min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktine bildning Beteckning ch gndbegepp Definitin En fnktin elle bildning fån en mängd till en mängd B ä en egel sm till je element i dn högst ett element i B tt fnktinen f bild bilds på beteckn i elle f Om f säge i tt ä bilden iginlen tt f ä en fnktin fån till B beteckn i på följnde sätt f : B Mängden fnktinens sttmängd eng: initil set Mängden B ä fnktinens målmängd elle kdmän eng: finl set tget set cdmin Df f B f Vf f : B Definitinsmängden eng: dmin D f till fnktinen f ä mängden ll iginle ds mängden ll på ilk f tillämps den gl mängden i gfen Vädemängden eng: nge V f ä mängden ll bilde sm fås då genmlöpe definitinsmängden elle me pecis V f { f : D f } Nte skillnden melln sttmängden ch definitinsmängen; ädemängden V f ch målmängden B Geneellt gälle: D f ch V f B Eempel Låt f : R R dä f Fö den hä fnktinen ä sttmängden R målmängden R definitinsmängden[-] ch ädemängden [] Eempel Ett disket eempel Fö fnktinen f sm definies med hjälp gfen gälle: f : B sttmängden { } målmängden B { b c d e} definitinsmängden ä D f { } ädemängden ä V f { c}
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Element i mängden ch B kn tl ekte mtise elle nd mtemtisk bjekt Element i behöe inte smm tp sm element i B Eempeliss fnktinen : R R f f bild -dimensinell på -dimensinell ekte LINJÄR VBILDNINGR Definitin Linjä bildning Låt V ch W tå ektm t e VR n ch WR m En fnktin fån V till W säges en linjä bildning linjä fnktin elle linjä tnsfmtin m följnde tå illk ä ppflld Villk fö ll V Villk k k fö je sklä k ch ll V Eempel bildningen : R R definied sm bild -dimensinell ekte på -dimensinell ekte Vi kn is tt nstående bildning ä linjä genm tt ski m på mtis fm Då ä enkelt tt inse tt illk ch ä ppflld: ip distibti lgen fö mtismlt Dett is tt Villk i definitinen ä ppflld k k k k mtis ch egenskpe fö mlt melln tl I åt fll ch dämed ä en linjä bildning
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning nmäkning : Vi kn esätt illkn ch med ett illk ch nge följnde ekilent definitin: Definitin b En fnktin fån V till W säges en linjä bildning linjä fnktin elle linjä tnsfmtin m följnde illk ä ppfllt k s k s fö ll k s R ch ll V Sts Om ä en linjä bildning fån V till W då gälle V W Beis: V V enligt illk i definitinen V W VSB nmäkning : Villket V W ä nödändigt men inte tilläckligt illk fö bildningens lineitet Eempel bildningen fån R till R sm definies ä INE linjä eftesm nmäkning Fån definitin elle h i tt m gälle k k L k p p k k k L p p så Med nd d m ekt ä en linjä kmbintin ekten L p så kn i beäkn med hjälp äden L se följnde eempel p Uppgift Låt en linjä bildning fån R till R sm stisfie ch dä Kn i med gien infmtin beäkn m
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning i ii Lösning: i Vi kll m i kn ski sm en linjä kmbintin ch ge ch ch däfö Däfö kn i beäkn ii Den hä gången kn i INE ski sm en linjä kmbintin ch eftesm ektinen skn lösning ktlle själ Däfö kn i INE beäkn med hjälp gien infmtin MRISVBILDNING ä en LINJÄR VBILDNING Låt en mtis tp m n Fnktinen fån R n till R m definied sm dä n m R ch dämed R klls i å ksbk mtisbildning Vi kn nge bildningen med m sklä ektine: L m m m L L n n mn n n n Vje mtisbildning ä en linjä bildning eftesm följnde gälle enligt lg fö mtispetine ch k k ------------------------------------------------------------------ Bilde stnddbsekte: Låt en mtis H bilds stnddbsekten
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning e e L e n? M M M S: klnn klnn n Dämed h i ist tt bilde bsekte ä klnne i mtisen ----------------------------------------------------------------------------- Vje LINJÄR VBILDNING fån R n till R m kn nges sm en MRISVBILDNING Vi h ist tt Vje mtisbildning ä en linjä bildning Bilde bsekte ä klnne i mtisen N sk i is mänt påstående tt je linjät bildning fån R n till R m kn nges sm en mtisbildning dä klnne i ä bilde bsekte e e n Låt en linjä bildning fån R n till R m Låt bilde stnddbsekten e e n Om i bild mtisen med sm kllne i ds då gälle e k e e k e e n k n e n lltså ch bild bsäkte på smm bilde k k n n Däfö fö en gdtcklig ekt e L nen R i h e L n en k L nkn ch e L nen k L nkn lltså ä n fö ll R s
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Dämed h i ist tt je tt je linjät bildning fån R n till R m kn nges sm en mtisbildning dä klnne i ä bilde stnddbsekten e e n Uppgift Låt den bildning sm definies dä Låt e ch e e e Bestäm e e ch S: e e e Definitin VBILDNINGENS MRIS Låt en linjä bildning fån R n till R m Låt bilde stnddbsekten e e n Då klls mtisen elle stnddmtis fö bildningen fö bildningens mtis i stndd bsen Beteckning Den mtis sm hö till bildningen beteckn i ftst med [] nmäkning:iktig Ett enkelt sätt tt beis tt en gien fnktin fån R n till R m ä en linjä bildning ä tt nge fnktinen sm en mtisbildning Uppgift Vis tt bildningen fån R till R sm definies enligt dä ä en linjä bildning ch bestäm ch
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Lösning: ds dä stnddmtisen ä ch Vi h dämed beist tt ä en linjä bildning eftesm ch k k gälle enligt lg fö mtispetine Uppgift Bestäm stnddmtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i R bilds på sin tgnl pjektin på ektn ds pj Lösning: Metd Vi bestämme ett nltiskt ttck fö Däefte skie i på mtisfmen Denn fm beis tt ä linjä ch tt stnddmtisen ] [ Låt en ekt i R då gälle 9 pj 9 Dämed h i beist tt ä en linjäbildning ch tt 9 ] [ Metd Denn metd gälle m i edn h ist tt ä en linjä pet Föst bestämme i e e ch e sm bild klnne i stnddmtisen ] [ / / / e e
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning 8 / / / e e / / / e e Hä 9 / / / / / / / / / ] [ 9 S: 9 ] [ SMMNS LINJÄR VBILDNINGR Vi betkt smmnstt linjä bildning dä beteckn Låt den mtis tp sm hö till en linjä bildning låt ide den mtis tp sm hö till en linjä bildning då ä den bildningens mtis sm hö till smmnstt bildningen eftesm ssciti lgen fö mtismltipliktin Uppgift Låt den mtis sm hö till en linjä bildning den mtis sm hö till en linjä bildning Bestäm mtisen fö smmnstt bildningen Lösning: Uppgift KS 9 Utck ekt sm en linjäkmbintin ekten ch b Fö en linjä bidning med bildningsmtisen gälle
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning ch nänd esltt i fö tt bestämm Lösning : S: b nmäkning : Låt en bs i mmet V Låt en linjä bildning fån V till W Eftesm je ekt i V kn skis sm en linjä kmbintin bsekte då gälle Med nd d m i et h bsekte i V bilds då kn i bestämm bilden je ekt i V Uppgift Vi betkt en bildning fån R till R dä stnddbsen bilds enligt följnde Kdinte i båd m äkns med seende på stndd bse Bestäm b Bestäm c Bestäm bildningens mtis [] Lösning: Om i beteckn ekte i stnddbsen ch ch då h i 9
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning ch däfö S b S b S c Set få i fån b elle diekt m i skie bilden bsekte sm klnne i mtisen Uppgift 8 Käe knskp m ines mtise Vi betkt en bildning fån R till R med mtisen Bestäm bildningens mtis m ch dä Lösning: smt Villken ch kn i ski sm en mtisektin [ ] [ ] ds kte BC Eftesm detb ä mtisen B en ineteb mtis
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Inesen ä B Fån BC h i C B Vi kn enkelt kntlle esltt: OK S: bildningens mtis ä OK nmäkning : Låt en bs i mmet V ch en bs i mmet W Låt ide en bildning fån V till W Mtisen [] kn i bild genm på följnde tå sätt Metd Vi skie ektklnne bilde bsekten sm klnne i mtisen lltså [ ] då skie i sm en kdintektn i f-bsen sm i skie sm föst klnn På smm sätt ftsätte i med Uppgift 9 Låt en bildning fån en -dimensinell m V med bsen till ett - dimensinellm W med bsen sm stisfie Då ä i kdint fm
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning ch dämed Uppgift KS 8 Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i mmet bilds på sin tgnl pjektin på linjen t Lösning: Låt en gdtckligt pnkt i R O ch 9 pj sm i kn ski på fmen / / / / / / / / 9 / bildningens mtis ä / / / / / / / / 9 / / / / / / / / / 9 / Uppgift KS 8 Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i mmet bilds på sin tgnl pjektin på linjen t Lösning: Låt en gdtckligt pnkt O ch
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning pj sm i kn ski på fmen / / / / / 8 / / 8 / / / bildningens mtis ä / / Uppgift / / 8 / 8 8 / 8 / / KS 9 En bildning definies genm tt je ekt i mden spegls i plnet Bestäm bildningens mtis Lösning: Låt en gdtckligt pnkt ch S pnktens spegelbild Vi beteckn O N ch OS Se bilden nedn Lägg mäke till tt pnkten O ligge i plnet O P S Då gälle: P pj N N N N N 9 / / /
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning O P 9 / / / 9 N pj O S O OS sm i kn ski på fmen S: bildningens mtis ä Uppgift En bildning definies genm tt je ekt i mden pjices tgnlt inkelät på plnet Bestäm bildningens mtis Lösning: Låt en gdtckligt pnkt ch P dess tgnl pjektin på plnet Vi beteckn O N ch OP Se bilden nedn Lägg mäke till tt pnkten O ligge i plnet
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Då gälle: / / / 9 N N N N pj P N 9 / / / 9 P O P O OP sm i kn ski på fmen S: bildningens mtis ä Uppgift En bildning definies genm tt je ekt i mden pjices tgnlt inkelät på plnet ds på - plnet Bestäm bildningens mtis
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning b Bestäm bilden ektn Lösning: Vi kn gö sm i föegående ppgift men den hä gången ä det enkle tt bild te bsekte i j ch k ch ski des bilde sm klnne i mtisen Otgnl pjektinen ektn i på - plnet ä smm ekt i fö den edn ligge i plnet Däfö ä mtisens föst klnn lik med Smm gälle fö ektn j ch däfö ä mtisens nd klnn lik med Otgnl pjektinen ektn k på - plnet ä nll-ektn ch däfö ä tedje klnn i lik med Dämed ä bildningens mtis b
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Någ eempel i D mmet: Uppgift Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i plnet bilds på sin tgnl pjektin på linjen Lösning: Föst bestämme i en iktningsekt Vi älje tå pnkte på linjen en pnkt P pnkt P En iktningsekt ä P P Låt en gdtckligt pnkt O ch pj 9 sm i kn ski på fmen / / / 9 / / / bildningens mtis ä / 9 / Uppgift Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i plnet spegls i linjen Lösning: Föst bestämme i en iktningsekt Vi älje tå pnkte på linjen en pnkt P pnkt P En iktningsekt ä P P Låt en gdtckligt pnkt O ch OP pj 9 P O S Fån figen se i tt P OP O ch
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning OS O P O OP O OP O 9 9 sm i kn ski på fmen / / / / / / bildningens mtis ä / / Uppgift Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i plnet spegls i -eln Lösning: Vi kn gö sm i föegående ppgift men den hä gången ä det enkle tt bild tå bsekte i ch j ch ski des bilde sm klnne i Spegelbilden ektn i id spegling i -eln ä smm ekt i Däfö ä mtisens föst klnn lik med Spegelbilden ektn j id spegling i -eln ä j Däfö ä mtisens nd klnn lik med Dämed ä bildningens mtis Uppgift 8 Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i plnet tes inkeln θ king ig Lösning: Vi kn med hjälp klssisk gemeti is tt ttin ä en linjä bildning Fö tt bestämm stnddmtisen bestämme i bilde bsekte ch skie de sm klnne i bildningens mtis: Vektn i csθ bilds på sinθ ektn sinθ j bilds på csθ se nednstående fig 8
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning 9 θ O θ Däfö θ θ θ θ cs sin sin cs Uppgift 9 Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i - plnet tes inkeln π b Bestäm bilden ektn Lösning: Stnddmtisen fö ttinen inkeln π ä se föegående ppgiften cs sin sin cs ] [ π π π π b S ] [ b Uppgift Rttinen i D king -eln Bestäm mtisen fö den linjä bildning sm innebä tt je ekt i R tes inkeln θ king eln Lösning: Fö tt bestämm stnddmtisen bestämme i bilde bsekte ch skie de sm klnne i bildningens mtis: Vektn i te inkeln θ i -plnet ch däfö bilds på sin cs θ θ it fig Vektn j te inkeln θ i -plnet ch däfö bilds på cs sin θ θ
min Hlilic: EXR ÖVNINGR Linjä bildning Vektn k sm ligge på -eln te inte lls ch däfö bilds på sig själ Vi skie bilden bsekte sm klnne i ch få csθ sinθ sinθ csθ