Exponentialform av komplexa tal Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 00:27 Jag bestämde för en vecka sedan att det kan vara praktiskt att lära sig ω-metoden. Jag har fastnat på något och det är exponentialformen av komplexa tal. Trigonometriskt så är det inget svårt att beräkna momentana värden av en växelström eller spänning. I polär form så skriver ag exempelvis: z * ( cos v + * sin v ). Detta skulle väl då motsvaras av, i exponentiell form: e v. Då till frågan, den exponentiella formen, är den praktisk tillämpbar så som den är skriven eller är det bara ett "snyggt" sätt att skriva det komplexa talet på? För när ag skriver in talet i räknaren med en vinkel på 0 grader så förväntar ag mig svaret 1 och ingen imaginär del. Likadant vid skrivning med 90 graders vinkel. Då förväntar ag mig svaret. Men så blir det inte! Nu menar ag alltså att ag bokstavligt talat slår in talet i räknaren och förväntar mig rätt svar. Istället får ag ut värden där, vid 90 grader, imaginärdelen är större än beloppet (samt realdelen är 0) och, vid 0 grader, en realdel som är mindre än beloppet och en imaginärdel som är lika med 0. Det tyder på en oval form, men varför får ag detta? Och räknaren är inte ställd i radianer när ag räknar med grader och vice versa. EDIT: Räknaren var fel ställd. Postad av Electrum - 06 dec 2014 10:10 Michell Andersson skrev: För när ag skriver in talet i räknaren med en vinkel på 0 grader så förväntar ag mig svaret 1 och ingen imaginär del. Likadant vid skrivning med 90 graders vinkel. Då förväntar ag mig svaret. Men så blir det inte! Nu menar ag alltså att ag bokstavligt talat slår in talet i räknaren och förväntar mig rätt svar. Istället får ag ut värden där, vid 90 grader, imaginärdelen är större än beloppet (samt realdelen är 0) och, vid 0 grader, en realdel som är mindre än beloppet och en imaginärdel som är lika med 0. Det tyder på en oval form, men varför får ag detta? 1 / 6
Och räknaren är inte ställd i radianer när ag räknar med grader och vice versa. Nu vet ag inte hur din räknare fungerar. Men slår ag in cos(0) på min så får ag svaret 1 Och för sin(0) får ag svaret 0 Och då ramlar u realdelarna och imaginärdelarna ut av sig sälvt, precis enligt de formler du sälv skrivit: z * ( cos v + * sin v ). Om v är 0 så blir det bara realdelen kvar z * ( cos v + * sin v ). => z * ( 1 + * 0 ). => z * 1 Som är endast en realdel, ingen imaginärdel vid v=0 Samma, fast tvärtom då, blir det vinkeln 90, det blir 1** z, dvs endast en imaginärdel. Och för alla vinklar där emellan ramlar väl väl båda delarna ut, i vanlig fin polärform... Jag är inte säker på att ag hängde med på vad du är ute efter, ag kanske missade sälva frågeställningen... Ursäkta att ag inte kan förklara eller skriva mindre crappigt än så här, ag är sälv alltför osäker på matte för att kunna höa mig mer pedagogiskt än så här. Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 12:17 Jo, ag får u ut ett komplext tal men inte det ag tycker ag borde få om e v verkligen är detsamma som cos v + * sin v. Frågan är u egentligen: Om ag skriver in det i exponentiell form (enligt ovan), kan ag då förvänta mig samma komplexa tal av räknaren som om ag skrev det i polär form?? 2 / 6
Postad av Mikael Malmgren - 06 dec 2014 12:51 Det är inte ett "ett "snyggt" sätt att skriva det komplexa talet på". Beräkning i Matlab ger fölande; >> exp(1i) 0.5403 + 0.8415i >> cos(1)+i*sin(1) 0.5403 + 0.8415i >> exp(0i) 1 >> cos(0)+i*sin(0) 1 3 / 6
Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 15:28 Oke. Fick ihop det nu. När ag kikade på vad ag räknat med igår så hade ag nog räknat sin * e v. Fattar inte varför. Va nog lite trött igår och det förklarar dessutom den ovala formen. Tack! Postad av Bo Siltberg - 06 dec 2014 15:40 Vet inte om vi använder samma begrepp här? Polär form har ag fattat är detta skrivsätt: z < v där " Postad av Electrum - 06 dec 2014 16:07 [quote="bo Siltberg" post=23186]vet inte om vi använder samma begrepp här? Polär form har ag fattat är detta skrivsätt: z < v där " Postad av Michell Andersson - 06 dec 2014 17:00 Enligt mina böcker så står inte den polära formen som belopp med argument utan ust som funktioner av cosinus och sinus (ex. z cos v + sin v ). Indirekt så blir det u dock beloppet med argumentet. Den rektangulära formen i sin tur är skriven som det resultat du får i en räknare om du beräknar den polära formen (ex. -1 + 2). Den form för vilken beloppet står med argumentet, som du beskriver Bo, tror ag skulle kunna kallas polär form eftersom det är precis så talet skulle se ut i ett polärt koordinatsystem, men det är inte så det är beskrivet i mina böcker dock. Vet inte vad den typen av notation skulle kallas dock, om inte polär. Dock så blir den väl mindre praktiskt eftersom den inte bara går att addera som den rektangulära och polära (som tidigare menats) formen eftersom den resulterande vinkeln vid addition är beroende av beloppets storlek. Postad av Electrum - 06 dec 2014 17:27 Jag tror ag vågar påstå att det bara är två notationsformer, men den du Michell skriver är nog den mer vanliga och allmängiltiga. Den notation Bo för fram används nog mer inom vissa områden/discipliner. (Detta tror ag bara, ag är alltså fortfarande alldeles för lite matematiker... ) Se t.ex. i böran i denna PDF: ingforum.haninge.kth.se/armin/alla_kurse...624/komplexa_tal.pdf 4 / 6
Postad av Mikael Malmgren - 06 dec 2014 17:47 Rektangulär form z = a + *b Polär (trigonometrisk) form z = r (cos w + sin w) Exponetiell (potens) form z = r e w Ser man till definitionen av polär form så skulle ag säga att de båda sista är på polär form. Vid w-metoden behöver inte nödvändigtvis exponentiell form användas. Postad av Stefan Ericson - 08 dec 2014 15:25 He på er! En CNC maskin programeras vanligtvis med rektagulära koordinater. X och Y eller Z. I bland med polära koordinater. Absolutbelopp och argument. En anleding att räkna polärt är att det inte går att vrida rektangulära koordinater. e är det tal som har sig sälv som derivata. Derivatan kan sägas vara lutningen på kurvan. Jag kan inte påminna mig att ag använt derivatan i elsammanhang. Det kan givitvis vara så att minnet sviker. Kan någon tala om varför inom el? Postad av Mikael Malmgren - 08 dec 2014 18:27 Varför man använder komplaxa tal eller varför man deriverar/integrerar? Postad av Michell Andersson - 08 dec 2014 20:39 Derivata används på sina ställen. Vid inställning av en PID-regulator t ex. Effekt (W = J * s -1 ) är väl en derivata för energi (J) och ström (A) en derivata av laddning (Q = A * s). Det går u säkert att räkna på dessa saker utan att känna till det direkta sambandet, men det går väl fortare med integrering och derivering. Finns nog många fler exempel. Ett annat exempel, utanför elens värld, kan vara där acceleration är derivata till hastighet och hastighet är derivata till sträcka vilket kan vara praktiskt att känna till vid reglering kanske. Dessutom har du u optimering vilket kan vara bra att ha om man bara känner till att man kan använda verktyget. Känner man inte till det så är det u inte heller något man använder sig av. Postad av Tomas Karlsson - 08 dec 2014 20:58 I praktiken använder åtminstone ag mest den rektangulära framställningsformen, det är u där man har all fördel att enkelt addera real och imaginärdelarna var för sig vid vektoradditioner. Polär form ger däremot mer kompakt skrivsätt vid tex hantering, härledning i trefassystem men i dagens läge låter man u datorn räkna så det funkar u vilket som. Kul att se de mer matematiska beteckningarna tex Z, R, X slå igenom vid teknisk tillämpning av komplexa tal. Postad av Stefan Ericson - 08 dec 2014 22:18 5 / 6
He igen! Ett Fanuc axel servo har ofta 5 st PID regulatorer, olika för olika varvtal. Bilen har en i form av adaptiv cruise control. P=förstärkning I=integrering D=derivering. I en utförsbacke och bilen rullar för fort, så går integreringen in och minskar. Integrering är ytan på diagrammet på skillnaden mellan bör och är värdet. När bilen kommer till slutet på utförsbacken och det börar bli uppför, så går deriveringen in och gasar på, i uppfördbacken går integreringen in igen. Likadant i en temperaturregulator. Om man integrerar gravitationen som funktion av tiden, så får man a x t = hastigheten. Om man integrerar den formeln, så får man a x t2= sträckan. Derivering åt andra hållet. På 80 talet, var det en kund som skulle köra en sinuskurva i en maskin med B axel. Han körde med en 15 mm fräs och spår skulle vara 16 mm. Han flyttade fräsen 0,5 mm åt båda sidorna. Biten kom tbx. Tolken gick bara i spåret vid max och min punkterna. Lösning: man måste veta att cos är derivatan för sinus. Derivatan är lutningen. Arctan gav vinkeln i punkten och lägger man till en normal till vinkel och gör om till rektangulära kordinater. Då blev det rätt. 0,2 grader mellan vare punkt 7 siffrors nogranhet. 6 / 6