MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA128 Differential- och integralkalkyl III Datum: 12 augusti 2013 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4, 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. Vektorerna e 1, e 2, e 3 utgör i förekommande fall en HON-bas. 1. Beräkna flödet av (x y) e 1 + yz 2 e 2 z e 3 genom ytan {(x, y, z) : y = x 2 + z 2 4} utrustad med ett normalfält riktat mot y-axeln. 2. För vilka x konvergerar serien n=1 n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2. 4. Beräkna γ y dx + (2x z) dy + (3x + 2y) dz, där γ är en i planet z = x liggande cirkel med medelpunkten i origo, med radien lika med 1, och som genomlöpes ett varv i den riktning som innebär att x avtar då punkten A : (0, 1, 0) passeras. 5. Är serien n=1 ) (e 1 2 n 1 + 1 n absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent? 6. Bestäm arean av den del av ytan z = x + 1 2 y2 vars projektion i xy-planet är den ändliga triangelskiva som har sina sidor längs linjerna y = x, y = 1 och y = 2x. 7. Beräkna det arbete som kraftfältet ( y ) y e x 2 + y 2 1 + ( x ) x 2 + y x e 2 2, uträttar längs den i moturs led ett varv genomlupna kvadraten med hörnen i punkterna A : (1, 0, 0), B : (0, 1, 0), C : ( 1, 0, 0) och D : (0, 1, 0). 8. Bestäm till kurvan y = sin(x) krökningen som funktion av x, och ange i vilka punkter på kurvan som krökningen är som minst respektive som störst.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMENN I MATEMATIK MMA128 Differential- ochh integralkalkyl III Datum: 12 augusti 20133 BEDÖMNINGSPRINCIPERR med POÄNGSPANN 1. Tentamen 2013-08-12 32 3 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna 1p: Korrekt lagt till och dragit ifrån enn yta för att kunna tillämpa Gauss sats på en av de uppkomna a termerna 1p: Korrekt med Gauss sats omskrivitt den ena integralen 1p: Korrekt genomfört y-integreringenn i Gaussintegralen 2p: Korrekt beräknat den resterande dubbelintegralen 2. 3. 4. 1 x 5 32 ( 4 15 2 6) v.e. 5. Serien är divergent 2p: Korrekt genom t.ex. kvotkriteriet konstaterat att serien är absolut konvergent för x 2 3 1p: Korrekt genom divergenskriteriet konstaterat att serien är divergent för x 2 3 1p: Korrekt genom divergenskriteriet konstaterat att serien är divergent för x 2 3, 3 dvs för x 1 1p: Korrekt genom divergenskriteriet konstaterat att serien är divergent för x 2 3, dvs för x 5 1p: Korrekt formulerat en trippelintegral som ger den sökta volymen, och korrekt integrerat m..a.p. z 2p: Korrekt för den resterande dubbelintegralen variabel- substituerat till polära koordinater, k, varav1p för korrekt funna gränser för radienn 1p: Korrekt integrerat den ena e av de två termerna 1p: Korrekt integrerat den andra a av de två termerna 1p: Korrekt skrivit om integralen enligt Stokes sats, korrekt bestämt F, samt korrekt bestämt normalvektorn till den valda Stokes-ytan 1p: Korrekt ortogonalt projicerat ytelementet ds på xy-planet 1p: Korrekt ortogonalt projicerat Stokes-ytan på xy-planet 2p: Korrekt beräknat den resterande dubbelintegralen 2p: Korrekt Maclaurinutvecklat den allmänna termen a 1 1 3 2 a n till 4 n O( n n i serien ) 1p: Korrekt deltolkat resultatet som attt a än något heltal n n är positiv för n större 0 1, dvs d att an med början i n n0 är en positiv seriee och att jämförelsekriteriet därför är tillämpbart 1 2p: Utifrån en jämförelse med m den divergenta serien n dr ragit slutsatsen att serien an är divergent 1 6. (3 3 2 6 2) a.e. 1p: Korrekt formulerat en dubbelintegrd ral som ger den sökta arean 2p: Korrekt ortogonalt projicerat ytelementet ds på xy-planet 1p: Korrekt funnit en iteration för dubbelintegralen 1p: Korrekt beräknat dubbelintegralen n 1 (2)
7. 2( 2) 1p: Korrekt i var och en av de fyra kvadranterna tillämpat Greens formel på områdena mellan kvadraten och enhetscirkeln 1p: Korrekt hanterat riktningarna i förekommande kurvintegraler 1p: Korrekt utvecklat integranden Qx Py i dubbelintegralerna 1p: Korrekt bestämt summan av de uppkomna dubbelintegralerna 1p: Korrekt till noll bestämt kurvintegralen på enhetscirkeln sin( x) 8. ( x) 2 3 2 [1 cos ( x)] ( x min ) 0 och ( x min ) 1 1p: Korrekt funnit det allmänna uttrycket för krökningen 2p: Korrekt funnit det specifika uttrycket för krökningen 1p: Korrekt funnit de x för vilka krökningen är minimal 1p: Korrekt funnit de x för vilka krökningen är maximal där x x min max n, 2 n, n Z n Z 2 (2)