j i =1, 2, 3. j=1 w i = det(a ij ) a ij v j a ij x j i =1, 2, 3. kallas för en pseudovektor eller en axial vektor. Exempel : Kryssprodukten mellan två vektorer C = A B är en axial vektor. Detta inses ur att exempelvis j=1 a ij w j C 1 =(A B) 1 = A 2 B 3 A 3 B 2

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 39 ej byter tecken då A s och B s komponenter byter tecken. Vinkelhastigheten ω för ett roterande hjul är en axial vektor tyden har sambandet v = ω r med ortsvektorn r från ett origo på axeln till en punkt på hjulet och en hastighet v för denna punkt. Både r och v är polär vektorer. Kryssproduktens nyss nämnda egenskap medför således att ω är en axial vektor. Tänk dessutom på hur det roterande hjulet ser ut i en spegel! Kovarianta och Kontravarianta vektorer - def. av den metriska tensorn Betrakta tre icke sins emellan parallella vektorer e 1, e 2 och e 3. Vi kan använda dem som en bas för andra vektorer A = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 Expansionen innebär att projicerar A:s kompomenter på var och en av basvektorerna. Detta problem kan studeras med hjälp av reciproka basmetoden. DEF: Två baser {e i } och {e i } är reciproka om e i e k = { 0 om i k 1 om i = k Konstruera paralellepipeder V och V med volymer : e i e i cos(e i, e i )=1> 0 cos(e i, e i ) > 0 V = e 1 (e 2 e 3 ) och V = e 1 (e 2 e 3 ) Sidorna på varje parallellepiped är vinkelräta mot kanterna hos den andra.

Nils Elander 2001:1:21 40 För att konstruera en reciprok bas {e i } ur {e i } lääger vi märke till att e 1 = m(e 2 e 3 ) Skalären m bestäms ur e 1 e 1 = 1 d.v.s. me 1 (e 2 e 3 )=1 Analogt och åt andra hållet e 1 (e 2 e 3 ) 0 e 1 = e 2 = e 3 e 1 V e 3 = e 1 e 2 V e 1 = e2 e 3 V e 2 = e3 e 1 V e 2 e 3 e 1 (e 2 e 3 ) = e 2 e 3 V e 3 = e1 e 2 V Ur dessa relationer kan man finna relationer mellan expansionskoefficienterna i en bas {e i } och dess reciproka bas {e i } A = i=1 A i e i = i=1 A i e i (exp2)

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 41 DEF: Koefficienterna A i kallas för A:s kovarianta komponenter medan koefficienterna A i kallas för A:s kontrvarianta komponenter. Relationer mellan kovarianta och kontravarianta komponenter till en vektor Ur ekv.(exp2) får vi att A e i = A k ( e i e k ) A e i = A k ( e i e k ) DEF: Genom att introducera notationen e i e k = g ik = g ki kan A e i = A k ( e i e k ) A e i = A k ( e i e k ) e i e k = g ik = g ki { Ai = g ik A k A i = g ik A k Storehterna g ik och g ik beskriver egenskaper hos rummet i form av dess koordinater. Betrakta de mot basen {e i } svarande koordinaterna {x i }.Låt nu ds vara länden hos den båge som förenar punkterna x i och x i + dx i och låt dr var den vektor som förenar punkterna. Denna vektor har de kovarainta komponeterna dx i och de kontravarainta komponeterna dx i. Det gäller nu att (ds) 2 = dr 2 = dr dr = e i dx i e k dx k = e i dx i e k dx k = e i dx i e k dx k eller (ds) 2 = g ik dx i dx k = g ik dx i dx k = dx i dx i Storheterna g ik = g ik beskriver rummets metrik och kallas för metriska tensorer

Nils Elander 2001:1:21 42 Tensorer : Informell Definition och Allmänna Egenskaper Vissa fysikaliska storheter har inte skalär- eller vektoregenskaper utan behöver flera komponenter för at vara välbestämda. Ledningsförmåga är ett exempel. Normalt är denna egenskap isotrop. J = σe I vissa matrial kan emellertid ledningsförmågan också beroende av riktningen. J x J y = J z Matrisen Σ = {σ ij } är nu en tensor av något slag. Transformationeegenskaper -Tensorer och Pseudotensorer Om koordinatsystemet transformeras så gåller att vilket ger oss σ 0 0 0 0 2σ 0 0 0 0 3σ 0 J = AJ och J = AJ = A E = AE E x E y E z σ 0 0 0 0 2σ 0 0 A t E 0 0 3σ 0 där vi utnyttjat att A t = A 1. Ur detta drar vi slutsatsen att Σ måste transformeras enligt eller σ ij = Σ=AΣA 1 m,n=1 a in a jm σ nm

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 43 Generellt kallar vi en storhet T som har nio komponenter och två index och som transformeras enligt ovan för en tensor av andra ordningen. Definition En storhet T som har nio komponenter och två index och som transformeras enligt T ij = det (A) m,n=1 a in a jm T nm Tensorer av godtycklig ordning kan nu lätt definieras som generalisering av ovan givna definitioner. Tensorernas ordning är lika med antalet index. En tensor av nollte ordningen är en skalär medan en första ordnings tensor är en vektor. Tensorer och Pseudotensorer Betrakta nu rumsinversionstransformationer Här är det (A) = 1. - Om en tensor av ordningen N transformerar med en faktor 1 N kallas den en tensor eller eventuellt en sann tensor. Tensorer av ordningen noll eller ett kallas ofta för skalärer eller polära skalärer resp. vektorer eller polära vektorer. - medan den om transformationsfaktorn är 1 N+1 kallas för en pseudotensor av ordningen N. Pseudotensorer av ordningen noll kallas också pseudoskalärer medan Pseudotensorer av ordningen ett ofta kallas för axiella vektorer.

Nils Elander 2001:1:21 44 Räkneregler. - Yttre Produkt av två tensorer, exempelvis den andra ordnings tensorn A och vektorn B, definieras som uppsättningen av alla produktermellan deras komponenter C = A B C ijk = A ij B k av vilket följer att C är en tredje ordnings tensor. Generellt adderas de två multiplicerade tensorernas ordningar. - Kontraktion av två index innebär att man sätter dessa index lika och summerar över dem. Tillämpat på en andra ordninges tensor blir detta Sp(T )= T ii j,k=1 där Sp står för Spåret ( Eng. Trace : Tr(...) ). Tillämpat på en tensor D i = j=1 A ij B j får vi en vektor. En kontraktion sänker antalet index, och därmed tensorns ordning, med två enheter. Spåret av en tensor blir därmed en skalär - Skalärprodukt kallas en operation som är en kontraktion från vardera faktorn i en yttre produkt av två tensorer. Tillämpat på vanliga vektorer är detta den vanliga skalärprodukten. - Symmetrisk itvå index kallas en tensor om den ej ändras då dessa byter plats. A ij = A ji medan egenskapen A ij = A ji benämnes Antisymmetrisk.

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 45 - Permutationssymbolen eller Levi-Civitas symbol har egenskapen ɛ ijk = +1 med (ijk) = (123), (321), (312) 1 med (ijk) = (132), (213), (321) 0 annars Den är en helt antisymmetrisk tredje ordningens (pseudo-) tensor. Dess kontraktion med två vektorer ger en tredje (axial) vektor C = A B C i = i=1 ɛ ijk A j B k - Einsteins summationskonvention innebär att så snart samma index upprepas två gånger i en formel, så underförstås att man skall summera over det. D i = A ij B j D i = j A ij B j

Nils Elander 2001:1:21 46 Skaländrande transformationer - Kovarianta och Kontravarianta vektorer. De cartesika tensorer vi hittills diskuterat motsvarar basbyten mellan ortonormerade basvektorer. I relativitetsteorien behövs emellertid mera generella tensorer. För att studera dessa tensorer, låt oss se vad som händer när man ändrar längderna på basvektorerna - vi skall undersöka skaländrande transformationer. - Betrakta sålunda en koordinattransformation som förlänger basvektorerna. En godtycklig geometrisk vektor A kan då skrivas Härav följer att ˆx i x i = aˆx i d x i dˆx i = a A = i=1 A iˆx i = Ā i = 1 a Ai i=1 Ā i x i - Vektorns komponenter, liksom koordinaterna, ändras mot skaländringen. Dessa vektorer kallas därför kontravarianta. Kontravarianta komponenter brukar numreras med index upptill ( superscript).

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 47 Låt oss nu undersöka vektorn Φ där Φ är ett skalärt fält i rummet. För ett skalärt fält gäller att det inte ändras av skaländrande transformationer. Derivatan ändras däremot när skalan ändras Φ x i = xi x i Φ x i = a Φ x i - Gradientens komponenter ändras alltså med skaländringen - de kallas därför kovarianta. Kovarianta komponenter brukar numreras med index nedtill ( subscript). -När skaländringar finns med i transformationer måste man se till att skalärprodukter bildas genom kontraktion av (1) ett kovariant och (2) ett kontravariant index. Sammanfattning - Kontravariant transformerar mot skaländringen och har index upptill superscript : x α,a ij - Kovariant transformerar med skaländringen och har index nedtill subscript : x α,a ij

Nils Elander 2001:1:21 48 Kovarians och Kontravarians - Härledning av egenskaper utfrån transformationsegenskaper.( enl. Landau Lifshitz, Class. Theor. of Fields) Definition Betrakta en godtycklig transformation från ett koordinatsystem K till ett annat K (x (0),x (1),x (2),x (3) ) f (x (0),x (1),x (2),x (3) ) sådan att x i = f i (x (0),x (1),x (2),x (3) ) - Differentialerna relateras genom dx (i) = x(i) dx(k) x (k) DEF: Varje mängd av storheter {A (i) ; i =0, 1, 2, 3.} som transformerar under koordiantransformationer som koordinatdifferentialer kallas KONTRAVARIANTA FYRVEKTORER - d.v.s. A (i) = x(i) A(k) (KON) x (k)

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 49 Kovarianta tensorer Låt nu φ vara en skalär funktion som under koordinatransformationer transformerar fyrstorheten φ x (i) = φ x (k) x (k) x (i) kallas en KOVARIANT FYRVEKTOR. Notera alltså att en kovariant fyrvektor transformerar som derivatan av en skalärfunktion. φ som x (i) En kontravariant fyrvektor beskrivs av A i = x(k) x (i) A k x = x 0 x 1 x 2 x 3 (KOV ) I cartesiska koordinatsystem är det ingen skillnad mellan kovarianta och kontravarianta vektorers transformationsegeskaper ekv.(kon)och(kov )är därför ekvivalenta. Härledning av egenskaper ur transformationsegenskaper : Inför nu nya, godtyckliga koordinater. så att x α = x α (x 0,x 1,x 2,x 3 ) x α =(x 0,x 1,x 2,x 3 )

Nils Elander 2001:1:21 50 Notera att transformationen ännu inte är definierad. Det gäller ändå att -Enkontravariant transformation För en allmän fyrvektor A α gäller dx α = α x α dxα A α = xα x α Aα Notera igen att upprepade index index innebär summation, d.v.s. A α = xα x 0 A0 + xα x 1 A1 + xα x 2 A2 + xα x 3 A3 Vi önskar nu att skalärprodukten mellan två fyrvektorer skall vara invariant. - Det räcker då inte bara med den kontravarianta transformationslagen. Vi behöver också en kovariant transformationslag för de kovarianta vektorerna B α = xβ x α B β Vilket transformerar som en kovariant vektor Explicit : B α = x0 x α B 0 + x1 dx α B 1 + x2 x α B 2 + x3 x α B 3

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 51 Den som skalärprodukt definierade storheten är alltså invariant under den godtyckliga transformationen. Tensorer En kontravariant tensor F αβ av andra ordningen transformerar enligt F αβ = x α x γ x β x δ F γδ transformationen motsvarar 16 komponenter. I matrisform svarar detta mot en 4 4 matris. En kovariant tensor G αβ av andra ordningen transformerar enligt (Igen 16 komponenter och en 4 4 matris ) G αβ = xγ x α x δ x β G γδ En blandad tensor H α β av andra ordningen transformerar enligt H α β = x α x γ x δ x β Hγ δ

Nils Elander 2001:1:21 52 Skalärprodukten. Skalärprodukten definieras av B A B α A α Detta ger en skalärprodukt som är invariant under transformationer av x α =(x 0,x 1,x 2,x 3 ) Bevis : Använd att till A α = x α x β Aβ B α = xβ x α B β B A = xβ x α x α x γ B βa γ = xβ x γ B βa γ = δ β γ B β A γ = B A DEF: DEF: Skalärprodukten kallas därför för en inre produkt eftersom man i enligthet med Einsteins summationskonvention summerar över ett upprepat inre index. Det är i tensormening en kontraktion med avseende på ett par av index i antingen samma tensor eller en kontraktion av ett index på en tensor och de andra indexet på en annan tensor. Man definierar skalärprodukten så att det ena av de två lika indexen är kontravariant medan det andra är kovariant : B A B α A α

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 53 Minkoski metriken Lorentztransformationen för en hastighet v längs x 1 =ẑ axel ges av x µ = ν=0 a µ ν x ν där a µ ν är en matris a µ ν = γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Om hastigheten är paralell med x 2 =ŷ axeln eller x 3 =ˆx axeln får vi analoga matriser. Vi har tidigare visat att ds 2 = c 2 dt 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 )=g αβ dx α dx β ; x α =(ct, z, x, y) där tensorn g αβ definieras av g αβ = Diag(1, 1, 1, 1) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Den relativistiska rumtidens invariant s 2

Nils Elander 2001:1:21 54 (ds) 2 =(dx 0 ) 2 [(dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2 ] - Denna norm eller metrik är ett specialfall av ett allmänt differentiellt längdelement (ds) 2 = g αβ dx α dx β Storheten g αβ = g βα kallas för en metrisk tensor. - I den speciella relativitetsteorien talar man om den s.k. flata rumtiden. Här gäller att [ g αβ ] = Definitionen av den metriska tensorn ger oss Skalärprodukt och den metriska tensorn 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 =[g αβ] 0 0 0 1 g αγ g γβ = δ β α Uttrycken (ds) 2 = g αβ dx α dx β B A B α A α

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 55 antyder att man kan uttrycka en kovariant tensor i en kontravariant tensor genom en kontraktion med den metriska tensorn och omvänt x α = g αβ x β x α = g αβ x β Mera generellt kan man med hjälp av de metriska tensorerna g αβ och g αβ för en godtycklig tensor byta från den kontravarianta representationen till den kovarianta och vice versa F......α... = g αβ F...β...... och G......α... = g αβ G...β...... Med hjälp av den metriska tensorn g αβ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 och A α =(A 0, A) =(A 0,A 1,A 2,A 3 )

Nils Elander 2001:1:21 56 kan man visa att A 0 = g 0β A β =(1 A 0 )+(0 A 1 )+(0 A 2 )+(0 A 3 )=A 0 A 0 A 0 A 1 = g 1β A β =(0 A 0 )+( 1 A 1 )+(0 A 2 )+(0 A 3 )= A 1 A 1 A 1 A 2 = g 2β A β =(0 A 0 )+(0 A 1 )+( 1 A 2 )+(0 A 3 )= A 2 A 2 A 2 A 3 = g 3β A β =(0 A 0 )+(0 A 1 )+(0 A 2 )+( 1 A 3 )= A 3 A 3 A 3 A α =(A 0, +A) A α =(A 0, A) B A B α A α = B 0 A 0 B A i analogi med den tidigare relationen A 0 B 0 A B = A 0 B 0 A B

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 57 Partialderivator Betrakta partialderivator med avseende på x α och x α! -Från föregående resonamang får vi att vilket skall jämföras med xβ = x α x α x β B α = xβ x α B β Detta visar att Differentiering med avseende på en kontravariant komponent av en koordinatvektor transformerar som den komponent hos en kovariant vektoroperator. Analogt : Differentiering med avseende på en kovariant komponent ger en kontravariant vektoroperator. DEF: Därför kan vi definiera : och α α ( ) = x α x 0, ( ) x α = x 0, + Divergensen hos en fyrvektor är invariant. Den skrivs som α A α = α A α = A0 x 0 + A

Nils Elander 2001:1:21 58 vilket skall jämföras med kontinuitetsekvationen J + ρ t =0 Vår första fysikaliska tillämpning av denna formalism är således att laddningstätheten och strömtätheten bildar en invariant fyrvektor. Ur definitionerna av α och α kan vi definiera en fyrdimensionell Laplaceoperator : Detta betyder att vågekvationen i vakuum ( α α = 2 + 1 c 2 2 t 2 ) 2 2 x02 Ψ=0 Ψ=0

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 59 Gruppegenskaper : En formell definition av tensorbegreppet. En tensorkomponent transformation uppfyller gruppegenskaper vad gäller symmetri och transisititet. - Vad är Gruppegenskaper? -Enändlig eller oändlig mängd element R ν kallas en grupp, G om (0) deras relationer styrs av en räkneregel ( ofta kallad multiplikation.) och det dessutom gäller att (1) R i Goch R j G R k = R i R j ; R k G. (2) att I Gså att för varje element R k Gså att R k I = R k = IR k (3) att till varje element R k G ett element R 1 k Gså att R 1 k R k = I = R k R 1 k. Transisititet (1) : Om en storhet transformerar som en tensor under { x i } { x i } och dessutom under { x i } { x i } så transformerar storheten som en tensor under { x i } { x i }

Nils Elander 2001:1:21 60 Symmetri (2-3) eller av enhetselement och invers : Om en storhet transformerar som en tensor under { x i } { x i } så transformerar den också som en tensor under transformationen { x i } { x i} Lägg nu märke till att ett tillåtet koordinatsystem { x i} på ett rum V N bildar en ekvivalensklass iså mening att två system är ekvivalenta om transformationen mellan dem är icke-singulär ( d.v.s. går att invertera). Gruppoperationsreglerna innebär nu att en tensor A med komponenterna A i... k... i ett system { x i} så bildar paren [{ x i },A i... ] k... också en ekvivalensklass i så mening att två sådana par är ekvivalenta om de resp. koordinatsystemen i paren är ekvivalenta. och tensorkomponenterna uppfyller skaländrande transformationer ( kovarinanta eller kontravaranta )

Fysiken Matematiska Metoder : Tensorer 61 Kvotregeln. Betrakta tensorekvationen A i = C ij B j. där storheterna A i och B j är tensorer. Storheten C ij är då enligt Kvotregeln också en tensor. Kvotregeln säger att Om en mängd av komponeter enligt någon multiplikationsoperation kombineras med en godtycklig tensor ger en storhet som är en tensor så bildar komponentmängden själv en tensor.