Finns det enhetsrötter i svenska prisserier?

Naionalekonomiska insiuionen Naionalekonomi C Självsändig arbee, 0 poäng V-05 Finns de enhesröer i svenska prisserier? En jämförande idsserieanalys av PPI och KPI Förfaare: Johanna Rickne Medförfaare: Jahnavi Wallin Handledare: Annika Alexius

Sammandrag Producenprisindex (PPI) mäer den genomsniliga prisuvecklingen på svenskillverkade varor. Serien och dess försa differens används för omräkning av belopp i löpande priser ill fasa priser och för ekonomisk analys. Denna uppsas undersöker av vilken ordning den svenska PPI-serien är inegrerad. För a undersöka inegraionsordningen används för årsdaa enhesrosesen Augmened Dickey Fuller (ADF), Phillips Perron (PP), saionariesese Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (KPSS), sam Perrons es som ar hänsyn ill a seriens medelvärde förändras ill följd av de regimskife i penningpoliiken som inräffade under början av 90-ale. E es uveckla av Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (HEGY) appliceras även på månadsdaa (975-004). En ARIMA- modell skaas och serien dekomponeras med programpakeen TRAMO och SEATS. Resulaen för PPI-serien jämförs med mosvarande undersökning av Konsumenprisindex (KPI). Sudiens resula visar a de är svår a dra en säker slusas om PPI-seriens inegraionsgrad då esen mosäger varandra. Om särskild vik läggs vid Perronese kan slusasen dras a PPI-seriens försa differens är saionär give e nivåskif år 990, 99 eller 99, medan KPI-seriens försa differens blir saionär give anagande skif år 990. Vidare visar resulae av dekomponeringen av serierna a KPI har en mer upräglad säsongsvariaion än vad PPI har.

Innehåll Inledning... 4 Prisserier... 9. Konsumenprisindex och producenprisindex... 9. Daa... 0. Uvecklingen av svenska priser 975-004... Tidsserieanalys.... Dekomponering av en idsserie.... Saionarie... 4 Meod och diagnosik... 5 4. Tes för inegraionsordning... 5 4. Dekomponering och predikion... 9 4.. Residualanalys; auokorrelaion, normalie och linearie... 0 4.. A välja ARIMA-modell; informaionskrierier, exremvärden och... komponensabilie... 5 Resula... 5. Enhesro... 5.. Enhesroses på årsdaa... 5.. Enhesroses på månadsdaa... 5 5.. Perrons enhesroses... 7 5..4 Sammansällning av resula - enhesroses... 9 5. Dekomponering... 0 5.. Modell... 0 5.. Modell... 5.. Sammansällning av resula dekomponering... 6 Slusas och diskussion... 4 Referenser... 7 Appendix A... 9 Appendix... 46

Inledning Prisnivå och prisförändringar har sor beydelse för samhällsekonomin, och deras uveckling syrs ill sor del av penningpoliiska beslu. De vå mes beydelsefulla makroekonomiska idsserierna för svenska priser är konsumenprisindex (KPI) och producenprisindex (PPI), där KPI syfar ill a mäa prisuvecklingen på konsumensidan, och PPI på producensidan. Dessa index, sam deras försa differenser, inflaionen, ugör cenrala variabler för makroekonomisk analys. För a få en försåelse för priserna och inflaionens karakär är de mycke vikig a analysera dessa idsseriers så kallade inegraionsgrad. Dea karakerisika är avgörande för anagande kring hur variablerna genereras, hur de påverkas av chocker, och vilken meod som är bäs lämpad för a predikera deras framida värden. Sådan informaion är beydelsefull för uvärdering och uformning av penningpoliiken, hur variablerna används i skaningar av empiriska modeller såsom Phillipskurvan och Taylorregler, sam vid urval av lämpliga meoder för predikion. För svenska daa ufördes 004 en undersökning vid Avdelningen för ekonomisk saisik på Saisiska Cenralbyrån med syfe a klargöra inegraionsgraden för KPI (Kjällkvis och Nilsson 004). Resulae visade på inegraion av grad vå för orginalserien, och följakligen även på inegraion av grad e för dess försadifferens, inflaionen. Efersom dea resula sod i mosas ill rådande uppfaningar ogs iniiaiv ill a även genomföra analysen för producensidan för a kunna jämföra de båda undersökningarnas resula angående svenska priser och inflaion. Denna uppsas syfe blir således a besvara frågan Av vilken ordning är idsserien för svensk producenprisindex inegrerad? För a undersöka av vilken ordning PPI-serien är inegrerad genomförs inledningsvis de formella sandardesen för enhesro: Augemed Dickey Fuller (ADF) och Phillips Perron (PP), sam saionariesese Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (KPSS). Om de visar sig a prisserien är icke-saionär blir de även relevan a undersöka dess försa differens, inflaionen. Efersom PPI-serien är relaiv kor kan de missänkas a ovannämnda enhesroses har låg syrka, d.v.s. a nollhypoesen ine förkasas ros a den är falsk. Syrkan kan ökas genom a använda e es uveckla av Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (HEGY) som är speciell uforma för kvaralsdaa, men finns även för månadsdaa. De är kän a ADF- och 4

PP-esen kan ge felakiga resula om serien karakeriseras av krafiga bro i rend eller nivå, vilke ofa är falle för prisserier. På grund av dea kan de även bli inressan a genomföra Perronese, som är beinga på dessa karakerisika. Tidsseriens egenskaper kan även klargöras genom a serien delas upp i komponener, som analyseras var och en för sig. Dea genomförs med hjälp av programmen TRAMO och SEATS, vilka baseras på ARIMAmodellering och rekommenderas av Eurosa och Europeiska Cenralbanken. Resulaen från undersökningen av PPI kopplas ill idigare resula (Kjällkvis och Nilsson 004), kring KPIseriens useende och egenskaper. Viken av a avgöra inegraionsgraden hos prisserier beonas i en mängd veenskapliga sudier. Då inflaionen är den serie som ligger ill fokus för penningpoliiken är de främs denna serie som undersöks. Sedan e anal år illbaka bedriver bland anna Europeiska cenralbanken projeke Inflaion Persisence Nework (IPN), för a undersöka fenomene i de länder som anslui sig ill de moneära samarbee, EMU. Ibland andra veenskapliga sudier går meningarna isär vad gäller inflaionsseriens inegraionsgrad. Enlig Henry och Shields (00) visar sandardes för enhesro på icke-saionarie för inflaionsserier från USA, Sorbriannien och Japan. Lee och Wu (00) illämpar enhesroses på paneldaa för inflaionen från OECD-länder och finner med denna meod bevis för saionarie i samliga serier. Corvosier och Mojon (005) argumenerar för a inflaionsserierna för länder inom Euro-område är saionära give a hänsyn as ill de nivåskif som följ av regimskifen i penningpoliiken. Juselius (004) framhåller a inegraion av försa ordningen ofa är falle under perioder med hög inflaion, även om icke-saionarie också kan vara falle i perioder med låg inflaion, dea efersom chocker kan vara persisena oavse deras sorlek. egreppen inegrerad av grad e, icke-saionarie och enhesro brukar användas synonym för idsserier vars medelvärde och varians ine är konsana över iden. En vikig implikaion av dea är a seriens medelvärde förändras permanen ill följd av sörningar. Dessa sörningar, eller chocker, blir följakligen permanena och e viss observera värde kan anas vara besäm av en rad idigare händelser. För en saionär serie är chocker på mosvarande sä av övergående karakär, då serien enderar a åervända ill si idigare medelvärde efer a ha påverkas av sörningar. För idsserier över inflaion blir anaganden om chockers persisens synnerligen vikiga ur e flera perspekiv. Holden och Driscoll (000) framhåller a den grad av persisens som illskrivs inflaionsserien får sor beydelse för formuleringen av 5

grundläggande makroekonomiska modeller såsom Phillipskurvan, då rögheen i inflaionen måse as med i modellformuleringen. Även ur penningpoliisk synvinkel blir anagandena av sor vik. Sedan början av 990- ale bedrivs den svenska penningpoliiken av en poliisk och ekonomisk oberoende riksbank med målsäningen a hålla inflaionen sabil på en nivå på procen, med e oleransinervall på plus/minus procen kring dea sabiliesmål. I dea fall kan inflaionsseriens inegraionsgrad ses som en direk indikaor på hur väl denna poliik har lyckas. En effekiv poliik skulle innebära saionarie i inflaionsserien då chocker mo denna, såsom förändrade olje- och mapriser, indirek beskaning eller liknande, skulle kunna moverkas, och seriens medelvärde sabiliseras kring procen. En sådan uvärderande analys med hjälp av inegraionsordning försvåras dock av a omfaande omläggningar av penningpoliiken ofa le ill permanena förändringar av seriens medelvärde. Corvosier och Mojon (005) visar a de i inflaionsserierna för samliga OECD-länder finns mins e sådan bro. Med dea som bakgrund argumenerar förfaarna för a fokusera analysen på vad de kallar normal imes, perioderna mellan de sora omvälvningarna, för a på dea sä kunna avgöra akuell penningpoliiks effekivie mo chocker. A chocker mo inflaionsserien blir persisena kan även medföra a grundförusäningarna för en effekiv penningpoliik påverkas negaiv. Om en eller flera posiiva eller negaiva chocker medför a inflaionsseriens medelnivå ligger högre eller lägre än de uppsaa sabiliesmåle under en längre idsperiod, kan de medföra a ekonomiska akörer förändrar sina förvänningar om den framida inflaionen då de ine längre berakar cenralbanken som rovärdig. Efersom sabilisering av inflaionsförvänningarna ugör själva kärnan för en effekiv aniinflaionisisk penningpoliik är de negaiva konsekvenserna av en sådan uveckling uppenbara. Till följd av risken för ovan nämnda uveckling får anaganden om chockers persisens konsekvenser för penningpoliikens opimala uformning; högre persisens innebär a banken borde reagera sarkare inför chocker, jus för a undvika a dess rovärdighe urholkas. Vidare innebär persisens i inflaionsserien a de blir svårare a bedöma hur penningpoliiken verkar. Efersom persisens i chockerna innebär a seriens värde i en Förfaarna hävdar a den Nya Keynesianska Phillipskurvan (New Keynesian Phillips Curve), sandardformuleringen för aggregera ubud på kor sik, hel misslyckas med a modellera persisens i inflaionen. Se resonemang i Holden och Driscoll (000). För den svenska inflaionsserien finner förfaarna med hjälp av Alissimo och Corradi (00) brypunkses en brypunk vid år 99. roe illskrivs riksbanksreformer och övergången ill inflaionssabilie som mål för penningpoliiken. I sin mer specifika undersökning av denna yp av bro visar Papadoupoulos och Sidiropoulos (004), a de cenralbanksreformer som under 90-ale genomfördes i många indusrialiserade länder, ledde ill signifikan lägre persisens i inflaionsserierna för dessa saer. 6

idsperiod i hög grad besäms av dess idigare uveckling, måse ransmissionsmekanismen (av en räneförändrings påverkan på inflaionen) analyseras i ljuse av dea fakum, vilke säller högre krav på analysen och givevis även kan påverka dess ufall. För Riksbankens penningpoliiska beslu, och för beslusfaande bland ekonomiska akörer i sor, är den framida prisuvecklingen av sor beydelse. Förusäningarna för a på e korrek sä kunna predikera denna uveckling avgörs i hög grad av den berörda prisseriens inegraionsgrad. För en saionär serie kan dess framida nivåer förusägas med sor korrekhe, både på kor och på lång sik. Däremo innebär icke-saionärie a de framida värde hamnar inom e sor och ökande inervall av osäkerhe, efersom seriens varians blir oändlig. Då predikion uförs med en univaria modell sår vale således mellan en där orginalserien kan anses vara saionär kring en deerminisisk rend, eller en där en ickesaionär serie differensieras för a uppnå saionarie. Vilken modell som väljs har sor inverkan på korrekheen i predik ionerna då sora felakigheer kan uppså om en ickesaionär process predikeras med en modell i nivå och vär om. Diebold och Kilian (999) menar a så kallade enhesroses av serierna bör illämpas för a guida dessa beslu. Anaganden kring inegraionsgraden är således cenrala för predikion med univariaa modeller, men konsekvenserna kan även bli dramaiska för mulivaraa sådana. Jacques (995) pekar på viken av a forma mulivariaa predikionsmodeller efer de ingående idsseriernas egenskaper för a på så sä kunna a hänsyn ill vikiga koncep såsom koinegraion och nonsensrelaioner. Om en modell skaas där de ingående idsserierna är av olika inegraionsgrad blir resulae av denna skaning oillförlilig 4. Då serierna är inegrerade av samma grad är risken sor a regressionsanalys visar på samband mellan dessa variabler, ros a inge sådan samband föreligger, så kallad nonsensrelaion. Dea fenomen kan naurligvis leda ill allvarliga missbedömningar och felpredikioner. De dock föreligga siuaioner där idsseriernas icke-saionärie ar u varandra, och den linjära kombinaionen av dem i själva verke blir saionär. Verkliga samband mellan serierna kan således uläsas efersom de följer varandra i e långsikig jämviksförhållande. E sådan förhållande mellan idsserier kallas koinegraion och innebär a illförliliga skaningar av samband mellan ickesaionära idsserier kan erhållas uan a dessa differenieras. Diebold och Kilian (999) menar a univariaa modeller generell är a föredra för predikion av makroekonomiska variabler. 4 Anledningen ill dea är a vid regression av en idsserie på en annan enlig Y = β β X ε kan β skaas enlig: ( X X)( Y Y ) βˆ = ( X X ) Om Y är en saionär serie, medan X är inegrerad av försa ordningen, och denna series varians således oändlig, blir ekvaionens nämnare mycke sor i förhållande ill äljaren och beaesimae går mo noll i sora sickprov. 7

Viken av a a hänsyn ill de ingående idsseriernas inegraionsgrad vid skaningar av mulivariaa modeller gäller naurligvis oavse om dessa modeller jänar för a predikera framida värden, eller om de har andra syfen, såsom a empirisk skaa makroekonomiska samband av olika slag. Tidsserien för inflaion ugör en cenral variabel bland anna för sambande mellan inflaion och arbeslöshe/produkion i Phillipskurvan, insrumenregler för penningpoliiken såsom Taylorregler för a avgöra önskvärd ränesäning, Fishereffeken för a undersöka kopplingen mellan inflaion och nominalräna och skaning av PPP, köpkrafsparie. För a empiriska skaningar av sådana modeller ska ge relevana resula är de allså vikig a inflaionens inegraionsgrad har bedöms på e rikig sä. Argumenen för a undersöka den svenska inflaionens inegraionsgrad är således många, och uppsasen kommer a läggas upp på följande sä för a uppnå dea syfe. Inledningsvis preseneras PPI uifrån indexes användningsområde och hur serien beräknas, följ av en redovisning av vilka daa som används i uppsasen. Därefer inroduceras läsaren för idsserieanalysens grundprinciper sam de mer specifika meoder och diagnosik som används i uppsasen. Dea följs av en presenaion av undersökningens resulaen uifrån den inledande frågesällningen. Avsluningsvis sammanfaas och diskueras resulaen. 8

Prisserier En prisserie är observaioner av en prisnivå ordnade över iden. De vanligase måen på samhälleliga priser i Sverige är konsumenprisindex (KPI), som mäer prisuvecklingen från konsumensidan, och producenprisindex, som mäer den från produkionssidan. Inflaion innebär a priserna i en ekonomi, den allmänna prisnivån, siger, och represeneras av prisseriens försa differens. Hur snabb priserna siger beror på flera fakorer såsom konjunkur, ändrade ubudsförhållanden och framför all penningpoliiska beslu. Försåelse för inflaionens dynamik är grundläggande för många makroekonomiska modeller, och har sor beydelse för samhällsekonomins uveckling och samhällsekonomiska beslu.. Konsumenprisindex och producenprisindex KPI mäer prise som konsumenerna fakisk bealar för en korg av varor och jänser (Ribe 000). Indexe inkluderar således moms, andra indireka skaer och subvenioner. Priserna på de olika varorna och jänserna vägs ihop på basis av hur sor andel av konsumionen de ugör. Varor som de konsumeras mycke av får sor vik i KPI och viceversa. Riksbankens inflaionsmål är definiera som a den årliga ökningen av KPI ska vara vå procen, med e oleransinervall på plus/minus en procenenhe kring dea mål. A måle definieras i ermer av KPI beror främs på a de är de mes kända och använda måe på inflaion och a de omfaar en sor del av hushållens konsumion sam a de publiceras månadsvis. De finns e fleral svenska prisindex som mäs ifrån produkions- och imporsidan. De mes beydelsefulla av dessa är producenprisindex (PPI) vilke är en sammanvägning av hemmamarknadsprisindex och exporprisindex och anger den genomsniliga prisuvecklingen på svenskillverkade varor oal; de varor som säljs på den svenska marknaden och de som säljs på expor.(sveriges officiella saisik, Prisindex i producen och imporled i december, SC 004). Prisindex i producen- och imporled är cenral inom samhällsekonomisk analys i de a serien används för omräkning av belopp i löpande priser ill värde i fasa priser, inom bland anna naionalräkenskapssyseme och urikeshandelssaisik, sam för prisreglering av långsikiga aval. eräkningarna av PPI bygger på prisuppgifer som med jämna mellanrum insamlas från omkring 00 föreag avseende e urval av represenanvaror. Indexalen beräknas för den oala produkionen ca 500 noeringar för hemmamarknaden och ca 000 för exporen. Priserna avser produceners försäljning av svenskillverkade varor och är be- 9

räknade exklusive moms och varuskaer. Indexe är e så kalla kedjeindex med årslänkar av Laspeyres-yp och varorna är uppdelade i fem avdelningar enlig nu gällande indelning SPIN 00 5.. Daa De daamaerial som används i denna uppsas är dels månadsdaa för PPI, perioden januari 975- december 994 och januari 995- december 004, och dels årsdaa under perioden 974-994 och 995-004. Daa innefaar kaegorierna 6 fiske, jordbruksproduker, skogsproduker, malm och mineral sam indusriprodukion. För a kunna genomföra analys av en lång idsserie sammanlänkas 7 de vå serierna med december 994 som länkningspunk för månadsdaa och åre 994 för årsdaa, dea i enlighe med rekommendaion från SC. De är vanlig ekonomiska idsserier, i synnerhe prisserier, logarimeras då de ofa har flukuaioner som ökar med nivån (Planas 997 s.0). A denna ransformaion även är lämplig för våra daa visas av a de ökande svängningarna i serien jämnas u (jämför illusraionen av den differenierade serien i Figur och Figur A. i Appendix A). 6.6 6.4 6. 6.0 5.8 5.6 5.4 5. 5.0 975 980 985 990 995 000.04.0.0.0.00 -.0 -.0 975 980 985 990 995 000 Figur Producenprisindex, logarimerad serie, nivå och försa differensen, månadsdaa jan 975- dec 004. 6.8 6.4 6.0 5.6 5...0.08.06.04.0.00 -.0 4.8 975 980 985 990 995 000 -.04 975 980 985 990 995 000 Figur Producenprisindex, logarimerad serie, nivå och försa differensen, årsdaa 974-004 5 SPIN 00 är en klassificering av produker enlig Sandard för svensk näringslivsindelning. Grupperna är: A produker från jord- och skogsbruk, Fisk, C produker från uvinning av mineral, D indusriproduker, E el, gas, värme och vaen. Klassificeringen är väldig lik Prod-SNI 97 som inroducerades 995. 6 Kaegorierna - enlig SNI69 fram ill december 994 som mosvaras av kaegorierna A-D enlig SNI97 och SPIN00 från och med 995. 7 Den nya serien länkas ill den ursprungliga serien genom a muliplicera den nya seriens värden med kvoen mellan den ursprungliga serien och den nya serien för observaionen december 994/åre 994. 0

. Uvecklingen av svenska priser 975-004 Då uvecklingen i priser och inflaion syrs av samhällsekonomin, kan försåelsen av idsseriernas useende och egenskaper försås bäre i ljuse av den svenska ekonomiska hisorien under den berörda idsperioden. Under 970- och 980-alen var den svenska ekonomins illväx beydlig lägre än idigare. Synen på sabiliseringspoliiken var a ekonomiska nedgångar kunde, och borde, moverkas av expansiv finanspoliik och devalveringar ( Prissabilie, Avdelningen för penningpoliik, Riksbanken). Korsikig uppnåddes även högre produkion och sysselsäning, och inflaionen och lönesegringarna kunde hållas i schack med sram finanspoliik. I längden kom dea dock a medföra ekonomiska bakslag i form av inflaion och valuaspekulaion. Ekonomin kom in i en ond cirkel där den ena inflaions- och devalveringscykeln följde på den andra, samidig som arbeslösheen seg och inveseringar och sparande var låga. Uvecklingen ledde fram ill en av de värsa ekonomiska kriserna i svensk hisoria, vilken även kom a medförde e mycke beydelsefull sabiliseringspoliisk regimskife. Den 9 november 99 vingades Riksbanken överge den fasa växelkursen genemo ECU:n, föregångaren ill euron. Dea skedde ill följd av urbulens på valuamarknaden och spekulaioner mo kronan grundade i förvänningar om en ny devalvering. Övergången ill rörlig växelkurs ledde ill en krafig depreciering av kronan, vilke i sin ur förde med sig sarka inflaionsimpulser. I dea läge besämdes a penningpoliiken skulle inrikas på a skapa prissabilie. Under 99 och 994 bekämpades de krafiga inflaionsimpulserna med en mycke sram penningpoliik. Ine förrän 995 kunde man gå vidare ill a försöka hålla de uppsaa inflaionsmåle; a begränsa ökningsaken i konsumenprisindex ill vå procen per år, med e oleransinervall på plus/minus en procenenhe. År 999 lagfäses sluligen inflaionsmåle och idag har inflaionsförvänningarna falli och den penningpoliiska regimen har befäss. Ovan beskrivna uveckling kan även uläsas i Figur och över PPI-serien. Den snabba prisökningen under 70- och 80-ale märks av prisseriens brana luning som sedan maas av under 90-ale. Den avagande ökningen kan sannolik illskrivas riksbanksreformen och införande av inflaionsmål för penningpoliiken. I grafen över årsdaa för inflaionen (Figur ) kan den krafiga inflaionsökningen ill följd av övergången ill rörlig växelkurs 99 uläsas, sam a prisförändringarna variera beydlig mindre sedan 990-ales andra hälf.

Tidsserieanalys En idsserie { y } T = kan berakas som e ufall av en sokasisk process där =,,..T, beskriver på varandra följande idpunker 8, och y beskriver de observerade ufalle av en viss variabel för de olika idpunkerna (Planas 997, s.). Analysen av idsserier fokuserar vanligvis på a beskriva vilken process som kunde ha generera de observerade värdena. På så vis kan informaion om serien erhållas som möjliggör predikion av seriens framida värden. Den daagenererande processen kan beskrivas genom olika modeller, varav ox och Jenkins ARIMA-modell är den som diskueras i denna uppsas. För a modellering och predikion ska kunna uföras, krävs a idsserien är (svag) saionär, de vill säga a dess medelvärde och varians är konsana.. Dekomponering av en idsserie Värdena i en idsserie kan sägas följa vissa regelbundna mönser som kan urskiljas och analyseras var för sig. Genom analys av idsseriens komponener fås inressan informaion om idsseriens karakär. Modern dekomponering brukar skilja på sex komponener (Öhlén 00): rend T, cykel C, kalendereffeker K, säsong S, exremvärden E (ouliers) och Irreguljära effeker I (se ekvaion ()). Trenden avser idsseriens långsikiga uveckling och har sin grund i srukurella förändringar i de bakomliggande daagenererande fakorerna, medan cykeln är en mer korsikig övergående förändring. De är ofa svår a skilja på rend och cykel och man alar därför isälle om rendcykelkomponenen. Med kalendereffeker menas sammansäningen av anal dagar under e kvaral, exempelvis anal måndagar under en arbesperiod. Om en idsserie mäs under flera idsperioder under åre, såsom månader eller kvaral, är de vanlig a serien uppvisar en sysemaisk säsongsvariaion. För en prisserie kan sådan variaion uppså i samband med årliga reor, medan en idsserie över exempelvis jordbruksprodukion kan förvänas ana höga värden under skördeperioden. En idsserie innefaar ofa olika exremvärden, exempelvis orsakade av exogena effeker eller mäfel. Exremvärdena kan vara av olika karakär, såsom ensaka höga eller låga mävärden eller plösliga förändringar i nivå eller rend. Den irreguljära komponenen represenerar den variaion som 8 Inervallen mellan observaionerna är ofas lika långa, men behöver ine vara de.

ine fångas upp av den för serien skaade modellen. Om modellen är välanpassad blir den irreguljära komponenen hel ickesysemaisk, de vill säga vi brus. Varje observera värde i en idsserie, O, besår således av ovan beskrivna komponener: O = T C K S E I. () Ekvaion () är en addiiv modell, där komponenens värden ine beror av seriens nivå. I de flesa fall förändras dock komponenerna sysemaisk med nivån, och vi får en muliplikaiv form 9 : O = T C K S E I. () För a underläa idsserieanalysen ransformeras ofa muliplikaiva modeller () ill addiiva () genom a seriens värden logarimeras. Genom a dekomponera en idsserie kan dess rendcykel och säsong analyseras var för sig. land anna möjliggör säsongsrensning av idsserien jämförelser mellan inill varandra liggande observaioner i iden. Annars finns risken för felolkningar efersom skillnaden mellan vå observaioner i verkligheen beror på skillnaden i säsong. Dekomponering kan genomföras med olika meoder, där de ARIMA-modellbaserade programme TRAMO/SEATS är de som illämpas i denna sudie. Den underliggande eorin för ARIMA-modellering förklaras i avsni A., Appendix A.. Saionarie För a kunna göra predikioner av en idsserie med hjälp av en ARIMA-modell krävs a idsserien är saionär (Gujarai 00, s. 797 f.). Saionarie innebär a idsseriens medelvärde och varians är konsana, medan auokovariansen, kovariansen mellan olika idsperioder, är oberoende av idsindexe,, och endas är relaera ill avsånde mellan idpunkerna i iden, k,: ( ) = µ E =,,..., T () y 9 En undersökning av Eurosa på 7 empiriska idsserier visade a 64 procen följde en muliplikaiv modell (Maravall och Gómez 997, s. 6).

( y ) E( y µ ) = γ (0) Var (4) E = [( Y µ )( Y µ )] = γ (k) (5) k för k =,,,T-k. Om dessa villkor är uppfyllda möjliggör de en generalisering av seriens värden ill andra, framida idsperioder (predikion). Om serien har en enhesro innebär de a den är icke-saionär, medelvärde exiserar ej och variansen är oändlig 0. När en idsserie har en enhesro kan den ofa göras saionär genom en differeniering och kallas inegrerad av försa ordningen, I(). Har den vå enhesröer och måse differenieras vå gånger är den I(), medan en saionär serie beecknas I(0). En idsserie kan även vara saionär kring en deerminisisk rend, de vill säga ha konsan varians kring en rend som går a förusäga exak Om en serie är inegrerad av försa ordningen blir illfälliga chocker i serien persisena (Juselius 004 och Gujarai 00). För en AR() exempelvis blir inverkan av en krafig förändring vid en idpunk permanen i de hänseende a serien ine åervänder ill e fas medelvärde, uan hela seriens nivå skifar. De observerade värde vid en viss idpunk blir således inge anna än summan av alla chocker i idigare perioder. En idsserie som uppvisar säsongsvariaion (HEGY 990, s. 8) kan beskrivas som en av, eller en kombinaion av, följande processer: ) deerminisisk säsongsprocess som är genererad av säsongsdummyvariabler, kan prognosiseras felfri och ändrar aldrig sin form, ) saionär säsongsprocess, som är genererad av en ill synes oändlig auoregression där samliga röer ligger uanför enhescirkeln och ) ickesaionär säsongsprocess eller inegrerad säsongsprocess som blir saionär efer differeniering. En säsongsinegrerad series egenskaper liknar egenskaperna hos en vanlig inegrerad serie. Föruom oändlig varians har idsserien e lång minne och effekerna av chocker håller således i sig länge och kan förändra säsongsmönsre permanen. De finns olv möjliga enhesröer, en ickesäsongs- och elva säsongsröer (se avsni A., Appendix A för förklaring av maemaik kring säsongsröerna). 0 För en ARMA-modell innebär icke-saionarie a röerna i AR-polynome, φ ( ) = 0 innanför enhescirkeln (Planas 997:9ff)., ligger på eller För en enkel slumpvandring (Random Walk Model) kan dea illusreras som Y = = Y ε. i i 0 En av de elva säsongsröerna är en reell ro, medan de andra ugör fem par av s k komplexa konjugaer, de vill säga par av komplexa röer. 4

4 Meod och diagnosik Nedan preseneras de olika es för inegraionsordning och diagnosiken för val av ARIMAmodell och dekomponering som kommer a användas i denna uppsas. 4. Tes för inegraionsordning En idsseries inegraionsordning kan i e försa skede undersökas genom a sudera figurer föresällande originalseriens respekive seriens differenierade form (Gujarai 00:807f). Om originalseriens medelvärde anas variera över iden kan den anas vara karakäriserad av en I(). I e andra skede kan idsseriens auokorrelaionsfunkion (ACF) suderas. Tecken på icke-saionarie är a den försa ACF-koefficienen ligger nära e och a koefficienernas värden avar långsam. E mer formell es för enhesro är Dickey-Fuller-ese (Gujarai 00, s. 85 f.) som kan illusreras genom a ugå ifrån en AR()-process: y = µ ρ ε (6) y där ε är vi brus. Om ρ = är serien icke-saionär, de vill säga en slumpvandring med sokasisk rend, drif, och variansen ökar med iden för a gå mo oändligheen. Nollhypoesen om enhesro, ρ =, esas mo hypoesen a ρ <. Tese uförs geno m a y subraheras från båda sidorna i ekvaionen: y = µ γ ε, (7) y där γ är ρ. Under nollhypoesen om enhesro följer -saisikan för γ en fördelning som abuleras med hjälp av Mone Carlo-meoder och beecknas med τ. Tese kan genomföras på olika sä, beroende på om man ror a serien har en sokasisk rend (drif eller inercep), µ, en deerminisisk rend,, eller båda delarna. Dickey-Fuller-ese gäller endas då serien följer en AR()-process och de uvidgade Dickey-Fuller-ese har uvecklas för a undersöka serier som kan vara auokorrelerade av högre ordning, p (Enders 995, s. 5). Teses nollhypoes H : ρ = γ 0, innebär a serien har en enhesro och esas i den uökade hjälpregressionen: 0 = 5

y p δ = α i i y ε = µ γy. =,,... T (8) Genom a esa en uvidgad regression som innefaar la ggade värden av den beroende variabeln illåer ese korrelerade residualer och anale laggar, p, väljs så a residualerna blir bleka d.v.s. vi brus. ADF-ese är begränsa ill a undersöka om serien är inegrerad av grad e, I(), och för a esa hypoeser om högre inegraionsgrad genomförs ese på seriens försa respekive andra differens. Phillips och Perron (988) uvecklade e enhesroses som är en generalisering av Dickey-Fuller-ese. Tese har mindre srika villkor på felermernas fördelning, d.v.s. illåer felermerna vara svag beroende och heerogen fördelade. Principen är samma som för de uvidgade DF-ese och ekvaion (6) skaas och -saisikan för γˆ korrigeras. Tese använder en ickeparamerisk meod för a konrollera för auokorrelaion av högre ordning i idsserien och kan uföras med e inercep, respekive inercep och rend. åde Dickey-Fuller- och Phillips-Perron-esen har kriiseras för a ha låg syrka och nollhypoesen om enhesro förkasas således ofa ine ros a serien egenligen är saionär (Henry och Shields 004, s. 48). Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (99) argumenerar därför för behove av e saionarieses som komplemen ill de vanliga esen för enhesro. KPSS esar om idsserien y är saionär, där deerminisisk rend, en slumpvandring och en saionär felerm: y anas kunna dekomponeras i en y = ξ ε. r (9) Här är r en slumpvandring: r = r u och där u är i.i.d. (0, σ u ). Saionarieshypoesen är a σ u = 0, och efersom ε anas vara saionär, är y rendsaionär under nollhypoesen. Tese kan även uföras uan rend, ξ = 0, och serien är då nivåsaionär under nollhypoesen. Maemaiken bakom ese är komplicerad och ligger uanför arbees begränsning, varför inga formler anges. 6

Tessaisikan baseras på: ηˆ = ˆ T S / σ ε, (0) där S beecknar den pariella residualsumman, S = e i i=, =,, T, där e är den skaade residualen från regressionen (9) på y med inercep eller inercep och idsrend, och σ ˆε represenerar den esimerade residualvariansen. Tessaisikan följer en fördelning abulerad med hjälp av Mone Carlo-meoder. Undersökningen av enhesröer började med årsdaa, för a senare uökas ill es på kvaralsdaa och därefer månadsdaa (Aguierre 000, s. ). Fördelen med a uföra enhesroses på månadsdaa är a fler observaioner fås och därigenom kan eses syrka ökas. Efersom ovannämnda es kan få missvisande resula om idsserien uppvisar säsongsvariaion har Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (990) uveckla en meod som esar för enhesröer i idsserier med säsongsvariaion, d.v.s. esar röerna för nollfrekvensen (den vanliga roen) respekive var och en av säsongsfrekvenserna. I HEGY-ese anas a idsserien är genererad av följande process (Aguierre 000, s. 5): ϕ ( ) X = α α α D ε, () 0 k= k k där εär vi brus och de deerminisiska ermerna kan ugöras av en konsan α 0, en linjär rend och elva säsongsdummies D k. För a undersöka om polynome i backshifoperaorn, ϕ (), har enhesröer på noll- och/eller säsongsfrekvenserna, uförs ese enlig ekvaionen: ϕ() Y = α 0 α α kdk π kyk, ε. () k= k = Y k ( k =,,..., ) är hjälpvariabler 4 som erhålls genom a filrera variabeln som suderas, X. Yerligare laggade värden av Y kan behöva inkluderas i modellen för a felermen ska bli fri från auokorrelaion. Ekvaion () skaas med OLS och de erhållna saisikorna jämförs 4 För definiioner av hjälpvariablerna, se Appendix A, avsni A.. 7

med kriiska värden baserade på Mone Carlo-resula (eaulieu och Miron 99). Efersom de ine går a särskilja paren av komplexa röer esas de för parvis (HEGY 990, s. ff.). E anna fall då ADF- och PP-esen kan ge missvisande resula är om den undersöka serien karakeriseras av e skif i inecep rendbro eller båda delarna. Pierre Perron (989) argumenerar för a de enhesroses som Dickey Fuller och Phillips Perron presenerar ofa leder ill a nollhypoesen om enhesro acceperas, ros a serien i själva verke är rendsaionär, give e renbro. Genom a uföra enhesroses beinga på e nivå- och/eller rendskife, kan man komma ill en mer korrek slusas om seriens inegraionsgrad, och således även om chockers persisens. Perrons es för enhesro illåer a serien har e rendbro och/eller nivåskif, som anas inräffa vid idpunken T ( < T T ), både under noll- < och alernaivhypoesen. För a esa serien för enhesro beinga e snabb rendbro används en esprocedur, där brypunken väljs manuell uifrån eoreiska grunder, och där ese genomförs i vå seg. Förs skaas regressionen: y = µ β γ y~, () DT och sedan ~ y ~ ~ k = α y β i = i yi ε, (4) där DT = T om > T, annars 0. Nollhypoesen om enhesro förkasas ej då α =, men om den förkasas innebär de a serien kan anses vara saionär kring en deerminisisk rend med e bro vid idpunk T. Då perrons es för enhesro isälle uförs beinga på e nivåskif i serien, används esregressionen y k ( ) αy = β i yi = µ θdu β. (5) β D T i ε Här är DU = om <, annars 0, ( T) = T D om T, annars noll. Differenieringar av den beroende variabelns laggade värden införs för a undvika auokorrelerade residualer. = 8

Även i dea fall esas nollhypoesen α =, men a denna förkasas innebär a serien kan anas vara saionär med e nivåskif vid idpunk T. Allmän se är de vikig a använda en esregression som speglar den sanna daagenererande processen. Om inercepe eller renden felakig ueslus ur modellen kan eses syrka gå mo noll när sickprovssorleken ökar. För många regressorer i ekvaionen, däremo, ökar absoluvärde för de kriiska värde och kan leda ill a nollhypoesen ine förkasas (Enders 995, s. 54 ff.). E sä a avgöra vilka regressorer a inkludera i esekvaionen är a börja med den mins resrikiva modellen. Efersom enhesroses har svår a förkasa nollhypoesen behöver man ine gå vidare om den förkasas. Men om så ine är falle är de nödvändig a genom es avgöra om allför många regressorer använs. I dea syfe kan Schwarz och/eller Akaikes informaionskrierier illämpas. Uformningen av sådana informaionskrierier kommer a behandlas uförligare nedan. 4. Dekomponering och predikion Tidigare uförde Saisiska cenralbyrån dekomponering och säsongsrensning av makroekonomiska idsserier med hjälp av proceduren X--ARIMA. Efer e uvecklingsarbee 999 infördes dock programme TRAMO/SEATS då den gav e resula av högre kvalie (Öhlén 00, s. ff.). Saisikprogrammen TRAMO Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions and Ouliers, och SEATS Signal Exracion in ARIMA Time Series är uvecklade av Vicor Gómez och Augusín Maravall vid Spaniens cenralbank (Maravall och Gómez 997). TRAMO är e program för esimering och predikion av regressionsmodeller med evenuell förekoms av ickesaionära ARIMA- felermer. Progr amme idenifierar och korrigerar för saknade observaioner och exremvärden och kan skaa speciella effeker som kalendereffeker. SEATS är e program för esimering av ickeobserverbara komponener i idsserier. Med ugångspunk i den av TRAMO skaade ARIMA-modellen dekomponeras idsserien i exremvärden, rendcykel-, säsongs-, och en residual (irreguljär komponen). För en mer eknisk genomgång av programmen, se avsni A.4, Appendix A. För a användaren ska kunna analysera och avgöra vilken ARIMA-modell och dekomponering som bäs passar daa anger programmen resulaen av flera residuales liksom värden för olika informaionskrierier. 9

4.. Residualanalys; auokorrelaion, normalie och linearie Efersom man vill finna en ARIMA-modell som så bra som möjlig förklarar variaionen i daa, undersöks modellens residualer för auokorrelaion. Om de finns auokorrelaion i residualerna yder de på a de innefaar sysemaisk variaion som egenligen bör införlivas i modellen (Planas 997, s. 56). För a konrollera för auokorrelaion i residualerna från en anpassad ARIMA-modell används den så kallade Ljung ox-q (Gujarai 00, s. 8). Saisikan följer en χ -fördelning med (m-p-q) frihesgrader och definieras som: Q L = T m ( T ) i= ρˆ k. (6) T k där T beecknar anale observaioner, m anale laggar och ρk auokorrelaionskoefficienen vid lag k. Saisikan esar om samliga auokorrelaionskoefficiener upp ill lag k och om hypoesen godas anses serien vara vi brus. Denna essaisika har uvecklas för a även inkludera specifika säsongslaggar då es uförs på månadsdaa. Om man exempelvis vill undersöka evenuell auokorrelaion på de :e och 4:e laglängderna blir saisikan: [ ] ( T ) r ( ) /( T ) r ( 4) /( 4) Q s = T T, (7) som följer en χ -fördelning med vå frihesgrader (Planas 998, s. 57). E anna säa a undersöka auokorrelaion är a genomföra Runs es, också kän som Gearys es (Gujarai 00, s. 465). Tese går u på a mäa slumpmässigheen i residualernas ecken genom a de delas upp i sekvenser, där en sekvens är de anal posiiva eller negaiva residualer som ligger efer varandra. Många sekvenser innebär a residualerna ofa byer ecken och indikerar negaiv seriell auokorrelaion, medan e lie anal sekvenser indikerar posiiv seriell auokorrelaion. Genom a beräkna Q-saisikan för de kvadrerade residualerna kan modellen esas för ickelinearie (Maravall och Sanchez 000). Om kvadraerna på residualerna är auokorrelerade yder de på ickelinearie, av ypen beingad heeroskedasicie, och a de bör modelleras med ARCH-GARCH-modeller. 0

Normalie i residualerna är en förusäning för a skaningen av koefficiener med hjälp av maximum- likelihoodmeoden ska bli korreka. För a esa om residualerna är normalfördelade beräknas skevhes- och kurosises uifrån residualernas redje respekive fjärde momen. Skevheen anges av de redje momene, m, m S = T ~ N (0,6), (8) σˆ medan kurosis beräknas uifrån de fjärde momene, m 4, m σˆ 4 K = T ~ (0,4) 4 N. (9) Skevhe innebär a fördelningen är sned å höger eller å vänser. Kurosis innebär aningen a fördelningen har en spesig oppighe samlad mo mien eller mer uspridd oppighe. Tillsammans kan saisikorna S och K kombineras i owman-shenons normalieses, vars essaisika, N, ges av: N χ -fördelning med vå frihesgrader (Planas 997:58f). = S K, som, give a S och K är oberoende, följer en 4.. A välja ARIMA-modell; informaionskrierier, exremvärden och komponensabilie När de gäller a avgöra vilken ARIMA-modell som bäs passar daa kan ayes informaionskrierium (IC) och Akaikes informaionskrierium (AIC) användas (ox, Jenkins och Reinsel 994, s. 00 f.). Måle är a finna högsa likelihood med minsa anal paramerar och den modell som har de lägsa värde på krierierna är a föredra. Krierierna är baserade på a minimera funkionen: ( ˆ ) ( p q) g( n) G( p, q) = ln σ a, (0) där p = 0,,,p *, q = 0,,,q *, där p * och q * är en förbesämd övre gräns, och σ ˆ a är maximum-likelihoodesimae av residualvariansen av den skaade ARMA(p,q)-modellen.

Om sraffakorn g(n) = ln(n)/n blir (0) ayes informaionskrierium och om g(n) = /n fås Akaikes informaionskrierium. Skillnaden mellan IC och AIC ligger i a IC-krierie har e sörre sraff för överparamerisering. En annan indikaion på en bra modell skaad genom TRAMO och SEATS är a säsongsoch rendkomponenerna har så lien varians som möjlig, medan den irreguljära komponenen har så hög varians som möjlig (Maravall och Sánchez 000, s. 5). Om säsongs- och rendkomponenerna har lien varians blir esimaen mer precisa och lämpar sig bäre för predikion. Hur väl olika modeller predicerar framida värden kan undersökas genom a vid modellskaningen spara några observaioner i slue av serien och sedan jämföra dessa med de predicerade värdena genom beräkning av medelkvadrafele, MSE (mean square error) för predikionen. De är dock vikig a ha i åanke a den modell som bäs passar daa kanske ine ger den bäsa predikionen. Efersom modellanpassningen görs på en begränsad del av serien är de ine säker a serien i framiden följer samma mönser (Enders 994, s. 8 ff.).

5 Resula I dea avsni redovisas undersökningens resula enlig den meod som idigare angivis. 5. Enhesro En undersökning av auokorrelaions (ACF) - respekive pariella auokorrelaionsfunkion (PACF) för årsdaa för PPI-serien visar a den försa auokorrelaionskoefficienen på 0,898. Auokorrelaionsfunkionen ycks ine heller ava särskil snabb (se Figur A. i Appendix A). Sammanage yder dea på a de kan finnas enhesro i serien. Resulaen av de formella esen för dea följer nedan. 5.. Enhesroses på årsdaa 5 För a formell undersöka av vilken ordning PPI-serien är inegrerad genomförs enhesrosesen ADF och PP, sam saionariesese KPSS på logarimerade årsdaa (974-004). Anledningen ill a årsdaa används i dessa es är, som idigare diskueras, för a undvika sörningar av evenuella säsongsvariaioner i daa. Tesen genomförs både för orginalserien och för dess försa och andra differens. Resulaen erhålls i Tabell nedan. Tabell. Enhesroses av PPI, logarimerad årsdaa (974-004) Nivå Försa differensen Andra differensen Tes Konsan Kons. och rend Konsan Kons. och rend Konsan Kons. och rend ADF essaisika _ 4.056* _.945 _. _ 4.0* _ 5.0* _ 4.87* p-värde 0.004 0.60 0.00 0.0 0.000 0.00 lag 4 4 0,000 PP essaisika _ 5.86* _ 0.7 _. _ 5.89* _.8* _.4* p-värde 0.000 0.986 0.4 0.00 0.000 0.000 andwidh 0 6 8 7 6 KPSS LM-saisika 0.67* 0.94* 0.60* 0.6* 0.48 0.48 Kriisk % 0.79 0.6 0.79 0.6 0.79 0.6 värde 5% 0.46 0.46 0.46 0.46 0.46 0.46 0% 0.47 0.9 0.47 0.9 0.47 0.9 andwidh 4 4 4 0 5 5 No: * markerar signifikan resula på mins femprocensnivån. På ADF används 7 laggar som mes och Schwarz informaionskrierie för a besämma anal laggar. KPSS och PP: Newey-Wes andwidh används sam spekralsesimaionsmeod arle Kernel som auomaisk väljs i E-veiws. 5 Mosvarande formella enhesroses för KPI åerfinnes i Appendix A.

Vid uförande av enhesroses kan esresulaen komma a variera beroende av vilka komponener som inkluderas i regressionsmodellen. Föra a avgöra dea kan man ugå ifrån ekonomisk eori, eller från saisiska indikaorer såsom -värden för rendkomponenen eller värden på informaionskrierier. Enlig den grafiska analysen av PPI-serien (se avsni. ovan) uppvisade den en posiiv luning som avog från och med andra halvan av 90-ale. De kan änkas a PPI-serien har en rend efersom ökningen i prisnivån, inflaionen, har anagi posiiva nivåer under hela den undersöka idsperioden, endas med undanag för deflaionen år 99. De kan dock ine anas a prisökningen vari lika sor varje år, föruom möjligvis under perioden 995-004 då inflaionen sabiliseras kring riksbankens inflaionsmål. Uifrån dea resonemang skulle en deerminisisk rend för orginalserien endas verka logisk för denna senare period. Enlig dea resonemang blir de ine logisk a inkludera någon deerminisisk rend för PPI-seriens försa differens, inflaionen, då man knappas kan ana a den öka eller minska på någo viss besäm sä över den berörda idsperioden. Tros a grafisk analys av serien visar a värdena verkar falla över iden för a sabiliseras mo slue av serien, blir de här snarare logisk a inkludera endas e inercep. Medelvärde skulle vara relaiv krafig skilj från noll under 70- och 80-alen då Sverige hade relaiv hög inflaion, och sedan sabiliseras på en lägre nivå från och med 90-ale och den reformerade sabiliseringspoliiken. Vi skulle allså evenuell kunna ha a göra med e skif i nivån. Slusasen om vilka deerminisiska komponener som bör inkluderas blir således oklar, varför enhesrosesen för original- och inflaionsserien uförs både med alernaivhypoeserna om saionarie kring e medelvärde skilj från noll, respekive saionarie kring en deerminisisk rend och e medelvärde skilj från noll. När enhesroses uförs på den logarimerade orginalserien under anagande a den har en deerminisisk rend och konsan visar esresulaen sark på a serien är ickesaionär. Trenden blir dock icke-signifikan (p-värde = 0,450) och Schwarz informaionskrierium ökar någo, men väldig lie, när renden inkluderas (från 4,06 ill 4,05). När serien esas uan rend alar ADF- och PP-esen ydlig för a serien är saionär, då nollhypoesen om enhesro förkasas. Mo dea resula sälls dock KPSS-eses då dea yder på a serien är icke-saionär då nollhypoesen om saionarie förkasas. Tesresulaen för orginalserien alar allså emo varandra och de är ine klar vilke slusas som bör dras. Dea kan bero på a daa ine innehåller illräcklig informaion för a avgöra om serien är saionär eller ickesaionär. En annan orsak skulle kunna vara a serien har e rendbro som bör as med i beräkningen vid eses uförande, vilke esas nedan i 5... 4

När vi vidare undersöker PPI-seriens försa differens, inflaionen, blir slusaserna om saionarie åerigen olika beroende på vilka komponener som inkluderas i esregressionen. När serien esas med ADF- och PP ese och rend och konsan inkluderas, yder esresulaen på a serien är saionär kring en deerminisisk rend och med e medelvärde skilj från noll. Dock mosägs dea av KPSS-ese som förkasar samma denna hypoes och drar slusasen a serien har en enhesro. När renden as med i ADF-esregressionen sänks Schwarz informaionkrierium ill 4,7 jämför med värde,98 om endas e inercep as med. Trenden är även signifikan (p-värde = 0,0047) vilke sammanage yder på a en rend bör inkluderas. Dock kan dea knappas anses vara i enlighe med ekonomisk eori. När renden as bor visar ese på icke-saionärie i samliga re es 6. För PPI-seriens andra differens är slusasen av esresulaen enhelig. Nollhypoesen om enhesro förkasas, medan saionarieshypoesen ej förkasas, vilke yder på a serien är saionär. De är för samliga es vikig a ha i åanke a de är uförda på en relaiv kor serie, vilke kan ge missvisande resula och varför undersökningen kompleeras med HEGY-ese. 5.. Enhesroses på månadsdaa Ekvaion () skaas för a erhålla esima av π i och esimaens sandardfel. Nedan i abellen redovisas resulae av HEGY-ese. Om π i = 0, för i =,,,, är serien säsongsinegrerad och de är passande a använda säsongsfilre (- ) (Aguirre 000). Om π = 0 kan ine hypoesen om roen (nollfrekvensen), som mosvarar den vanliga roen som esas ovan, förkasas. De förekommer inga säsongsenhesröer om π ill π är signifikan skilda från noll. Efersom de ine går a särskilja paren av komplexa röer esas de för vå och vå (HEGY 990, s. ff.). I vale av vilka deerminisiska komponener a inkludera i esregressionen ugår vi ifrån idigare förda resonemang och es uförs både med konsan respekive med konsan och rend. Modellen esas även både med och uan deerminisiska säsongskomponener. Resulaen åerfinns i abellerna och nedan. 6 Enhesrosese på inflaionen genomfördes även uan konsan och rend och precis som i falle med endas konsan, blev resulae a nollhypoesen om enhesro ine kan förkasas på femprocensnivån. KPSS-ese kan i E-veiws ine användas uan inercep. 5

Tabell Resula av HEGY-es för enhesro, månadsdaa PPI (975-004) Konsan Konsan och rend Nollhypoes Frekvens Skaad saisika Kriisk värde 5 % Skaad saisika Kriisk värde 5 % π = 0 0 _ 4.8* _.8 _ 4.6* _. π = 0 π ( mån) 0.95 _.8 0.6 _.84 π = π 4 = 0 π (4 mån) 0.57 6.4.58 6.4 4 π 5 = π 6 = 0 π 6( mån) 7.78* 6.4 5.* 6.4 5 π 7 = π 8 = 0 5π 6 (.4 mån) 5.44^ 6.4 6.^ 6.4 6 π = π = 0 9 0 π (6 mån) 8.7* 6.4.* 6.4 7 π = π = 0 π ( mån).8* 6.4 7.0* 6.4 No: Kriiska värden är från eaulie och Miron (99). * markerar signifikan resula på fem procens nivå. ^ markerar signifikan resula på io procens nivå. Tese är skaa med säsongsdummyvariabler. Max anal laggar är och 4 laggar erhålls med IC-krierie. Tabell Resula av HEGY-es för enhesro, månadsdaa PPI (975-004) uan säsongsdummyvariabler Konsan Konsan och rend Nollhypoes Frekvens Skaad saisika Kriisk värde 5 % Skaad saisika Kriisk värde 5 % π = 0 0 _.50* _.85 _.7 _.7 π = 0 π ( mån) 0.79 _.9.4 _.9 π = π 4 = 0 π (4 mån).64.06.06.05 4 π = π = 0 5 6 π 6 ( mån) 8.59*.06 5.5*.05 5 π 7 = π 8 = 0 5π 6 (.4 mån) 4.95*.06 5.*.05 6 π = π = 0 9 0 π (6 mån) 5.07*.06.65*.05 7 π = π = 0 π ( mån) 8.4*.06 6.09*.05 No: Kriiska värden är från eaulie och Miron (99). * markerar signifikan resula på fem procens nivå. Max anal laggar är och 4 laggar erhålls med IC-krierie. För båda esregressionerna finner HEGY-ese enhesröer på säsongsfrekvenserna för nollhypoeserna och. Den sora skillnaden mellan esresulaen ligger i a nollhypoesen om enhesro på nollfrekvensen ine kan förkasas på fem procens signifikansnivå då säsongsdummyvariablerna uesluis, och ese genomförs med konsan och rend. Då säsongsdummyvariabler inkluderas visar däremo ese på a PPI-serien är inegrerad av grad noll, oavse om en rend inkluderas i esregressionen eller ine. De som alar för a ueslua säsongsdummyvariablerna är a de ine är signifikana i den skaade modellen. 6

5.. Perrons enhesroses Efersom Perron-ese, som ar hänsyn ill rendbro och nivåskif, ine genomförs i den idigare analysen av KPI (Källqvis och Nilsson 004), uförs Perrons es för både KPI 7 och PPI. För de logarimerade orginalserierna genomförs ese för enhesro beinga på en bruen rend, och för inflaionen es för enhesro beinga på e nivåskif. Dessa sörningar anas ha uppkommi ill följd av omläggningen av svensk sabiliseringspoliik under början av 90-ale anas idpunken för sörningarna ligga mellan 990 och 99. När Perronesen för enhesro uförs på den svenska KPI-serien yder resulaen på a orginalserien är icke-saionär, se Tabell 4. Vär a noera är a rendvariabeln i esregressionen blir signifikan, liksom den negaiva rendbrosvariabeln för bro vid åralen 990, 99 och 99. När ese uförs för KPI-seriens försa differens blir resulae a serien endas kan anses saionär give nivåskif om dea inräffa år 990. För övriga år blir serien icke-saionär. Dummyvariabeln för nivåskif, θ, blir dock signifikan på femprocensnivån för samliga es. Resulae av Perrons es på PPI-serien blir däremo någo annorlunda. För den logarimerade originalserien kan nollhypoesen om enhesro beinga på e rendbro ine förkasas för någo av rendbrosåren. Till skillnad från KP är ine rendbrosvariabeln DT signifikan. Anledningen skulle kunna vara a KPI-serien är beydlig längre och a e rendbro därför blir ydligare, eller a rendbroe för PPI sker gradvis under en längre period. PPIseriens försa differens kan anses saionär beinga på e nivåskif give a dea inräffa 990, 99 eller 99. För år 99 kan nollhypoesen om enhesro give nivåskif näsan förkasas på io procens signifikansnivå. 7 Perioden 955-004 precis som i Källqvis och Nilsson (004). 7